Do vai trß to lín cña to¸n häc trong ®êi sèng vµ khoa häc kü thuËt hiÖn ®¹i, nªn kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p to¸n häc lµ c«ng cô thiÕt yÕu gióp häc sinh häc tËp tèt c¸c bé m«n khoa häc kh¸c,[r]
(1)Phần I : Mở đầu I/ Lý chọn đề tài.
1/ C¬ së lý luËn :
- Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tợng cao, tính logíc đồng thời mơn tốn cịn mơn cơng cụ hổ trợ cho mơn học khác Do vai trị to lớn toán học đời sống khoa học kỹ thuật đại, nên kiến thức phơng pháp tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt môn khoa học khác, giúp học sinộchạt động có hiệu lĩnh vực đời sống Đặc biệt rèn luyện học sinh khá, giỏi nâng cao đợc lực t duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập tốn, việc bồi dỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo, tìm tịi nhiều lời giải hay cho tốn - Qua năm cơng tác giảng dạy trờng tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện đợc t sáng tạo việc học giải tốn thân ngời thầy cần phải có nhiều phơng pháp nhiều cách giải Đặc biệt qua năm giảng dạy thực tế trờng việc có đợc học sinh giỏi mơn Tốn điều khó, nhiên có nhiều nguyên nhân có khách quan chủ quan Song đòi hỏi ngời thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phơng pháp cách giải qua Toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động t sáng tạo Vì tơi tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm này: "Hớng dẫn học sinh phơng pháp tìm lời giải tốn"
Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Tốn học, trớc tập tơi cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời ngời thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát đợc cách giải tơng tự khái quát phơng pháp đờng lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái quát hoá thành Toán tổng quát xây dựng Toán tơng tự
Điều mong muốn thứ hai mong muốn thay đổi phơng pháp bồi dỡng cho học sinh giỏi từ trớc đến Xây dựng phơng pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc, nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo
Thơng qua mơn tốn học phát triển cho học sinh lực phẩm chất trí tuệ, góp phần tích cực vào việc giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức XHCN, giới quan nhân sinh quan khoa học Do thông qua việc hớng dẫn học sinh ph-ơng pháp tìm tịi lời giải toán phần đáp ứng đợc vấn trờn
(2)Trong năm gần việc dạy Toán theo phơng pháp cũ không phï hỵp víi häc bëi lÏ:
- Học sinh THCS vào học độ tuổi quy định, thích ham chơi, có khả tự kiềm chế trớc hoạt động hấp dẫn, lớp đùa nghịch, làm việc riêng … lời suy nghĩ, tiếp thu thụ động
- Phía thày: Lo thuyết trình giảng, làm cho học sinh động não suy nghĩ Trong luyện tập phần lớn thày chữa tập nhà cho học sinh Chính lẽ học sinh hay ỷ lại cho thày, lời suy nghĩ Do đứng trớc toán cụ thể không định hớng đợc phơng pháp giải từ đâu đến đâu, vận dụng quy luật toán học vào tong trờng hợp cụ thể
Chóng ta thÊy dï cã kü tht gi¶i cao, có thành thục thực thao tác phép toán nhng cha có phơng hớng tốt lời giải lời giải tồi
Bi xuất phát từ sở lý luận thực tiễn khuôn khổ viết tôix in đợc đề cập tới vấn đề hớng dẫn học sinh phơng pháp tìm tịi lời giải tốn
II/ NhiƯm vơ.
Hớng dẫn học sinh tìm tịi lới giải tốn, cụ thể là: - Tìm hiểu vấn đề dạy toán
- Néi dung phơng pháp tìm tòi lời giải toán
- Hớng dẫn học sinh số phơng pháp tìm tòi lời giải toán - Một vài kết luận
III/ Đối t ợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.
1/ Đối tợng: - Học sinh:
+ Học sinh giỏi cấp THCS + Học sinh đại trà cp THCS
- Các thày giáo, cô giáo có nhiều kinh nghiệm 2/ Phạm vi nghiên cứu:
- KiÕn thøc to¸n THCS
- Học sinh lớp đồng đội trờng THCS Thị Trấn Cao Thợng - Thày giáo giảng dạy trờng THCS Thị Trấn
IV/ Ph ơng pháp nghiên cứu.
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm, phơng pháp điều tra qua học sinh qua giáo viên
(3)Phần II: Nội dung. I/ Quan niệm vấn đề dy gii toỏn.
Việc giảng dạy toán cho học sinh bao gồm hai bớc: - Tìm tòi, suy nghĩ lời giải toán
- Giải to¸n
Trong q trình giảng dạy hai nội dung có tiến hành đồng thời nhng có tách thành hai trình Tuy mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung hoàn tồn khác (mặc dù có quan hệ hỗ trợ lẫn nhau) Mỗi nội dung đảm bảo yêu cầu riêng biệt cơng việc rèn luyện học sinh giải tốn, ngời thày dạy tốn nh trị học tốn cần nhận thức rõ ý nghĩ tác dụng nội dung mối quan hệ hai nội dung
Ta nói đến vấn đề giải tốn có đờng lối giải, vấn đề tất nhiên quan trọng việc rèn luyện học snh giải toán Phải làm cho học sinh thấy rõ từ chỗ tìm đợc phơng hớng giải tốn đến việc giải hồn chỉnh tốn trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững kiến thức nội dung lý thuyết phơng pháp thực hành đến việc luyện tập để thành thạo quy trình thao tác có tính chất kỹ thuật Điều địi hỏi đức tính nghiêm túc kiên nhẫn ngời dạy toán học toán, mặt yếu học sinh
Mặt khác nh ta biết kết toán trớc hết phải biểu lời giải Nh có nghĩa tốn khơng hồn chỉnh q trình giải vụng về, có sai sót Và ngời làm tốn phải hiểu rằng, làm tốn phải hồn thành trọn vẹn khâu, vạch phơng hớng mà thơi Lại có tốn, đờng lối giải khơng phải khó chủ yếu, có cịn rõ ràng (do nội dung lý thuyết rõ) mà khó chủ yếu thuộc kỹ thuật giải Do địi hỏi ngời làm tốn cần khơng sáng tạo
Nhng dï vÉn ph¶i xem viƯc rÌn luyện khả tìm tòi lời giải thứ yếu toàn công việc giải toán lẽ sau:
(4)- Mặt khác phải nên lao động khâu thực thao tác có phơng h-ớng lao động tính chất kỹ thuật, khơng thể có sáng tạo lớn nh lao động để tìm tịi phơng hớng giải
- Ngồi ra, khâu tìm tịi lời giải tốn sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo
Những điều nêu (dù sơ bộ) đủ để chứng tỏ tính chất định khâu rèn luyện phơng pháp tìm tịi lời giải tốn q trình giải tốn nh rèn luyện khả t cho học sinh
II/ Néi dung cña ph ơng pháp tìm tòi lời giải toán.
Bằng thực nghiệm nhiều năm nhiều đối tợng học sinh khác đợc kiểm nghiệm qua trình giảng dạy thân, sau đúc kết lại xin nêu dới mặt phơng pháp tìm tịi lời giải tốn
1/ Trớc hết, với tốn cơng việc ngời làm toán phải cần đặt là: Phải từ chất liệu toán cho bao gồm giả thiết, điều kiện (kể u cầu mà tốn địi hỏi) cần xỏc nh c:
- Thể loại toán
- Vạch đợc phơng hớng giải tốn
- Tìm đợc phơng pháp cơng cụ thích hợp
2/ Hơn nữa, ngời làm toán cần đạt đợc yêu cầu cao là: Phân tích đợc nguồn gốc hình thành giả thiết, điều kiện cho giải tốn có giả thiết kết toán Phải phát cho đợc mối liên hệ có tính tất yếu (mang tính quy luật) giả thiết kết luận, điều cho điều mà tốn địi hỏi
3/ Từ kết ngời làm toán cần đặt vấn đề tìm cách để sáng tạo toán
4/ Cuèi cïng, ngời làm toán phải vơn tới việc đoán nhận trình hình thành toán tác giả
* Mối quan hệ mặt nội dung:
(5)Mặt thứ hai nhằm rèn khả sâu vào tốn Việc phân tích giả thiết, điều kiện toán kết giúp cho học sinh thấy rõ trình xảy có tính chất quy luật tốn Nói cụ thể học sinh biết đợc tính tất yếu kết giải diễn nh nào? Và để có kết nh cần đòi hỏi giả thiết, điều kiện nh nào? Điều kiện này, biểu thức có mặt tốn giải đợc hình thành q trình nào?
Làm quen mặt này, ngời làm tốn có đủ lịng tin vào đờng lối tiến hành hy vọng tính đắn thao tác đến nó, sở vững ngời làm tốn có điều kiện đốn nhận kết phải xảy để cách để chứng minh kiểm nghiệm tính đắn đốn nhận Làm tốt mặt gây ích cho ngời làm toán sáng tạo toán đốn nhận q trình hình thành tốn tác giả
Khi tìm cách sáng tạo tốn mới, trớc hết ngời làm tốn phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm chất toán Các yếu tố cấu tạo lên toán Nh thấy đợc mối quan hệ toán loại loại toán khác Làm tốt mặt lần ngời làm toán làm tốt mặt thứ hai trên, từ ngời làm tốn khơng nắm đợc toán dới dạng riêng lẻ mà cịn nắm đợc tốn dới dạng tổng qt Và làm tốt mặt ngời làm toán mau làm quen với việc nhận dạng toán nh phân loại toán
Cuối việc đoán nhận đợc q trình hình thành tốn tác giả ngời làm tốn hiểu biết khắc sâu sắc tốn đó, qua giúp học sinh sáng tạo toán
Bốn mặt có yêu cầu khác nhau, nhng có quan hệ hỗ trợ lẫn cách đắc lực Vì phải hớng dẫn học sinh tìm tũi li gii bi toỏn
III/ Các ph ơng pháp tìm tòi lời giải toán.
Ni dung phần xin trình bày số phơng pháp thơng dụng chủ yếu để tìm lời giải toán, đồng thời với việc giới thiệu phơng pháp, phân tích khía cạnh việc vận dụng phơng pháp việc trình bày ví dụ minh hoạ mà lời giải chúng thực việc vận dụng phơng pháp
A/ Phơng pháp 1:
Khai thỏc trit giả thiết toán để vạch phơng hớng giải Công việc bao gồm mặt sau đây:
1/ Nghiên cứu cácc đặc điểm dạng toán
(6)nội dung tốn Chính thế, nhiều tốn có lời giải nhờ vào việc khai thác đặc điểm dạng tốn
2/ Nghiên cứu điều kiện đặt cho đại lợng tham gia toán, biểu thức đợc đa tốn hàm số có mặt tốn để xác định ph ơng hớng giải NT
Các đại lợng tham gia toán đại số, số học, yếu tố tạo nên hình tốn hình học Các điều kiện đặt cho đại lợng khơng thể ngẫu nhiên tuỳ tiện mà biểu mối liên hệ yếu tố tạo nên toán Khai thác hớng điều kiện dẫn tới lời giải tốn
ở số tốn, có nhiều biểu thức đợc tác giả tốn đa vào kèm với số điều kiện Suy nghĩ cho biểu thức nh điều kiện kèm theo phải đợc tạo nên trình hình thành toán Khai thác triệt để ý nghĩa biểu thức điều kiện kèm theo chắn xác định đợc yếu tố phơng hớng toán Dới toán minh hoạ
Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức.
A = (1,2345)4+(0,7655)4(1,2345)3.(0,7655)2(1,2345)2.(0,7655)3+4,938 3,062
* Tìm tòi lời giải giải:
Tham gia biểu thức A số thập phân sau: 1,2345;0,7655;4,938;3,062
Để ý r»ng:
1,2345 + 0,7655 = 1,2345 x = 4,938 0,7655 x = 3,602
Những kết đặc điểm dạng tốn cho Khi đặt a = 1,2345; b = 0,7655 ta có:
a + b =2; 4a = 4,938; 4b = 3,062 Vµ A = a4 + b4 – a3 b2 – a2 b3 + 16 ab = a4 + b4 - a2 b2 (a + b) + 16 ab
= a4 + b4 - a2 b2 + 16 ab = (a2 - b2)2 + 16 ab
= (a + b)2 (a - b)2 + 16 ab
= 4[(a - b)2 + ab] (do a + b = 2) = 4(a + b)2 = 16
(7)Bài toán 2: Rút gọn biểu thức.
B = (
14 +1
4)⋅(3
4 +1
4)⋅(5
4 +1
4)⋅⋅(19
4 +1
4)
(24+1
4)⋅(4
4 +1
4)⋅(6
4 +1
4)⋅⋅(20
4 +1
4)
* Nhận xét lời giải:
Cỏc thừa số tử mẫu có dạng a4+1
4 vµ cã thĨ xem B lµ tÝch cđa
phân số có dạng:
a4 +1
4
(a+1)4+1
4
víi a = 1, 3, 5, …, 19
Ta nghĩ đến việc biến đổi biểu thức a4 +1
4 thành tích để hy vọng rút gọn
biĨu thøc gièng ë t sè vµ mÉu sè
Ta cã:
a2+1
2¿
2
−a2=(a2+1
2+a)(a
2 +1
2− a)
a4+1
4=¿
Lại để ý rằng:
a+1¿2−(a+1)+1
2
a2+a+1
2=¿
(*)
Khi
a4 +1
4
(a+1)4+1
4
= (
a2− a +1
2)[(a+1)
2−
(a+1)+1
2]
[(a+1)2−(a+1)+1
2]⋅[(a+1)
2
+(a+1)+1
2]
=
a2−a +1
2
(a+1)2+(a+1)+1
2
áp dụng công thức với a lần lợt 1, 3, 5, …, 19 ta cã B =
12−1 +1
2 22
+2+1
2
⋅
32−3 +1
2 42
+4+1
2
⋅
52−5 +1
2 62
+6+1
2
⋅⋅
192−19 +1
2 202
+20+1
2
(8)B =
12−1 +1
2 202
+20+1
2
=
841
Bài toán 3: Cho ABC có AB = a, CA = b, AB = c Gọi đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB tơng ứng ha, hb, hc Gọi O điểm ABC khoảng cách từ O đến ba cạnh BC, CA, AB lần lợt x, y, z Tính tỉ
sè: M = hx
a
+ y
hb+ z hc
* NhËn xÐt lời giải: Để tính tỉ số hx
a
ta nghĩ đến việc xem x đờng cao tơng ứng hai tam giác có chung cạnh đáy BC BOC BAC Ta có:
SBOC SABC
= x
ha
; SCOA
SABC
= y
hb
; SAOB
SABC
= z
hc
Cộng vế tỉ số để ý
SBOC+SCOA+SAOB=SABC ta đợc M = hx
a
+ y
hb+ z
hc =
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD mà AD = BC, đờng thẳng qua trung điểm M, N hai cạnh AB CD cắt AD BC kéo dài E F
Chứng minh rằng: AEM = MFB * Tìm tòi lời giải lời giải: Gọi E1 = AEM ; F1 = MFB
Điều kiện đặt cho hai cạnh AD BC làm ta phải quan tâm Điều kiện xa lạ với kết luận E1 = F1 Qua M N ta kẻ ng
thẳng lần lợt song song với AD BC, chóng c¾t ë I Tríc hÕt ta nhËn thÊy E1 = IMN vµ
F1 = INM nh E1 = F1 MNI cân I
do IM = IN lại có IM // AD, IN // BC điều làm ta nghĩ đến vai trò điểm I điều mong muốn IM = IN có liên quan đến giả thiết AD = BC Nh điểm I phải thoả mãn tính chất IM = IN, IM // AD, IN // BC => I trung điểm BD
Ta cã lêi gi¶i:
(9)Nối BD gọi I trung điểm BD, dễ chứng minh MI, NI lần lợt đờng trung bình ABD DBC ta có IM = IN, IM // AD, IN // BC
Từ suy (pcm)
Bài toán 5: Chứng minh hµm sè: y = f(x) = √x2
+x+1+√x2− x+1 có giá trị nhỏ
Lời gi¶i 1:
Theo hớng chuyển tốn cực trị toán chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh giá trị nhỏ f(x) = x = ta cần chứng minh f(x) với x dấu “=” xảy x =
Hay √x2
+x+1+√x2− x+1 đẳng thức xảy x = Dùng cách biến đổi tơng đơng dẫn đến bất đẳng thức
Lời giải 2: (Sử dụng công cụ bất đẳng thức) ta biến đổi y dạng y = y1 + y2 y1 y2 chứng tỏ dấu đẳng thức xảy x =
Ta cã: y = (4
√x2
+x+1−√4 x2− x+1)2+2√4 x4+x2+1
Gäi y1 = (√4 x2+x+1−√4 x2− x+1)
vµ y2 = 24√x4+x2+1
Rõ ràng y1 0, y2 với x dấu đẳng thức xảy x = Lời giải 3: (Sử dụng công cụ bất đẳng thức)
Sử dụng bất đẳng thức a+1
a≥2 (a > 0) dÊu “ = ” x¶y a =
Tõ nhËn xÐt: √x2
+x+1.√x2− x+1=√x4+x2+1≥1 ta cã: √x2+x+1≥
√x2− x+1 dÊu “ = ” x¶y x =
khi y √x2− x+1+
√x2− x+1≥2 (do √x
2
− x+1 > 0) DÊu “ = ” x¶y x = vµ x =
Phối hợp hai kết suy y vµ y = ⇔ x =
Lời giải 4: Do y tổng hai số dơng nên ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si: y √4(x2+x+1).(x2− x+1)=2√4x4+x2+1≥2 dấu “ = ” xảy x =
Lời giải 5: Ta chuyển tốn đại số tốn hình học Nhận xét y tổng hai thức mà dới dấu tam thức bậc hai luôn dơng với x
Ta cã x2+x+1=(x+1
2)
2 +3
4 cßn x
2
− x+1=(x −1
2)
2 +3
4 để ý đến cơng thức độ
dài đoạn thẳng nối hai điểm M(x, y) N(a, b) lµ: √(x − a)2
(10)y = √[x −(−1
2)]
2
+(0−√3
2 )
2
+√(x −1
2)
2
+(0−√3
2 )
2
rồi gọi M, A, B điểm mặt phẳng toạ độ với M(x, 0), A( −1
2;√
2 ), B(
2;√
2 ) th× y = MA + MB
- Bài toán đại số cho đợc chuyển thành toán hình học phát biểu nh sau:
“ Chøng minh r»ng tæng
MA + MB đạt giá trị nhỏ
điểm M trùng với gốc toạ độ O ”
- Đây toán quen thuộc học sinh biết cách gii
B/ Phơng pháp 2:
Phõn tớch v biến đổi kết (hay yêu cầu tốn) để tìm phơng pháp giải tốn
Một tốn đợc hình thành tổng hợp kết phép biến đổi liên tiếp suy từ chân lý đắn đến chân lý đắn khác Việc thực phép biến đổi theo hớng ta tìm đợc phép biến đổi ngợc với phép tác giả hình thành tốn Tất nhiên cách làm dẫn ta tới việc tìm đờng lối giải cách phân tích biến đổi kết quả, ta tìm cách thay tốn cho toán toán tơng đơng toán điều kiện đủ Tất nhiên toán thu đợc đợc chấp nhận toán đơn giản giải đợc Dới cỏc bi minh ho
Bài toán 6:
Với điều kiện: ax + by + cz = đơn giản biểu thức sau
P = ax
+by2+cz2
ab(x − y)2+bc(y − z)2+ca(z − x)2 * Hớng dẫn lời giải:
T s biểu thức P ax2 + by2 + cz2 thu gọn khơng biến đổi thêm đợc Vì ta nghĩ đến việc biến đổi mẫu số
Chú ý đến giả thuyết ax + by + cz = yêu cầu toán, ta nghĩ tới việc biến đổi mẫu số thành dạng tổng số hạng cho có chứa đại lợng
ax2 + by2 + cz2 ax + by + cz = Gọi M mẫu số ta biến đổi nh sau: M = ab(x2−2 xy
+y2)+bc(y2−2 yz+z2)+ca(z2−2 zx+x2)
= ax2 (b + c) + by2 (c + a) + cz2 (a + b) - 2abxy - 2bcyz - 2cazx. O
M A
A'
(11)Nhằm mục đích tạo số hạng có chứa ax2 + by2 + cz2 nên ba số hạng đầu M ta thêm vào số hạng thích hợp để làm xuất đẳng thức
Ta cã: M =
ax2
(a+b+c)+by2(a+b+c)+cz2(a+b+c)−(ax)2−(by)2−(cz)2−2 abxy−2 bcyz−2 cazx = (a + b + c).(ax2 + by2 + cz2) – (ax + by + cz)2 = (a + b + c).(ax2 + by2 + cz2) => P =
a+b+c Bài toán 7:
Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác bất đẳng thức sâu
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3 (1) * Híng dÉn lời giải:
Khai thỏc gi thuyt a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta thu đợc biến đổi tơng đơng sau:
b + c - a > a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ⇔ c + a - b > a + b - c >
⇔ (b + c - a).( c + a - b).( a + b - c) > (2) Biến đổi biểu thức (1) dạng:
(1) ⇔ a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc - (a3 + b3 + c3) > 0
Đối chiếu bất đẳng thức (1) (2) ta nghĩ việc chứng minh vế trái bất đẳng thức (1) thành (b + c - a).( c + a - b).( a + b - c) Tính tốn, thực ý định vạch ta có: VT(1) = (a + b + c)( c + a - b)( b + c - a) Nh ta thu đợc (1)
⇔ (2) mà (2) ỳng nờn (1) ỳng
C/ Phơng pháp 3:
Phân tích đồng thời giả thuyết tốn lẫn u cầu địi hỏi tốn để tìm phơng hớng giải tốn
Việc phân tích riêng rẽ giả thuyết kết luận cho phép tìm đợc phơng hớng giải tốn Tuy lại có tốn mà lời giải có đợc ta biết phân tích đồng thời giả thuyết kết luận
Q trình phân tích phải nội dung hai bên (giả thuyết kết luận) yếu tố rõ ràng có quan hệ lơgic với Mối liên hệ yếu tố cho môi tốn điều mà tốn địi hỏi Nó phản ánh phần mối liên hệ nội dung hình thức tốn Phơng pháp gồm mặt sau đây:
(12)khi giải toán xuất phát từ giả thuyết Sau số phép biến đổi kết thu đợc ngày phức tạp sau vòng luẩn quẩn ta gặp lại giả thuyết ban đầu Tình trạng xảy ngời lamg toán cha biết cách định hớng đắn phép biến đổi Muốn định hớng ngời làm toán phải biết phân tích, quan sát, kết luận sở xác định đợc hớng phép biến đổi liên tiếp nhau, phép biến đổi đổi đợc xem hớng, sau phép biến đổi giả thuyết gần gũi kết luận Các ví dụ minh hoạ dới phần làm sáng tỏ điều phân tớch trờn
Bài toán 8:
Cho ABC với cạnh a > b > c điểm O tuỳ ý tam giác Giả sử AO, BO, CO kéo dài cắt cạnh BC, AC, AB tơng ứng P, Q, R
Chøng minh r»ng: OP + OQ + OR < a * Tìm tòi lời giải:
Vn cn so sỏnh tổng OP + OQ + OR với độ dài canh BC = a Một điều thấy đoạn thẳng tổng cho “xa lạ” với đoạn BC Để cho việc so sánh đợc rễ ràng ta phải
các đoạn thẳng tổng trở lên “gần gũi” đoạn BC Đối với tốn hình học điều gợi cho ta suy ngĩ tạo thêm đờng phụ để qua hy vọng đáp ứng yêu cầu định ra, hớng thực nh sau:
Từ O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh tai S, T Nh ta có hai tam giác RSO OQT có chứa hai đoạn thẳng OQ OR, cần tìm mối liên hệ OT OS với phận BC Vì OQ < OT OR < OS tốt ta tìm cách tạo nên BC phân có độ dài lần lợt OT OS Khi nghĩ đến việc kẻ đờng thẳng song song với hai cạnh ABO qua O Các đoạn thẳng XB, YC tạo BC đạt đợc yêu cầu đề OT = YC, OS = XB Khi đồng thời ta lại có OXY mà có chứa hai đoạn OP XY mà ta tìm cách cho chúng quan hệ với Đến trình tìm lời giải coi nh hồn thành, lời giải rõ
Hoặc cách sau đạt đợc yêu cầu làm “gần gũi” đoạn tổng với BC
Từ O kẻ đờng thẳng song song với hai cạnh tam giác cắt BC X, Y Ta có OXY mà ta làm “gần gũi” hai đoạn OP XY Chỉ cần tìm cách làm “gần gũi” YC QO; XB OR, muốn ta cần qua X Y vẽ đ ờng thẳng song song với OC OB cắt AB, AC lần lợt tai K, L
Ta cã OQ = XL Các LYC KBX thoả mÃn yêu cầu mong muèn T S
K L
P Q R
A
B C
O
Y
(13)2/ Biến đổi kết luận toán cách dựa vào điều quan sát phân tích giả thiết tốn tìm hiểu toán cách biến đổi kết luận Nhiều ta quan tâm đến dạng sẵn có kết luận mà thực phép biến đổi Làm nh nhng cha đủ tốn mà biểu thị kết phải đợc tạo thành sở giả thuyết Vì biến đổi kết luận tốn thiết phải sử dụng giả thuyết để biến đổi yêu cầu thành yêu cầu khác tơng đơng biến đổi kết luận thành gi thit
Bài toán 9:
Cho a b hai nghiệm phơng trình: x2 + px + = 0 b, c lµ hai nghiƯm phơng trình: x2 + qx + = 0
Chøng minh (b - a).(b - c) = pq - * Tìm tòi lời giải giải:
Ta cần biến đổi (b - a).(b - c) chứng tỏ đại lợng pq - Nhng biến đổi nh nào? Hãy dựa vào giả thiết theo đinh lí Vi-ét ta có:
a + b = -p; ab = 1; b + c = -q vµ bc =
Nhằm mục đích sử dụng đợc giả thiết ta phải làm xuất biểu thức (a + b, b + c, ab, bc) biến đổi (b - a).(b - c) theo hớng ta làm nh sau:
(b - a).(b - c) = [(b + a) - 2a].[(b + c) – 2c] = (b + a).(b + c) - 2c(b + a) - 2a(b + c) + 4ac = pq - 2bc - 2ab
= pq - (®pcm)
3/ Phân tích biến đổi đồng thời giả thiết kết luận để vạch phơng hớng giải toán Đây phơng hớng giúp ta giải đợc số toán trình độ cao nặt suy luận cho lời giải hay Có tốn mà việc phân tích biến đổi đồng thời giả thiết kết luận “dịch lại” gần Các phép biến đổi đồng thời giả thiết kết luận thờng phép biến đổi xi, thuận chiều, phép biến đổi từ giả thiết đến tận kết luận ngợc lại thờng phép biến đổi ngợc chiều, khó khăn Ví dụ dới minh ho thờm
Bài toán 10:
Chng minh x, y, z độ dài ba cạnh tam giác bất đẳng thức sau đúng:
|xy+ y z+
z x−
y x −
x z −
z
y|<1 (1)
* Tìm tòi lời giải:
(14)Ta có từ giả thiết x, y, z độ dài ba cạnh tam giác nên: x + y > z; y + z > x; z + x > y (*)
Hoặc |x − y|<z ;|y − z|<x ;|z − x|<y (**) vào bất đẳng thức kết ta cho bất đẳng thức (**) thuận lợi hơn, biến đổi bất đẳng thức (**) dạng sau:
|x − y|
z <1;
|y − z|
x <1;
|z − x|
y <1⇔
|(x − y)(y − z) (z − x)|
xyz <1 (1’)
Nh bất đẳng thức (1’) Mặt khác ta thấy
(1) ⇔ |(x2− y2)z+(y2− z2)x+(z2− x2)y|
xyz <1
Qua biến đổi ta thấy giả thiết kết luận gần gũi Để chứng minh (1) ta cần chứng minh đẳng thức:
(x2− y2)z+(y2− z2)x+(z2− x2)y=(x − y)(y − z) (z − x) (2’)
Nh ta có toán chứng minh hệ thức (2’) thu đợc từ trình biến đổi giả thiết kết luận nh mối quan hệ chúng Việc chứng minh đẳng thức (2’) thuận lợi biến đổi vế trái có đích vế phải, nên việc biến đổi có định hớng rõ tránh mị mm
D/ phơng pháp 4:
Vn dng cỏc quy luật cặp phạm trù phép biện chứng vật vào nghiên cứu đờng lối giải tốn Chẳng hạn giải hệ phơng trình nhiều ẩn ta sử dụng phơng pháp khử ẩn để đa tốn dạng ẩn hơn, lại có ta làm cơng việc ngợc lại giải tốn ẩn mà khó giải ta chuyển thành tốn nhiều ẩn dễ giải Xét ví dụ minh ho sau:
Bài toán 11: Giải phơng trình sau:
19881989x22
x=19881989
* Tìm tòi lời giải:
Ta có phơng trình đại số bậc bốn tuỳ ý mà dạng tổng quát là:
(15)y = a- bx2 nh phơng trình cho có dạng: x = a- by2 ú ta cú h
ph-ơng trình:
¿
x=a −by2
y=a −bx2
⇔
¿x=a −by2
(x − y)[1−b(x+y)]=0
¿{
¿
Từ xảy
¿
x − y=0
x=a −by2
¿{
¿
hc
¿
x=a−by2
1− b(x+y)=0
¿{
¿
giải hai hệ phơng trình ta thu đợc
nhiệm phơng trình cho
E/ phơng pháp 5:
Chuyn hoỏ ni dung loại toán để xác định phơng hớng giải: Chọn lựa cơng cụ thích hợp lời giải khác lời hay toán
Cũng nh lĩnh vực tự nhiên xã hội, vật có mối quạn hệ với điều kiện chuyển hố qua
Tốn học có nhiều loại tốn có liên quan với nhau, quan hệ chúng điều kiện cho phép ta chuyển từ việc giải loại toán qua việc giải toán khác Việc lựa chọn công cụ khác để giải tốn việc làm cần thiết đợc lựa chọn khơng tuỳ tiện, mị mẫm chúng đợc chọn sở phân tích đặc điểm toán cho Những đặc điểm thích hợp với loại cơng cụ nào, ngời làm tốn cần phải quen nắm vững đợc cơng cụ thích hợp lời giải tơng ứng tốt hn
Bài toán 12: Chứng minh giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
P(a, b) = a2 + ab + b2 - 3(a + b) + b»ng 0 * Tìm tòi lời giải:
P(a, b) l đa thức hai biến, toán cực trị hàm hai biến phức tạp vợt ngồi trình độ THCS Theo yêu cầu toán ta cần chứng minh: Với a, b GTNN P(a, b) Theo định nghĩa GTNN, yều cầu đợc phát biểu lại nh sau: “CMR với a, b P(a, b) ” Nh ta chuyển toán cực trị thành chứng minh bất đẳng thức Để chứng ta biến đổi P(a, b) thành tổng đại lợng không âm nh sau:
(16)Để cho gọn ta đặt u = a - 1; v = b -
P = u2 - v2 + uv =
(u+v
2)
2 +3
4 v víi ∀ u,v DÊu “ = ” x¶y u = v =
VËy GTNN cña P(a, b) = a = b =
G/ phơng pháp 6:
Phơng pháp giải toán đợc xác định từ nội dung toán lý thuyết trang bị
Lớp toán rộng lớn mà tiêu biểu loại toán tơng ứng hi vào lớp 10 THPT Đờng lối giải toán loại đac đợc xác định qua nội dung loại tốn mẫu mực Tính chất trí tuệ loại tốn địi hỏi khơng nhiều mà địi hỏi chủ yếu nắm vận dụng tôt kiến thức chơng trình, loại tốn thờng mẫu mực, nên việc tìm kiếm lời giải khơng có khó khăn lớn Vì giảng dạy cần ý mặt thực hành, phải rèn luyện cho học sinh biến thành kỹ năng, kỹ sảo, thơng qua việc truyền đạt nội dung chơng trình ngời thày giúp học sinh rút đợc:
- Các phơng pháp giải toán
- Các công cụ vận dụng vào việc giải toán
- Một số “ngón” có tính chất kỹ thuật việc thực phép tính, phép biến đổi
ở mục tơi khơng đa ví dụ minh hoạ xin lu ý giảng dạy cần tập chung cho học sinh biết vận dụng kiến thức vào trờng hợp cụ thể Đứng trớc toán học sinh biết vận dụng kiến thức nào, định lý khái niệm Muốn học sinh phải nắm lý thuyết, nắm kiến thức
* Sau tìm cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá toán cách trả lời đợc số câu hỏi cụ sau :
1) Trong cách chứng minh kiến đợc vận dụng ?
2) Có cách chứng minh tơng tự nhau? Khái quát đờng lối chung cách ấy?
3) Và cách chứng minh kiến thức vận dụng kiến thức đợc học lớp mấy, hỏi cụ thể chơng tiết để kiểm tra nắm vững kiến thức học sinh
4) Cần cho học sinh phân tích đợc hay cách trờng hợp cụ thể ta nên áp dụng cách để đơn giản áp dụng để giải câu liên quan tốn khơng có câu mà cịn có câu liên quan
(17)quát hố đắn phải bồi dỡng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm cách giải vấn đề trờng hợp
6)Việc tìm nhiều lời giải cho tốn vấn đề khơng đơn giản địi hỏi học sinh phải có lực t logic, kiến thức tổng hợp Khơng phải tốn tìm nhiều lời giải Mà thơng qua tốn với nhiều lời giải nhằm cho học sinh nắm sâu kiến thức vận dụng kiến thức thành thạo để giải tốn khác
PhÇn iii: KÕt ln
HiƯu phơng pháp dạy toán, dạy giải toán theo yêu cầu phơng pháp tìm tòi giải toán thể mặt dới đây:
- Học sinh có khả hiểu đợc thấu đáo, sâu sắc vấn đề lý thuyết, tập hệ thống kiến thức lý thuyết nh tốn
- Có khả đáp ứng đợc yêu cầu đối tợng lớp học, với học sinh yếu trung bình phơng pháp giảng dậy làm cho họ khơng khó khăn việc nắm đợc giảng, họ không bị “tra tấn” liên tiếp điều không hiểu phải thừa nhận (khơng đợc giải thích) Với học sinh giỏi phơng pháp có khả mở mang trí tuệ cho họ nâng cao dần khả t Bằng phơng pháp không sảy tình trạng học sinh yếu chán nản bi quan khơng hiểu, cịn học sinh giỏi khơng có làm
- Xét mặt tâm lý: Học sinh hiểu đợc nguồn gốc vấn đề, ngời học sinh ngày có niềm tin vào việc học mình, nhiệt tình học tập học sinh ngày nâng cao, dẫn đeén học hăng say đối cới việc học
(18)đủ vốn kiến thức mà khơng có phơng pháp suy luận tốt vốn kiến thức khơng phát huy phát triển đợc
- Xét phơng pháp t duy: Việc hớng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tốn nhằm hớng dẫn cho học sinh phơng pháp t phải phù hợp với quy luật hành động, phải tuân theo quy luật, phải biết dựa vào quy luật để định hớng giải, tránh đợc sai lầm đáng tiệc không nắm vững quy luật
Giảng dạy áp dụng sáng kiến mang lại hiệu việc bồi dỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hớng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần góp ý giáo viên Từ mang lại kết bất ngờ từ việc giải toán thơng qua phơng pháp sáng tạo tìm lời giải tốn cho học sinh
Chính giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp em làm đợc sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó
Để làm đợc nh giáo viên cần tìm tịi tham khảo nhiều tài liệu để tìm cách giải toán hay, với nhiều cách giải khác để tung cho học sinh làm, phát cách giải hay
Thông qua phơng pháp giáo dục cho em lực t độc lập, rèn t sáng tạo tính tự giác học tập, phơng pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt
Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân việc hớng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tốn Rất mong bạn bè, thầy giáo góp ý để tơi có nhiều kinh nghiệm tốt
T«i xin chân thành cảm ơn !
Tân Yên, ngày tháng năm 2009 Ngời viết