Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới khoa Tốn - Cơ - Tin Học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Cảm ơn thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ em trình học tập Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Bảng thuật ngữ ký hiệu Danh sách hình KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Hình dung ban đầu rẽ nhánh 1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh phương trình đại số 1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều CỦA SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHÂN MỘT CHIỀU 2.1 Thác triển địa phương 2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 2.3 Rẽ nhánh dĩa rẽ nhánh xuyên tới hạn 2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ 2.5 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh 2.5.1 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh nút yên-ngựa 2.5.2 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh xuyên tới hạn 2.5.3 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh dĩa 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ ii 5 12 SAI 21 21 23 25 26 27 27 28 29 30 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG 3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích 32 32 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh khái niệm ngược với ổn định Khái niệm rẽ nhánh lần giới thiệu Henri Poincaré vào năm 1885, sau nhà tốn học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu toán học thay đổi tranh pha nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy thay đổi nhỏ giá trị tham số hệ động lực gây thay đổi đột ngột tranh pha Rẽ nhánh chia làm hai loại • Rẽ nhánh địa phương xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha xung quanh điểm cân điểm tuần hồn thay đổi • Rẽ nhánh toàn cục xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha toàn cục thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu số rẽ nhánh địa phương sau Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node) Rẽ nhánh xuyên tới hạn (transcritical) Rẽ nhánh dĩa (pitchfork) Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (period doubling) Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Trong chương tác giả trình bày lại kiến thức liên quan đến rẽ nhánh phương trình sai phân cụ thể định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm khơng ổn định (đẩy) Sau đó, ví dụ rẽ nhánh nói tính tốn chi tiết minh họa hình học Chương Sự tồn rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ Chương Rẽ nhánh hệ phẳng Trong chương tác giả đưa số ví dụ rẽ nhánh hệ hai chiều, nhấn mạnh vào tính co diện tích tính bảo tồn diện tích Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ sách [2] Luận văn xét rẽ nhánh hệ rời rạc, tức phương trình sai phân Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU [1] Tài liệu số mục "Tài liệu tham khảo" Tập hợp số tự nhiên Vành số nguyên Trường số hữu tỷ, số thực (tương ứng) Z(M ) Môđun suy biến môđun M saddle-node bifurcation rẽ nhánh nút-yên ngựa pitchfork bifurcation rẽ nhánh dĩa transcritical bifurcation rẽ nhánh xuyên tới hạn period doubling bifurcation rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ N Z Q, R Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Bức tranh pha hệ phương trình vi phân Điểm yên ngựa Sơ đồ bước cầu thang g(x) = 2x(1 − x) (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = Lược đồ rẽ nhánh (a) ρ = 1, (b) ρ = 1.5, (c) ρ = 2.8 Lược đồ rẽ nhánh (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = Lược đồ rẽ nhánh dĩa 11 12 13 14 15 15 16 18 19 20 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Đồ thị f với điểm bất động hyperbolic Lược đồ rẽ nhánh nút yên-ngựa Họ đồ có đạo hàm xuyên qua Rẽ nhánh nút-yên ngựa Rẽ nhánh xuyên tới hạn Rẽ nhánh dĩa 22 25 26 28 29 30 3.1 3.2 3.3 Rẽ nhánh nút-yên ngựa hệ phẳng (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0 Giá trị riêng phức điểm bất động elliptic 33 39 40 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương nhắc lại kiến thức liên quan đến rẽ nhánh phương trình sai phân Cụ thể ta định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) điều kiện liên quan phục vụ cho Chương Chương Sau số ví dụ rẽ nhánh tính tốn minh họa cụ thể 1.1 Hình dung ban đầu rẽ nhánh Hiện tượng rẽ nhánh xảy nhiều lĩnh vực khác nhau: toán học, sinh học, vật lý, hóa học, kinh tế, Câu hỏi đầu tiên: Thế tượng rẽ nhánh? Nội dung phần tham khảo từ tài liệu [1] ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (2, x) = 3−2x Với µ = 2, f có điểm bất động x1 = x2 = Mặt khác ∂x ∂f xuyên qua +1 (0,0) Trong (2, 2) = −1, theo Định lý 2.1.2, x2 = ∂x điểm thác triển Áp dụng Định lý 2.3.1 điểm bất động x1 = khơng Tại µ = 0, f có điểm bất động x = nằm đường thác triển x2 = (trong Hình 2.5), điểm xảy rẽ nhánh xuyên tới hạn (0, 0) Hơn ∂f (µ, x) = ∂µ Hình 2.5: Rẽ nhánh xuyên tới hạn 2.5.3 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh dĩa Cho phương trình sai phân xn+1 = xn + µxn − x3n+1 với µ ∈ R Điểm bất động f (µ, x) = x + µx − x3 thỏa mãn x + µx − x3 = x Khi ú, ta cú ã Nu < 0, f cú điểm bất động x = • Nếu µ = 0, f có điểm bất động x = ã Nu > 0, f cú ba điểm bất động x1 = x2 = 29 √ √ µ , x3 = − µ ∂f (µ, 0) = ∂µ √ √ Với µ = 2, f có điểm bất động x1 = 0, x2 = 2, x3 = − Mặt khác √ ∂f √ ∂f ( 2, x) = − 3x2 xuyên qua +1 (0,0) Trong (2, 2) = −2, theo ∂x ∂x √ Định lý 2.1.2, x2 = điểm thác triển Áp dụng Định lý 2.3.1 điểm √ bất động x1 = 0, không nằm đường thác triển x2 = (trong Hình ∂f (µ, x) = 2.6), điểm xảy rẽ nhánh dĩa (0, 0) Hơn nữa, ∂µ Tại µ = 0, f có điểm bất động x = Hình 2.6: Rẽ nhánh dĩa 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đơi chu kỳ Cho phương trình sai phân xn+1 = µ + xn − x2n+1 với µ ∈ R Điểm bất động f (µ, x) = µ + x − x2 thỏa mãn µ + x − x2 = x Khi ú ã Nu < 0, f khụng cú im bt ng ã Nu = 0, f cú mt im bt ng ã Nu > 0, f có hai điểm bất động x1 = √ √ µ x2 = − µ Tại µ = 1, f có hai điểm bất động x = x2 = −1 Mặt khác, ∂f (µ, 1) = −1 ∂x Áp dụng Định lý 2.4.1 ta thấy lân cận (µ, x) có điểm bất 30 động tuần hoàn chu kỳ Tại tham số µ = xảy rẽ nhánh nhân đôi chu ∂f (µ, x) = = kỳ Hơn ∂µ Bảng phân loại rẽ nhánh phương trình sai phân chiều rút từ định lý dạng chuẩn tắc rẽ nhánh.Khi đạo hàm điểm bất động −1, loại rẽ nhánh xảy phụ thuộc vào đạo hàm riêng ∂f (¯ a, x ¯) ∂x ∂f (¯ a, x ¯) ∂a nút-yên ngựa =0 dĩa, xuyên tới hạn −1 =0 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ 31 Chương RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG Trong hệ phẳng tượng rẽ nhánh xảy phức tạp nhiều so với rẽ nhánh không gian chiều Trong phần tìm hiểu số ví dụ rẽ nhánh trường hợp co diện tích trường hợp bảo tồn diện tích 3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích Định lý 3.1.1 Giả sử f ánh xạ trơn Rn Nếu v điểm bất động fa không giá trị riêng Dfa (v) (a, v) thác triển Ví dụ 3.1.1 Xét ánh xạ fa : R2 −→ R2 (x, y) −→ fa (x, y) = (ga (x), 0.2y) Với ga (x) = a − x2 , ta thấy ma trận Jacobi fa có giá trị riêng e1 = ga (x) e2 = 0.2 Định lý 3.1.1 cho họ tham số hệ phẳng nói rẽ nhánh xảy +1 giá trị riêng Dfa Chính đồ thị f xảy rẽ nhánh ga = +1 Nói cách khác đồ thị f xảy rẽ nhánh tham số xảy rẽ nhánh ga Điểm bất động hyperbolic fa khác trường hợp chiều: fa có điểm nút điểm yên ngựa ga có điểm đẩy điểm hút Hình 3.1 mô tả rẽ nhánh nútyên ngựa rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ đồ thị fa Tại rẽ nhánh nhân đôi 32 chu kỳ giá trị riêng e1 qua −1 Một nhánh điểm bất động hút thay đổi thành nhánh yên ngựa hai nhánh điểm tuần hồn chu kỳ Hình 3.1: Rẽ nhánh nút-yên ngựa hệ phẳng Trong hệ phẳng việc mô tả rẽ nhánh nút yên-ngựa rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ phức tạp Bởi thực tế điểm bất động điểm tuần hoàn có hai hướng: hướng co hướng giãn Mặc dù ví dụ ta vừa xét tính chất giá trị riêng rõ ràng trường hợp đặc biệt có giá trị riêng nhỏ tất điểm, lớn tất điểm Đối với đồ vậy, loại rẽ nhánh xảy giới hạn nhìn thấy đồ thị chiều Đồ thị co diện tích lớp quan trọng hệ động lực học Định nghĩa 3.1.2 Cho f ánh xạ trơn R2 Df (v) ma trận Jacobi f với v ∈ R2 Khi đó, f gọi co diện tích |detDf (v)| < với v ∈ R2 Tương tự, f gọi bảo tồn diện tích |detDf (v)| = với v ∈ R2 Chúng ta giải thích thêm ý nghĩa tên gọi "co diện tích" "bảo tồn diện tích" Trong phép tính tích phân, muốn đổi biến tích phân hai 33 lớp từ (x, y) sang (u, v) hàm f = (f1 , f2 ) theo công thức   x = x(u, v)  y = y(u, v) Ta có cơng thức đổi biến sau f (x(u, v), y(u, v)) |J| dudv f (x, y)dxdy = G Ω ∂f1 ∂u J = detDf (v) = ∂f2 ∂u ∂f1 ∂v ∂f2 ∂v Khi f (x, y) ≡ ta có • G dxdy diện tích SG miền G hệ tọa độ (x, y); • Ω dudv diện tích SΩ miền Ω hệ tọa độ (u, v); • |J| dudv dxdy = G Ω Như vậy, số Jacobi |J| = |detDf (v)| xác định thay đổi vi phân diện tích từ miền tọa độ (x, y) sang miền tương ứng tọa độ (u, v) Nếu S miền R2 |detDf (v)|dS Area(f (S)) = S Ví dụ 3.1.2 Cho đồ thị xn+1 = ayn + xn − x2n , yn+1 = xn với |a| < Điểm bất động f (a, x, y) = ay + x − x2 với y = x thỏa mãn   x = ay + x − x2 ,  y = x • Nếu a = đồ thị f có điểm bất động (0, 0) 34 • Nếu a = 0, đồ thị f có điểm bất động (x1 , y1 ) = (0, 0) (x2 , y2 ) = (a, a) Ma trận Jacobi f ∂  ∂x Df (x, y) =  Đặt Df (x1 , y1 ) = (ay ∂ (ay + x − x2 ) ∂y  = ∂ (x) ∂y  + x − x2 ) ∂ (x) ∂x a Df (x2 , y2 ) = − 2a a 1 − 2x a Tại điểm bất động (x1 , y1 ) giá trị riêng tính theo biểu thức λ − −a λI − Df (x1 , y1 ) = −1 = λ2 − λ − a = λ Tại điểm bất động (x1 , y1 ) có giá trị riêng λ1 = 1+ √ + 4a , λ2 = 1− √ + 4a Tại điểm bất động (x2 , y2 ) giá trị riêng tính theo biểu thức λ − + 2a −a λI − Df (x2 , y2 ) = −1 = λ2 − (1 − 2a)λ − a = λ Tại điểm bất động (x2 , y2 ) có giá trị riêng √ − 2a + + 4a2 λ3 = , √ − 2a − + 4a2 λ4 = , λ1 > λ2 < điểm bất động (x1 , y1 ) không ổn định Ta √ √ có + 4a2 < + 4a + 4a2 = + 2a Do √ − 2a + + 4a2 − 2a + (1 + 2a) λ3 = < =1 2 Khi a ∈ 0, λ4 < Vậy (x2 , y2 ) = (a, a) ổn định Khi a ∈ − , , ta có + 4a2 > + 4a + 4a2 = + 2a Vậy λ1 < λ2 < 1, (x1 , y1 ) = (0, 0) điểm ổn định 35 Còn λ3 > λ4 < 1, (x2 , y2 ) = (a, a) không ổn định Ta thấy ổn định điểm bất động thay đổi thay đổi tham số a Do xảy tượng rẽ nhánh xuyên tới hạn Ánh xạ f co diện tích với v ∈ R2 ta ln có |detDf (v)| = |a| < Cho p quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k Ta gọi giá trị riêng Dv f k (p) giá trị riêng p Giả sử đồ thị Dv f k (p) có giá trị riêng e1 e2 Khi đó, đồ thị co diện tích |e1 e2 | < 1, tức giá trị riêng {e1 , e2 } phải nằm vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức Do giả thuyết co diện tích hạn chế loại quỹ đạo tuần hồn xảy Khi có loại quỹ đạo hyperbolic: điểm hút (2 giá trị riêng nằm đường trịn đơn vị) n có giá trị riêng lớn nhỏ −1 Đối với quỹ đạo khơng hyperbolic có dạng: quỹ đạo giá trị riêng +1 quỹ đạo giá trị riêng −1 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo tồn diện tích Trong phần trước thấy rằng, rẽ nhánh xảy điểm bất động điểm tuần hồn có đạo hàm giá trị riêng có mơdun Với họ ánh xạ chiều, rẽ nhánh nút-yên ngựa rẽ nhánh nhân đơi chu kỳ xảy đạo hàm −1 Với họ đồ thị có số chiều lớn hơn, rẽ nhánh xảy điểm bất động có giá trị riêng có mơdun Thực tế rẽ nhánh điểm bất động chu kỳ k xảy nghiệm nguyên thứ k phần tử đơn vị giá trị riêng Trong họ đồ thị chiều điều có nghĩa k = k = 2, tương tự nguyên tắc áp dụng trường hợp co diện tích hệ phẳng Nếu bỏ giả thuyết co diện tích rẽ nhánh quỹ đạo chu kỳ cao (k > 2) xảy họ hai chiều Nếu không bỏ giả thuyết co diện tích ma trận Jacobi phải ma trận đối xứng đặc biệt bị giới hạn (giống trường hợp bảo tồn diện tích) Để tìm hiểu rẽ nhánh chu kỳ xảy nào, bắt đầu với ví dụ sau √ √ Ví dụ 3.1.2 Cho đồ thị fa (x, y) = x, y ∈ R 36 a a a a x− y, x+ y 2 2 với a > Ma trận Jacobi fa √  ∂  ∂x Dfa (x, y) =  ∂ ∂x a a x− y 2 √ a a x+ y 2 √ a a x− y 2 √ a a x+ y 2 ∂ ∂y ∂ ∂y  √  a −   a  a   = √  a Ta có |detDha (v)| = a2 với v ∈ R2 Điểm bất động fa (x, y) thỏa mãn  √   x = a x − a y, 2√   y = a x + a y 2 Đồ thị fa (x, y) có điểm bất động (0, 0) với a √ +i Giá trị riêng ma trận Dfa e1 (a) = a 2 e2 (a) = a √ −i 2 Khi xảy trường hợp sau • Với < a < 1, đường giá trị riêng e1 (a) e2 (a) bắt đầu đường tròn đơn vị qua đường tròn đơn vị Điểm bất động (0, 0) điểm hút đồ thị co diện tích • Với a = 1, đồ thị xoay tất vecto khác khơng qua góc π Điểm bất động (0, 0) điểm bất động elliptic tất điểm bất động điểm tuần hoàn chu kỳ Đồ thị bảo tồn diện tích • Với a > 1, điểm bất động (0, 0) điểm đẩy đồ thị giãn diện tích Đối với họ đồ thị phi tuyến tính fa giá trị riêng Dfa chìa khóa để phát thay đổi độ ổn định điểm bất động dẫn đến xảy rẽ nhánh Để xác định vị trí rẽ nhánh quỹ đạo tuần hoàn k dọc theo đường điểm bất động, tìm điểm đường e(a) giá trị riêng qua vòng tròn đơn vị nghiệm thứ k đơn vị Nếu de đường e(a) qua vòng tròn đơn vị với vận tốc khác không (nếu da = 0), đường cong khép kín bất biến tách khỏi đường điểm bất động Trong ví dụ 3.1.3 tìm hiểu rẽ nhánh họ Hénon đồ thị chuyển từ co diện tích sang giãn diện tích Ví dụ 3.1.3 Cho đồ thị hb (x, y) = (−0.75 − x2 + by, x) Ma trận Jacobi hb ∂  ∂  ∂x Dhb (x, y) =  (−0.75 − x2 + by) ∂y ∂ (x) ∂x (−0.75 − x2 + by) ∂ (x) ∂y 37  = −2x b Ta thấy |detDhb | = | − b|, xảy trường hợp sau • Với |b| < đồ thị co diện tích • Với b = −1 đồ thị bảo tồn diện√tích, có điểm bất động elliptic −1 −1 , với giá trị riêng e± = ± i (2 nghiệm thứ đơn vị) 2 2 • Với |b| > đồ thị giãn diện tích • Với b = đồ thị bảo tồn diện tích Hình 3.2 cho biết vùng lân cận điểm bất động b tăng từ −0.9 đến −1.1 Điểm bất động chuyển từ hút (Hình 3.2(a)) sang đẩy (Hình 3.2(b)) Hình 3.2(a) đồ thị co diện tích có điểm bất động hút Các đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm n ngựa gần mơ tả Một nhánh đa tạp không ổn định xoắn ốc vào điểm hút Hình 3.2(b) đồ thị giãn diện tích có điểm bất động đẩy, đa tạp ổn định điểm yên ngựa xoắn ốc điểm đẩy Hình 3.2(c) đồ thị bảo tồn diện tích có điểm bất động elliptic, đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm yên ngựa giao qua vô hạn điểm đồng nghiêng 38 Hình 3.2: (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0 Ví dụ 3.1.4 Cho đồ thị (x, y) = (a − x2 − y, x) Ma trận Jacobi h ∂  ∂  ∂x Dha (x, y) =  (a − x2 − y) ∂y ∂ (x) ∂x (a − x2 − y) ∂ (x) ∂y  = −2x −1 Ta có |detDha (v)| = với v ∈ R2 Do đồ thị bảo tồn diện tích với a 39 Điểm bất động h(a, x, y) = a − x2 − y với y = x thỏa mãn   x = a − x2 − y,  y = x • Nếu a < −1, đồ thị h khơng có điểm bất động • Nếu a = −1, đồ thị h có điểm bất động (−1, −1) có giá trị riêng λ1 = λ2 = Khi xảy rẽ nhánh nút-yên ngựa √ √ • Nếu −1 < a < 3, đồ thị h có điểm bất động (−1 − + a, −1 − + a) √ √ điểm yên ngựa (−1 + + a, −1 + + a) điểm elliptic giá trị riêng điểm bất động elliptic bị giới hạn vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức Vì vậy, có hai đường di chuyển giá trị riêng, di chuyển dọc theo đỉnh (phần ảo dương) di chuyển dọc phía (phần ảo âm) mơ tả Hình 3.3 • Nếu a=3, điểm bất động (1, 1) có giá trị riêng λ1 = λ2 = −1, xảy rẽ nhánh nhân đơi chu kỳ Hình 3.3: Giá trị riêng phức điểm bất động elliptic 40 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày lại khái niệm bản, tính tốn chi tiết minh họa hình học số ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Trình bày định lý rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đơi chu kỳ phương trình sai phân chiều Áp dụng định lý để xác định loại rẽ nhánh cho dạng chuẩn tắc phương trình sai phân chiều Trình bày rẽ nhánh hệ phẳng ví dụ tính tốn chi tiết Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Huy Tiễn (2019), Bài giảng hệ động lực (đang viết), Hà Nội Tiếng Anh [2] K T Alligood, T D Sauer, James A Yorke (1996), An introduction to dynamical systems, Jounal of Artist Rights Socienty, New York [3] D K Arrowsmith, C M Place (1990), An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press [4] W E Boyce, R C Diprima, D B Meade (2017), Elementary differential equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc [5] A Dawes, Bifurcation theory for discrete time systems, http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discrete_ bifurcation.pdf [6] J Guckenheimer, P Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York [7] J K Hale, H Kocak, (1991)Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag, New York [8] J H Hubbard, B H West,(1995) Differential equations: a dynamical systems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York [9] Y A Kuznetsov, (2004) Elements of applied bifurcation theory, SpringerVerlag, New York 42 [10] L Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, SpringerVerlag, New York [11] S H Strogatz, (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Francis Group [12] S Wiggins, (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York 43 ... g(x) = 2x(1 − x) 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Trong mục tính tốn minh họa hình học rẽ nhánh nút-n ngựa, rẽ nhánh nhân đơi chu kỳ, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh xuyên tới hạn thơng... nhân đôi chu kỳ 31 Chương RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG Trong hệ phẳng tượng rẽ nhánh xảy phức tạp nhiều so với rẽ nhánh không gian chiều Trong phần tìm hiểu số ví dụ rẽ nhánh trường hợp co diện tích... = 0.2 Định lý 3.1.1 cho họ tham số hệ phẳng nói rẽ nhánh xảy +1 giá trị riêng Dfa Chính đồ thị f xảy rẽ nhánh ga = +1 Nói cách khác đồ thị f xảy rẽ nhánh tham số xảy rẽ nhánh ga Điểm bất động