Quá trình bessel và các quyền chọn châu á

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG ————oOo———— TRẦN VĂN SAN QUÁ TRÌNH BESSEL VÀ CÁC QUYỀN CHỌN CHÂU Á Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 604636 LUẬN VĂN THẠC SỸ TP HỒ CHÍ MINH: tháng 06 năm 2011 i CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Thu Cán chấm nhận xét 1: PGS TSKH Bùi Tá Long Cán chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Bá Thi Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 23 tháng năm 2011 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: PGS.TS Nguyễn Đình Huy TS Nguyễn Quốc Lân PGS TSKH Bùi Tá Long TS Nguyễn Bá Thi GS TSKH Nguyễn Văn Thu CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS.TS Nguyễn Đình Huy TS Huỳnh Quang Linh ii ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Trần Văn San Ngày, tháng, năm sinh: 18-09-1980 Chuyên ngành: Tốn ứng dụng MSHV: 09240488 Nơi sinh: Thanh Hóa Mã số: 604636 I TÊN ĐỀ TÀI: Quá trình Bessel quyền chọn châu Á II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Trình bày sở lý thuyết trình Bessel quyền chọn châu Á Ứng dụng tính tốn giá trị quyền chọn mua giá vàng giới III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: ngày 14 tháng 02 năm 2011 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: ngày 14 tháng 07 năm 2011 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS.TSKH Nguyễn Văn Thu TP.Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng năm 2011 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) GS.TSKH Nguyễn Văn Thu PGS.TS Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) TS Huỳnh Quang Linh iii Lời cảm ơn Lời tơi trân trọng kính gửi đến thầy hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu, người Thầy hết lịng học trò lòng biết ơn chân thành sâu sắc Từ Thầy, ngày hiểu thêm ý nghĩa việc nghiên cứu Toán học tưởng chừng khơ khan ứng dụng Tơi xin khắc ghi lời dạy, bảo ân cần Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến q Thầy, Cơ ngồi mơn Tốn trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa khoa học ứng dụng, q Thầy, Cơ thuộc Phịng Quản lý Sau Đại học, thư viện trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn anh chị lớp Cao học Toán Ứng Dụng đồng nghiệp khoa giáo dục đại cương trường cao đẳng Công Thương TP Hồ Chí Minh động viên nhiệt tình giúp đỡ suốt thời gian qua Tôi không quên gửi lời biết ơn đến gia đình nhỏ tơi, người hết lịng lo lắng ln bên tơi lúc khó khăn Sau cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong bảo q Thầy, Cơ góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2011 Học viên Trần Văn San iv Lời giới thiệu Trong phát triển xã hội nay, người phải đối mặt với nhiều vấn đề tự nhiên xã hội cần thiết phải giải Trong số biến động thất thường khí hậu, biến động giá loại hàng hóa, tăng trưởng phân bố khơng đồng dân số, diễn tiến thất thường số loại bệnh dịch, tác động phần không nhỏ đến phát triển xã hội Mỗi vấn đề nghiên cứu giải nhiều cách khác với công cụ khoa học khác nhau, tùy theo đặc điểm u cầu vấn đề Tìm quy luật biến đổi đối tượng cần nghiên cứu giải Cùng với số trình Lévy, Poisson, Markov, Gaussian, trình Bessel trình quan trọng để giải vấn đề trên, đặc biệt tốn học tài Các quyền chọn châu Á khó để định giá xác định quyền bảo hộ, thời điểm tại, khơng tồn giải pháp hình thức để phân tích giá chúng Vì thế, có nhiều phương pháp mơ hình giải như: phương pháp tiếp cận Monte Carlo, phương pháp tiếp cận phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp xấp xỉ hàm siêu bội, Đặc biệt phương pháp biến đổi Laplace cho quyền chọn châu Á German-Yor tìm thấy năm 1993 đóng góp tích cực cho phát triển tốn học tài Các nghiên cứu ngồi nước: Trên giới có nhiều nhà tốn học lớn Daniel Dufresne, Geman, Yor, Carr, Schroder, Donati-Martin, Andreas E Kyprianou, Ronald A Doney, có nhiều đóng góp quan trọng nghiên cứu phát triển lý thuyết ứng dụng trình Bessel nhiều lĩnh vực khác đặc biệt tốn học tài Trong nước, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu nghiên cứu lý thuyết trình ngẫu nhiên phát triển tính ứng dụng tốn học tài Liên quan vấn đề năm 2007, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu có cơng trình: A kingman convolution approach to Bessel processes Probalbility And Math Statistics Vol Nội dung nghiên cứu: Luận văn trình bày hai nội dung: Thứ nhất, mơ tả áp dụng tính chất q trình Bessel có liên quan đến tích phân chuyển động Brown hình học (IGBM: integral of geometric Brownian motion) Thứ hai, trình bày quyền chọn châu Á, công thức Geman-Yor cho biến đổi Laplace giá quyền chọn châu Á áp dụng Phương pháp thực hiện: Lý thuyết trình Bessel dựa sở lý thuyết nhiều nghành toán học v như: Giải tích ngẫu nhiên, Lý thuyết xác suất, Lý thuyết thống kê, Do vậy, phương pháp thực đề tài sau : lý thuyết tảng thiết yếu tìm hiểu đề cập trước, thống ký hiệu cách gọi tên tồn đề tài Sau sâu tìm hiểu, chứng minh chi tiết tính chất q trình Bessel Tiếp theo đưa cơng thức xác định giá trị quyền chọn châu Á với hai cách tiếp cận ứng dụng Bố cục luận văn: Chương 1: trình bày tóm tắt số trình ngẫu nhiên Giới thiệu martingale, nửa martingale liên tục tính chất martingale Sau chuyển động Brown hình học tính chất Và cuối trình bày tích phân Itơ, phương trình vi phân ngẫu nhiên định lý Girsanov Chương 2: gồm hai phần: Phần thứ trình bày số định nghĩa tổng quát trình Bessel, trình Bessel bình phương, quỹ đạo q trình Bessel, tốn tử cực vi, Phần thứ hai trình bày tính chất cộng tính trình Bessel bình phương, hàm mật độ chuyển đổi q trình Bessel bình phương tính chất trình Bessel Đặc biệt định lý Lamperti mối quan hệ trình Bessel chuyển động Brown hình học số kết biến đổi Laplace từ trình Bessel Cuối trình Bessel với số chiều âm trình Cox-Ingersoll-Ross Chương 3: thiết lập mơ hình Black-Scholes định nghĩa quyền chọn châu Á Công (ν) thức Geman-Yor cho biến đổi Laplace quyền chọn châu Á Luật phân phối AΘ (ν) At với momen At Sau quyền chọn châu Á tiếp cận theo hướng biến đổi Laplace, hướng phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng cho định giá quyền chọn mua vàng thị trường vàng giới Kết luận hướng phát triển đề tài Tài liệu tham khảo vi Mục lục Lời cảm ơn iv Lời giới thiệu v Mục lục viii Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Bộ lọc 1.1.2 Độ đo xác suất tương đương 1.1.3 Tích chập biến đổi Laplace 1.1.4 Quá trình Gauss 1.1.5 Quá trình Markov 1.2 Martingale 1.2.1 Định nghĩa martingale 1.2.2 Không gian Martingale 1.2.3 Thời điểm dừng 1.2.4 Biến phân bậc hai martingale địa phương 1.2.5 Biến phân bậc hai nửa martingale liên tục 1.3 Chuyển động Brown 1.4 Tính tốn ngẫu nhiên 1.4.1 Công thức tích phân phần 1.4.2 Công thức Itô 1.4.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.4.4 Định lý Girsanov 1 1 3 4 6 7 10 Quá trình Bessel 2.1 Định nghĩa tính chất ban đầu 2.1.1 Một số định nghĩa 2.1.2 Tính chất quỹ đạo 2.1.3 Toán tử cực vi 2.2 Tính chất 2.2.1 Tính chất q trình Bessel bình phương 2.2.2 Tính chất q trình Bessel 12 12 12 13 14 15 15 19 vii 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 Định lí Lamperti Biến đổi Laplace Quá trình Bessel bình phương với số chiều âm Quá trình Cox-Ingersoll-Ross (CIR) q trình BESQ Quyền chọn châu Á 3.1 Mơ hình Black-Scholes quyền chọn châu Á 3.1.1 Mơ hình Black-Scholes 3.1.2 Quyền chọn châu Á công thức Geman-Yor (ν) (ν) 3.1.3 Luật phân phối AΘ At 3.1.4 Các momen At 3.2 Định giá quyền chọn châu Á 3.2.1 Tiếp cận theo hướng biến đổi Laplace (GY) 3.2.2 Tiếp cận theo hướng PDE 3.3 Áp dụng định giá giá vàng thị trường giới 3.3.1 Các giải thuật tính tốn cho ứng dụng 3.3.2 Độ bất ổn khứ 3.3.3 Các kiểm định 3.3.4 So sánh kết tính tốn Kết luận hướng phát triển đề tài Tài liệu tham khảo 22 24 27 29 31 31 31 32 37 41 42 42 45 46 46 47 52 53 55 viii Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 1.1.1 Một số định nghĩa Bộ lọc Bộ lọc F = (Ft , t ≥ 0) họ σ−đại số Ft không gian xác suất (Ω, F, P ), cho Fs ⊂ Ft với s < t Một lọc gọi thỏa mãn với giả thiết thông thường (tiêu chuẩn) nếu: (i) Ft = ∩u>t Fu (tính liên tục phải), (ii) σ−đại số F0 chứa tất tập P −đo Một không gian xác suất mà trang bị thêm lọc gọi không gian xác suất lọc Một lọc G gọi lọc F Gt ⊂ Ft với ∀t ≥ 1.1.2 Độ đo xác suất tương đương Cho P Q hai độ đo xác suất định nghĩa không gian đo (Ω, F) Xác suất Q gọi liên tục tuyệt đối ứng với P , (ký hiệu Q ≪ P ) P (A) = Q(A) = 0, với A ∈ F Khi tồn biến ngẫu nhiên dương L với F-đo được gọi mật độ Radon-Nikodym Q ứng với P , cho ∀A ∈ F, Q(A) = EP (L1A ) Hai xác suất P Q gọi tương đương ký hiệu P ∼ Q, chúng có độ đo tập, nghĩa là, với A ∈ F, Q(A) = ⇔ P (A) = 1.1.3 Tích chập biến đổi Laplace Mệnh đề 1.1.3.1 Cho P Q hai độ đo σ-hữu hạn (IR, B(IR)) Với tập Borel A B(R), đặt (P ∗ Q)(A) := ∫ ∫ IA (x + y)P (dx)Q(dy), (P ∗ Q)(.) độ đo (IR, B(IR)) (1.1) Chứng minh: Xem chương V, trang 160, [20] Định nghĩa 1.1.3.1 Cho hai độ đo σ-hữu hạn P Q (IR, B(IR)), độ đo (P ∗ Q)(A) định nghĩa mệnh đề gọi tích chập hai độ P Q Chứng minh: Xem chương V, trang 161, [20] Định nghĩa 1.1.3.2 Cho hai độ đo mở rộng P Q (IR, B(IR)) Tích chập hai độ P Q mở rộng, ký hiệu (P ∗ Q)(A) độ đo mở rộng định nghĩa ∫∫ (P ∗ Q) (A) = IA (x + y)d(P × Q) Định nghĩa 1.1.3.3 (Biến đổi Laplace) Cho f hàm nhận giá trị thực hoăc phức với biến số thực x ≥ s tham số thực phức Hàm ∫+∞ F (s) = (Lf ) (s) := e−sx f (x)dx gọi biến đổi Laplace f (nếu tích phân suy rộng tồn tại) Định nghĩa 1.1.3.4 (Biến đổi Laplace ngược) Cho F hàm giải tích nửa mặt phẳng {Re(z) ≥ z0 } với z0 có phần thực đủ lớn thỏa mãn điều kiện bị chặn Biến đổi Laplace ngược định nghĩa L−1 (F )(x) = 2πi z0∫+i∞ ezx · F (z)dz, z0 −i∞ với số thực dương x F thỏa mãn điểm bất thường vơ cực cho tích phân tồn 1.1.4 Quá trình Gauss Một trình ∑n nhận giá trị thực (Xt , t ≥ 0) trình Gauss tổ hợp tuyến tính i=1 Xti biến ngẫu nhiên Gauss Luật phân phối trình Gauss đặc trưng hàm kỳ vọng φ(t) = E(Xt ) hàm tương quan c(t, s) = E(Xt Xs ) − φ(t)φ(s) thỏa mãn ∑ λi λj c(ti , tj ) ≥ 0, ∀λ ∈ C n i,j Định nghĩa 1.1.4.1 ∫(Khả tích đều) Một họ biến ngẫu nhiên (Xi , i ∈ I), khả tích supi∈I |Xi |≥a |Xi |dP → a → ∞ Nếu |Xi | ≤ Y Y khả tích, (Xi , i ∈ I) khả tích Cho (Ω, F, F, P ) không gian xác suất lọc biến ngẫu nhiên X F∞ −đo Họ (E (X|Ft ) , t ≥ 0) khả tích 3.2.2 Tiếp cận theo hướng PDE Đặt ∫t I(t) = Sτ dτ, trung bình giá tài sản lịch sử Giá trị thời điểm t < T quyền chọn phụ thuộc vào I, S t, giá trị quyền chọn ký hiệu V (S, I, t) Ta có dI = St dt Áp dụng công thức Itô cho V (S, I, t), ta có ( ) 2 ∂ 2V ∂V ∂V ∂V ∂V dV = σ S + rS + +S dt + σS dB, 2 ∂S ∂S ∂t ∂I ∂S B chuyển động Brown Giả định giá tài sản biến động theo mơ hình Black-Scholes dS = tSdt + σSdBt Ta có ( dV = 2 ∂ 2V ∂V ∂V σ S + +S 2 ∂S ∂t ∂I ∂V dV − dS = ∂S ( ) dt + dS 2 ∂ 2V ∂V ∂V σ S + +S 2 ∂S ∂t ∂I Cho quyền chọn châu Á số lượng mục đầu tư Π=V +S hay ∂V dΠ = dV + dS = ∂S ( ∂V ∂S ∂V ∂S ) dt tài sản Giá trị danh ∂V , ∂S 2 ∂ 2V ∂V ∂V σ S + +S 2 ∂S ∂t ∂I ) dt, với lãi suất không rủi ro Khi danh mục đầu tư ghép với lãi suất không rủi ro, ta ) ( ) ( ∂V ∂V 2 ∂ 2V ∂V σ S + +S dt = dt rΠdt = rV − rS ∂S ∂S ∂t ∂I Từ ta phương trình vi phân ngẫu nhiên quyền chọn châu Á ∂V ∂V ∂V 2 ∂ 2V σ S + rS + +S − rV = 2 ∂S ∂I ∂t ∂I (3.18) Từ giá trị quyền chọn mua châu Á C(S, I, T ) ∂C ∂C ∂C 2 ∂ 2C σ S + rS + +S − rC = 0, 2 ∂S ∂I ∂t ∂I 45 (3.19) với điều kiện cuối ( C(S, I, T ) = max ) I − K, T Bây ta đặt t , C(S, I, t) = Su(t, − z), T ta phương trình vi phân ngẫu nhiên cho Vecer ( ) ( )( ) 1(1 − t − z )2 σ ∂ u(t, z) T ∂z t ∂ ∂ u(t, z) + r − − z u(t, z) + =0 ∂t T ∂z x=1−z− (3.20) với điều kiện cuối u(T, z) = max(z, 0) 3.3 Áp dụng định giá giá vàng thị trường giới Số liệu lấy từ Meta trader trang website http://www.toptrader.com/, website hàng đầu giới tài Chỉ số giá vàng giới tính theo giá trung bình tháng 3.3.1 Các giải thuật tính tốn cho ứng dụng Giải thuật cho hướng tiếp cận biến đổi Laplace (GY) Dùng phần mềm Mathematica 5.2 để xác định giá quyền chọn châu Á kỳ hạn theo hướng biến đổi Laplace Chương trình tính tốn trực tuyến website http://www.wolframalpha.com/input/Asian option calculator Clear[s, r, T, t, t0, K, S, A, v, h, q] r = 0.05; sigma = 0.1943169617; T = 1/12; t = 0; t0 = 0; K = 10000; S = 1384.65; A = 1384.65; v = ∗ r/sigma2 − h = sigma2 /4 ∗ (T − t) q = sigma2 /(4 ∗ S) ∗ (K ∗ (T − t0) − (t − t0) ∗ A) 2 g[s] := N Integrate[Exp[−x] ∗ x(0.5∗(Sqrt[2∗s+v ]−v)−2) ∗ (1 − ∗ q ∗ x)(0.5∗(Sqrt[2∗s+v ]+v)+1) , x, 0, 1/(2 ∗ q), M inRecursion− > 3, M axRecursion− > 10]/(s∗(s−2−2∗v)∗Gamma[0.5∗ (Sqrt[2 ∗ s + v ] − v) − 1]) alpha = 1/sigma2 ∗ (2 ∗ v + 2) g1[x] := g[alpha + x] Giải thuật cho hướng tiếp cận PDE Dùng phần mềm Maple 13 tính tốn để xác định giá quyền chọn châu Á kỳ hạn Chương trình tính tốn trực tuyến website http://www.econ.kuleuven be/eng/tew/academic/afi/resources/asian/default.aspx #results > restart > q := t → − Tt ( ) ∂ ( )( ∂ ) 1(1− Tt −z)2 σ2 ∂z u(t,z) ∂ t > pde := ∂t u(t, z) + r − T − z ∂z u(t, z) + =0 46 > ibc1 := u(T, z) = max(z, 0); > ibc2 := u(t, −1) = 0; > ibc3 := (D[2](u))(t, 1) = > T := 1/12; > S0 := 1384.65.; > K := 1000.; > sigma := 0.1943169617; > r := 0.05; > pds := pdsolve(pde, ibc1 , ibc2 , ibc3 , numeric, spacestep = 0.001, timestep = 0.001); > val := pds : −value(t = 0, output = listprocedure) : > v :=(eval(u(t, ) z), val) : S0 −K > S v S0 ; 3.3.2 Độ bất ổn khứ Ước lượng độ bất ổn khứ dựa giả định độ bất ổn thường lấy khứ tiếp tục tồn tương lai Ta lấy mẫu tỷ suất sinh lợi cổ phiếu giai đoạn gần Chúng ta chuyển tỷ suất sinh lợi thành tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục Tỷ suất sinh lợi hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng khoảng cách thời gian mà muốn Nếu tỷ suất sinh lợi đuợc tính theo tháng kết phương sai tháng phải nhân với 12 để thu số liệu theo năm Giả định có dãy (gồm ) j tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục, tỷ suất St sinh lợi đựơc biểu diễn Rt = ln St−1 , từ đến j Tính tỷ suất sinh lợi trung bình sau: j ∑ ¯= R Rt t=1 j Khi phương sai j ∑ σ = j ∑ ¯ (Rt − R) t=1 j−1 = t=1 ( (Rt ) − j ∑ )2 Rt t=1 j−1 Kết tính tốn độ bất ổn giá vàng giới 47 /j Ngày 1/1/2000 1/2/2000 1/3/2000 1/4/2000 1/5/2000 1/6/2000 1/7/2000 1/8/2000 1/9/2000 1/10/2000 1/11/2000 1/12/2000 1/1/2001 1/2/2001 1/3/2001 1/4/2001 1/5/2001 1/6/2001 1/7/200 1/8/2001 1/9/2001 1/10/2001 1/11/2001 1/12/2001 1/1/2002 1/2/2002 1/3/2002 1/4/2002 1/5/2002 1/6/2002 1/7/2002 1/8/2002 1/9/2002 1/10/2002 1/11/2002 1/12/2002 1/1/2003 1/2/2003 1/3/2003 1/4/2003 1/5/2003 St 283.9 292.7 279.4 273.6 272.6 289.3 277.5 274.2 278.2 264.75 270.7 272.5 266.5 268.6 258.2 263.8 266.1 271.1 267.1 274.7 293.4 279.75 274.65 279.2 282.95 296.8 302.75 308.7 326.8 314.7 303.8 313 324.17 317.77 318.75 347.8 368.15 349.95 336.55 338.55 364.85 St /St−1 1.030997 0.954561 0.979241 0.996345 1.061262 0.959212 0.988108 1.014588 0.951653 1.022474 1.006649 0.977982 1.00788 0.961281 1.021689 1.008719 1.01879 0.985245 1.028454 1.068074 0.953476 0.981769 1.016567 1.013431 1.048949 1.020047 1.019653 1.058633 0.962974 0.965364 1.030283 1.035687 0.980257 1.003084 1.091137 1.058511 0.950564 0.961709 1.005943 1.077684 Rt 0.030526 -0.0465 -0.02098 -0.00366 0.059459 -0.04164 -0.01196 0.014483 -0.04955 0.022225 0.006627 -0.02226 0.007849 -0.03949 0.021457 0.008681 0.018616 -0.01486 0.028056 0.065857 -0.04764 -0.0184 0.016431 0.013342 0.047788 0.019849 0.019463 0.056978 -0.03773 -0.03525 0.029834 0.035065 -0.01994 0.003079 0.087221 0.056863 -0.0507 -0.03904 0.005925 0.074815 48 (Rt − Rˆt )2 0.000571 0.002823 0.000762 0.000106 0.002791 0.00233 0.000346 6.17E-05 0.003156 0.000243 2.47E-31 0.000835 1.49E-06 0.002127 0.00022 4.22E-06 0.000144 0.000462 0.000459 0.003508 0.002945 0.000626 9.61E-05 4.51E-05 0.001694 0.000175 0.000165 0.002535 0.001967 0.001754 0.000539 0.000809 0.000706 1.26E-05 0.006495 0.002524 0.003286 0.002086 4.93E-07 0.004649 LnSt 5.648622 5.679148 5.632644 5.611667 5.608006 5.667464 5.625821 5.613858 5.62834 5.578786 5.601011 5.607639 5.585374 5.593223 5.553734 5.575191 5.583872 5.602488 5.587623 5.61568 5.681537 5.633896 5.615498 5.631928 5.64527 5.693059 5.712907 5.73237 5.789348 5.75162 5.71637 5.746203 5.781268 5.761328 5.764407 5.851628 5.90849 5.85779 5.818747 5.824672 5.899486 ∆LnSt 0.030526 0.046504 0.020977 0.003662 0.059459 0.041643 0.011963 0.014483 0.049554 0.022225 0.006627 0.022264 0.007849 0.039489 0.021457 0.008681 0.018616 0.014865 0.028056 0.065857 0.047641 0.018399 0.016431 0.013342 0.047788 0.019849 0.019463 0.056978 0.037729 0.03525 0.029834 0.035065 0.01994 0.003079 0.087221 0.056863 0.0507 0.039044 0.005925 0.074815 Ngày 1/6/2003 1/7/2003 1/8/2003 1/9/2003 1/10/2003 1/11/2003 1/12/2003 1/1/2004 1/2/2004 1/3/2004 1/4/2004 1/5/2004 1/6/2004 1/7/2004 1/8/2004 1/9/2004 1/10/2004 1/11/2004 1/12/2004 1/1/2005 1/2/2005 1/3/2005 1/4/2005 1/5/2005 1/6/2005 1/7/2005 1/8/2005 1/9/2005 1/10/2005 1/11/2005 1/12/2005 1/1/2006 1/2/2006 1/3/2006 1/4/2006 1/5/2006 1/6/2006 1/7/2006 1/8/2006 1/9/2006 1/10/2006 St 345.75 354.25 375.55 385.35 384.5 398.05 415.75 402.4 396.24 427.18 387.59 395.38 394.7 391.33 410.21 418.76 428.6 450.85 438.32 422.6 435.61 428.73 434.95 417.1 435.55 429.6 435.05 468.9 465.65 492.85 516.97 568.2 561.4 582.28 654.53 644.94 615.28 636.14 626.89 598.4 606.28 St /St−1 0.94765 1.024584 1.060127 1.026095 0.997794 1.035241 1.044467 0.967889 0.984692 1.078084 0.907322 1.020099 0.99828 0.991462 1.048246 1.020843 1.023498 1.051913 0.972208 0.964136 1.030786 0.984206 1.014508 0.958961 1.044234 0.986339 1.012686 1.077807 0.993069 1.058413 1.04894 1.099097 0.988032 1.037193 1.124081 0.985348 0.954011 1.033903 0.985459 0.954553 1.013168 Rt -0.05377 0.024287 0.058389 0.02576 -0.00221 0.034634 0.043506 -0.03264 -0.01543 0.075185 -0.09726 0.019899 -0.00172 -0.00857 0.047118 0.020629 0.023226 0.050611 -0.02819 -0.03652 0.030321 -0.01592 0.014404 -0.04191 0.043284 -0.01376 0.012606 0.074929 -0.00696 0.056771 0.04778 0.094489 -0.01204 0.036518 0.116966 -0.01476 -0.04708 0.033341 -0.01465 -0.04651 0.013082 49 (Rt − Rˆt )2 0.003648 0.000312 0.002679 0.000366 7.81E-05 0.000784 0.00136 0.001542 0.000486 0.0047 0.010792 0.000176 6.97E-05 0.000231 0.001639 0.000196 0.000276 0.001935 0.001212 0.001862 0.000561 0.000508 6.05E-05 0.002355 0.001344 0.000415 3.57E-05 0.004665 0.000184 0.002514 0.001694 0.00772 0.000348 0.000893 0.012175 0.000457 0.002884 0.000714 0.000453 0.002824 4.17E-05 LnSt 5.845716 5.870003 5.928392 5.954152 5.951944 5.986578 6.030084 5.997447 5.98202 6.057205 5.959948 5.979847 5.978126 5.969551 6.016669 6.037298 6.060524 6.111135 6.082949 6.046426 6.076747 6.060827 6.075231 6.033326 6.07661 6.062855 6.075461 6.15039 6.143434 6.200205 6.247985 6.342473 6.330434 6.366951 6.483917 6.469157 6.422077 6.455419 6.440771 6.394259 6.407342 ∆LnSt 0.05377 0.024287 0.058389 0.02576 0.002208 0.034634 0.043506 0.032637 0.015427 0.075185 0.097257 0.019899 0.001721 0.008575 0.047118 0.020629 0.023226 0.050611 0.028185 0.036523 0.030321 0.01592 0.014404 0.041905 0.043284 0.013755 0.012606 0.074929 0.006955 0.056771 0.04778 0.094489 0.01204 0.036518 0.116966 0.01476 0.04708 0.033341 0.014648 0.046512 0.013082 Ngày 1/11/2006 1/12/2006 1/1/2007 1/2/2007 1/3/2007 1/4/2007 1/5/2007 1/6/2007 1/7/2007 1/8/2007 1/9/2007 1/10/2007 1/11/2007 1/12/2007 1/1/2008 1/2/2008 1/3/2008 1/4/2008 1/5/2008 1/6/2008 1/7/2008 1/8/2008 1/9/2008 1/10/2008 1/11/2008 1/12/2008 1/1/2009 1/2/2009 1/3/2009 1/4/2009 1/5/2009 1/6/2009 1/7/2009 1/8/2009 1/9/2009 1/10/2009 1/11/2009 1/12/2009 St 647.6 636.35 652.45 668.91 663.3 678.2 660.4 649.2 664 672.95 743.2 795.75 783.38 832.89 926.03 973.6 916.1 877.43 886.4 925.35 913.7 830.85 871.5 724.2 817.93 874.4 927.2 941.72 918.87 888.08 897.35 926.28 953.5 951.15 1003.4 1045.5 1174.7 1098.1 St /St−1 1.068153 0.982628 1.025301 1.025228 0.991613 1.022463 0.973754 0.983041 1.022797 1.013479 1.104391 1.070708 0.984455 1.0632 1.111827 1.05137 0.940941 0.957788 1.010223 1.043942 0.98741 0.909325 1.048926 0.830981 1.129426 1.06904 1.060384 1.01566 0.975736 0.966491 1.010438 1.032239 1.029386 0.997535 1.054934 1.041957 1.123577 0.934792 Rt 0.065931 -0.01752 0.024986 0.024915 -0.00842 0.022215 -0.0266 -0.0171 0.022541 0.013389 0.099294 0.06832 -0.01567 0.061284 0.106005 0.050094 -0.06088 -0.04313 0.010171 0.043004 -0.01267 -0.09505 0.047767 -0.18515 0.121709 0.066761 0.058631 0.015539 -0.02456 -0.03408 0.010384 0.031731 0.028963 -0.00247 0.053478 0.041101 0.116518 -0.06743 50 (Rt − Rˆt )2 0.003517 0.000583 0.000337 0.000334 0.000226 0.000243 0.001104 0.000563 0.000253 4.57E-05 0.008587 0.003806 0.000497 0.002987 0.009876 0.001889 0.004557 0.002476 1.26E-05 0.001323 0.000372 0.010339 0.001692 0.036778 0.013244 0.003616 0.002704 7.94E-05 0.000973 0.001657 1.41E-05 0.00063 0.000499 8.27E-05 0.002195 0.001188 0.012076 0.005485 LnSt 6.473273 6.455749 6.480735 6.50565 6.497227 6.519442 6.492846 6.475741 6.498282 6.511671 6.610965 6.679285 6.663618 6.724902 6.830907 6.881001 6.820126 6.776997 6.787168 6.830172 6.817502 6.722449 6.770216 6.585068 6.706777 6.773538 6.832169 6.847708 6.823145 6.789062 6.799446 6.831177 6.860139 6.857672 6.91115 6.952251 7.068768 7.001337 ∆LnSt 0.065931 0.017524 0.024986 0.024915 0.008422 0.022215 0.026597 0.017105 0.022541 0.013389 0.099294 0.06832 0.015667 0.061284 0.106005 0.050094 0.060875 0.043128 0.010171 0.043004 0.01267 0.095053 0.047767 0.185148 0.121709 0.066761 0.058631 0.015539 0.024563 0.034083 0.010384 0.031731 0.028963 0.002468 0.053478 0.041101 0.116518 0.067431 Ngày St 1/1/2010 1078.5 1/2/2010 1116.2 1/3/2010 1114.7 1/4/2010 1181.5 1/5/2010 1213 1/6/2010 1344.1 1/7/2010 1180.6 1/8/2010 1247.2 1/9/2010 1301.45 1/10/2010 1357.5 1/11/2010 1384.65 1/12/2010 1418.9 1/1/2011 1330.4 1/2/2011 1414.2 1/3/2011 1436.45 1/4/2011 1562.35 1/5/2011 1535.85 1/6/2011 1526.9 St /St−1 0.982151 1.034956 0.998656 1.059926 1.026661 1.108079 0.878357 1.056412 1.043497 1.043067 1.02 1.024735 0.937628 1.062989 1.015733 1.087647 0.983038 0.994173 Rt -0.01801 0.034359 -0.00134 0.0582 0.026312 0.102628 -0.1297 0.054878 0.042578 0.042166 0.019803 0.024435 -0.0644 0.061084 0.015611 0.084016 -0.01711 -0.00584 (Rt − Rˆt )2 0.000607 0.000769 6.36E-05 0.00266 0.000387 0.009216 0.018586 0.002328 0.001292 0.001263 0.000174 0.000317 0.005045 0.002966 8.07E-05 0.005989 0.000563 0.000156 Từ ta có độ bất ổn quan sát σ ˆ =√5.609447507% Độ bất ổn khứ năm σ = σ ˆ ∗ 12 = 19.43169617% 51 LnSt 6.983326 7.017685 7.016341 7.07454 7.100852 7.20348 7.073778 7.128656 7.171234 7.2134 7.233203 7.257637 7.193235 7.254319 7.26993 7.353946 7.336839 7.330995 ∆LnSt 0.01801 0.034359 0.001345 0.0582 0.026312 0.102628 0.129702 0.054878 0.042578 0.042166 0.019803 0.024435 0.064402 0.061084 0.015611 0.084016 0.017107 0.005844 3.3.3 Các kiểm định Kiểm định tính dừng chuỗi ∆logSt Một chuỗi thời gian Xt gọi dừng nếu: ∗E(Xt ) = µ, ∀t ∗V ar(Xt ) = E(Xt − µ)2 = σ , ∀t ∗Cov(Xt , Xt+k ) = E [(Xt − µ)(Xt+k − µ)] = γk , ∀t Hàm tự tương quan xác định sau: ρk = γk γ0 Hàm tự tương quan mẫu: ∑ γˆk = ¯ ¯ (Xt − X)(X t+k − X) n ∑ γˆ0 = ¯ (Xt − X) n ρˆk = γˆk γˆ0 ( ) Nếu chuỗi thời gian Xt trình dừng ρˆt ∼ N 0, n1 n lớn Giả thiết kiểm định: H0 : ρk = 0, (chuỗi dừng) H1 : ρk(̸= ) z zα/2 √ chấp nhận giả thiết H0 với mức ý nghĩa α Nếu ρˆk ∈ − √α/2 , n n Áp dụng: Cov(∆Rt , ∆Rt+1 ) = 0.00018, V ar(∆Rt ) = 0.000937 ⇒ ρˆ1 = γγˆˆ10 = 0.191902 Với mức ý nghĩa 5% n = 137 ta có ( ) zα/2 zα/2 ρˆ1 ∈ / −√ , √ = (−0.167454, 0.167454) n n Lấy k = ρˆ2 = γˆ2 = 0.079189923 γˆ0 ρˆ2 ∈ (−0.167454, 0.167454) Kết luận: với k = chấp nhận giả thiết H0 Tính tốn cho trường hợp với k = 3, 4, ta được: 52 Hàm tự tương quan ρˆ1 ρˆ2 ρˆ3 ρˆ4 ρˆ5 Giá trị 0.191902221 0.079189923 0.077696679 0.089859821 0.044644051 Kiểm định tính phân phối chuẩn chuỗi logSt Đại lượng Giá trị Mean 6.296076999 Standard Error 0.046274861 Median 6.146911903 Mode 138 Standard Deviation 0.543606532 Sample Variance 0.295508062 Kurtosis -1.217707512 Skewness 0.295382997 Range 1.800211899 Minimum 5.553734478 Maximum 7.353946377 Sum 868.8586259 Count 138 Largest(1) 7.353946377 Smallest(1) 5.553734478 Confidence Level(95.0%) 0.091505353 Từ bảng kết tính tốn ta có giá trị trung bình (mean)= 6.296076999, giá trị trung vị (median)= 6.146911903 độ nghiêng đỉnh (skewness)= 0.295382997 Trong phân phối trị số trung vị trung bình gần độ nghiêng dao động từ -1 đến 1còn độ nhọn đỉnh (kurtosis)= −1.217707512 âm nên liệu phân phối tương đối phẳng, coi có phân phối chuẩn 3.3.4 So sánh kết tính tốn Với độ bất ổn khứ σ = 19.43169617% năm lãi suất r = 5% năm ta có kết tính tốn sau: Bảng kết tính tốn cho giá trị kỳ hạn T = 2/12 (60 ngày) 53 Ngày 1/6/2010 1/7/2010 1/8/2010 1/9/2010 1/10/2010 1/11/2010 1/12/2010 1/1/2011 1/2/2011 1/3/2011 1/4/2011 1/5/2011 1/6/2011 1/7/2011 S0 1344.1 1180.6 1344.1 1180.6 1247.2 1301.45 1357.5 1384.65 1418.9 1330.4 1414.2 1436.45 1562.35 1535.85 K 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 T 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 PDE 346.80 183.94 250.28 304.32 360.15 387.19 421.31 333.16 416.63 438.79 564.19 537.80 GY 344.15 181.66 247.85 301.77 357.47 384.45 418.49 330.54 413.82 435.94 561.06 534.72 St − K 247.15 301.45 357.5 384.65 418.9 330.4 414.2 436.45 562.35 535.85 526.9 Bảng kết tính tốn cho giá trị kỳ hạn T = 3/12 (90 ngày) Ngày 1/6/2010 1/7/2010 1/8/2010 1/9/2010 1/10/2010 1/11/2010 1/12/2010 1/1/2011 1/2/2011 1/3/2011 1/4/2011 1/5/2011 1/6/2011 1/7/2011 1/8/2011 S0 1344.1 1180.6 1347.2 1344.1 1180.6 1247.2 1301.45 1357.5 1384.65 1418.9 1330.4 1412.2 1436.45 1562.35 1535.85 K 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 T 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 3/12 PDE 349.38 187.24 253.25 307.07 362.67 389.61 423.59 335.79 416.94 440.99 565.90 539.61 GY 344.92 182.85 248.87 302.64 358.21 384.96 419.07 331.14 414.41 436.47 561.27 535.00 St − K 301.45 357.5 384.65 418.9 330.4 414.2 436.45 562.35 535.85 526.9 Nhận xét: - Từ kết tính tốn ta nhận thấy hai cách tiếp cận sai lệch so với giá trị thực tế cịn cao, cịn phụ thuộc vào số tham số ước lượng chưa tốt việc giả định mơ hình - Giá trị dự báo cách tiếp cận GY thường nhỏ khoảng đến đơn vị so với cách tiếp cận PDE - Khi giá trị T lớn sai số dự báo lớn 54 Kết luận hướng phát triển đề tài Kết luận Thông qua việc nghiên cứu trình Bessel quyền chọn châu Á, luận văn bước đầu đạt kết sau: Trình bày số sở lý thuyết trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên Chỉ liên hệ chuyển động Brown hình học trình Bessel thơng qua định lý Lamperti Trình bày súc tích tính chất q trình Bessel q trình Bessel bình phương Kết biến đổi Laplace từ trình Bessel đưa số cách xác định hàm mật độ trình Bessel trình Bessel bình phương Mở rộng cho trình Bessel với số chiều âm Chỉ mối quan hệ trình Cox-Ingersoll-Ross trình Bessel bình phương Đưa kết quan trọng công thức Geman-Yor cho biến đổi Laplace giá quyền chọn châu Á Đưa cách xác định hàm mật độ xác suất momen chuyển động Brown hình học Ứng dụng vào việc tính tốn giá vàng giới theo quyền chọn châu Á với hai cách tiếp cận là: công thức Geman- Yor cho biến đổi Laplace phương trình vi phân ngẫu nhiên Vecer Hướng nghiên cứu Một số ý tưởng phát triển chưa nghiên cứu luận văn, là: Mở rộng trình Bessel cho trường hợp tổng quát Rtp = n ∑ i=1 Tiếp cận quyền chọn châu Á hàm siêu bội 55 (βi )p (t) Tiếp cận quyền chọn châu Á theo hướng tích chập Kingman với trình Bessel Phát triển hướng tiếp cận tích chập Kingman cho q trình Bessel nhiều chiều Tiếp cận quyền chọn châu Á trình Levy 56 ... Quyền chọn châu Á 3.1 Mơ hình Black-Scholes quyền chọn châu Á Quyền chọn châu Á (hoặc trung bình quyền chọn châu Á) dạng đặc biệt hợp đồng quyền chọn Đối với quyền chọn châu Á tiền toán xác định... 604636 I TÊN ĐỀ TÀI: Quá trình Bessel quyền chọn châu Á II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Trình bày sở lý thuyết trình Bessel quyền chọn châu Á Ứng dụng tính tốn giá trị quyền chọn mua giá vàng giới III NGÀY... Nếu ν + ≥ 0, giá quyền chọn châu Á nhỏ giá quyền chọn thông thường với giá thực thi K (ii) Nếu ν + < 0, giá quyền chọn châu Á lớn so với giá quyền chọn thông thường với tất giá trị thực thi K