Nghiên cứu kỹ thuật điều chế đa sóng mang và điều chế bội phân ứng dụng cho các hệ thống CDMA

Với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một

LỜI MỞ ĐẦU

Trong hệ thống truyền tin, việc truyền tín hiệu được điều chế qua môi kênh truyền có nhiễu, biên độ, thời gian thay đổi thì bên thu làm sao khôi phục lại tín hiệu gốc ban đầu là một bài toán đặt ra Với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian

và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một tập hợp của các hàm được giãn hay nén cho phép thay đổi độ phân giải thời gian và độ phân giải tần

số khi phân tích tín hiệu

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả

năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như mã hoá băng con, thiên

văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ, quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần

Trong khuôn khổ đồ án này, em xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của Wavelet, nhấn mạnh ứng dụng lý thuyết wavelet sử dụng điều chế fractal trong điều chế đa sóng mang

Trong quá trình thực hiện đồ án không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để đồ án được hoàn thiện và mang tính thực tế hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Thuý Anh và PGS.TS Nguyễn Hữu Trung và đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt đồ án này

Em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC HÌNH 4

CHƯƠNG 1 6

GIỚI THIỆU 6

1 Giới thiệu chung 6

1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số 7

1.2 Độ phân giải thời gian và tần số 8

2 Các phần thực hiện trong đồ án 9

CHƯƠNG 2 10

LÝ THUYẾT WAVELET 10

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet 10

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 11

2.2.1 Biến đổi Fourier 11

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet 14

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 15

2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier 15

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục 17

2.3.1 Định nghĩa 17

2.3.2 Đặc điểm của CWT 19

2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet 21

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc 22

2.4.1 Định nghĩa DWT 22

2.4.2 Tính chất biến đổi DWT 23

2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar 24

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc 25

2.5.1 Phân tích đa phân giải 25

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 27

2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 32

2.5.4 Phân loại Wavelet 35

2.6 Phân tích gói Wavelet 36

2.6.1 Nguyên tử gói Wavelet 37

2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet 39

2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu 39

2.7 Các họ Wavelet 40

2.8 Ứng dụng của Wavelet 42

CHƯƠNG 3 45

ỨNG DỤNG WAVELET TRONG KỸ THUẬT ĐIỀU CHẾ ĐA SÓNG MANG 45 3.1 Giới thiệu 45

3.2 Phát biểu bài toán 45

3.3 Rời rạc hóa tín hiệu và mô hình kênh Fading 46

3.3.1 Rời rạc hóa tín hiệu 46

3.3.2 Mô hình kênh Fading 47

3.4 Mô hình điều chế QAM 52

3.5 Điều chế Fractal 54

3.5.1 Giới thiệu 54

3.5.2 Công thức điều chế Fractal 57

3.5.3 Điều chế tỷ lệ 58

3.5.4 Điều chế Fractal dựa trên wavelet 60

3.5.5 Thiết kế bộ phát: Điều chế 64

3.5.6 thiết kế bộ thu: Giải điều chế 70

3.6 Kết luận 79

CHƯƠNG 4 81

MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 81

4.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng hệ thống thu phát sử dụng điều chế fractal 81

4.1.1 Giới thiệu chung 81

4.1.2 Mô phỏng theo thuật toán đề xuất 81

4.2 Nhận xét kết quả khử nhiễu thu được 82

4.3 Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo 82

4.3.1 Những kết luận chính của đồ án 82

4.3.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 83

Tài liệu tham khảo 84

DANH MỤC HÌNH Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời gian

12

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số 13

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.3) 15

Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 16

Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số 17

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet 21

Hình 2.7: Wavelet Haar 25

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian V jbiểu diễn một không gian con, Wjbiểu diễn chi tiết 26

Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con 29

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 31

Hình 2.11: Băng lọc hai kênh 32

Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử 37

Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói Wavelet 37

Hình 3.1: Mô hình điều chế 45

Hình 3.2: Sơ đồ nguyên tắc lấy mẫu tín hiệu 46

Hình 3.3: Sơ đồ bộ điều chế QAM 53

Hình 3.4: Một hệ thống truyền tin truyền chuỗi dữ liệu q[n] có biên độ liên tục hay rời rạc qua kênh truyền có nhiễu, có biên độ thời gian biến đổi 54

Hình 3.5 Mô hình kênh cho kịch bản truyền tin cơ bản 55

Hình 3.6: Hàm cosin Weierstrass 58

Hình 3.7: Sơ đồ điều chế cho các tín hiệu tỷ lệ 60

Hình 3.8: Chia nhỏ băng tần của tín hiệu tỷ lệ và điều chế 61

Hình 3.9 Chuyển đổi Fourier cường độ của các cặp wavelet 61

Hình 3.10 Sơ đồ wavelet cho điều chế fractal 63

Hình 3.11 Trọng số phổ tần của các băng bởi DTFT tín hiệu gốc 64

Hình 3.12 Biểu diễn thời gian - tần số của tín hiệu đồng nhất với bậc H=-1/2 65

Hình 3.13 Hiệu quả phổ của điều chế Fractal Tại mỗi băng thông B, đường liền nét biểu diễn tốc độ lớn nhất mà dữ liệu truyền có thể khôi phục được không có ảnh hưởng của nhiễu Đường nét đứt biểu diễn hiệu năng đáp ứng của kế hoạch chuẩn .66

Hình 3.14 Một phần hiển thị thời gian-tần số của tín hiệu được truyền đi cho điều chế Fractal của vector dữ liệu hữu hạn q Trường hợp H = -1/2 69

Hình 3.15 Hiệu năng tỉ lệ lỗi của điều chế Fractal với dữ liệu số Đường liền nét chỉ hiệu năng của điều chế Fractal, còn đường nét đứt chỉ hiệu năng của điều chế chuẩn sử dụng mã lặp 75

Hình 3.16 Sự cân bằng giữa lỗi, tốc độ, và băng thông cho điều chế fractal với tối ưu thiết bị thu cho nhiễu và dữ liệu tương tự Đường liền nét biểu diễn cho hiệu năng của điều chế fractal, còn đường nét đứt tương ứng là hiệu năng của điều chế chuẩn sử dụng mã lặp 79

Hình 4.1: Kết quả SNR thu được sau giải điều chế 82

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU

1 Giới thiệu chung

Trong hệ thống truyền tin, việc truyền tín hiệu được điều chế qua môi kênh truyền có nhiễu, biên độ, thời gian thay đổi thì bên thu làm sao khôi phục lại tín hiệu gốc ban đầu là một bài toán đặt ra Khử nhiễu tín hiệu là một vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm cả về phương diện lý thuyết và thực tiễn Việc khử nhiễu đặt ra vấn đề là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu bị nhiễu càng giống với tín hiệu nguyên bản càng tốt

mà vẫn giữ lại được những đặc điểm quan trọng của tín hiệu Có nhiều thuật toán khác nhau được công bố, mỗi thuật toán có những ưu và nhược điểm riêng Những phương pháp khử nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp lọc tuyến tính như lọc

Wiener (Wiener filtering), lọc phù hợp (Matched filtering), lọc thích nghi (Adaptive

filtering),…

Lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đã xuất hiện từ trước đó rất lâu Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ cuối những năm 1970 và 1980 Ban đầu J Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi

Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải tần số cho các thành phần tần số thấp hơn Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn có độ phân giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi Để giải quyết vấn đề này, J.Morlet đã đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay

trải hàm này ra để thu được hàm tần số thấp hơn Để theo dõi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian

Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng: tín hiệu được khai triển trên một tập

hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ _mother Wavelet)

ψ (1.1)

Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ

phân giải thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích

(analyzing Wavelet ) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích

tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ

Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới quan tâm nghiên cứu Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả

năng ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học,

kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo

động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân

từng phần (partial differential equation)

1.1 Các công cụ phân tích thời gian - tần số

Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier Các phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier Tín hiệu ƒ(t) ban đầu được nhân với hàm cửa sổw(t−τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền thống Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín

hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại Một ví dụ điển hình của hàm cửa sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946

Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay

co vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ ( )t Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần

số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp

Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn đề quan trọng cần quan tâm Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao theo tần số Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân giải tần số

Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó Diện tích cơ bản trong

mặt phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile) Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa

sổ hình chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số

Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ lệ Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian Tương tự như vậy, nhân với jw S t

e dẫn đến dịch ô ngói bởi wS Ngoài ra, cần chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích thước hẹp vô hạn Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm

cơ sở được sử dụng cho khai triển

Giả thiết tín hiệu f( )t tập trung quanh t0với phổ tần số F(w) tập trung quanh

w0, ∆t biểu diễn độ phân giải thời gian của f( )t , ∆w là độ phân giải tần số của

F(w)

0 2

2

11

π (1.3)

với E là năng lượng của tín hiệu Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên lý bất định Heisenberg Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân giải thời gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆t∆w Nếu f( )t phân rã nhanh hơn 1/ t khi t→ ∞thì nguyên lý bất định khẳng định:

em được cấu trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu Giới thiệu chung một số khái niệm trong đồ án, trình

bày mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong đồ án

Chương 2: Lý thuyết Wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet,

những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau Giới thiệu những ưu điểm và ứng dụng của Wavelet, đặc biệt trong ứng dụng điều chế đa sóng mang

Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong kỹ thuật điều chế đa sóng mang

Phát biểu bài toán, trình bày về các kỹ thuật sử dụng trong mô hình truyền thông sử dụng điều chế Fractal, thiết kế bộ thu và bộ phát

Chương 4: Mô phỏng và kết luận Giới thiệu chương trình mô phỏng điều

chế Fractal được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích kết quả

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT WAVELET

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi

là Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ,

trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ

số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã

hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong

lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần

kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học,

fractals, turbulence , dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học

như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

2 2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.2.1 Biến đổi Fourier

Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý

tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau đó tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính Năm

1965, một thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier

Transform) được phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công

f

dt e t f w

F

iwt jwt

)()

(

)()

(

(2.1)

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ -∝ tới +∝ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay

đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều đó có nghĩa là

biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần

số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ

đó

Để khắc phục vấn đề này, biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là

biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra Trong

biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng

đoạn được phân chia có thể coi là dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ

được lựa chọn Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu là phù hợp Định nghĩa STFT:

= ∫ − −

t

jwt

dt e l t w t f w

l STFT ( , ) [ ( ) *( )] (2.2)

với w là hàm cửa sổ

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần

số-thời gian

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần

số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh

độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường

hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp

là khó khăn

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật

lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử

dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet

Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu

diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc

có các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín

hiệu y sinh: tín hiệu điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG (electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram)

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):

1 , ( ) (2.4)

là hàm cửa sổ còn được gọi là Wavelet mẹ (mother wavelet), a là tỷ lệ và b là

khoảng dịch, ψ*(t) là liên hợp phức của hàm Wavelet ψ(t) Thuật ngữ Wavelet nghĩa là sóng nhỏ Hàm Wavelet gốc là nguyên mẫu đầu tiên để tạo nên các hàm cửa sổ

Thuật ngữ dịch (translation) liên quan với vị trí của cửa sổ, như là cửa sổ được dịch chuyển trên tín hiệu Thuật ngữ này rõ ràng tương ứng với thông tin thời gian trong miền khai triển (transform domain) Tuy nhiên, chúng ta không có tham

số tần số như trong biến đổi STFT Thay thế cho tham số tần số, chúng ta có khái niệm tỷ lệ, là phép toán mở rộng hoặc nén tín hiệu Các tỷ lệ nhỏ tương ứng với mở rộng hay giãn các tín hiệu và các tỷ lệ lớn tương ứng để nén tín hiệu Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau – xem hình 2.3:

Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín

hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn

bộ tín hiệu

Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

Hình 2.3: B iểu diễn CWT theo biểu thức (2.3)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là

phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

Điểm khác biệt đáng chú ý nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các hàm Wavelet riêng được khu biệt trong không gian, trong khi các hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không Đặc điểm khu biệt, cùng với sự khu biệt các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng Wavelet được rải

rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet Sự rải rác này, dẫn đến một số ứng dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu

Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt phẳng thời gian-tần số Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong

FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian-tần số

Hình 2.4: Các hàm Fourier c ơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên

Hình 2.5: Các hàm c ơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và

sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số

Một điểm cần ghi nhớ rằng các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn

so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.5)

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là

liên hợp phức của hàm wavelet ψa,b(t) Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet

b

1 , ( ) (2.6)

với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung

bình bằng không: ∫∞

∞

−

= 0 )

( dt t

ψ Hàm Wavelet ψa,b(t)có dạng bất biến trong không

gian L2(R) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá 2

1

−

a Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược:

(

a

dadb t b a W C

t

ψ

(2.7) trong đó Cψphải thoả mãn điều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

(2.8) với ψ(ω)là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ ,b(t) Cψ là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet ψ ,b(t) Cψ là hữu hạn chỉ khi hàm ψ(0)=0hay điều kiện tương đương:

+∞∫

∞

−

= 0)

( dt t

ψ (2.9)

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy chúng được khu biệt rõ ràng trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần

số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.3.2 Đặc điểm của CWT

Các đặc điểm quan trọng nhất của Wavelet là các điều kiện thừa nhận

(admisibility condition) và các điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và các

đặc điểm này dẫn đến tên gọi Wavelet (sóng nhỏ) Người ta chứng minh rằng tích phân bình phương các hàm ψ(t) thoả mãn điều kiện admissibility:

Đó là điều kiện điều chỉnh (regularity condition) và điều kiện này yêu cầu hàm Wavelet phải trơn và tập trung trong cả miền thời thời gian và tần số Regularity là

một khái niệm phức tạp và chúng ta sẽ giải thích điều kiện này sử dụng khái niệm

momen triệt tiêu (vanishing moment)

Nếu khai triển biến đổi Wavelet (2.5) thành chuỗi Taylor ở t = 0 cho tới bậc

p p

n O dt a

t p

t f

1)0,(

(2.14)

Ở đây ƒp có nghĩa là đạo hàm bậc p của ƒ và O(n + 1) nghĩa là phần dư của biểu thức Bây giờ nếu đặt các momen của Wavelet bằng Mp:

M p =∫t pψ( )t dt

(2.15) thì có thể viết lại (2.13) thành khai triển hữu hạn:

++

+

2

2 2 1 1 0

!

0

!2

0

!1

00

1)0,(

n

a O a M n

f a

M

f a M

f a M f a

a

(2.16)

Từ điều kiện admissibility có momen M0 = 0 do vậy số hạng đầu tiên bên vế phải là bằng 0 Nếu chúng ta tìm được cách làm cho các momen khác và momen Mn

cũng bằng 0, thì các hệ số biến đổi Wavelet W(a,b) sẽ phân rã nhanh như an + 2

cho tín hiệu trơn ƒ(t) Đó là lý thuyết về momen triệt tiêu hay bậc xấp xỉ Nếu Wavelet

có momen triệt tiêu N, thì bậc xấp xỉ cho biến đổi Wavelet cũng là N Trên thực tế, nghiên cứu thực nghiệm đưa ra nhận định rằng số momen yêu cầu phụ thuộc lớn vào ứng dụng

2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

Biến đổi wavelet liên tục cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống như công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: Nếu hàm f(t)∈L2(R)và có biến đổi Wavelet liên tục là Wf(a,b) thì:

a

dadb b

a C

dt t f

t = − ω −

πψ

2

πω

ψ = e− − (2.21)

Hệ số π

2

1được chọn để choψ( )ω =1(chuẩn hoá năng lượng)

Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet

2 4 Biến đổi Wavelet rời rạc

Vì những hàm Wavelet ψa, b( )ω được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψa, b( )ω rất dư thừa Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong

lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band

coding) Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển

được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa

phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

k

j n n

f k

j C b a

C , , ψ , (2.22)

với ψ j , klà Wavelet rời rạc được định nghĩa:

j j

2

22

1)

Biến đổi DWT có thể biến đổi ngược nếu như tập hợp tương ứng của các

mẫu xác định một khung Wavelet:

≤∑ ( ) ≤

b

f B b

a f f

A

,

2 2

2

,,ψ (2.24)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

j C n

f , ψ , (2.25)

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (2.24) là A=B=1, thì phép biến đổi

là trực giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng

này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (2.25) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Để tìm hiểu tại sao phép tổng (2.25) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ, phần tiếp theo của chương sẽ đưa ra khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ

số này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như

sau: Nếu ψ ( )x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu

tiên triệt tiêu, nghĩa là:

h

ψ 2 1 1 (2.28) Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

k h

k h k

h 2 0 (2.32)

Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi

dãy h(k) và để biểu diễn sự phân tích và khôi phục Wavelet chúng ta chỉ cần các hệ

10

,1

t

t t

12

/1,1

2/10

,1

t

t

t t

ψ (2.34)

Hình 2.7: Wavelet Haar

2 5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc

Định nghĩa: Không gian L2

= L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂L2( )R :

• {φ(t−k) }k∈Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V (2.35e) 0

Như vậy họ { φ (t− ,k) k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian

tham chiếu V Các không gian 0 V j lồng vào nhau Không gian L2

(R) đóng kín tập hợp mọi V j

Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L 2 biểu diễn toàn bộ không gian V j biểu diễn một không gian con, W j biểu

di ễn chi tiết

Hàm tỷ lệ φ ( )t :

Hàm φ ( )t trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling

function) hay hàm cha (father function) đôi khi còn được gọi là hàm xấp xỉ

( )t j ( j t k)

k

j, =2 /2φ 2 −

φ , j,k∈Z (2.36) Với V j =span{φj,k :k∈Z}

Họ {ψj,k :k∈Z}tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

( )= ∑ ( − )

k

k t k h

ψ là một cơ sở trực chuẩn của W j

Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, có một tỷ số j = J cho các hệ

số wavelet w j,klà đủ nhỏ Do đó có thể viết hàm f J ∈ thành V J

2 1

0 j0

= 1

0

, 0 , 0 ,

J j

J J k j k j k

j k

w ψ φ (2.40)

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ∈W0 ⊂V1, và ψ (2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của V1, ψ có thể được viết thành:

( )= ∑ ( − )

k

k t k g

t 2 φ 2

ψ (2.41)

được gọi là phương trình Wavelet

Các hệ số ( )h và k ( )g k từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet

tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự

phân chia (upsampling ) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật toán Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

H

H G

Hình 2.9 : Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con

(a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp

Trong hình vẽ 2.9, tín hiệu được được biểu thị bởi dãy x[n], với n là số nguyên Bộ lọc thông cao được biểu thị bởi G, trong khi bộ lọc thông thấp được biểu thị bởi H Ở mỗi mức, bộ lọc thông cao G đưa ra thông tin chi tiết d[n], trong khi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra các xấp xỉ thô a[n]

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu

kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là ω/2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là ω rad/s,

do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự

xâu chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá

trình phân tích

Hình 2.9b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phân tích Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.38) và (2.41) trong phần trước, dãy l2 {h( )k ,k∈Z}và

( )

{g k ,k∈Z} là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý

tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:

g = −1n 1− (2.42) Dãy h(k) được biết đến như là bộ lọc thông thấp trong khi dãy g(k) là bộ lọc thông cao Các bộ lọc thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực giao:

( )= 2,∑ ( )=0

∑

k k

k g k

h (2.43)

Với dãy f ={ }f n đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán

tử H và G được xác định bởi các biểu thức:

h(k), g(k) tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc

Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương

ứng với bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

( 2 1 ) ( ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 )

,,,,,,

,,,

Gf

(2.46) chúng ta có thể gọi các hệ số ( )1 ( 2) ( )1 ( )0

,,,

Hc

c − 1 = − 1 =

, (2.47)

Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử

Quy trình khôi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích Tín hiệu ở mọi

mức được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu

=∑ −

= (2.50) trong miền thời gian:

( ) ( ) ( ) ( ) 0

,C H c d

G H

D j = j j = n (2.51)

Dj, C được gọi là các chi tiết và xấp xỉ

2 5.3 Biểu diễn ma trận DWT

Trong tính toán DWT sử dụng các phép toán tuyến tính, do đó có thể biểu diễn phép toán DWT dưới dạng ma trận Trước tiên trình bày về băng lọc hai kênh

là phần từ cơ bản của thuật toán hình chóp

Hình 2.11: B ăng lọc hai kênh

Cấu trúc trên bao gồm bốn bộ lọc, có thể chia băng lọc hai kênh thành hai

băng lọc cơ bản là băng lọc phân tích và băng lọc tổng hợp Băng lọc phân tích có

bộ lọc thông thấp H(z) và bộ lọc thông cao G( z) Đầu ra y và g y h từ các bộ lọc này được phân chia và giữ lại các thành phần chẵn

Phép toán thứ nhất là tích chập Sự chuyển đổi tuyến tính được biểu diễn bởi

ma trận Toeplitz (ma trận đường chéo không đổi) Các hệ số h(k) xuất hiện trên

đường chéo phụ Vectơ đầu vào x là rất dài trong thực tế và vô hạn trong lý thuyết,

như vậy ma trận bộ lọc H f là vô hạn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

:101:

::::::::

:01230

0:

:001230

:

:000123:

::::::::

h h h f

v v v

x x x

h h h

h

h h h

h

h h h

h x

(2.52) Lấy mẫu xuống loại bỏ y(-l) và y(l):

::::::::::

:001230

00:

:00001230:

::::::::::

h

h

y

y x

x h

h h h

h h h

h

(2.53) Khi kết hợp hai bộ lọc phân tích H và G nhờ chèn vào các hàng của ma trận chúng ta có ma trận Toeplitz biểu diễn băng lọc phân tích:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

:3210:

:::::

::

:

:01

23

00

:

:0123

00

:

:0001

23

:

:0001

23

:

:::::

::

:

g h g h

a

y y y y

x x x x

g g g

g

h h h

h

g g g

g

h h h

h

Khi tái tổng hợp lại tín hiệu chúng ta có cơ sở đối ngẫu TS:

x T T y T

x= S = S a (2.55)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

:1100:

:::::

::

:

:0123

00

:

:0123

00

:

:0001

23

:

:0001

23

:

:::::

::

:

x x x x

y y y y

g g g

g

h h h

h

g g g

g

h h h

h T

g h g

h T

Điều kiện để khôi phục tín hiệu hoàn hảo:

I T T T

T a S = S a = (2.57) Xác định H tưong tự như H nhưng với g(j) là bậc đảo, đầu ra của hệ thống

T S

dạng băng lọc dải bát độ (octave-band filter bank), hình 2.9 biểu diễn các băng lọc

cấu trúc cây Chúng ta thấy rằng tín hiệu ban đầu được chia ra qua băng lọc hai kênh, sau đó phiên bản thông thấp lại được phân sử dụng cùng băng lọc và tiếp tục

như vậy Có thể chứng minh được rằng cấu trúc này thực hiện đầy đủ một chuỗi Wavelet trực giao gián đoạn theo thời gian Nếu như băng lọc hai kênh là trực chuẩn, băng lọc này thực hiện một chuỗi Wavelet gián đoạn thời gian trực chuẩn

Nếu như tín hiệu qua bộ lọc G(z) sau nội suy với hệ số 2 là tương đương với tín hiệu được nội suy hệ số 2 sau khi qua bộ lọc G( z2), chúng ta có thể biến đổi bất

kỳ băng lọc bát độ nào với các tầng J thành một kênh J Ví dụ, băng lọc bốn kênh

với các bộ lọc thông thấp và thông cao G( z), H( z), chúng ta thu được các bộ lọc

3

2 1

2 1 1

z H z H z H z H

z G z H z H z G

z G z H z G

z G z G

J

z H z

H H z

j K

j

z H z

G z

G H z

x

H j (2.65)

Như vậy, chúng ta có ma trận tổng hợp đơn vị TSnhờ chèn các hàng:

J J

H GH GH

G, ,, −1, như được thực hiện trong (2.54) Ma trận W= biểu Ta

diễn ma trận biến đổi Wavelet

Chúng ta có thể phân loại Wavelet thành hai dạng: (a) trực giao và (b) song trực giao Dựa trên cơ sở ứng dụng để lựa chọn sử dụng Wavelet thích hợp

2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter banks)

Các hệ số của các bộ lọc là số thực Các bộ lọc là cùng độ dài và không đối xứng Bộ lọc thông thấp H và bộ lọc thông cao G là liên hệ với nhau:

( )z =z− H(−z− 1)

G N (2.66) Hai bộ lọc là xen kẽ động với nhau Sự xen kẽ này tự động đưa đến tính trực

giao double-shift giữa các bộ lọc thông thấp và thông cao, nghĩa là tích vô hướng của các bộ lọc cho dịch 2 là bằng không, nghĩa là ∑H( ) (k G k−2)=0 với kЄZ Các bộ lọc thoả mãn biểu thức (2.64) được gọi là các bộ lọc gương liên hợp CMF

(Conjugate Mirror Filters) Sự khôi phục hoàn hảo là có thể với sự xen kẽ động

(alternating flip)

Mặc dù với sự khôi phục hoàn hảo, các bộ lọc tổng hợp là giống hệt với các

bộ lọc phân tích Các bộ lọc trực giao cung cấp một số lượng lớn các momen triệt

tiêu Đặc điểm này ứng dụng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh Các bộ lọc trực giao

có cấu trúc cân đối, đều đặn dẫn đến việc thực hiện và mở rộng cấu trúc dễ dàng

2.5.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks)

Trong trường hợp các bộ lọc Wavelet song trực giao, các bộ lọc thông thấp

và thông cao không có cùng độ dài Bộ lọc thông thấp luôn đối xứng trong khi bộ lọc thông cao là bất đối xứng Các hệ số của bộ lọc có thể là số thực hay số nguyên

Để sự khôi phục hoàn hảo, băng lọc song trực giao có toàn bộ độ dài lẻ hay tất cả là độ dài chẵn Hai bộ lọc phân tích có thể cùng đối xứng với độ dài lẻ hay một đối xứng với độ dài lẻ và một bất đối xứng với độ dài chẵn Cũng như vậy, hai

tập hợp của các bộ lọc phân tích và tổng hợp cũng phải đối ngẫu (dual) Các bộ lọc

song trực giao pha tuyến tính là các bộ lọc phổ biến cho những ứng dụng nén dữ liệu

2.6 Phân tích gói Wavelet

Phân tích gói Wavelet (WPA) là sự khái quát hoá phân tích Wavelet cho những thủ tục phân tích phức tạp hơn Trong thủ tục phân tích Wavelet trực giao, bước chung là phân chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần Sau khi phân chia chúng

ta thu được vectơ của các hệ số xấp xỉ và vectơ của các hệ số chi tiết, cả hai ở tỷ lệ thô Thông tin bị mất giữa hai bước xấp xỉ kế tiếp được giữ lại trong các hệ số chi tiết

Bước tiếp theo bao gồm phân chia vectơ hệ số xấp xỉ mới, các chi tiết kế tiếp không được phân tích lại Theo trạng thái gói Wavelet tương ứng, mọi vectơ hệ số chi tiết cũng được phân tích thành hai phần sử dụng cùng phép tính gần đúng như trong sự phân chia vectơ xấp xỉ Điều đó dẫn đến phân tích phức tạp, cây nhị phân đầy đủ được đưa ra như trong hình 3.12 Sự so sánh giữa biểu diến trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ của Wavelet và gói Wavelet được mô tả trong hình 3.13

Các hàm cơ bản wnvới n≥0 là chỉ số tần số danh định:

( )x h w n( x k)

Z k

∈

22

wn (2.67)

( ) ∑ ( )

∈

Z k

n k

w 1 2 2 n=0,1,2 (2.68)

Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử

Hàm ban đầu w0 =φchỉ là hàm tỷ lệ, cũng như vậy w1=ψ Hàm phân tích

được gọi là nguyên tử gói Wavelet (wavelet packet atom) được cho trong trường

hợp trực giao:

( )x = −j w n( −j x−k)

22

wj,k,n /2 (3.72)

Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet

và gói Wavelet

2.6.1 Nguyên tử gói Wavelet

Ví dụ của nguyên tử gói Wavelet được sinh ra từ Wavelet Daubechies 2

Trong biểu diễn Wavelet, k biễu diễn tham số thời gian và j là tham số tỷ lệ Còn tham số n, như trong hình 2.14 wn( )x “dao động” xấp xỉ n lần Do vậy với các giá trị cố định của j và k, wj, k, n phân tích thay đổi của tín hiệu quanh vị trí j −k

t

u 2 3/2 2 3 (2.70)

Ở đây tần số danh định là 5 và chỉ số tỷ lệ 3 Các tích trong của biểu thức (2.70) sẽ được tìm thấy trong ô được tô đậm GHGx, với số 5 từ bên trái ở mức 3 từ đỉnh khi đánh chỉ số bắt đầu từ 0

Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2

Người ta nhận ra rằng cơ sở gói Wavelet bao gồm cơ sở Wavelet

Đặt W n( )x ={Wj,k,n( )x ,k∈Z}là tập hợp của các gói Wavelet

Z k k x x

,W

{WD,0, Wd,1,d ≥1} là một cơ sở trực giao của V0

Sử dụng phương pháp đệ quy tương tự,{Wn+1, 2n,Wj+1,2n+1} là một cơ sở trực giao của không gian được mở rộng bởỉ W n Điểu đó dẫn đến sự loại bỏ các nhánh nhị phân liên kết của cây gói Wavelet tương ứng với một cơ sở trực giao của không gian ban đầu Với tín hiệu có năng lượng xác định, bất kỳ cơ sở gói Wavelet nào cũng sẽ đưa ra sự khôi phục chính xác và đưa ra một cách mã hoá tín hiệu riêng sử dụng các thông tin phân bố trong các băng con tỷ lệ tần số

Dựa trên tổ chức của thư viện gói Wavelet, và cùng với các phân tích đưa ra

từ Wavelet trực giao cơ sở, đưa đến kết quả là một tín hiệu với độ dài N = 2Lcó thể khai triển theo 2N cách khác nhau, số lượng các nhánh con của nhánh nhị phân đầy

đủ của độ sâu L Để xác định xem phân tích nào tốt nhất chúng ta phải tìm sự phân tích tối ưu đối với một tiêu chuẩn thích hợp Tiêu chuẩn cơ sở entropy phù hợp các điều kiện này và mô tả các tính chất thông tin liên quan cho một biểu diễn chính xác của tín hiệu đã cho

Với bất kỳ node trung gian nào trong một cây nhị phân đầy đủ ở độ sâu D

tương ứng với cây phân tích gói Wavelet, chúng ta sử dụng bước cơ bản để tím

nhánh tối ưu thoả mãn tiêu chuẩn entropy đã cho E, với Eopt biểu thị giá trị entropy

E( ) , với C là tập hợp các nút con của node

Nếu(node≠root) (E opt node)=E(node) (2.72)

∈

≥

C k opt k E node

E( ) , với C là tập hợp các nút con của node

∈

≥

C k opt opt node E k

E( ) 2log 2 (2.73)

2 7 Các họ Wavelet

Hiện nay có một số hàm cơ bản có thể được sử dụng như là Wavelet mẹ cho các biến đổi Wavelet Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet được sử dụng trong biến đổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác định các đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riêng cần được quan tâm và Wavelet mẹ thích hợp sẽ được chọn để có được biến đổi Wavelet hiệu quả