https://www.quantri123.com/ CHUYÊN LƯƠNG THÉ VINH ĐỒNG NAI THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn ( mơn chun) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm trang, có năm câu) Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x − 16 x + 32 = ( với x R ) Chứng minh x = − + − + + nghiệm phương trình cho Câu (2,5 điểm) 2 x( x + 1)( y + 1) + xy = −6 Giải hệ phương trình ( với x R, y R ) y ( y + 1)( x + 1) + yx = Câu 3.(1,5 điểm) Cho tam giác MNP có cạnh cm Lấy n điểm thuộc cạnh phía tam giác MNP cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn cm ( với n số nguyên dương) Tìm n lớn thoả mãn điều kiện cho Câu (1 điểm) Chứng minh 10 số ngun dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC, biết AD cắt đường trịn (I) điểm N (N khơng trùng với D), giọi K giao điểm AI EF 1) Chứng minh điểm I, D, N, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) https://www.quantri123.com/ - Sưu tầm https://www.quantri123.com/ GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Mơn: Tốn chun Câu 1: Phương trình cho : x − 16 x + 32 = ( với x R ) ( x − 8) − 32 = (1) Với x = − + − + + x = − + − + + => x2 = − 2 + − − Thế x vào vế phải (1) ta có: ( x2 − 8)2 − 32 = (8 − 2 + − − − 8)2 − 32 = 4(2 + 3) + + 12(2 − 3) − 32 = + + + 24 − 12 − 32 = ( vế phải vế trái) Vậy x = − + − + + nghiệm phương trình cho ( đpcm) 2 x( x + 1)( y + 1) + xy = −6 (1) 2 x( x + 1)( y + 1) = −6 − xy Câu 2: Hệ pt cho y ( y + 1)( x + 1) + yx = (2) y ( y + 1)( x + 1) = − xy Thay x = 0, y = hệ khơng thoả Thay x = -1 y = -1 vào, hệ không thoả => ( x; y ) (0;0); xy 0; x + 0; y + − xy - Chia vế hai phương trình cho : => (*) x −6 − xy = xy ( x − y ) = 6( x + y ) y − xy Thay x = y, hệ pt có vế phải nhau, vế trái khác (không thoả) => x − y ) (**) => xy = 6( x + y ) x− y (3) - Cộng vế (1) (2) hệ ta pt: 2(x+y)(x+1)(y+1) + 2xy = (x + y) ( x + y + xy + 1) + xy = ( x + y )( x + y + + https://www.quantri123.com/ - Sưu tầm 6( x + y ) 6( x + y ) )+ =0 x− y x− y (4) https://www.quantri123.com/ x+ y = x + y +1 = 6( x + y + 1) ( x + y )( x + y + + ) = ( x + y )( x + y + 1)(1 + ) =0 x− y x− y =0 1 + x− y - Với x + y = x = - y Thế vào hệ => -2y2 = (y = v x = 0) không thoả (*) - Với x + y +1 =0 x = -y - vào phương trình (1) hệ ta : y + = y = −2 y + y + y + = ( y + 2)(2 y − y + 3) = y − y + = 0(vn) Với y = - => x = 1.Thế vào hệ thoả, có nghiệm 1: (x; y) = (1; - 2) - Với + = x− y+6 = x = y−6 x− y Thế x = y -6 vào pt (2) hệ : y +1 = (2) y − y − 16 y − = (2 y + 1)( y − y − 6) = y − 4y − = y2 - 4y - = y = + 10 y2 = − 10 2y +1 = y3 = − x1 = −4 + 10 Từ ba giá trị y ta tìm ba giá trị x tương ứng: x2 = −4 − 10 13 x3 = − Thế giá trị (x; y) tìm vào hệ (thoả) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x;y): (1; -2), ( −4 + 10; + 10), ( −4 − 10; − 10), ( − 13 ; − ) 2 Câu (Cách 1) Tam giác có cạnh cm diện tích cm2 , tam giác có cạnh cm diện tích 3 cm2 Nếu tam giác có cạnh > 1cm diện tích > cm2 4 Gọi t số tam giác có cạnh > 1cm chứa tam giác có cạnh cm: https://www.quantri123.com/ - Sưu tầm https://www.quantri123.com/ 1 t ( với t số nguyên dương) => tmax = Theo nguyên lý Drichen có t tam giác có cạnh > 1cm chứa tối đa điểm thoả mãn khoảng cách hai điểm > cm Vậy số điểm thoả yêu cầu toán : n Vậy nmax = (Cách 2): Giải theo kiến thức hình học Nếu ta chọn điểm đỉnh tam giác cạnh cm vẽ đường trịn đường kính cm, đường tròn tiếp xúc với trung điểm cạnh tam giác => Các điểm khác tam giác cách đỉnh > 1cm nằm phần diện tích cịn lại tam giác (ngồi phần diện tích bị ba hinh trịn che phủ), giới hạn cung trịn bán kinh cm Vì dây cung đường trung bình tam giác có độ dài cm => khoảng cách giửa hai điểm nằm phần diện tích cịn lại tam giác ln cm => phần diện tích lấy điểm mà khoảng cách đến đỉnh tam giác > cm Vậy số điểm lớn thoả mãn khoảng cách hai điểm > 1cm : nmax = + = điểm Câu Gọi a b hai số 10 số nguyên dương liên tiếp với a > b ( a; b nguyên dương) 1 a − b Gọi n ước chung a b, : a = n.x b = n.y ( n, x, y số nguyên dương) Vì a > b => x > y => x − y n.x − n y 9 x− y 1 n n n n Vậy 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn hai số có ước chung lớn Câu https://www.quantri123.com/ - Sưu tầm https://www.quantri123.com/ A E N K F I B M C D 1)Nối N F, D F - Xét ANF AFD có: AFN = ADF ( AF tt) FAD chung => ANF∽ AFD (g.g) => AN AF = AF2 = AN AD AF AD (1) - Xét AFI có: AF ⊥ IF ( AF tiếp tuyến, FI bán kính) FK ⊥ AI ( AF AE tt chung AI nối tâm) => AFI vng F có FK đường cao) => AK.AI = AF2 (2) - Xét ANK AID có: + IAD chung + Từ (1) (2) => AN.AD = AK.AI => AN AI = AK AD => ANK∽ AID (c.g.c) => NKA = IDN (3) - Từ (3) => tứ giác DIKN nội tiếp đt (vì có góc đối góc kề bù góc đối) => điểm I,D,N,K thuộc đường trịn (đpcm) 2) Ta có ID ⊥ DM ( DM tiếp tuyến, DI bán kính) IK ⊥ KM ( câu 1) => tứ giác DIKM nội tiếp đường trịn đường kính MI Vì điểm D, I, K, N thuộc đường tròn ( câu 1) => hai đường tròn ngoại tiếp DIK => hai đường tròn trùng => N nằm đường trịn đường kính MI => INM = 900 Vì IN bán kính đường trịn (I), MN ⊥ IN => MN tiếp tuyến đường tròn (I) tiếp điểm N (đpcm) -HẾT https://www.quantri123.com/ - Sưu tầm ... = y − 4y − = y2 - 4y - = y = + 10 y2 = − 10 2y +1 = y3 = − x1 = −4 + 10 Từ ba giá trị y ta tìm ba giá trị x tương ứng: x2 = −4 − 10 13 x3 = − Thế giá trị (x; y)... (x; y) tìm vào hệ (thoả) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x;y): (1; -2), ( −4 + 10; + 10) , ( −4 − 10; − 10) , ( − 13 ; − ) 2 Câu (Cách 1) Tam giác có cạnh cm diện tích cm2 , tam giác có cạnh...https://www.quantri123.com/ GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Mơn: Tốn chun Câu 1: Phương trình cho : x − 16 x + 32