Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm.[r]
(1)Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số Bài toán : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số
Ph
ơng pháp : Xét trờng hợp hƯ sè a : - NÕu a = th× tìm nghiệm phơng trình bậc - Nếu a 0 tiến hành bớc sau:
+ TÝnh biÖt sè Δ(Δ' ) .
+ XÐt trờng hợp ('
) ( NÕu Δ(Δ') chøa tham sè ). + T×m nghiệm phơng trình theo tham số.
Bài : Giải phơng trình bậc hai ( m tham sè ) sau : a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - = 0
b) x2 - 3mx + 2m2 - m - = 0 c) 3x2 - mx + m2 = 0
d) x2 - 2(m - 1)x + m - = 0 HDÉn : a/ Δ' = ; x ❑
1 = 3m + , x2 = 3m - 4
b/ Δ = (m + 2)2 : + m -2 : x ❑
1 = 2m + , x2 = m - 1
+ m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp) c/ Δ = -11m2 : + m = : x = ( nghiÖm kÐp)
+ m 0 : PT v« nghiƯm. d/ Δ' = m2 - 3m + = (m -
2 )2 +
4 > :+ x ❑1 = m - +
√(m −3
2)
2
+7
+ x2 = m - - √(m −3
2)
2
+7 Bài : Giải phơng trình (m tham sè) :
(m - 1)x2 - 2mx + m + = 0
HDÉn : * m =1 : x = * m 1 : Δ' = - m
+ m > : V« nghiƯm.
+ m = : x = (nghiÖm kÐp ) + m < : x1=m+√2 −m
m−1 ; x2=
m−√2 −m
m −1
Bµi : Giải phơng trình (m tham số) : (m - 1)x2 + 3mx + 2m + = 0
HDÉn : + m = 1 : x =-1
+ m 1 :x ❑1 =-1 ; x ❑2 = − c
a =
2 m+1 1− m
*1* Chuyên đề PTB2 cha tham s
Bài : Giải phơng trình (m lµ tham sè) : x2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
HDÉn : Δ' =m2 - 9 NÕu : -3<m<3 : V« nghiƯm
NÕu
m=−3 ¿ m=3
¿ ¿ ¿ ¿
th×
x=−2 ¿ x =4
¿ ¿ ¿ ¿
(2)NÕu
m<−3 ¿ m>3
¿ ¿ ¿ ¿
th× x1,2=m+1±√m2− 9
Bài : Giải phơng trình (m tham số) :
(4m2 + 4m + 1)x2 - 2m(2m + 1)x + m2 = 0 HDÉn : m =-
2 v« nghiƯm. m -
2 , Δ' =0 : x =
m
2 m+1 (nghiÖm kÐp)
Bài tốn : T ìm giá trị tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm,vơ nghiệm.
Ph
ơng pháp : Điều kiện để phơng trình bậc có :
- NghiƯm kÐp
¿ a ≠ 0 Δ(Δ')=0
¿{
¿
- Hai nghiƯm ph©n biƯt
¿ a ≠0 Δ( Δ ')>0
¿{
¿
- Cã nghiÖm :+XÐt a= (NÕu a chøa tham sè )
+XÐt
¿ a ≠ 0 Δ( Δ ') ≥0
¿{
¿
- V« nghiƯm : + XÐt a= 0
+ XÐt
¿ a ≠0 Δ( Δ ')<0
¿{
¿
Bài : Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt :
a) 2x2 - 4x + m = 0 (m < 2)
b) 5mx2 - 4x - 3m = 0 (m 0 )
c) mx2 - 3x + m = 0
(- 2<m<
3
2 , m ) Bài : Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm kép :
a) 3x2 - 2mx + = 0 (m =
±√3 ) b) 4mx2 - 6x - m - = 0
(m = - )
c) (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + = 0 (m = m = -1) Bài : Tìm giá trị m để phơng trình sau vô nghiệm :
a) 3x2 + 2mx + = 0
(-2 √3 <m< 2 √3 )
*2* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
b) x2 - (2m + 3)x + m2 = 0
(m <- )
(3)Bài : Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm : a) mx2 - 2(m + 1)x + m + = 0
b) (m2 - m)x2 + 2mx + = 0
HDÉn : a/ + m = 0 : x =
+ m 0 : m 1
b/ + m = : V« nghiƯm.
+ m = 1 : x =-
2
+ m , m : Δ' ≥ 0 ⇔ m > 0
Bài 10 : Cho phơng trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - = Tìm giá trị m để phơng trình :
a) Cã nghiƯm kép b) Có nghiệm phân biệt c) Vô nghiÖm
HDÉn : a/
¿ m≠ 0 Δ'=0
¿{
¿
⇔ m=4
¿
m=9
5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
b/
¿ m≠ 0 Δ'>0
¿{
¿
⇔ m>4
¿ m<9
5, m≠ 0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
c/ + m = 0 : Cã nghiÖm. + m : Δ'<0⇔9
5<m<4 Bµi 11 :
a) Tìm giá trị nguyên dơng k để phơng trình :
x2 - 4x + k = có nghiệm phân biệt. ( k = 1; 2; ) b) Tìm giá trị nguyên âm m để phơng trình :
2x2 - 6x + m + = cã nghiƯm ph©n biƯt ( m = -3; - 4; - 5; ) Bài 12 : Cho phơng trình (m tham sè) :
(2m - 7)x2 + 2(2m + 5)x - 14m + = 0
Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép
HDÉn :
¿
2 m− ≠0
Δ'=2 m2−5 m+2
¿{
¿
⇔ m=2
¿
m=1
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(4)*3* Chuyên đề PTB2 chứa tham số + Với m =
1
¿❑
❑
: x = 1
Bài 13 : Cho phơng trình (m tham số) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0 Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm phân biệt
HDÉn :
m+3 ≠ 0 Δ=− (m− 1)[(m+19
8 )
2
+551 64 ]>0⇔
¿m≠ − 3 m<1
¿ no
¿
{
¿
Bài tốn : Tìm giá trị tham số để ph ơng trình bậc nhận số k (k R) cho tr ớc lm nghim
Ph
ơng pháp :
- Thay giá trị x = k vào phơng tr×nh t×m tham sè.
- Thay giá trị tham số vừa tìm đợc vào x1+x2 x1 x2 để tìm nghiệm cịn lại
(nÕu cÇn).
Bài 14 : Xác định giá trị tham số m để phơng trình :
a) (3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - = nhËn lµm nghiƯm ( m = - 36 13 )
b) (m2 + 1)x2 + (3m - 4)x + m - 11 = nhËn - lµm nghiƯm (
m=1 ¿
m=1
4
¿ ¿ ¿ ¿
)
Bài 15 : Tìm giá trị m để phơng trình :
a) mx2 - 3x - = có nghiệm -1 ( m = ) b) x2 - 2(m - 1)x + m - = có nghiệm ( m = ) Bài 16 : Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm 1.Tìm nghiệm cịn lại :
a) 2x2 - 3x + m = ( m = , x
2=
1 ) b) 3x2 + 7x + m = ( m = -10 , x
2=−
10 ) Bài 17 : Với giá trị k phơng trình :
a) 2x2 + kx - 10 = cã mét nghiƯm b»ng 5.T×m nghiƯm lại b) k 2x2 - 15x - = có nghiệm 7.Tìm nghiệm lại c) (k - 4)x2 - 2kx + k - = cã mét nghiÖm b»ng
3 Tìm nghiệm lại HDẫn : a/ k = , x ❑2 = - 1
b/ k = ±4√7
7 , x ❑2=−
(5)*4* Chuyên đề PTB2 chứa tham số c/ k = 7 (2+√3) , x ❑2=14+9√3
47 Bµi 18 : Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 4mx + = (1)
Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m
HDÉn :+
2 m−1 ≠ 0 2 m−2¿2≥ 0
¿ ¿
¿{
Δ'=¿
⇔ m ≠1
2
¿
2 m−2¿2≥ 0 ¿ ¿
ta cã : x1=2 ; x2= 2 m 1
Phơng trình có nghiệm m
m=2 ¿
m=
2 m−1
¿ ¿ ¿ ¿
4 17
m m
+ m =
2 phơng trình (1) có nghiệm x = 2 2⇒m=
1
2 không thoả mãn. Bài 19 : Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất c cỏc s nguyờn m
phơng trình (1) cã nghiƯm nguyªn HDÉn : * m = : -2x + = ⇔ x=1
* m : m - + (-2m) +m +1 = ⇒ x1=1 ; x2=
m+1
m−1=1+
2
m− 1
⇒m− 1=± 1;± ⇒m∈{−1 ;0 ;2;3}
Bài 20 : Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phơng trình có nghiệm -2
HDÉn :
¿
6 m− n=6 4 m+3 n=14
¿{
¿
⇔ m=2
n=2
¿{
Bài 21 : Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x + n = 0
HDÉn :
¿ m≠ 0 Δ=0 m
4 +(mn +1) 2+n=0
¿{ {
¿
⇔ m=−2
n=−1
2
¿{
(6)*5* Chuyên đề PTB2 chứa tham số HDẫn : * Δ = m2 - 4n ≥ 0 ⇔|m|≥ n
*
x1+x2=m+n=−m
x1 x2=m n=n
⇔ ¿ m=0
n=0 ¿ ⇒ PT: x2
=0
¿ ¿ m=1
n=2
Bài toán : Chứng minh ph ơng trình bậc có nghiệm Ph
ơng pháp :
- C¸ch : Chøng minh Δ( Δ ') ≥0 - C¸ch : Chøng minh ac < 0
( Chú ý : Cả cách phải xét trờng hợp a = a a chứa tham số ) Bài 23 : CMR phơng trình sau có nghiệm với giá trị m :
a) x2 + (m + 1)x + m = d) x2 + 4x - m2 + 4m - = b) x2 - mx + m - = e) (m + 1)x2 + x - m = c) -3x2 + 2(m - 2)x + 2m + = f) x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) =
( dïng ac < )
Bài 24 : CMR phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0 ) cã nghiÖm, biÕt r»ng 5a + 2c = b HDÉn : Δ = b2 - 4ac = (5a + 2c)2 - 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2 0
Bài 25 : Cho phơng tr×nh mx2 - (2m - 1)x + m = (1) Gäi x
1, x2 lµ nghiƯm phơng trình (1) Chứng minh x21
+x22=2 phơng trình (1) có nghiệm kép HDẫn :+ x21
+x22=2 x1+x2¿
− x1x2=2⇔ m=1
⇔¿
+
¿ m≠ 0 Δ'=1− 2m=0
¿{
¿
⇔m=1
2 ⇒ kÕt luËn ?
Bµi 26 : CMR phơng trình sau có nghiệm với a, b, c : a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = (Víi a + b + c 0) HDÉn : a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0
Δ =(a - b )2+
3 b2
4 ≥ 0
b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0
Δ=a2+b2+c2− ab− bc −ca=1
2[( a− b)
2
(7)Δ = a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2bc - ab2c - abc2
*6* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
=
2{[a(b − c )]
2
+[b (c − a)]2+[c (a −b )]2}≥ Bµi 27 : Cho phơng trình (a, b tham số ) :
ax2 + (ab + 1)x + b = 0
a) Chứng minh phơng trình có nghiƯm
b) Tìm giá trị a, b để phơng trình có nghiệm kép HDẫn : a) a = : x = b
a 0 : Δ = (ab-1)2 0
b)
¿
ab −1=0
−ab+1
2 a =
¿{
¿
⇔
¿ a=− 2
b=−1
2
¿{
¿
Bµi 28 : CMR : Nếu phơng trình cx2 + bx + a = (1) cã nghiÖm phơng trình ax2 + bx + c = (2) cịng cã nghiƯm HDÉn : Δ2 = b2- 4ac = Δ1≥ 0
Bµi 29 : CMR phơng trình sau có nghiệm với a b : x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0 HDÉn : Δ = (3a + b)2+ 8b
❑2≥ 0
Bài toán : Chứng minh ph ơng trình cho có nghiệm Ph
¬ng ph¸p :
- TÝnh c¸c biƯt sè Δ1; Δ2 .
- Chứng minh Δ1+Δ2≥0 Δ1 Δ2≤ 0 để suy biệt s khụng õm (Chỳ ý
kết hợp giả thiết có)
Bài 30 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + = (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt phơng trình có nghiệm
HDẫn : Δ1+Δ2=¿ 26 > ⇒ cã biệt số không âm
Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1) vµ ax2 + bx - c = (2) CMR víi mäi a, b, c Ýt phơng trình có nghiệm
HDẫn : Δ1+Δ2=¿ b2≥ 0 ⇒ cã biệt số không âm
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 1)x + m2 = (1) vµ x2 + 2mx - m = (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt phơng trình có nghiệm
HDÉn : Δ1+Δ2=¿ (m + 1)2 0 ⇒ có biệt số không âm
*7* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bµi 33 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x - a - = (1) vµ x2 + ax + = (2)
CMR víi mäi a phơng trình có phơng trình có hai nghiệm phân biệt
(8)Bài 34 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x + m
4 = (1) vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR với m, phơng trình trªn cã nghiƯm HDÉn : Δ1=(m−1)(m− 4) ; Δ2=16(1 −m)(m− 4)
m− 4¿2≤ 0 m −1¿2¿ Δ1 2=16
có biệt số không âm
Bài 35 : Cho b, c sè tho¶ m·n :
b+
1
c=2 Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai
ph-ơng
trình sau có nghiệm : x2 + 2bx + c = vµ x2 + 2cx + b = HDÉn : b − c¿
2≥ 0
Δ'1+Δ'2=b2−(b+c )+c2=¿ ⇒ cã biệt số không âm
Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + ax + b = (1) vµ x2 + cx + d = (2) BiÕt b + d =
2ac Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm HDẫn : Δ1+Δ2=¿ (a - c)2 ⇒ có biệt số không âm
Bài 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + a
1x+b1=0 x2 + a2x+b2=0 có hệ số thoả
mÃn điều kiện : a1a22(b1+b2) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai ph¬ng trình có nghiệm
HDẫn : Giả sử phơng trình vô nghiệm :
1+2= a12+a
22− 4(b
1+b2) < 0 ⇔ a12+a 22
<4(b1+b2)
⇔ a1−a2¿2<4(b1+b2)− a1a2
¿
⇔ a1−a2¿
<4(b1+b2)− a1a2
a1a2<2(b1+b2) ( mâu thuẫn với giả
thiÕt)
bài tốn 6:Tìm giá trị tham số để ph ơng trình có nghiệm chung Ph
ơng pháp :
* Cách :
- Giả sử x0 nghiệm chung, lập hệ phơng trình ( ẩn x tham số )
- Giải hệ phơng trình tìm x0 , tìm tham số
- Thử lại : Thay giá trị tham số vào phơng trình, giải phơng trình, tìm nghiệm chung.
- Rót kÕt luËn
* Cách 2 : - Rút tham số từ phơng trình cho
*8* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
- Thế giá trị tham số vào phơng trình lại tìm x - Thay giá trị x tìm m
- Rót kÕt ln
Bµi 38 : Với giá trị k hai phơng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung : x2 - (k + 4)x + k + = 0
(9)Bài 39 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung. x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + = 0
HDÉn : (m -2)x ❑0 = m - : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( v«
nghiÖm)
+ m 2 : x ❑0 = ; m = -3
Bài 40 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung. x2 + (m - 2)x + = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDÉn : (m - 4)x ❑0 = m - : + m = : hai phơng trình cã d¹ng : x2 + 2x +3 = ( v«
nghiƯm)
+ m 4 : x ❑0 = ; m = -2
Bài 41 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung. 2x2 + (3m - 5)x - = (1)
6x2 + (7m - 15)x - 19 = (2) HDÉn :
* C¸ch : m x ❑0 = : + m = : hai phơng trình kh«ng cã nghiƯm chung. + m 0 : x ❑0 =
m ; m = hc m =
8 * C¸ch : (1) ⇔ m = 9− x
2
+5 x
3 x (x 0¿ thay vµo (2) : 4x2 - 10x + = ta cã x ❑
1 = ; x ❑2 =
2
x ❑1 = ⇒ m = ( nghiƯm chung lµ 1)
x ❑2 =
2 ⇒ m =
3 ( nghiƯm chung lµ
2 )
Bài 42 : Với giá trị m phơng trình sau có nghiệm chung. 2x2 - (3m + 2)x + 12 = (1)
4x2 - (9m - 2)x + 36 = (2) HDÉn : (1) ⇔ m = 2 x
2
− x +12
3 x (x 0¿ thay vµo (2) :
*9* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
x2 - 4x = ta cã x ❑
1 = (lo¹i) ; x ❑2 = 4
x = ⇒ m = ( nghiệm chung 4) Bài 43 : Tìm giá trị m để phơng trình :
x2 + x + m - = (1)
x2 + (m - 2)x + = (2) cã nghiÖm chung. HDÉn : (2) ⇔ m = 2 x − x
2−8
x (x 0¿ thay vµo (1) :
x3 - = ⇔ x = ⇒ m = - (nghiệm chung 2) Bài 44: Tìm giá trị nguyên a để phơng trình sau có nghiệm chung.
2x2 + (3a - 1)x - = (1) 6x2 - (2a - 3)x - = (2) HDÉn : (11a - 6)x ❑0 = : + a =
(10)+ a
11 ⇒ x0=
8
11a − 6 : (1) ⇔99 a2
−164 a −68=0 ta cã : a ❑1=2 ; a ❑2=34
99 (lo¹i)
a = nghiƯm chung lµ
Bài toán : Khi ph ơng trình bậc hai có nghiệm , hÃy tìm hệ thức liên hƯ gi÷a nghiƯm x ❑1 x 2 không phụ thuộc vào tham số m
Ph
ơng pháp :
- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm :
¿ a ≠ 0 Δ(Δ')≥0
¿{
¿
- TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x ❑1 vµ x ❑2 . - TÝnh m theo S, P.
- Khư m t×m hƯ thøc chØ cßn S, P Thay S = x ❑1 + x ❑2 , P = x ❑1 x 2
Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mµ hệ thức không phụ thuộc vào m.
HDẫn : Δ = (m -1)2+ 28 0
m = S - vµ m = P+5
2 ta cã hÖ thøc : 2(x 1+x2 x1x2=11
Bài 46: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m - = Không giải phơng trình, hÃy tìm biểu thức liên hệ nghiệm không phơ thc vµo m.
HDÉn : Δ = (m -
2 ) + 19
4
*10* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
m = S − 2
2 vµ m = P + ta cã hÖ thøc : x ❑1+x2− x1x2−10=0
Bài 47 : Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x 1 x 2 không phụ thuéc vµo m
HDÉn :
Δ'=m2−2 ≥ 0⇔
m≤ −√2
¿ m≥√2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
m = S − 2
2 vµ m =
P −3
2 ta cã hÖ thøc : x1x2−(x1+x2)− 1=0
Bài 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x 1 x 2 không phụ thuộc vào m
HDẫn : Δ'
=−m2+10 m≥ 0⇔0 ≤ m≤ 10 vµ m m = 2 S+4
S −2 vµ m =
2 P −2
(11)Bµi 49 : Cho phơng trình : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x 1 x 2 không phụ thuộc vào tham sè m
HDÉn :
¿
Δ'=−9 m2+9 m+18≥ 2 m− 1≠ 0
¿{
¿
⇔ −1 ≤ m≤ 2
m≠1
2
¿{
m = S+8
2 S −2 vµ m =
p+2
2 P −5 ta cã hÖ thøc : ( x ❑1+x2¿− x1x2+4=0 Bµi 50 : Trong phơng trình sau, giả sử chúng có nghiệm x 1 và x 2 HÃy tìm hệ thức liên
hệ nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số k a) (k - 1)x2 - 2kx + k - = (k 1)
b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + = (k -3) c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = (k 0) HDÉn : a/ Δ'=5 k − ≥0⇔ k ≥4
5 k = S
S − 2 vµ k =
P − 4
P −1 ta cã hÖ thøc : ( x
❑1+x2¿+2 x1x2−8=0
b/
Δ=13 k2+56 k +60 ≥ 0⇔
−3 ≠ k ≤ −30
13
¿ k ≥ −2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
k = 12− S
S −3 vµ k =
7 − P
P+1 ta cã hÖ thøc : 10 (x
❑1+x2¿− x1x2−33=0
*11* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
c/ Δ'=6 k +1 ≥0⇔ ≠ k≥ −1
6 k =
S − 2 vµ k =
4
1 − P ta cã hÖ thøc : x1x2+2(x1+x2)5=0 Bài 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + = Khi phơng trình có hai nghiệm
x1, x2 h·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm
HDÉn : +
¿ m+1≠ 0
Δ≥ 0 ⇔
¿m≠ −1
m≤
24
¿{
(12)+ 5 x1x2+x1+x2−7=0⇔ x2= 7 x1 5 x1+1
(hoặc ngợc lại) Bài 52 : Cho phơng trình :
x −1+
1
x −3 = m Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm
hÃy biĨu diƠn nghiƯm nµy theo nghiƯm
HDÉn : mx2- (4m + 2)x + 3m + = (x 1 ; x 3 )
+
¿ m≠ 0 Δ=4 m2+4>0
¿{
¿
+ 2 x1+2 x2− x1x2− 5=0⇔ x2=
5 − x1 2 − x1
Bài tốn : Tìm giá trị tham số để ph ơng trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thoả mãn
một đẳng thức liờn h gia nghim. Ph
ơng pháp :
- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm :
¿ a ≠ 0 Δ(Δ')≥0
¿{
¿
- Tính tổng S, tích P hai nghiệm x ❑1 x ❑2 . - Kết hợp đẳng thức giả thiết lập hệ phơng trình gồm phơng trình. - Giải hệ phơng trỡnh tỡm tham s.
- Đối chiếu điều kiện, thư l¹i, rót kÕt ln.
Bài 53 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn : x1=3 x2
HDÉn : * Δ'=4 −3 m≥ 0⇔ m≤4
3 *m = (t/m)
Bài 54 : Xác định giá trị tham số k cho hai nghiệm x1, x2 phơng trình
x2 - 6x + k = thoả mÃn điều kiện : 3 x
1+2 x2=20
HDÉn : * Δ'=9 − k ≥ 0⇔ k ≤9 *k = -16 (t/m)
Bài 55 : Cho phơng trình : x2 - (m + 5)x - m + = Xác định m để hai nghiệm x
1, x2 ta
*12* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
cã hÖ thøc : 2 x1+3 x2=13
HDÉn : *
Δ=m2+14 m+1≥ 0⇔ m≤ −7 − 4√3
¿ m ≥−7 +4√3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
m=0 ¿ m=1
¿ ¿ ¿ ¿
(t/m)
Bài 56 : Cho phơng trình : x2 + 2x + 3k = Gäi x
1, x2 hai nghiệm phơng trình, không
(13)HDẫn : * Δ'=1 −3 k ≥ 0⇔k ≤1
3 *k = -16 (t/m)
Bài 57 : Cho phơng trình : 3x2 - mx + = Xác định m để hai nghiệm x
1, x2 ta cã
hÖ thøc : 3 x1 x2=2 x1− 2
HDÉn : *
Δ=m2− 24 ≥ 0⇔
m≤− 2√6
¿ m≥ 2√6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* m = (t/m)
Bài 58 : Cho phơng trình : (m + 3)x2 - 3mx + 2m = Xác định m để hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : 2 x1− x2=3
HDÉn : *
m+3≠ 0 Δ=m2− 24 m≥ 0
⇔
¿m≠ 3
m≤ 0 ¿ m ≥24
¿ ¿ ¿ ¿
{
¿ ¿
* m = -1 (t/m)
Bµi 59 : Gäi x1 x2 nghiệm phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị k để nghiệm phơng trình (1) thoả mãn : 3 x1−5 x2=6
HDÉn : * 3 k +4¿
2
≥0⇔ k ≠−4
3
Δ=¿
*
k=0 ¿
k =−32
15
¿ ¿ ¿ ¿
(t/m)
Bài 60 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : 3 x1x2−5 (x1+x2)+7=0
HDÉn : * Δ=4 m−7 ≥ 0⇔ m≥7
4 *
m=2 ¿
m=4
3
¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m =
(14)có nghiệm x1, x2 thoả mÃn : x1+x2=x1x2
*13* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
HDÉn : *
Δ=5 m2−12 m+4 ≥0⇔
m ≤2
5
¿ m≥ 2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
m=1 ¿ m=2
¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m = 1
Bài 62 : Cho phơng trình bậc hai : (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = Xác định k để hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : (4 x1+1).(4 x2+1)=18
HDÉn : * Δ'=6 k +7 ≥ 0⇔ k ≥ −7
6 * k = (t/m)
Bµi 63 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn :
x1 x2
+x2
x1
=−10 HDÉn : * Δ=1− m>0⇔m<1 * 4 −2 m
m =−
10
3 (m ) ⇔m=− 3 (t/m) Bài 64 : Cho phơng trình : x2 - 2(m- 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : x1
1
+
x2
=x1+x2
HDÉn : * Δ'=7 −6 m>0⇔ m<7
6 *
m=2 ¿ m=− 4
¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m = 2
Bài 65 : Tìm giá trị m để phơng trình : x2 - 3mx + m2 = có nghiệm x
1, x2 tho¶ m·n : x21
+x22=1 , 75 HDÉn : * Δ=5 m2
≥ 0 * m=±1
2 (t/m)
Bài 66 : Xác định m để hai nghiệm x1, x2 phơng trình : x2 + 3x + m = thoả mãn
®iỊu kiƯn : x21
+x22=34 HDÉn : * Δ=9 − m≥ 0⇔ m≤9
4 * m = − 25
2 (t/m)
Bài 67 : Tìm m để phơng trình : x2 - 5x + 3m - = có hai nghiệm x
1, x2 thoả mÃn điều
kiện : x21
+x22=17
HDÉn : * Δ=29 −12 m≥ 0⇔m ≤29
12 * m =
5
(15)Bài 68 : Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình : mx2 - 2(m - 2)x + m - =
tho¶ m·n : x21
+x22=1
*14* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
HDÉn : *
¿ m≠ 0 Δ'=4 −m ≥0
⇔ 0≠ m ≤ 4
¿{
¿
*
m=2 ¿ m=8
¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m = 8
Bài 69 : Xác định m để phơng trình : mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = có tổng bình phơng nghiệm 13
HDÉn : *
¿ m≠ 0
Δ=41 m2+136 m+144 ≥0∀ m
¿{
¿
*
m=4 ¿ m=1,8
¿ ¿ ¿
(t/m)
Bài 70 : Cho phơng trình bËc hai : x2 - 2(k - 2)x - 2k - = ( k lµ tham sè) Gäi x
1, x2 hai nghiệm phơng trình, tìm giá trị k cho : x21
+x22=18
HDÉn : * k −1¿2+8>0
Δ'=¿ *
k =1 ¿ k =2
¿ ¿ ¿ ¿
(t/m)
Bài 71 : Xác định m cho phơng trình : 3x2 + mx - = có nghiệm x
1, x2 tho¶ m·n : x21
+x22 =13
9 HDÉn : * Δ=m2
+24>0 * m = ±1 (t/m)
Bài 72 : Cho phơng trình bậc hai : (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = Xác định m để hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : x21+x22=4
HDÉn : *
¿
2 m− 1≠ 0
Δ'=−5 m2+m+1 ≥ 0
⇔
¿m ≠1
2 1 −√21
10 ≤ m≤
1+√21 10
¿{
(16)*
m=0 ¿
m=7
12
¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m = 12
Bài 73 : Cho phơng trình : x2 + 2x + 3k = Gäi x
1, x2 hai nghiệm phơng trình, khơng giải phơng trình tìm giá trị k để :
a) x21
+x22=10 b) x21− x22=20 HDÉn : * Δ'=1 −3 k ≥ 0⇔k ≤1
3 * a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - (t/m) Bài 74 : Cho phơng trình : x2 + (m - 3)x - 2m + = Xác định m để hai nghiệm x1, x2 ta có hệ thức : x21+x22+6 x1x2=0
HDÉn : * m+1¿
2
+4>0
Δ=¿ * m2 - 14m + 13 = ⇔ m=1
¿ m=13
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(t/m)
*15* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 75 : Tìm giá trị m để phơng trình : x2 - 2mx + = có hai nghiệm x
1, x2 tho¶
m·n : x31
+x32=2
HDÉn : *
Δ'=m2− 1≥ 0⇔
m ≥1 ¿ m ≤−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
8 m3− m=2⇔(m− 1) (2 m+1)2
=0⇔ m=1
¿
m=−1
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
lo¹i m = -
Bài 76 : Cho phơng trình : x2 - 4x + m = Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2
tho¶ m·n : x31
+x32=26
HDÉn : * Δ'=4 −m ≥0⇔ m≤ 4 * m = 6
(17)Tìm m n để hai nghiệm x1, x2 phơng trình (1) thoả mãn hệ thức
¿ x1− x2=1
x12− x
22=7
¿{
¿
HDÉn : * Δ = m2 – 4n + 12 0
*
¿ x1− x2=1
x12− x22=7
¿{
¿
⇔ x1=4
x2=3
¿{
thay vµo (1) :
¿
4 m+n=−13 3 m+n=−6
⇔
¿m=− 7
n=15
¿{
¿
( t/m)
Bài 78 : Cho phơng trình : x2 + mx + n = T×m m, n biết phơng trình có hai nghiệm x
1,
x2 tho¶ m·n
¿ x1− x2=1
x13− x
23=7
¿{
¿
HDÉn : * Δ = m2 – 4n 0 *
¿ x1− x2=1
x13− x23=7
¿{
¿
⇔
¿x1=−1
x2=− 2
(1)
¿ ¿ x1=2
¿ ¿ x2=1
¿
(2)
¿ ¿
+ Tõ (1):
m− n=1 ¿
2 m−n
⇔
¿m=3
n=2
(t /m)
¿
¿{
¿ ¿¿
¿
; + Tõ (2):
¿
2 m+n=− 4
m+n=−1 ⇔
¿m=− 3
n=2
(t /m)
¿{
¿
Bài 79 : Xác định hệ số p q để hai nghiệm x1, x2 phơng trình: x2 +px + q =
thoả mÃn điều kiện
x1− x2=5
x13− x
23=35
¿{
(18)HDÉn : * Δ = p2 – 4q 0 *
p2− q=25
15 q=−90
⇔ ¿ p=1 q=− 6
¿
(t/m)
¿ ¿ p=− 1
¿ q=− 6
¿ ¿ ¿
*16* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bµi 80: Cho phơng trình x22 (m+2) x +m+1=0 Gọi x
1, x2 hai nghiệm phơng
trình Tìm giá trị m để x1(1 −2 x2)+x2(1− x1)=m
HDÉn : * Δ' =
(m+3
2)
2
+3 4>0
* x1(1 −2 x2)+x2(1− x1)=m
⇔ x1+x2− x1x2=m2⇔m(m+2)=0 ⇔
m=0 ¿ m=−2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bµi 81: Cho phơng trình x22 (m 3) x+2 m −7=0 (1)
Gọi hai nghiệm phơng trình (1) x1, x2 tìm m để
1
x1+1+
x2+1=m HDÉn : * Δ = (m − )2≥ 0
* x1
1+1
+
x2+1=m ⇔2 m
2
−7 m+2=0⇔m= 33
4
Bài 82: Giải phơng trình x2 mx+6=0 Biết hai nghiệm x1và x2thoả mÃn hÖ thøc:
9 x1x22+3 x13+9 x12x2+3 x23=1029 (*)
HDÉn : * Δ = m2 - 0
⇔
m≤ −2√6
¿ m≥ 2√6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
¿
x1+x2=m x1x2=6
¿{
¿
(*) ⇔9 x1x2(x1+x2)+3[(x1+x2)
−3 x1x2(x1+x2)]=1029
⇔(x1+x2)3=343 ⇔ x1+x2=7⇔m=7 (t /m)
Phơng trình: x2 - 7x + = cã x
1= 1; x2= 6
(19)HDÉn : * Δ = 1>0 * x1= m , x2= m + ⇒ x1 < x2
Do đó:
¿ x1>−2
x2<4
⇔ ¿m>− 2
m<3 ⇔− 2<m<3
{
Bài 84: Tìm giá trị tham số a cho phơng trình: x2 + 2ax + = (1) cã c¸c nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều kiện (
x1
x2)
2
+(x2
x1)
2
≥3
HDÉn : * Δ' = a2 - 0
⇔ a ≤ −2
¿ a ≥ 2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* (x1
x2)
2
+(x2
x1)
2
=(x1
x2+ x2
x1)
2
−2 ≥3 ⇔[(x1+x2)
−2 x1x2
x1x2 ]
2
≥ 5
*17* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
⇔ a2− 8
4 ≥√5 ( v×
a ≤ −2 ¿ a ≥ 2
¿ ¿ ¿ ¿
nªn 4a2 - > )
⇔ a2
≥ 2+√5⇔|a|≥√2+√5 (t /m)
Bài 85: Tìm tất giá trị tham số a để nghiệm x1, x2 của phơng trình:
x2 + ax + = tho¶ m·n
(x1
x2)
2
+(x2
x1)
2
>7
HDÉn : * Δ' = a2 - 0
⇔ a ≤ −2
¿ a ≥ 2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* (x1
x2)
2
+(x2
x1)
2
=(x1
x2+ x2
x1)
2
−2>7 ⇔[(x1+x2)
−2 x1x2 x1x2 ]
2
(20)⇔ a2
− 2>√9=3 ( v×
a ≤ −2 ¿ a ≥ 2
¿ ¿ ¿ ¿
nªn a2 - > )
⇔ a2
>5⇔|a|>√5 (t /m) Bµi 86:
a) Cho hai phơng trình a2x2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a2 = (2) (Với a>c>0) Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2; phơng trình (2) có hai nghiệm x1', x2'
Chøng minh r»ng: x1x2 + x1' x2'
b) Cho phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0 ) (1) vµ cx2 + dx + a = ( c 0 ) (2) Biết phơng trình (1) có nghiệm m n, phơng trình (2) có nghiƯm lµ p vµ q Chøng minh r»ng m2 + n2 + p2 + q2 4 .
HDÉn :
a) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: b2- 4a2c 0
- Ta cã x1x2 + x1' x2' √ c
a2 a2
c =2
b) m2+n2≥ 2|mn|=2|c
a| ; p
2
+q2≥2|pq|=2|a
c|
⇒m2
+n2+p2+q2≥ 2(|c
a|+| a
c|)≥ 2=4
Bµi 87: Cho phơng trình ax2
+bx +c=0 (1) có nghiƯm d¬ng x1, x2
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx2
+bx +a=0 (2) cịng cã nghiƯm d¬ng
x3, x4
b) Chøng minh r»ng S = x1+x2+x3+x4 4
HDẫn :
a)Phơng trình (2) có nghiệm dơng khi:
*18* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
¿ Δ=b2− ac ≥ 0
x3+x4=−
b c>0 x3x4=a
c>0 ⇔ ¿c ≠ 0 b2− ac ≥ 0
bc<0 ac>0
¿{ {
¿
(I)
(21)¿ Δ=b2− ac≥ 0 x1+x2=−
b a>0 x1x2=c
a>0 ⇔ ¿c ≠ 0 b2− ac ≥ 0
ab<0 ac>0
¿{ {
¿
⇔ c ≠ 0 b2− ac ≥ 0
bc<0 ac>0
¿{ { {
(II)
- Tõ (I) vµ (II) ⇒ kÕt luËn ?
b) Cách 1: Nếu là nghiệm (1) th× aα2
+bα+c=0
Thay x=1
α vµo (2) ta cã: c(
1
α)
2
+b 1
α+a=c +bα +aα
2=0
⇒1
α là nghiệm (2) Do x1, x2 nghiệm (1) thì
x3=
1
x1, x4=
1
x2 lµ nghiƯm cđa (2)
VËy S = (x1+
1
x1)+(x2+
1
x2)≥ 2+2=4 ( Bất đẳng thức Côsi)
C¸ch 2: (x1+x2)+(x3+x4)≥ 2(√x1x2+√x3x4) = 2(√c
a+√ a
c)≥ 2√√ c a.√
a
c=2 1=4
Bài toán : So sánh nghiệm ph ơng trình bậc hai với số Ph
ơng pháp : Phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = ( a 0 ) 1) PTB2 cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P< ⇔ac<0
- Đặc biệt PTB2 có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm
d¬ng
⇔ Δ(Δ')>0
S< 0
¿{
hc
¿ P<0 S <0
¿{
¿
2) PTB2 cã nghiÖm cïng dÊu ⇔ Δ(Δ')≥0
P>0
¿{
a- PTB2 cã nghiƯm cïng ©m
⇔ Δ(Δ')≥0
P>0 S <0
¿{ {
b- PTB2 cã nghiƯm cïng d¬ng
⇔ Δ(Δ')≥0
P>0 S >0
¿{ {
(22)3) P TB2 có nghiệm số nghịch đảo
⇔ Δ(Δ')>0
P=1
¿{
4) P TB2 có nghiệm số đối ( 2nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối)
⇔ Δ(Δ')>0
S=0
¿{
hc
¿ P<0 S=0
¿{
¿
Bài 88: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) x2 - 2x + m = cã nghiÖm tr¸i dÊu ( m < 0) b) x2 - 2mx + (m - 1)2 = cã nghiÖm d¬ng (
2<m≠ 1 )
c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = cã nghiƯm ©m.
¿ m2+1>0
m>0 m<−1
{ {
không xảy ra.
Bài 89: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) x2 - 2(m + 1)x + m - = cã nghiƯm tr¸i dÊu ( m < 4) b) x2 - 2(m + 1)x + m2 = cã nghiƯm ph©n biƯt cïng d¬ng (-
2<m≠ 0 ) c) x2 - 2x + m = có nghiệm phân biệt số dơng. ( 0<m<1) Bài 90: Xác định điều kiện k để phơng trình:
a) (k −2) x2− kx+2(k − 5)=0 cã nghiƯm tr¸i dÊu ( 2<k < 5) b) (k −1) x2−2 (k −1) x +k=0 cã nghiƯm d¬ng (−1
3<k <0) c) (k −2) x2−2 (k +3) x +k −5=0 cã nghiƯm ©m
(131 ≤ k <2) Bài 91: Xác định điều kiện m để phơng trình:
a) (m− 5) x2−4 mx +m −2=0 cã nghiƯm tr¸i dÊu ( 2<m < 5) b) (2 m−1) x2− (3 m+4) x+m+3=0 cã nghiƯm tr¸i dÊu ( -3<m<
2 )
c) (m− 1) x2− mx+m+1=0 cã nghiƯm d¬ng
m<−1 ¿ m>1
¿ ¿ ¿ ¿
Bài 92: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) mx2−2 (m+1) x +m2=0 cã nghiƯm tr¸i dÊu. (0<m < 4)
b) x2 - 2(m + 1)x + m2 = cã nghiƯm ph©n biƯt cïng ©m
¿ m>−1
2
m≠ 0 m<− 1
{ {
¿ ¿
(23)*20* Chuyên đề PTB2 chứa tham số c) (m− 1) x2− x +3=0 có nghiệm phân biệt dấu (1<m<
3 ) Bµi 93: Cho phơng trình bậc hai mx2(5 m 2) x +6 m −5=0
1-Tìm m để phơng trình có nghiệm đối ( m = ) 2-Tìm m để phơng trình có nghiệm nghịch đảo (m=1) Bài 94: Tìm giá trị m để phơng trình:
a) 2x2 + mx + m - = có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
nghiƯm d¬ng ( 0<m < 3)
b) x2 - 2(m - 1)x + m - = có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt
i (m = 1)
Bài 95: Tìm giá trị m để phơng trình: a) x2
−(2 m+3) x+m2+3 m+2=0 có nghiệm đối ( m = -1,5) b) (m− 1) x2− (m−2) x − m−1=0 có nghiệm đối ( m = 2) Bài 96: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 3m + = Xác định điều kiện m để
nghiệm x1 x2 độ dài hai cạnh hình chữ nhật
−1
3<m≤ 0
¿
m≥ 1
¿ ¿ ¿ ¿
Bài 97: Xác định m để phơng trình x2 - (m + 1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt cho x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 5.
Δ>0 S>0 P>0 x12+x22=5
2
⇔
¿m<3−√8 ;m>3+√8 m>−1
m>0 m=6 ;m=− 4
⇔m=6
{ { { { { {
¿
Bài 98: Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai (m− 2) x2− (m−1) x+m=0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền
(24)*
¿ m≠ 2 Δ'≥ 0 P>0 S >0 ⇔ ¿{ { {
¿ ¿
*
x12 +
x22
=
(√25)
2⇔m=4(t /m)
x1 = 1; x2 =
Bài 99: Tìm giá trị m để phơng trình x2
− mx+m2− m−3=0 (m>0) có hai nghiệm x1, x2 tơng ứng độ dài hai cạnh AB, AC Δ ABC vuông A BC =
*21* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài tốn 10 : Tìm giá trị tham số để hai ph ơng trình bậc hai cho t ơng đ ơng với nhau ( Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm phân biệt)
Ph
ơng pháp : - Chỉ phơng trình có nghiệm phân biệt. - Lập hệ phơng tr×nh
¿
x1+x2=x3+x4 x1x2=x3x4
¿{
- Giải hệ phơng trình tìm giá trị tham số. - Thử lại, rút kết luận.
Bài 100: Cho phơng trình bậc hai x2
−( m+n ) x −(m2+n2)=0 (1)
Tìm m n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình x2− x −5=0 (2) *Phơng trình (2) có ac = - 5<0 ⇒ (2) có nghiệm phân biệt.
*
¿ m+n=1 −(m2
+n2)=−5
¿{
¿
⇔ m+n=1
mn=−2
⇔ ¿ ¿ m=2 n=−1
¿ ¿ ¿ m=−1
¿ n=2
¿
* Thö l¹i, rót kÕt ln.
Bài 101: Cho hai phơng trình x2−(2 m+n) x − m=0 (1) x2−( m+3 n ) x − 6=0 (2) Tìm m n để phơng trình (1) (2) tơng ng.
*Phơng trình (2) có ac = - 6<0 ⇒ (2) cã nghiƯm ph©n biƯt.
*
¿
2 m+n=m+3 n 3 m=6
⇔
¿m=2
n=1
¿{
¿
* Thư l¹i, rót kÕt ln.
(25)x2+(4 m+3 n) x − 9=0 (1) vµ x2+(3 m+ n) x+3 n=0 (2) *Phơng trình (1) có ac = - 9<0 ⇒ (1) cã nghiƯm ph©n biÖt.
*
¿
−( m+3 n)=− (3 m+4 n) − 9=3 n
⇔ m=n=− 3
¿{
¿
* Thư l¹i, rót kÕt luận.
Bài toán 11 : Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm ph ơng tr×nh bËc hai theo tham sè.
Ph
ơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình cho có nghiệm
¿ a ≠ 0 Δ( Δ ') ≥0
¿{
¿
- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.
- Biến đổi biểu thức cho xuất S, P.
- Thay gi¸ trị S, P tính giá trị biểu thức theo tham số. Bài 103: Cho phơng trình (2 m1) x2
−2 (m+4 ) x+5 m+2=0 Trong trêng hợp phơng
trình có nghiệm, tính theo m tổng S tích P nghiệm.
*22* Chuyờn đề PTB2 chứa tham số
*
¿
2 m− 1≠ 0
Δ'≥ 0
⇔
¿m≠1
2
−1 ≤ m≤ 2
¿{
¿
*S = 2 (m+4 )
2m −1 ; P =
5 m −2 2m −1
Bµi 104: Cho phơng trình x2
+mx+m+7=0 Không tính nghiệm x1, x2 theo m h·y tÝnh:
a) A = x12+x22 b) B = x13+x23
*
Δ=m2− 2m −14 ≥ 0⇔
m≤ − 4√2
¿ m≥ 2+4√2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
¿ x1+x2=− m
x1x2=m+7
¿{
¿
* A = m2− 2m −14 ; B = −m3+3 m2
+21m
Bài 105: Cho phơng trình x2+(2 m−1)x −m=0 TÝnh A = x12+x22− x1x2 theo m. (x1, x2 hai nghiệm phơng trình)
* Δ=4 m2+1 * A =
(2 m+1)2
Bài 106: Cho phơng trình (m− ) x2− mx+m− 2=0 Không giải phơng trình để tìm x1, x2
(26)a) A = x12+x22 c) C =
x1+
1
x2
b) B = x13+x23 d) D =
x12 +
x22
*
¿ m ≠ 4 Δ'=6 m− 8≥
⇔
¿m≠ 4
m≥4
3
¿{
¿
* a) A = 2 m
2+12m −16
(m −4 )2 c) C =
2m
m−2
b) B = 2 m(m
2
+18 m −19)
(m− )3 d) D =
2 m2+12m −16 (m−2 )2 Bài 107: Cho phơng trình x22 (m+1) x +m 4=0
Không giải phơng trình tìm x1, x2 hÃy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a) x1− x2 c) x31− x32
b) x21− x22 * Δ'=(m+1
2)
2
+19 >0 * a) (x1− x2)
2
=(x1+x2)
− x1x2=4(m2+m+5) ⇒ x1− x2=±2√m
+m+5 b) x21− x22 = ( x
1− x2 )( x1+x2 ) ¿± (m+1)√m2+m+5 c) x31− x32 = ( x
1− x2 )( x21+x1x2+x
22 ) = ( x
1− x2 ) [(x1+x2)
− x1x2]
*23* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
= ± 2√m2+m+5(4 m2+7 m+8) Bµi 108: Cho phơng trình ax2
+bx +c=0 ( a 0¿ cã hai nghiÖm x1, x2 TÝnh theo a , b , c
c¸c biĨu thøc sau:
a) M = (5 x1−3 x2)(5 x2−3 x1) b) N =
x1 x2−3 x1
+ x2
x1−3 x2
* Điều kiện để phơng trình có nghiệm ac <0 * a) M = 64 x1x2−15(x1+x2)
2
=64 ac −15 b
2
a2
b) N = (x1+x2)
2− x 1x2
16 x1x2−3(x1+x2)2=
b2−8 ac
16 ac − b2
Bài tốn 12 : Tìm giá trị tham số để biểu thức x1, x2 đạt giá trị lớn nhất, giá
trÞ nhá nhÊt.
( x1, x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai chứa tham sè) Ph
ơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình cho có nghiệm
¿ a ≠ 0 Δ( Δ ') ≥0
¿{
¿
(27)- Biến đổi biểu thức cho xuất S, P.
- Thay giá trị S, P tính giá trị biÓu thøc theo tham sè.
- Đánh giá xác định GTLN GTNN dựa vào a2≥ 0 và kết hợp tính
chất bất đẳng thức tìm giá trị tham số. - Đối chiếu điều kiện rút kết luận.
Bµi 109: Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình x22 (m+1) x +2 m+10=0 Tìm giá
trị nhỏ biểu thức A = 10 x1x2+x21 +x22
*
Δ'
=m2− 9≥ 0⇔
m≤ −3 ¿ m≥ 3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* A = 4 (m+ 3)2+48⇒ Amin=48⇔m=− 3 (t/m)
Bài 110: Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2
+ax+a− 2=0 lµ bÐ nhÊt
* Δ=(a − 2)2+4> * x21
+x22=(a − 1)2
+3 ≥ 3⇒(x21 +x22)
min=3⇔ a=1 Bµi 111: Cho phơng trình x2
+(2 m 1) x m=0 Tìm giá trị m để A =
x21
+x22 x 1x2
Có giá trị nhá nhÊt * Δ=4 m2+1>0
* A = (2 m+1)2≥ 0⇒ Amin=0⇔m=−
1
*24* Chuyên đề PTB2 cha tham s
Bài 112: Cho phơng trình x2
−2 (m− 1) x +m −3=0 Tìm giá trị m để P = x21 +x22 Có giá trị nhỏ
* Δ'=(m −3 2)
2
+7 4>0 * P = (2 m−5
2)
2
+15 ≥
15
4 Pmin=154 m=54 Bài 113: Cho phơng trình x2
mx+m 1=0 Tìm giá trị nhá nhÊt cña A =
x21
+x22− x 1x2
và giá trị tơng ứng m. * Δ=(m− 2)2≥ 0
* A = (m − )2− ≥− 8⇒ Amin=−8⇔ m=4 Bµi 114:
1) Cho phơng trình x2 mx+m 1=0 Gọi x
1, x2 nghiệm, tìm giá trị nhá nhÊt
cña A = x21 +x22
2) Cho phơng trình 2 x2+2(m+3)x +m+1=0 Xác định giá trị m để
x21 +x22 đạt giá trị nhỏ
(28)A = 1+(m− 1)2≥ 1⇒ Amin=1⇔ m=1
2) Δ'=(m − 2)2+3>0
x21
+x22 = (m − 2)2
+3≥ 3⇒(x21 +x22)
min=3⇔ m=2
Bµi 115: Cho phơng trình x2
2 mx+2 m −1=0 T×m m cho A = 2(x21 +x22
)−5 x1x2 đạt giá trị nhỏ
* Δ'=(m−1)2≥ 0
* A=8 m2−18 m+9=2
(2 m−9 4)
2
−9
8≥ −
8⇒ Amin=− 8⇔ m=
9 Bµi 116: Cho phơng trình x22(m2) x m=0 (1) Gọi x
1, x2 nghiệm ph-ơng
trình (1) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa x21 +x22 * Δ'
=(m+1)2+3>0 * x21
+x22 = (2 m −1)2+15 ≥15⇒(x21+x22)
min=15m=
1
Bài 117: Cho phơng trình x22(m21)x +5 m 1=0 Tìm giá trị m nghiệm x1, x2 phơng trình cho tổng x21
+x22 có giá trị nhỏ * Giả sử phơng trình có nghiệm ta cã: x1+x2¿min=−2
x1+x2=2 m2− 2≥ −2⇒¿
⇔m=0
* m = : x2+2 x − 1=0⇒ x1,2=− 1±√2
*25* Chuyên đề PTB2 chứa tham s
Bài upload.123doc.net: Cho phơng trình ax2 (b −a+1 ) x=m2+1 (1)
a) Víi a=1;b=2 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiƯm x1, x2 víi
giá trị m. b) Tìm m x21
+x22 đạt giá trị nhỏ tính nghiệm trờng hợp a) x2
−2 x − m2−1=0 cã Δ'
=m2+2>0∀ m ∈ R b) * x21
+x22 = 2 m2+6 ≥ 6⇒ (x21 +x22)
min=6⇔ m=0
* m=0 : x2− x 1=0 x
1,2=12
Bài 119: Cho phơng trình 2 x2+(2m 1)x +m 1=0 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x21
+x22− x 1x2 * Δ=(2 m−3 )2≥ 0
* A=(
2 m−5 2)
2
4 +
3 16≥
3
16 ⇒ Amin=
16 ⇔m=
Bài 120: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x21+x22 có giá trị
nhá nhÊt
1) x2−(2 m− 1) x +m −2=0
2) x2−2 (m+1) x +(m −1)=0
1) Δ=4(m−1)2+5> x21
+x22 = 4 m2−6 m+5=
(2 m−3 2)
2
+11 ≥
11
4 ⇒ (x
21 +x22)
min=
11
4 ⇔ m= 2) Δ=¿ 4 m2
(29)x21
+x22 = 4 m2+2 m+3=
(2 m+1 2)
2
+5 4≥
5
4⇒ (x
21 +x22)
min=
5
4⇔m=−
Bài 121: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x21+x22 có giá trị
nhá nhÊt
1) x2+2 (m− 2) x −(2 m− 7)=0 2) x2+2 (m− 2) x −3 m+10=0
1)
Δ'
=m2−2 m− ≥0⇔
m ≤− 1 ¿ m ≥3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x21
+x22 = 4 m2−12 m+2=(2 m−3 )2−7 + m≥ 3⇒ A ≥(2 −3)2−7=2
+ m≤ −1⇒ A ≥[2 (−1) −3]2−7=18
Suy Amin=2⇔m=3
2)
Δ'
=m2− m−6 ≥ 0⇔
m≤ −2 ¿ m≥ 3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*26* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
x21
+x22 = 4 m2−10 m− 4=
(2 m−5 2)
2
−41
4 + m≥ 3⇒ A ≥(2 −5
2)
2
−41
4 =2 + m≤ −2⇒ A ≥[2 (− 2)−5
2]
2
−41
4 =32 Suy Amin=2⇔m=3
Bài 122: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để |x1− x2| có giá trị
nhá nhÊt
1) x2−( m−1) x − (m+1)=0 2) x2− mx+(m+1)2=0 1) Δ=¿ (m+ 1)2+4>0 (x1− x2)
2
=(m+1)2+4 ⇒√(x1− x2)2=√(m +1)2+4
⇒|x1− x2|=√(m+ 1)2+4 ≥ 2
(30)2)
Δ'=3 m2−2 m− 1≥ 0⇔
m ≤−1
3
¿ m ≥1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
; |x1− x2|=√12 m2− m− 4
* m≤ −1
3⇒|x1− x2|≥0 * m≥ 1⇒|x1− x2|≥ 0
Suy
(|x1− x2|)min=0⇔
m=−1
3
¿ m=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bài 123: Cho phơng trình x2−2(m+1)x +m2+4 m−3=0 Xác định m để hiệu tổng Hai nghiệm tích hai nghiệm phơng trình đạt giá trị lớn
* Δ'
=4 − 2m ≥ 0⇔m≤ 2
* (x1+x2)− x1x2=− m2−2 m+5=−(m+1)2+6 ≤6
⇒[(x1+x2)− x1x2]max=6⇔ m=−1 (t/m) Bài 124: Cho phơng trình x2
+(m+1) x+m=0 (1) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình (1)
Tìm giá trị m để biểu thức B = x21x 2+x1x
22 đạt giá trị lớn
Δ=(m− 1)2≥ 0
* B = x1x2(x1+x2)=−m
− m=−(m+1
2)
2
+1 4≤
1
4⇒ Bmax=14⇔ m=−12 Bµi 125: Cho phơng trình mx2
2 mx+3 m 1=0 Tìm giá trị m để nghiệm
x1, x2
*27* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
của phơng trình có tích x1x2 lớn
*
¿
m ≠0 Δ=m− m2≥ 0
⇔ 0<m ≤1
2
¿{
¿
* x1x2 = m m
m
3
Do 0<m
2 nªn x1x2 lín nhÊt ⇔
1
m nhá nhÊt ⇔ m lín
nhÊt ⇔m=1
2 Suy ( x1x2 ) ❑max=1 Bài 126: Cho phơng trình bậc hai (ẩn x): x2
(31)A = 12− 10 x1x2−(x21
+x22) đạt giá trị lớn
*
Δ'=m2− ≥ 0⇔
m≤ −2 ¿ m ≥2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
* A = 12− 10 x1x2−(x21
+x22) = − m2
+24 m− 32=−(2 m− 6)2+4 ≤ 4
Amax=4⇔ m=3
Bài 127: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phơng trình x2(m+1) x+ m22 m+2=0 T×m
m
để x21
+x22 đạt GTNN, GTLN
* Δ=−3 m2+10 m−7 ≥ 0⇔1 ≤ m≤7
3 * A=¿ x21
+x22 ¿−m2+6 m− 3=6 − (m− 3)2 ; Do 1≤ m≤7 nªn 2≤ A ≤50
9
VËy Amin=2⇔m=1
Amax=50 ⇔m=
7
Bài 128: Cho phơng trình (m2+m+1)x2(m2+8 m+3)x −1=0 cã hai nghiƯm x1, x2 T×m
GTNN vµ GTLN cđa biĨu thøc S = x1+x2 * a=m2+m+1=(m+1
2)
2
+3
4>0 , c = -1
ac<0 phơng trình có nghiÖm.
* S=m
2
+8 m+3
m2
+m+1 ⇔ S(m
2
+m+1)=m2+8 m+3⇔( S −1) m2+ (S − 8) m+S −3=0
Δ=−3 S2+52 ≥0⇔ S2≤52
3 ⇔− 2√ 13 √3 ≤ S ≤
2√13 √3 VËy Smin=−2√13
√3 ⇔m=−
√13+4√3 2√13+√3
Smax=2√13 √3 ⇔m=
√13 43
3 213 Bài 129: Cho phơng trình x2− mx+m− 1=0
1) Chøng tá r»ng ph¬ng trình có nghiệm
*28* Chuyờn PTB2 cha tham s
2) Tìm GTNN GTLN biểu thøc A= 2 x1x2+3 x21x22
+2(x1x2+1)
1) Δ=(m− 2)≥ 0∀ m∈ R
2) A=2 m+1
m2+2 ⇔ Am
2
−2 m+2 A −1=0
Δ=−2 A2+A+1 ≥ 0⇔−1
(32)VËy Amin=1
2 m=2
Amax=1 m=1
Bài toán 13 : Chøng minh mét biĨu thøc gi÷a hai nghiƯm x1, x2 ph ơng trình bậc hai không phụ thuộc vào giá trị tham sè.
Ph
ơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình cho có nghiệm
¿ a ≠ 0 Δ( Δ ') ≥0
¿{
¿
- Biến đổi biểu thức cho xuất x1+x2, x1.x2
- Thay giá trị x1+x2, x1.x2 (tính theo m)
- Rót gän biĨu thøc cã gi¸ trị số. Bài 130: Cho phơng trình x2−2(m+1)x +m − 4=0 cã hai nghiÖm x
1, x2 Chøng minh r»ng
BiÓu thøc H = x1(1 − x2)+x2(1 − x1) không phụ thuộc vào m. * '=(m+1
2)
2
+19 >0
* H=(x1+x2)− x1x2=2(m+1) (m 4=10)
Bài 131: Cho phơng trình x2−2(m+1)x +m −3=0 cã hai nghiÖm x1, x2 Chøng minh r»ng
BiÓu thøc Q = x1(2007 −2006 x2)+x2(2007 2008 x1) không phụ thuộc vào giá
trị cña m.
* Δ'=(m+1
2)
2
+15 >0
* Q=2007(x1+x2)− 4014 x1x2=2007(2 m+2)− 4014(m−3)=16056
Bài tốn 14 : Lập ph ơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện giả thiết
Ph
ơng pháp : - Tính tỉng (S), tÝch (P) cđa hai nghiƯm.
- áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phơng trình X2 – SX + P=0
Bµi 132: Cho phơng trình x2
+px+q=0 có hai nghiệm x1, x2 x2 0 Lập phơng trình
Bậc hai có nghiệm x1 x2
vµ x2 x1
* S = p
2
−2 q
q ; P = 1
*29* Chuyên đề PTB2 chứa tham s
* Phơng trình: qx2
− ( p −2 q ) x +q=0
Bµi 133: Cho phơng trình ax2
+bx +c=0 (a ≠ , c ≠ 0) víi c¸c nghiƯm α HÃy lập
một phơng trình bậc hai có nghiệm
β
α (α ≠ , β ≠ 0)
* α
β+ β
α=
α2+β2
αβ =
(α + β )2−2 αβ
αβ =
b2−2 ac
ac ;
α
=1
* Phơng trình : x2−b2−2 ac
ac x+1=0⇔acx
2−(b2−2 ac)x+ac=0
(33)của phơng trình ax2
+bx +c=0 (a ≠ 0) * y1=x1+x2=−
b
a ; y2=x1x2=
c a
* y1+y2=c − b
a ; y1y2=
bc
a2 * Phơng trình : y2−c −b
a y −
bc
a2=0⇔a
2
y2+a (b − c ) y − bc=0
Bµi 135: Gäi x1 vµ x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai ax2+bx +c=0
(a ≠ 0)
H·y lËp mét ph¬ng trình bậc hai có nghiệm x21 x22 * x21
+x22
=(x1+x2)
−2 x1x2=b
−2 ac
a2 ; x
21 x22 = (x
1x2)
=c
2
a2
* Phơng trình : x2−b
2
−2 ac
a2 x+
c2
a2=0⇔a
x2−(b2− ac)x+c=0
Bài 136: Cho phơng trình x25 mx+1=0 (1) cã hai nghiÖm x
1, x2 LËp phơng trình bậc
hai có nghiệm y1, y2 tho¶ m·n:
a) Là số đối nghiệm phơng trình (1) b) Là nghịch đảo nghiệm phơng trình (1)
a/ y1+y2=−(x1+x2)=−5 m ; y1 y2= x1( x2)=x1x2=1
Phơng trình: y2
+5 my+1=0 b/ y1+y2=1
x1
+
x2
=x1+x2
x1x2
=5 m ; y1 y2=
1
x1
1
x2=
1
x1x2=1
Phơng trình: y2 my+1=0 Bài 137: Cho phơng trình bậc hai ax2
+bx +c=0 (1) (a ≠ 0) , có hai nghiệm khác Tìm phơng trình bậc hai mà nghiệm :
a) Khác dấu với nghiệm phơng trình (1)
b) Bng nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) c) Lớn nghiệm phơng trình (1) lợng n. d) Gấp k lần nghiệm phơng trình (1).
*30* Chuyên đề PTB2 chứa tham số
a/ ax2
− bx +c=0 c/ ax2+ (b −2 an ) x +an2− bn +c=0
b/ cx2
+bx +a=0 d/ ax2+kbx+k2c=0
Bài 138: Cho phơng trình x2
+3 ax −3(b2+1)=0 , ( a vµ b là số nguyên) Gọi nghiệm
của phơng trình x1 x2 HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm
x vµ
x32
* x31 + x32
= (x1+x2)
−3 x1x2(x1+x2)=(− a)
− [− 3(b2+1)](−3 a )
= −27 a3− 27 ab2− 27 a = −27(a3+ab2
+a) x31. x32 =
(x1x2)
=[ 3(b2+1)]3=27(b2+1)3 * Phơng trình : x2
+¿ 27(a3+ab2+a)x − 27(b2+1)3=0
(34)Ph
ơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm :
¿ a ≠ 0 Δ(Δ')≥0
¿{
¿