Ma trận ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NGUYỄN THỊ THU THẢO MA TRẬN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NGUYỄN THỊ THU THẢO MA TRẬN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 0106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.TẠ NGỌC ÁNH Hà Nội - 2014 LỜI NÓI ĐẦU Các mức lượng hệ hạt nhân mô tả giá trị riêng toán tử Hermit khơng gian Hilbert mà số chiều vơ hạn Do vậy, tính tốn ta phải đối mặt với khơng khó khăn Vào năm 1950, nghiên cứu vấn đề đó, Eugene Wigner thay phải đối mặt với tốn tử khơng gian vơ hạn chiều trên, mô tả hệ phức tạp hạt nhân nguyên tử ma trận có phần tử biến ngẫu nhiên (ma trận ngẫu nhiên) Với ràng buộc phân bố phần tử, ta tìm phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên, từ mơ tả mức lượng hệ hạt nhân Với ý tưởng vậy, Wigner đồng nghiệp ông nhà vật lý, toán học sau nghiên cứu phát triển lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (RMT) thành cơng cụ mạnh có ứng dụng rộng rãi vật lý, toán học nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật khác RMT vấn đề mẻ với học viên cao học, nhiều người quan tâm có nhiều tài liệu tham khảo nên chủ đề hấp dẫn với Vì chúng tơi lựa chọn Ma trận ngẫu nhiên ứng dụng làm đề tài nghiên cứu luận văn Cấu trúc Luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương đưa số khái niệm, kiến thức lý thuyết ma trận xác suất như: không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, bất đẳng thức xác suất, định lí hội tụ, phương pháp moment, mà sử dụng chương Chương 2: Ma trận ngẫu nhiên Đây chương Luận văn, chương chúng tơi trình bày vấn đề sau đây: - Giới thiệu ba lớp ma trận ngẫu nhiên đặc biệt, đưa phân bố xác suất ma trận ngẫu nhiên lớp - Nghiên cứu phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên: phân bố xác giá trị riêng kích thước ma trận nhỏ phân bố giới hạn giá trị riêng ma trận kích thước tiến tới vơ (luật bán nguyệt) Đưa phân bố giá trị riêng lớn (luật Tracy - Widom) - Nghiên cứu ma trận hiệp phương sai, đưa định lí hội tụ phân bố thực nghiệm giá trị riêng ma trận hiệp phương sai (luật Marchenko Pastur) - Đưa định lý tích hai ma trận ngẫu nhiên: phân bố thực nghiệm tích ma trận hiệp phương sai dãy ma trận Hermitian tiến đến giới hạn không ngẫu nhiên - Đánh giá giới hạn xác suất tốn tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên sử dụng phương pháp: ε lưới, tập trung độ đo phương pháp moment Chương 3: Ứng dụng Đưa ứng dụng vật lí, truyền thơng khơng dây Trong q trình tìm hiểu tơi nắm bắt số vấn đề lý thuyết ma trận ngẫu nhiên thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Vì tơi mong nhận giúp đỡ bảo thầy cô bạn Hà Nội, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình TS Tạ Ngọc Ánh - trường Học viện kĩ thuật quân Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Kiến thức xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Các bất đẳng thức 1.1.3 Sự hội tụ 1.1.4 Tính độc lập 10 1.1.5 Tập trung độ đo 10 Các khái niệm ma trận 14 1.2.1 Các dạng ma trận 14 1.2.2 Vết ma trận 15 Ma trận ngẫu nhiên 2.1 2.2 2.3 16 Mơ hình ma trận ngẫu nhiên 16 2.1.1 Tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) 16 2.1.2 Tập hợp ma trận Unita có phân bố Gauss (GUE) 18 2.1.3 Tập hợp ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GSE) 20 Phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên 22 2.2.1 Phân bố xác (với n hữu hạn) 22 2.2.2 Định lí Wigner luật bán nguyệt (với n lớn) 24 2.2.3 Luật Tracy Widom 32 Ma trận hiệp phương sai 34 2.3.1 Luật Marchenko-Pastur 35 2.3.2 Luật Marchenko-Pastur trường hợp độc lập phân bố 37 2.3.3 Luật Marchenko-Pastur trường hợp độc lập phân bố 39 2.4 Tích hai ma trận ngẫu nhiên 43 2.5 Toán tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên 50 2.5.1 Phương pháp ε lưới 50 2.5.2 Phương pháp đối số đối xứng (tùy chọn) 53 2.5.3 Phương pháp tập trung độ đo 56 2.5.4 Phương pháp moment 57 Ứng dụng 3.1 3.2 62 Trong vật lí 62 3.1.1 Định nghĩa kết liên quan 62 3.1.2 Vật lý hạt nhân 65 Truyền thông không dây 68 3.2.1 Mơ hình kênh 68 3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên 70 3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính 3.2.4 Mơ hình chung DS-CDMA 74 Kết luận 71 77 Phụ lục 78 Tài liệu tham khảo 79 Chương Kiến thức chuẩn bị Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu ma trận có phần tử biến ngẫu nhiên (hay nghiên cứu biến ngẫu nhiên lấy giá trị khơng gian ma trận) Vì vậy, chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất ma trận mà dùng chương sau luận văn 1.1 Kiến thức xác suất Xét không gian xác suất sở (Ω, F, P), đó: Ω không gian mẫu gồm tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết w ∈ Ω gọi điểm mẫu biến cố sơ cấp Ta cịn gọi Ω không gian biến cố sơ cấp F σ - đại số (σ - trường) biến cố Tức F họ tập Ω thỏa mãn điều kiện: • Ω∈F • Nếu E ∈ F Ω \ E = E c = E ∈ F • Nếu E1 , E2 , ∈ F Ei ∩ Ej = ∅(i = j) ∞ n=1 En ∈F Mỗi tập E ∈ F gọi biến cố P độ đo xác suất xác định F Tức ánh xạ P : F → R thỏa mãn điều kiện sau: • P(E) ≥ với E ∈ F • P(Ω) = • Nếu E1 , E2 , ∈ F Ei ∩ Ej = ∅(i = j) P( 1.1.1 ∞ n=1 En ) = ∞ n=1 P(En ) Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho (R, R) không gian đo (tập R trang bị σ - đại số tập R) Biến ngẫu nhiên lấy giá trị R (biến ngẫu nhiên R - giá trị) ánh xạ X đo từ không gian mẫu đến R, tức hàm X : Ω → R cho X −1 (S) biến cố với S ∈ R Chúng ta xét vài ví dụ biến ngẫu nhiên: • Biến ngẫu nhiên rời rạc, R tập đếm R = 2R σ -đại số rời rạc gồm tất tập R Ví dụ điển hình R tập đếm số thực phức Nếu R = {0, 1}, nói biến ngẫu nhiên Boolean, R = {c} nói biến ngẫu nhiên tất định • Các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, R đường thẳng thực R σ -đại số Borel, tạo tập mở R • Các biến ngẫu nhiên có giá trị phức, nhận giá trị mặt phẳng phức với σ - đại số Borel Khi xét biến ngẫu nhiên có giá trị phức, biến cố {|X − z| < r} với số phức z r > (nhỏ) có vai trị quan trọng • Biến ngẫu nhiên giá trị vector khơng gian vector hữu hạn chiều, có giá trị Rn Cn với σ -đại số Borel Ta xem biến ngẫu nhiên giá trị vector X = (X1 , , Xn ) biến ngẫu nhiên đồng thời biến ngẫu nhiên vô hướng thành phần X1 , , Xn • Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận ma trận ngẫu nhiên, nhận giá trị khơng gian Mn×p (R) Mn×p (C) ma trận có giá trị thực phức cấp n × p, với σ -đại số Borel, n, p ≥ số nguyên (thường tập trung vào trường hợp n = p) Ta xem biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận X = (Xij )1≤i≤n;1≤j≤p biến ngẫu nhiên đồng thời biến vơ hướng thành phần Xij Có thể áp dụng tất phép tốn ma trận thơng thường (ví dụ tổng, tích, định thức, vết, nghịch đảo, vv) ma trận ngẫu nhiên để có biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2 (Ký hiệu tiệm cận) Kí hiệu X = O(Y ), Y = Ω(X), X Y, X để biểu thị |X| ≤ CY với C khơng phụ thuộc n n ≥ C Kí hiệu Y X = o(Y ) |X| ≤ c(n)Y với c → n → ∞ Nếu X Y X kí hiệu X ∼ Y hay X = Θ(Y ) Cho biến cố E = En phụ thuộc vào tham số n, Ta có: • Biến cố E chắn (hay đúng) biến cố Ω, ∅ • Biến cố E hầu chắn (hoặc với xác suất đầy đủ) xảy với xác suất 1, P(E) = • Biến cố E có xác suất áp đảo (Overwhelming probabitily) với A > cố định, xảy với xác suất − OA (n−A ) (tức P(E) ≥ − CA n−A với CA độc lập với n) • Biến cố E có xác suất cao (Hight probabitily) có xác suất − O(n−c ) với c > độc lập với n (tức P(E) ≥ − Cn−c với C độc lập với n) • Biến cố E tiệm cận hầu chắn có xác suất − o(1), xác suất tiến đến n → ∞ 1.1.2 Các bất đẳng thức Với X biến ngẫu nhiên, có số khái niệm: • X bị chặn chắn tồn M > cho |X| ≤ M chắn • X bị chặn hầu chắn tồn M > cho |X| ≤ M hầu chắn • X Gauss (Subgaussian) tồn C, c > cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλ2 ) với λ > • X có mũ (Sub-exponential tail) tồn C, c, a > cho P(|X| ≥ λ) ≤ C exp(−cλa ) với λ > • X có moment cấp k hữu hạn với k ≥ tồn C cho E|X|k ≤ C • X khả tích tuyệt đối E|X| < ∞ • X hữu hạn hầu chắn |X| < ∞ hầu chắn Giả sử [x, x + L] nằm dãy phụ k mức {x1 , , xk } Kết hợp với xk+1 = x + L, viết (3.8) số hạng: k x+L I1 = j(xj+1 − xj ) n(x )dx = x j=1 x+L I2 = x x+L x n(x )dx = n (x )dx = k j(x2j+1 − x2j ) j=1 k I3 = x x+L I4 = x x+L I5 = x j (xj+1 − xj ) j=1 x dx = L2 − xL (x )2 dx = ((x + L)3 − x3 ) Do min(I3 − 2aI2 − 2bI1 + 2abI4 + a2 I5 + bL2 ) L LI − I1 I4 I1 − aI4 với a = ,b = L LI5 − I4 Vậy để tìm (L) ta tính (L, x) với điểm xuất phát x trung (L, x) = bình Đối với GOE, GUE, GSE = 3GOE (log(2πL) + γ − ) 2π π2 = (log(4πL) + γ − + ) 4π 3GOE 3GSE 3.1.2 π2 (log(2πL) + γ − − ) π2 = (3.9) (3.10) (3.11) Vật lý hạt nhân Lĩnh vực vật lý hạt nhân nơi mà RMT đời Dữ liệu thử nghiệm trở thành chi tiết để kiểm tra ý nghĩa thống kê dự đoán RMT, với đỉnh cao tâp liệu hạt nhân (Nuclear data ensemble) (NDE) mức lượng phổ hạt nhân rộng Một số ví dụ ứng dụng lĩnh vực ([10], p.91): 65 Hình 3.2: Sự so sánh NNS mức lượng hạt nhân nặng với dự đoán NNS tập GOE RMT Hình 3.2 biểu đồ NNS mức lượng hạt nhân nặng lấy từ tập liệu hạt nhân (NDE) so sánh với dự đốn NNS tập GOE RMT Hình 3.3, so sánh mức độ thống kê NDE với dự đoán RMT, với số liệu thống kê với số liệu thống kê 3 Có thể thấy, số liệu thống kê GOE Để so sánh, số liệu thống kê NDE khớp cho phân bố Poisson GUE đưa Hình 3.3: Sự so sánh số liệu thống kê đoán tập GOE, GUE, Poisson RMT NDE với số liệu thống kê dự Hình 3.4 so sánh nhiều liệu mức độ lượng hạt nhân đưa Porter Rosenzweig Hình 3.4 (a), (b) (c ) biểu đồ NNS số dãy mức lượng hạt nhân Trong ba đồ thị, dãy mức độ nhóm lại 66 theo kích thước hạt nhân: (a) nhỏ , (b) trung bình (c) lớn Trong (a), biểu đồ NNS mức lượng tiệm cận phân bố Poisson so với phân bố NNS GOE Tuy nhiên kích thước hạt nhân tăng lên, biểu đồ NNS tiệm cận phân bố NNS GOE Rõ ràng, ứng dụng RMT phụ thuộc vào phức tạp hệ thống Hình 3.4: Sự so sánh NNS mức lượng trường hợp kích thước hạt nhân : nhỏ, vừa lớn với NNS GOE RMT 67 3.2 Truyền thông không dây Trong năm gần đây, RMT ứng dụng phổ biến vô tuyến truyền thông Ma trận ngẫu nhiên dùng để mơ tả đường truyền sóng hai hệ thống thông tin vô tuyến quan trọng hệ thống ăngten đa đầu vào đa đầu (Multiple - input Multiple - output antenna system) (MIMO) hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân (Direct - sequence code - division system) (DS-CDMA): • Trong hệ thống ăngten MIMO, nhiều ăngten sử dụng để máy phát đồng thời truyền liệu máy thu đồng thời nhận liệu Trong môi trường nhiều đường dẫn kênh trả lời ăngten phát ăngten thu đơn giản mơ hình biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Vì kênh vơ tuyến coi đường truyền mô tả ma trận ngẫu nhiên • DS-CDMA hệ thống đa truy cập (Multiple - access system) hỗ trợ nhiều người dùng với trạm phát dùng thời điểm tần số mã đường truyền khác Trong dải tần số phẳng, DS-CDMA đồng đưa lên hệ thống mã đường truyền khác nhau, mơ tả ma trận ngẫu nhiên Mục tiêu phần đưa đa kênh không dây, vấn đề mơ hình hóa ma trận ngẫu nhiên xét số ứng dụng điển hình RMT vơ tuyến truyền thơng Hy vọng phần giúp người đọc hiểu biết toán học kỹ thuật, thấy liên kết hai ngành khác nhau, vấn đề để làm việc thúc đẩy hợp tác liên ngành 3.2.1 Mô hình kênh Khái niệm hệ thống vô tuyến truyền thông ([3], p.435) Nguyên tắc làm việc minh họa hình 3.5 Sơ đồ khối có ba phần bản: máy phát, trạm người nhận Mục tiêu việc thiết kế máy phát chuyển đổi bit thơng tin thành định dạng tín hiệu để truyền phù hợp với kênh không dây Khi tín hiệu qua trạm, cường độ tín hiệu bị suy yếu hao tổn, bị giảm biến đổi cường độ dạng sóng tín hiệu thu 68 khác nhiều lý Cuối phía người nhận bit thơng tin truyền phục hồi thông qua cân bằng, tách sóng giải mã Hình 3.5: Sơ đồ khối hệ thống vơ tuyến truyền thơng Sự trình bày xác tốn học trạm ma trận ([3], p.435) Chúng tơi xây dựng mơ hình đầu vào-đầu phát sinh từ hệ thống vô tuyến truyền thông sau: n x= hi si + u = Hs + u (3.12) i=1 với s = [s1 , s2 , , sn ] biểu thị vector tín hiệu truyền n × chiều; hi biểu thị vector kênh p × chiều tương ứng với si ; x = [x1 , x2 , , xn ] u = [u1 , u2 , , un ] biểu thị vector tín hiệu vector tiếng ồn thu có p × chiều; H = [h1 , h2 , , hn ] ma trận kênh cấp p × n Trong (3.12), n p tương ứng số chiều tín hiệu số chiều quan sát Mơ hình ma trận (3.12) mô tả thời gian, tần số, không gian, tên miền Sau đưa hai mơ hình phổ biến vơ tuyến truyền thơng: kênh ma trận ngẫu nhiên kênh tuyến tính tiền mã hóa 69 3.2.2 Kênh ma trận ngẫu nhiên Kênh ma trận ngẫu nhiên bao gồm đường lên DS-CDMA, hệ thống ăngten MIMO phân chia không gian đa truy cập (Spatial division multiple access) (SDMA) Đường lên DS-CDMA ([3], p.436) Trong hệ thống DS-CDMA, tất người dùng ô truyền thông, trạm gốc đồng sử dụng tài nguyên tần số truyền đến trạm sở gọi đường lên, ngược lại từ trạm sở truyền người dùng gọi đường xuống Sơ đồ khối đường lên DS-CDMA minh họa hình 3.6 Do có nhiều người dùng khác nên người dùng gán đường truyền Mơ hình ma trận (3.12) biểu thị đồng trực tiếp đường lên DS-CDMA tần số phẳng, si hi tương ứng biểu tượng truyền dãy phân bố người dùng i Hình 3.6: Sơ đồ khối đường lên DS-CDMA Hệ thống ăngten MIMO ([3], p.437): Hình 3.7 sơ đồ khối hệ thống ăngten MIMO Các máy phát có n ăngten máy thu có p ăngten Mơ hình ma trận (3.12) sử dụng để biểu thị hệ thống với si hi tương ứng biểu tượng truyền từ ăngten truyền thứ i phản hồi kênh truyền đến tất ăngten thu Do mô hình kênh MIMO liên quan đến cấu hình ăngten máy phát máy thu nên mơ hình 70 hóa vector độc lập phân bố lúc kênh (3.12) trở thành kênh ma trận ngẫu nhiên Hình 3.7: Sơ đồ khối hệ thống anten MIMO Đường lên SDMA ([3], p.437): Trong hệ thống SDMA, kênh sở hỗ trợ nhiều người dùng việc truyền tải đồng thời, sử dụng đồng tài nguyên tần số cách trang bị nhiều ăngten Làm kênh khơng gian cho người dùng khác khác nhau, tín hiệu khác từ người dùng khác Hình 3.8 sơ đồ khối đường lên SDMA, n người dùng giao tiếp với trạm sở trang bị p ăngten Kênh ma trận (3.12) sử dụng để biểu thị cho trường hợp đường lên, với si hi tương ứng biểu tượng truyền từ người dùng thứ i phản hồi từ người dùng kênh đển tất ăngten thu trạm sở Khi ăngten trạm sở người dùng bao quanh vùng gọi phủ sóng, ma trận kênh mơ hình hóa ma trận độc lập phân bố 3.2.3 Hệ thống tiền mã hóa tuyến tính Trong truyền thông băng thông rộng, kênh không dây thường có nhớ tần số có chọn lọc Các tần số riêng chọn lọc kênh biểu thị nhiễu qua lại (ISI) bên thu Bộ cân tuyến tính phi tuyến thiết kế để ngăn chặn ISI Để đơn giản phức tạp cân bằng, hệ thống tiền mã hóa 71 Hình 3.8: Sơ đồ khối đường lên SDMA tuyến tính (Linearly precoded system) máy phát sử dụng Kênh ma trận (3.12) biểu thị cho kênh không dây vịng-tiền tố (CP), bao gồm: ghép kênh phân chia tần số trực giao (Orthogonal frequency division multiplexing) (OFDM), hệ thống đơn sóng (Single - carrier system) CP (SCCP ), đa sóng CDMA (Multicarrier CDMA) (MC-CDMA), CP-CDMA CP- sở khối truyền tải ([3], p.438): Sơ đồ khối hệ thống CP-cơ sở khối truyền tải minh họa hình 3.9 Xét trường hợp phân chia CP M đưa vào trước truyền tải khối liệu p biểu tượng Giả sử kênh tần số chọn lọc biểu thị h0 , h1 , , HL , L gọi nhớ kênh Việc chèn CP làm giảm bớt can thiệp liên khối CP độ dài M lớn so với nhớ kênh phép biến đổi chập tuyến tính thành chập vịng Cho y khối tín hiệu trước chèn CP máy phát z khối tín hiệu thu sau loại bỏ CP máy thu với chập vòng Mối quan hệ y z cho z = Wp∗ Ap Wp y + u˜ (3.13) với Wp ∈ C p×p ma trận biến đổi Fourier rời rạc cấp p × p,   1   W=√  p  e −j2π p e −j2π×(p−1) p 72 e e −j2π×(p−1) p −j2π×(p−1)(p−1) p   ;  Ap = diag{[f0 , , fp−1 ]} ma trận đường chéo cấp p × p với fk = L −j 2πkl p l=0 hl e u˜ vector tiếng ồn thu Khối liệu y biến đổi tuyến tính khối điều chỉnh s cỡ n × cho y = Wp∗ Qp s, với Qp ∈ C p×n ma trận tiền mã hóa Thực biến đổi Fourier rời rạc khối CP-loại bỏ z ta có: x = Ap Qp s + u (3.14) với x = Wp z , u = Wp u˜ Trong (3.14), chọn Q∗p Qp = In , hệ thống gọi hệ thống đẳng cự tiền mã hóa Nếu Qp chọn ma trận độc lập phân bố, hệ thống gọi hệ thống tiền mã hóa ngẫu nhiên Tổng kết Ap = Ip Qp ma trận độc lập phân bố, hệ thống tương đương với hệ thống MIMO ngẫu nhiên Hình 3.9: Khối sơ đồ CP dựa hệ thống truyền tải khối Hệ thống ghép kênh phân chia tần số trực giao (OFDM) ([3], p.439): Trong hệ thống OFDM, chọn n = p Qp = Ip có y = Wp∗ s (3.15) x = Ap s + u (3.16) Trong (3.16), Ap ma trận đường chéo, tín hiệu thu tách rời hồn toàn, nghĩa là, xi = f i s i + u i 73 với i = 0, , p − 1, xi ui tương ứng yếu tố thứ i x u Vấn đề tách thơng tin tín hiệu để phục hồi tín hiệu phát trở nên dễ thực Do đó, OFDM trở thành cách sử lí phổ biến vấn đề ISI x = Ap Wp s + u MC-CDMA ([3], p.440): Để hỗ trợ đa người dùng lúc, sử dụng mơ hình đường xuống MCCDMA Kí hiệụ G xử lý đạt chung cho người dùng; T số lượng người dùng hoạt động; D(q) mã dài xáo trộn sử dụng khối thứ q: D(q) = diag{[d(q; 0), , d(q; p − 1)]}, với |d(q; k)| = 1; ci mã ngắn người dùng i, với ci = [ci (0), , ci (G − 1)] ci cj = j = i ci cj = j = i Từ đó, thấy mơ hình kênh từ trạm sở đến người dùng điện thoại Ở phía thu, khối nhận thứ q sau loại bỏ CP biểu diễn bởi: x(q) = Ap D(q)Cs(q) + u(q) (3.17) với x(q) = [x(q; 0), , x(q; p − 1)] , s(q) = s¯1 (q), , s¯Q (q) , u(q) = [u(q; 0), , u(q; p − 1)] , ¯ , C} ¯ C = diag{C, với s¯i (q) = [s0 (q; i), , sT −1 (q; i)] C¯ = [c0 , , cT −1 ] 3.2.4 Mơ hình chung DS-CDMA Quay trở lại hệ thống DS-CDMA xét mô hình tổng qt với thơng tin truyền tải đồng thời đến nhiều ăngten Giả sử có n người dùng với dãy lan truyền p chiều hi ấn định vào người dùng thứ i Cho xi ∈ R biểu thị biểu tượng truyền người dùng thứ i, giả sử biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập 74 phân bố người dùng Ti ∈ R+ người dùng thứ i truyền tải Cho L số ăng ten γy (l) kênh thu từ người dùng thứ i đến ăngten l Với xl ul tương ứng biểu thị vector tín hiệu thu vector tiếng ồn thu đến ăngten l mơ hình ma trận cho việc truyền tải đến ăngten thứ l với √ si = si (l) = xi Ti γi (l): n xi xl = Ti γi (l)hi + ul i=1 Ma trận H giữ nguyên cho ăngten Giả sử phần tử ul độc lập phân bố với trung bình khơng moment cấp hai σ Cho x = [x1 , x2 , , xl ] Ước lượng xi cho người dùng thực cách lấy tích x với vector ci ∈ Cpl thích hợp, gọi máy thu tuyến tính cho người dùng i, xác định: ˆi = h Ti [γi (1)hy , γi (2)hy , , γi (l)hy ] đại lượng ˆ |2 |c∗1 h c n σ ||c1 ||2 + i=2 ˆ |2 c∗1 h gọi tỷ lệ tín hiệu nhiễu liên quan đến người dùng thường sử dụng độ đo để đánh giá hiệu hoạt động người nhận Định lý 3.1 ([3], p.453) Cho {hij : i, j = 1, 2, } mảng hai chiều vô hạn biến ngẫu nhiên độc lập phân bố với exp h11 = 0, exp |h11 |2 = Xác định với i = 1, 2, , n, hi = hi (n) = (h1i , h2i , , hpi ) Giả sử n = n(p) n/p → y > p → ∞ Với p cho γi (l) = γil (p) ∈ C, Ti = Tip ∈ R+ , i = 1, , n, l = 1, , L biến ngẫu nhiên, độc lập với h1 , , hn Với p, i cho αi = αip = Ti (γi (1), , γi (L)) Giả sử hầu chắn phân bố thực nghiệm α1 , , αn hội tụ yếu đến phân bố xác suất H CL Cho βi = βi (p) = √ Ti (γi (1)hi , , γi (L)hi ) C = C(p) = p n βi βi∗ i=2 Định nghĩa SIRA1 = β1∗ (C + γ I)−1 β1 p 75 với xác suất 1, lim SIR1 = T1 γ (l)γ1 (l )al,l p→∞ với ma trận A = (al,l ) không ngẫu nhiên, Hermit xác định dương ma trận Hermit xác định dương thỏa mãn: A= αα∗ + σ IL yE ∗ + α Aα với α ∈ CL có phân bố H IL ma trận đơn vị cấp L × L 76 KẾT LUẬN Luận văn "Ma trận ngẫu nhiên ứng dụng " đạt số kết sau: - Nghiên cứu ba mơ hình ma trận ngẫu nhiên đặc biệt, đưa phân bố mơ hình ma trận ngẫu nhiên - Đưa phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên: phân bố xác giá trị riêng kích thước ma trận nhỏ phân bố giới hạn giá trị riêng ma trận kích thước tiến tới vô (phân bố luật bán nguyệt) Đưa phân bố giá trị riêng lớn theo luật Tracy - Widom - Nghiên cứu ma trận hiệp phương sai, đưa định lí hội tụ phân bố thực nghiệm giá trị riêng ma trận hiệp phương sai đến luật Marchenko - Pastur - Đưa định lý tích hai ma trận ngẫu nhiên: phân bố thực nghiệm tích ma trận hiệp phương sai dãy ma trận Hermit tiến đến giới hạn không ngẫu nhiên - Đánh giá giới hạn xác suất tốn tử chuẩn ma trận ngẫu nhiên phương pháp: ε lưới, tập trung độ đo phương pháp moment - Về ứng dụng: vật lí, đưa so sánh liệu thử nghiệm với dự đoán lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, hệ thống phức tạp thử nghiệm gần với dự đốn Trong truyền thơng khơng dây, đưa số kết ứng dụng quan trọng lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, vấn đề mơ hình hóa ma trận ngẫu nhiên Thấy liên kết hai ngành toán học kĩ thuật 77 PHỤ LỤC Concentration of measure: tập trung độ đo Empirical distribution: phân bố thực nghiệm (ESD) Exact distribution: phân bố xác Direct - sequence code - division system: hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân (DS - CDMA) Gauss orthogonal ensemble: tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) Gauss symplectic ensemble: tập hợp ma trận đối ngẫu có phân bố Gauss (GUE) Gauss unitary ensemble: tập hợp ma trận unita có phân bố Gauss (GSE) Hight probabitily: xác suất cao Independent and identically distributed: độc lập phân bố Limiting spectral distribution: giới hạn phân bố phổ (LSD) Linearly precoded system: hệ thống tiền mã hóa tuyến tính Moment convergency theorem: định lý hội tụ moment (MCT) Multicarrier CDMA: đa sóng CDMA (MC - CDMA) Multiple - access system: hệ thống đa truy cập (MA) Multiple - input Multiple - output antenna system: hệ thống angten đa đầu vào - đa đầu (MIMO) Nearest neighbour spacing: khoảng trống lân cận gần (NNS) Nuclear data ensemble: tập hợp liệu hạt nhân (NDE) Orthogonal frequency division multiplexing: ghép kênh phân chia tần số trực giao (OFDM) Overwhelming probabitily: xác suất áp đảo Random matrix theory: lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (RMT) Semicircular distribution: phân bố bán nguyệt Sequence of levels: dãy mức độ Single - carrier system: hệ thống đơn sóng (SC) Spatial division multiple access: phân chia không gian đa truy cập (SDMA) Step function: hàm bước nhảy Two level correlation function: hàm tương quan hai mức độ 78 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [2] Anderson.G, Guionnet.A, Zeitouni.O, An introduction to Random Matrices, Cambridge University Press [3] Bai.Z, Silverstein.J (2010), Spectral analysis of large dimensional random matrices, Springer [4] Deift.P (1999), Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A RiemannHilbert Approach Courant Lecture Notes in Mathematics New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, American Mathematical Society, Providence, RI [5] Edelman.A, Rao.N.R (2005), Random matrix theory, Cambridge University Press [6] Mehta M (2004), Random matrices, third edition Elsevier/Academic Press, Amsterdam [7] Talagrand.M (1995), Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces, Inst Hautes Etudes Sci Publ Math [8] Tao T (2010), Topics in random matrix theory, lectures, Los Angeles [9] Izenman.A.J (2008), Introduction to Random Matrix Theory, article [10] Zyl.A.J (2005), Basic Concepts of Random Matrix Theory, Thesis presented in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Physics at the University of Stellenbosch 79 ... số cột (m = n) Ma trận tam giác trên: ma trận vuông mà phần tử đường chéo ma trận Ma trận tam giác dưới: ma trận vuông mà phần tử phía đường chéo ma trận 14 Ma trận đường chéo: ma trận vng có tất... phải chứng minh ✸ 42 2.4 Tích hai ma trận ngẫu nhiên Động nghiên cứu tích ma trận ngẫu nhiên bắt nguồn từ lý thuyết phổ ma trận hiệp phương sai cỡ mẫu lớn bội ma trận đơn vị mà bội ma trận nhiều... xem biến ngẫu nhiên giá trị vector X = (X1 , , Xn ) biến ngẫu nhiên đồng thời biến ngẫu nhiên vô hướng thành phần X1 , , Xn • Biến ngẫu nhiên có giá trị ma trận ma trận ngẫu nhiên, nhận