Cho tam giác ABC với điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp sao cho góc AIO bằng 90 o.. Gọi G là trọng tâm của[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 03/4/2009
Bài (5,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức:
3 3 3
3 3 3
2 2 4 2 2
:
4 4 16
a b a b ab a a b b b a a b
A
a b
a b a b ab
b) Giải phương trình:
3 1 2 4 2 4 0
x x x x x
Bài (5,0 điểm).
a) Cho phương trình bậc hai: x2 – (k+1)x + k = (kR) có hai nghiệm là
x1, x2 Đặt M = (x12x2 + x22x1 – 2x1x2)(x12 + x22 – x1x2 – 2).
Tìm k để biểu thức M đạt giá trị nhỏ b) Chứng minh rằng:
n2 + 11n + 32 không chia hết cho 49, với n số tự nhiên
Bài (4,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình:
1 1 1
1
2 3
x y z
b) Cho số dương a, b thỏa mãn a + b = 2
Chứng minh rằng: 2
1 2
1 ab a b Bài (6,0 điểm).
a Cho tam giác ABC vuông A, AB =3a, AC= 4a, đường cao AH.
Trên cạnh AB lấy điểm I cho
IB
IA 2 Đường thẳng CI cắt AH E Tính
độ dài đoạn thẳng CE
b Cho tam giác ABC với điểm I tâm đường tròn nội tiếp, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp cho góc AIO 90o Gọi G trọng tâm của
(2)=====Hết=====
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP THCS
Bài 1. 5.0
a) 2.0 3
3 3 3
1 2 2
3 3 3
2 2
2 2
a b ab a b
A
a b a a b b
3 3
3 3
2
2
a ab b ab
a b a b
3 2
3 3 2 a b a b a b 3 3 2
a a b b a b
A a b
a b
A = A1 : A2 = 1
0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 b) 3.0
+Phương trình cho tương đương với
2 4 2 4 4 0
x x x x x
2
2 4 2 1 0 4 1 0
x x x x x
(*) + ĐK: x
+ 2 (*) x x
x = x =
+ So sánh ĐK trên, phương trình cho có nghiệm là: x = 2, x =
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Bài 2. 5.0
a) 3.0
+ = (k -1)2 0, kR Suy pt cho có nghiệm x
1, x2 với kR
+
2
1 2 2 2
M x x x x x x x x x x
2
1
k k k k k
2
2 1 2 1
2
k k k k k k k k k k
+ ,
M k +Đẳng thức xảy
1
k
Vậy biểu thức M đạt giá trị nhỏ
1
k
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 b) 2.0
+ A = n2 + 11n + 32 = n2 + 11n + 18 + 14 = (n+2)(n+9) + 14
(3)+ Nếu (n+2) (n+9) chia hết cho (n+2)(n+9) 49 mà 14 không chia hết cho 49 Suy A không chia hết cho 49 (1)
+ Nếu (n+2) (n+9) không chia hết cho (n+2)(n+9) khơng chia hết cho mà 14 chia hết cho Suy A không chia hết cho 49 (2)
+ Từ (1) (2) suy A không chia hết cho 49 (đpcm)
0.5 0.5
Bài 3. 4.0
a) 2.0
+ Đặt u = 2y, v = 3z (u bội số v bội số 3) (*) +Pt cho trở thành:
1 1
x u v (1)
+Do vai trò x, u, v pt (1) bình đẳng, nên ta xét : < x u v
Ta có:
1 1
1 x x 1, 2,
x u v x
+Với x = 1:
1
u v (vô lý)
+Với x = :
1 1
4 2,3,
2 u u
u v u - Với u = 2:
1
v (vơ lí)
- Với u =3:
1 1
6 3v 2 v
- Với u = 4:
1 1
4 4v 2 v .
+Với x = 3:
1 2
3 3
3 u u v
u v u
+Nghiệm (x, u, v) pt (1) hoán vị nghiệm sau (2; 3; 6), (2; 4; 4) (3; 3; 3) Suy nghiệm (x, u, v) thỏa mãn (*) (2; 6; 3), (3; 2; 6), (6; 2; 3)
Vậy nghiệm nguyên dương (x; y; z) cần tìm (2; 3; 1), (3; 1; 2), (6; 1; 1)
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
b) 2.0
+ Ta có: (x + y)2 4xy , x,yR
1
x y x y , x,yR+ (*) Đẳng thức xảy x = y
+ Áp dụng BĐT (*), ta có:
2 2 2
1 1
2
2
ab a b ab a b ab a b
2 2
2
1 8
1 2
ab a b a b
Đẳng thức xảy 2ab = a2 + b2 a = b =
0.5
0.75 0.5 0.25
Bài 4. 6.0
(4)K E
I H
B C
A
+ BC= AB2AC2 5a
2
CA 16 CH=
BC
a
2
AB BH=
BC
a
+ Vẽ IK // AH , K thuộc cạnh CB
Trong BHA có IK//AH, áp dụng định lý Talet, ta có:
BK BI
BH BA3 BK =
3
a
HK =
6
a
+ Trong CIK có EH//IK, áp dụng định lý Talet, ta có:
CE CH
CI CK , CI =2a
Vậy
16 CE=
11
a
0.25 0.5 0.5
0.75 0.5 0.5
b) 3.0
+Đường thẳng AI cắt BC đường tròn (O) D, E Đường thẳng AG cắt cạnh BC tam giác ABC trung điểm M
+C/m
AI AB
ID BD (vì AI đường phân giác của
BAD) (1) + C/m BAE DBE
AB AE
BDBE (2)
+C/m EBI cân E:
Ta có : BIE=IAB+ABI IAB=CAE=CBE
ABI =IBD (vì I tâm đtrịn nt) BIE = IBD + DBE = IBE
EBI cân E
BE = IE (3) + Từ (2) (3) suy ra:
AB AE AE
BDBE IE ( AIO = 90o IA = IE) (4) + Từ (1) (4) suy ra:
AI
ID (5)
+ Mặt khác: G trọng tâm ABC nên
AG
GM (6)
+Từ (5) (6), theo định lý Talet ta có IG //DM Vậy IG // BC (đpcm)
0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
D
E G
M I
O A
B
C
(5)