SKKN Toan 9 Truong Chuyen

[r]

Đặt vấn đề

Toán học ôn học đại xã hội khoa học ngày sở nhiều nghành khoa học khác

Mơn tốn mơn có kiến thức rộng ,phức tạp ,trìu tợng nhng cực hay Ơ bậc T.H.C.S cần trang bị kién thức nhng có đào sâu rèn luyện lực t toán cho học sinh ,tạo tảng tin cậy cho học sinh tiếp tục học tốt mơn tốn bậc T.H.P.T

Vì việc bồi dỡng ,hớng dẫn học sinh giải tốn khó ,phức tạp bậc T.H.C.S giúp em giải tốn nhanh xác ,có lời giải hay ngắn gọn khơng thể thiếu đựơc Trong có dạng tốn ‘Tìm cực

Đề tài ‘Hớng dẫn học sinh giải tốn tìm cực trị ‘của tơi nhằm hớng dẫn học sinh phân dạng ,có phơng pháp giải cho dạng cụ thể ,có ứng dụng để giải bất phơng trình ,chứng minh bất đẳng thức ,……… từ gây dợc hứng thú học tập mơn toán học sinh T.H.C.S

Giải vấn đề

Để hớng dẩn học sinh’’ tìm cực trị”tôi tiến hành theo bớc sau : 1,Tự đọc sách,tham khảo số đề thi cấp huyện cấp tỉnh, … 2, Phân dạng tốn “Tìm cực trị tìm phơng pháp giải cho dạng

3, Qua trình dạy học tìm mẹo giải cách giải hay ngắn gọn đồng thời tìm sai lầm học sinh để sửa chữa nh khắc sâu để học sinh không mắc phải lần sau gặp

Néi dung nh sau

B

ớc Đọc giới thiệu định nghiã gía trị cực trị biểu thức nh sau : *Định nghĩa 1:Cho biểu thức f ( x;y;z…),xác định miền D ,ta nói M giá trị lớn f(x,y,z…) miền D điều kiện sau đợc thoả mãn

-Víi mäi x,y,z,… D f(x,y,z ) M với M h»ng sè -Tån t¹i x,y,z,…  D cho f(x,y,z, ) =M …

*Định nghĩa 2:Cho biểu thức f ( x;y;z…),xác định tren miền D ,ta nói M giá trị nhỏ f(x,y,z…) miền D đIều kiện sau đợc thoả mãn: -Với x,y,z,… D f(x,y,z ) …  M với M số

-Tån t¹i x,y,z,…  D cho f(x,y,z, ) =M B

ớc : Phân dạng ,tìm phơng pháp giải ,kinh nghiệm (nếu có ) ,khi giải toán tìm cực trị

Dạng 1: Dïng tam thøc bËc

*Ph¬ng pháp giải : Viết biểu thức dới dạng tổng bình phơng nhị thức số ,rồi xét giá trị đa phơng trình bậc hai dựa vào đièu kiƯn cã nghiƯm cđa nã mµ xÐt dÊu cđa tam thøc

*VÝ dơ :

a,T×m giá trị nhỏ A= 2x2 8x +1

b, Tìm giá trị lớn B= -5x2 – 4x +1 Gi¶i

A =2(x2 –4x +4)-7 =2(x-2)2-7 7x

 MinA = -7  x - =  x=2b, B = - 5x2 – x+1 =-5

2

2 2 2 5

5 25 5

x x x

   

     

   

   



9 ax

5

M B 



0

x  



2

x 

*Ví dụ 2:Tìm giá trÞ lín nhÊt,nhá nhÊt cđa: D = x2 + y2 biÕt r»ng x2 ( x2 + 2y2 –3 ) + (y2 –2 )2 =1

Gi¶i

Tõ        

2

2 2 3 2 1 2 2 4 2 3

x x  y   y    x  x y y  x y   x

x2 y22 4x2 y2 3 x2 0

      

x Vì x2y2=D nên D2 4D (D ) ( D –1 )  01  D   Min D = 1 x = vµ D = 1 x = vµ y = 1

Max D =  x = vµ D =  x = vµ y = 

Dạng Đa thức có chứa giá trị tuyệt đối

*Phơng pháp : Phá dấu GTTĐ ,rồi tìm giá trị Min ,Max biểu thức tìm đợc sử dụng tính chất dấu GTTĐ

*VÝ dơ 1: T×m giá trị nhỏ biểu thức A = (3x-1)2 3x 1+ 5 Giải Đặt 3x 1 = y  Th× A = y2- 4y +5 =(y –2)2+1  1

 Min A =1  y =2  3x 1=2

1

x x

  

 

*VÝ dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thøc B = x 2 x Gi¶i

B = x x  x 3 x  x 3  x  1 Min B = (x- 2) (3-x) =0  2 x

Dạng :Đa thức bậc cao

*Phơng pháp : Dùng ẩn phụ để đa tam thức bậc hai tổng tam thức bậc hai

*VÝ dô :Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x(x-3)(x-4)(x-7) Gi¶i

A = x(x-3)(x-4)(x-7) = (x2 –7x) (x2 7x +12)

Đặt x2 7x +6 = y th× A = ( y-6) (y+6) =y2 –36 -36

VËy Min y = - 36  y2 =  y =0  x2 -7x+6 =0  x=1hc x = 6 *Ví dụ Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc B =(x +8)2 + (x+6)2 Gi¶i

Đặt x +7=y Ta đợc B =(y+1)2+ (y –1)2 = 2y4 +12y2 +2   Min B =2  y =  x= - Dạng Phân thức có tử số mẫu tam thức bậc hai

*Phơng pháp :Tìm giá trị nhỏ ,lớn riêng mẫu,từ suy giá trị nhỏ ,lớn phân thức

*VÝ dơ 1:T×m giá trị nhỏ biểu thức A = 2 6x 9 x

GiaØ

A = 2

2

9x 6x (3x 1)

 



   

Vì (3x-1)2 +   x A = 2

2

9x 6x (3x 1) x

  

  

   

Min A =

1

3

2 x x



    

Dạng :Phân thức có mẫu nhị thức

*Phơng pháp : Nhóm tử thành tổng bình phơng nhị thức mẩu với số tách thành tổng đặt ẩn phụ Hoặc tách tử thành tổng số với bình phơng nhị thức

*VÝ dô Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2

3

x x

x x

   

A = 2

3

x x

x x

    =

2

2 2

3( 1) 2( 1) 3( 1) 2( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x

x x x x

        

   

Đăt y =

1

x  §iỊu kiƯn x  ; y  0

Do Min A =

1

1

1

y x

x

     



*VÝ dô 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức :B = 2 x x x  

§iỊu kiƯn x  0;B = 2 x x x   =

   2

2

2

3 4

3

x x x x

x

x x

    

    

Do Min B = -3  2x –1 =  x =

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ , lớn nhÊt cđa biĨu thøc C =   2 1 x x   Gi¶i

 2 4 2 2

4 4

1

1 2

1

1 1

x x x x

x x x

           V× 2 4

2 0; 1

1

x

x x x

x

        

  = 1

Suy Min

1 x     

Max C =  x = V×  

2

2 1 0 1 2

x    x   x

dÊu b»ng x¶y x2=1  x = 1

Mà x2 +1 nên

2

1 1

1

x

x    C   

Suy Max

C =2 x =  .Do Min C =

1

2Khi x =  1 D¹ng :XÐt biĨu thøc phơ

*Phơng pháp : Xét biểu thức phụ biểu thức Alµ

A ; -A , A2 , A Rồi suy giá trị biểu thức A

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A =

2 1

x xx

 vãi  x  1 GiaØ

XÐt biÓu thøc

2 1 x x x x   

V×  x  nªn x x   vµ x x  

Ap dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dơng ta đợc : C =

2 1 x x x x   

2

DÊu b»ng x¶y

2 2 1

2

1

0

0

x x x x

x x x

x x

x x



 

  

 

      



 

     



Suy Min C = 2  x 1

XÐt hiÖu B – C =  B = C+3  MinB = 3 x =

Dạng :Phân thức có mẫu biểu thức dơng

*Phơng pháp:Viết biểu thức thành tổng hiệu số biểu thức có tử bình phơng nhị thức mẫu mẫu biểu thức cho xét giá trị ca nú

*Ví dụ :Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =

1

x x

  Gi¶i

A=

 2

2

2

2

4

1

1

x

x x x

x x

    

  

 

Suy Min A = -1  x 0  x2

Dạng : Biến đổi tìm cực trị biểu thức biến

*Phơng pháp : Biến đổi biểu thức nhờ diều kiện biến ,từ xét giá trị biểu thức với biến mi lp c

*Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biêủ thøc A =    

4 1 1

x  y 

x;y>0 vµ x+y = 10 Gi¶i A =    

4 1 1

x  y 

=x4y4x y4 41 Ta cã x+y = 10

2

2 10 2 4 100 40 2

x y xy x y xy x y

      

Đặt x+y = t (t > 0) th× x4 +y4 =100 - 40t + 2t2  A = 100 - 40t + 2t2 +t4+ 1 = t4 - 2t2 - 40t +101 Tìm giá trị MinA =    

2

2 4 10 2 45 45

t   t  

 Min A = 45

2

2

10

xy

t t

x y

         

  



Vậy x,y nghiệm phơng trình X2

-10 10

10 ;

2

X    x  y  Hc

10 10

;

2

x  y 

Ta cã

2

10 10 5

0

2 2

x y

xy      t

           

   

A = t4 - 2t2 - 40t +101 = t(t3 + 2t – 40 ) +101

Do

3

5 125 125

0 ; 40 40

2 8

t t t t t

           

Vì t nên A 101

0

101

10 10

xy x

MaxA t

x y y

 

 

 

       

  

 

  hc

10

x y

   

  

Dạng 9: Vận dụng bất đẳng thức cách linh hoạt

*Phơng pháp: áp dụng bất đẳng thức a b a  b a b;  a  b ;bất đẳng thức Cô si ;Bất đẳng thức Bunhiacôpski ;làm giảm tổng ;làm tăng tổng ;Làm trội tích

VÝ dụ :Tìm giá trị lớn biểu thức H =   2x3y

biÕt 2x23y2 5 Gi¶i

H=         

2

2 2 2

2x3y  2x 3y    2x 3y

 

  =5.5= 25

Max H = 25 

2

2

1

2

2

x y

x y

x y



 

   



 



Dạng 10 :Chia khoảng để tìm cực trị

*Phơng pháp :chia khoảng theo đIều kiện sử dụng cỏc bt ng thc

Tìmgiá trị nhỏ biÓu thøc D = x(x2 – 6) biÕt 0 x GiaØ

D = x3 – 6x

XÐt sè x 3 2 2

Vì x 3 nên x3 >0 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm ta đ-ơc

3 2 2 3 3.2 2.2 2 6 2 2 6 0 6 4 2 / 0 3

x    x  x x    x  x  x x  x

 Min A = - 2Víi x3 2 2 x

Dạng 11: Tìm giá trị nhỏ ,lớn biểu thức biết quan hệ biến cña nã

*Phơng pháp :Xuất phát từ mối quan hệ giửa biến làm giảm luỹ thừa gia biến ,sau đa luỹ thừa tổng (hiệu ) bình ph-ơng với số

*VÝ dơ : T×m gi¸ täi nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x3 +y3 +xy biÕt x+y =1 GiaØ

A =   

2 2 2

Tõ x+y =1 y=1-x Thay vµo biÓu thøc A = x2 + (1-x)2 = 2x2 –2x+1 =

2

1 1 1

2

2 2 2

x MinA x y

 

        

 

 

Bớc 3: Trong trình hớng dẫn học sinh giải tốn ‘cực trị ‘.Đối vớí cơng dụng ,từng ví dụ ,tơi thờng phát em ,em có cách giải hay chặt chẽ thiếu chặt chẽ sai sai lầm từ tìm cách khuyến

khích ,sửa chữa uốn nắn phân tích nguyên nhân ,đa sở để em thấy công nhận Từ giúp em có lời giải thật tốt đạt kết cao >sau sai lầm học sinh thờng gặp giải toán cực trị :

Sai lầm chứng minh điều kiện định nghỉa Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức A=

1 12

x  x

-Lời giải sai : Vì tử có giá trị khơng đổi nên a có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ

Ta cã : x2 –6x +12 = (x-3)2 +3  3 Min x2 –6x +12= 3 x=3

 Max A =

3 x=3

-Phân tích sai lầm lời giải : đáp số lời giải không sai nhng lời giải không đợc chặt chẽ khẳng định A có tử khơng đổi nên giá trị lớn mẩu có giá trị nhỏ mà cha đa khẳng định tử mẫu d-ơng Chẳng hạn ví dụ xét biểu thức: B =

1

x 

Với lập luận phân thức A có tử khơng đổi nên giá trị lớn có mẫu nhỏ ,do mẫu nhỏ –4 x= nên MaxB =

1 

x=0 điều khơng

1

không phải giá trị lớn B chẳng hạn x=3 B = 1

2  

Mắc sai lầm chỗ em cha tính chất bất đẳng thức mà máymóc áp dụng quy tắc cách hai phân số có tử mà mẫu ssố tự nhiên sang số nguyên

-Lời giải : Do mẫu x2 –6x +12= (x-3)2 +3  3 Min x2 –6x +12= 3 x=3.Mặt khác tử mẫu dơng nên  Max A = 3 x=3

Sai lầm chứng minh điều kiện định nghĩa Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x+ -Lời giải sai :

A =

2

1 1 1

4 4 4

x x x x  x     MinA

   

-Phân tích lời giải sai : sau chứng minh đợc Min A = 

thì cha trờng hợp xảy dáu để A =

1

nghĩa tìm x tõ

1

x 

Bớc 4: Qua phân tích dạng ,qua thực tế giảng dạy học sinh ,tôi rút ý sau dạy học sinh tìm cực trị

Khi giải toán tìm cực trị ta có thĨ : 1, §ỉi biÕn cđa biĨu thøc

2, Thay đổi điều kiện để biểu thứcnày đạt giá trị đièu kiện tơng đơng biểu thức khác đạt cực trị Chẳng hạn ;

-A lín nhÊt A nhá nhÊt

1

B lín nhÊt B nhá nhÊt (B > 0)

C lín nhÊt C2 lín nhÊt (C > 0)

3,Tìm giá trị khoảng biến ,sau so sánh giá trị với để tìm giá trị cực trị biểu thức tập xác định

4, Sử dụng linh hoạt xác bất đẳng thức học

5, Trong biểu thức ,cần ý đến hai mệnh đề sau cho ta giá trị lớn tích giá trị nhỏ tổng

-Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số

- Nếu hai số dơng có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số

6, Chú ý cho điều kiện hai định nghĩa giá trị cực trị tồn giá trị biến để xảy dấu đẳng hức

Sau bớc tiến hành ,tôi nhận thấy học sinh giỏi có hứng thú giải toán ,đạc biệt giải toán cực trị

Học sinh phân đợc dạng tốn tìm cực trị có phơng pháp cho dạng khơng khó khăn

Khi cha áp dụng kinh nghiệm học sinh cịn mắc sai lầm tìm cực trị biểu thức sau định hớng phơng pháp giải thấy học sinh đỡ mắc sai lầm nhiều

Bµi häc kinh nghiÖm

Sau áp dụng kinh nghiệm “Hớng dẫn học sinh giải tốn tìm cực trị đại số “tôi thu đợc kết sau

-Học sinh giỏi tìm cực trị nhanh khơng cịn nhầm lẫn q trình giải ,gây đợc hứng thú học tập cho học sinh

-Đã nâng cao đựoc hiệu theo cịn phải đọc sách nhiều ,có thời gian tiếp xúc hớng dẫn học sinh nhièu ,phải tự nghiên cứu cho ph-ơng pháp nhiều để phph-ơng pháp tốt đạt hiệu cao

để có kết cao việc dạy học đồng thời nâng cao trình độ thân ,tơi cịn phải tự bồi dỡng ,học hỏi đồng nghiệp nhiều