Bất phương trình và hệ bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Thu Phương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG HÀ NỘI - 2013 Mục lục Mở đầu Bất phương trình hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương bất phương trình 1.2 Bất phương trình hệ bất phương trình đại số hữu tỷ 1.2.1 Bất phương trình bậc ẩn số 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc ẩn số 1.2.3 Bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.5 Bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc hai ẩn số 1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng 1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vơ tỷ 1.3.1 Bất phương trình vơ tỷ 1.3.2 Hệ bất phương trình vơ tỷ 1.4 Bất phương trình hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Bất phương trình mũ lơgarit 2.1 Bất phương trình mũ 2.1.1 Một số kiến thức 2.1.2 Các phương pháp giải 2.2 Bất phương trình logarit 2.2.1 Một số kiến thức 2.2.2 Các phương pháp giải Bất 3.1 3.2 3.3 3.4 phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Phương pháp tam thức bậc hai Phương pháp điều kiện cần đủ Phương pháp hình học 6 8 10 11 12 13 14 18 20 20 36 40 40 48 52 52 52 52 63 63 63 74 74 87 91 99 3.5 Các phương pháp khác 101 Kết luận 111 Tài liệu tham khảo 112 Mở đầu Chuyên đề bất phương trình hệ bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc Trung học phổ thơng Các khái niệm bất phương trình học sinh biết đến từ cuối cấp trung học sở Việc nắm bắt, hiểu rõ lý thuyết thực hành giải tốn bất phương trình hệ bất phương trình yêu cầu bất buộc học sinh tốt nghiệp bậc Trung học phổ thơng Vì vậy, dễ hiểu đề thi tốt nghiệp THPT; đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; đề thi học sinh giỏi; đề thi Olympic toán học 30/04 thường xun xuất tốn "Bất phương trình hệ bất phương trình" Việc nâng cao kiến thức giúp học sinh giải tốt toán động lực để nghiên cứu đề tài Bản luận văn chia làm chương Chương Bất phương trình hệ bất phương trình đại số Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn trình bày số phương pháp giải bất phương trình hệ bất phương trình hữu tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình vơ tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Và đặc biệt chương có đề cập đến ứng dụng việc giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn vào số toán kinh tế Chương Bất phương trình mũ lơgarit Ở chương này, luận văn đề cập đến phương pháp giải bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit Chương Bất phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số Luận văn trình bày tốn bất phương trình hệ bất phương trình có chứa tham số thường xuất đề thi Đại học, Cao đẳng đề thi học sinh giỏi Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực luận văn khơng tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Học viên Trần Thị Thu Phương Chương Bất phương trình hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương bất phương trình a, Khái niệm bất phương trình ẩn Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df ∩ Dg • Mệnh đề chứa biến có dạng: f (x) < g(x), f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) gọi bất phương trình ẩn; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phương trình • Số x0 ∈ D gọi nghiệm bất phương trình f (x) < g(x) f (x0 ) < g(x0 ) mệnh đề • Khái niệm nghiệm định nghĩa tương tự cho bất phương trình f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) • Giải bất phương trình tìm tất nghiệm (hay tập nghiệm) bất phương trình Khi tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vơ nghiệm • Trong thực hành, ta khơng cần viết rõ tập xác định D bất phương trình mà cần nêu điều kiện để x ∈ D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phương trình, gọi tắt điều kiện bất phương trình b, Bất phương trình tương đương Dưới đây, nói tới bất phương trình dạng f (x) < g(x) Đối với bất phương trình dạng f (x) g(x), f (x) > g(x), f (x) g(x) ta có kết tương tự • Hai bất phương trình (cùng ẩn) tập xác định D gọi tương đương chúng có tập nghiệm; • Nếu f1 (x) < g1 (x) tương đương với f2 (x) < g2 (x) ta viết f1 (x) < g1 (x) ⇔ f2 (x) < g2 (x) • Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện xác định mà ta ký hiệu D) tương đương với ta nói: + Hai bất phương trình tương đương D; + Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình tương đương với c, Biến đổi tương đương bất phương trình • Phép biến đổi tương đương biến bất phương trình thành bất phương trình tương đương với nó; • Một số phép biến đổi tương đương thường dùng: Cho bất phương trình f (x) < g(x) có tập xác định D, y = h(x) hàm số xác định D Khi đó, D, bất phương trình f (x) < g(x) tương đương với bất phương trình sau: (i) f (x) + h(x) < g(x) + h(x); (ii) f (x)h(x) < g(x)h(x) h(x) > với x ∈ D; (iii) f (x)h(x) > g(x)h(x) h(x) < với x ∈ D; Lưu ý: +) Chuyển vế đổi dấu hạng tử bất phương trình ta bất phương trình tương đương; +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]3 < [g(x)]3 +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f (x) g(x) không âm với x thuộc D thì: f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 +) Tương tự, ta có quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ nâng lên lũy thừa bậc chẵn 1.2 1.2.1 Bất phương trình hệ bất phương trình đại số hữu tỷ Bất phương trình bậc ẩn số (i) Dấu nhị thức bậc • Nhị thức bậc biểu thức có dạng: f (x) = ax + b với a = • Dấu nhị thức bậc nhất: Định lý 1.1 (về dấu nhị thức bậc nhất): Cho f (x) = ax + b với a = Khi đó: b a + f (x) dấu với hệ số a x ∈ − ; +∞ ; + f (x) trái dấu với hệ số a x ∈ −∞; − b a Định lý 1.2 Cho đa thức f (x) biểu diễn dạng tích nhị thức bậc Gọi xi nghiệm bội bậc ki đa thức f (x) Khi đó: f (x) đổi dấu qua mốc xi ki số lẻ; f (x) không đổi dấu qua mốc xi ki số chẵn Bài toán 1.1 Giải bất phương trình sau: 3x − 2x − > 5x + 7x + (1.1) Lời giải Điều kiện để bất phương trình (1.1) có nghĩa là: x = − , x = − Với điều kiện ta có (2x − 1)(7x + 6) − (3x − 2)(5x + 3) >0 (5x + 3)(7x + 6) −x2 + 6x ⇔ > (5x + 3)(7x + 6) (1.1) ⇔ Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm − ; − ∪ (0; 6) (ii) Bất phương trình bậc ẩn số • Dạng bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, x ẩn, a b số, a = • Cách giải biện luận: ax + b ≤ (1) b a + Nếu a > bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ − , tập nghiệm S= −∞; − b ; a b a + Nếu a < bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ − , tập nghiệm b S = − ; +∞ ; a + Nếu a = b > bất phương trình (1) vơ nghiệm, tập nghiệm S = ∅; + Nếu a = b ≤ bất phương trình (1) có vơ số nghiệm, tập nghiệm S = R Bài toán 1.2 Giải biện luận bất phương trình sau: m − 3x + > 3mx + m2 (1.2) Lời giải Ta có (1.2) ⇔ 3(m + 1)x < −m2 + m + - Nếu m < −1 bất phương trình có tập nghiệm −m2 + m + ; +∞ 3(m + 1) - Nếu m = −1 bất phương trình có tập nghiệm R - Nếu m > −1 bất phương trình có tập nghiệm −∞; −m2 + m + 3(m + 1) Bài tốn 1.3 Tìm giá trị tham số m để hàm số sau xác định với x ≥ −3: y= (m − 3)x + 2m − Lời giải Điều kiện để hàm số cho có nghĩa là: (m − 3)x + 2m − ≥ ⇔ (m − 3)x ≥ − 2m (1.3) ... văn trình bày số phương pháp giải bất phương trình hệ bất phương trình hữu tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình vơ tỷ; bất phương trình hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Và. .. lục Mở đầu Bất phương trình hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương bất phương trình 1.2 Bất phương trình hệ bất phương trình đại số hữu tỷ 1.2.1 Bất phương trình bậc... 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc ẩn số • Hệ bất phương trình bậc ẩn số hệ gồm nhiều bất phương trình bậc ẩn số • Cách giải: + Giải bất phương trình hệ; + Lấy giao tất tập nghiệm bất phương trình hệ