SKKN TOAN 9 UNG DUNG DL VIET VAO BAT DANG THUC

Trong ch¬ng tr×nh kh«ng ph¶i néi dung kiÕn thøc nµo còng cã nh÷ng kiÕn thøc lý thuyÕt bæ xung n»m tiÒm Èn bªn trong nh bµi ®Þnh lý ViÐt.. Xong còng cã rÊt nhiÒu ®¬n vÞ kiÕn thøc lµm ®[r]

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008 Chuyên đề

“Từ định lý viét đến giải một số toán

về bất ng thc

Ngòi trình bày : Bùi Văn Thông

đơn vị : Tổ khoa học tự nhiên trừơng thcs trực cờng

A- Đặt vấn đề :

* Chúng ta biết dạy tốn dạy cho ngời học để có lực trí tuệ, lực giúp cho ngời học tiếp thu kiến thức khác tự nhiên xã hội , dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh nắm đ-ợc kiến thức , khái niệm , định lý toán học

Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực trí tuệ Năng lực đ-ợc hình thành phát triển hoạt động Phát triển lực để tích cực độc lập , sáng tạo nội dung toán học đợc nghiên cứu

*Trong xu chung năm gần việc đổi phơng pháp dạy học vấn đề cấp bách thiết thực , nhằm đào tạo ngời có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phơng pháp không giảng lý thuyết , mà luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kĩ tính tốn , kĩ suy luận cần có tập mở , đ-ợc xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố vận dụng kiến thức cách động sáng tạo

* Trong chơng trình đại số lớp Định lý Viét ” phần kiến thức

b¶n , quan trọng Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội kiến thức phơng trình quy bậc hai , giải toán cách lập phơng tr×nh bËc

hai

Ngồi định lý Viét đợc áp dụng để giải số tốn chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ vấn đề góp phần lớn việc phát triển lực trí tuệ cho học sinh giúp để giải tốn khó mà sách giáo khoa khơng đề cập tới

B c¬ së khoa häc :

 C¬ së lý luËn:

- Quy luật trình nhận thức từ trực quan sinh động đến t trừu t-ợng Song trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng , có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo chủ thể - Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên có xu hớng vơn lên làm ngời lớn , muốn tự tìm hiểu , khám phá trình nhận thức lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập tự sẵn sàng tham gia vào hoạt động khác Các em có nguyện vọng muốn có hình thức học tập mang tính chất “ Ngời lớn ” nhiên nhợc điểm em cha biết cách thực nguyện vọng , cha nắm đợc phơng thức thực hình thức học tập

Vì cần có hớng dẫn , điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô

Trong lý lun v phng phỏp dạy học cho thấy Trong mơn tốn thống điều khiển thầy hoạt động học tập trị thực đợc cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực dạy học toán hoạt động Dạy học theo phơng pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều , làm nhiều , tham gia nhiều trình chiếm lĩnh tri thức tốn học

Trong phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh tự tìm tịi , tự phát phát biểu vấn đề dự đốn đợc kết , tìm đợc hớng giải toán ,hớng chứng minh định lý - Hình thành phát triển t tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho học sinh q trình lâu dài , thơng qua tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất khâu trình dạy học nội khố nh ngoại khố

 C¬ së thùc tiƠn :

- HiƯn nhµ trờng phổ thông nói chung nhiều học sinh lời học , lời t trình học tập

- Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có hoạt động đích thực thân để chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động năm qua trờng trung học sở dã có chuyển đổi tích cực việc đổi phơng pháp giảng dạy sở thay sách giáo khoa từ khối đến khối Học sinh chủ động nghiên cứu tìm tịi khám phá kiến thức xong dừng lại tập đơn giản sách giáo khoa

Định lý Viét phần kiến thức khó em , đặc biệt vận dụng vào giải tập

- Việc vận dụng lý thuyết đợc học sách giáo khoa vào

giải tập khó khăn em có khả sáng tạo vận dụng vào tập có nội dung mở rộng , nâng cao

Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x - 3- m = 0

( víi x lµ Èn , m lµ tham sè )

T×m m cho nghiệm x1 , x2 phơng trình thoả mÃn điều kiÖn

x12 + x22 10

+ Khi cha thực chuyên đề , tơi cho học sinh làm thấy kết nh sau : Lúc đầu 100% số học sinh lớp khơng xác định đợc dùng kiến thức để giải Do em khơng giải đợc Sau tơi gợi ý : Bài tốn đề cập ti

số nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx +c = (a0) tổng bình

ph-ơng hai nghiệm phph-ơng trình Lúc có tới 30% học sinh nghĩ đến việc sử dụng định lý Viét Nhng em cha giải đợc để giải tốn thơng qua định lý Viét phải sử dụng đẳng thức bất đẳng thức

+ Sau tơi nghiên cứu hớng dẫn học sinh theo chuyên đề 80% số học sinh lớp xác định đợc hớng giải toán có khoảng 70%- 80% em làm đợc Ngồi em cịn có khả áp dụng vào giải số tập yêu cầu cao Đặc biệt em vận dụng giảI tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị

Sau phần trình bày nội dung chuyên đề bớc tiến hành chuyên đề

C giảI vấn đề :

I / B íc thø nhÊt :

míi :

1 Nội dung sách giáo khoa biết :

Định lý Viét : Nếu x1 , x2 hai nghiệm phơng trình a x2 +bx +c =0

(a0) tổng tích hai nghiệm

1 2

b

x x

a c

x x

a

 

 

  

 

 

Nếu hai số u , v có tổng S tích P hai s ú l hai nghim ca

phơng trình : X2 - Sx + P =

ĐIều kiện tồn hai số S2 - 4P Đó kiến thức mà

sách giáo khoa đa học sinh đợc làm tập cách quen thuộc

2 T×m hiĨu thÊy r»ng :

Định lý Viét định lý quen thuộc , nhng sử dụng định lý tốn cụ thể lại việc khơng đơn giản , điều quan trọng từ giả thiết tốn làm để có đợc biểu diễn tổng tích hai

đại lợng Từ dẫn đến phơng trình bậc hai cuối tính biệt số 

của phơng trình giải bất phơng trình  Từ suy nghĩ tơi

thấy giúp học sinh giải đợc tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị

Dựa sở định lý Viét giúp học sinh phát triển t sáng tạo giải toán khái quát hoá kiến thức

Những vấn đề quan trọng chỗ phải xếp hệ thống tập cho học sinh độc lập suy nghĩ , tự xây dựng sáng tạo cách giải nội dụng tập nói

II/ B íc thø hai :

Xây dựng hệ thống tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải ( khái quát hoá kiến thức ) sử dụng kiến thức hc

Bài số 1: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x - - m =

T×m m cho sè nghiƯm x1 , x2 cđa phơng trình thoả mÃn điều kiện

x12 + x22 10

XÐt

2

, , 15 ,

( 1) ( 3)

2

m m m 

            

    m

ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt m

GV Định hớng : Theo định lý Viét ta có đợc ?

 

 

1 2

2

x x m

x x m

  

  

 



 (I)

Từ x12 + x22 10 ta biến đổi nh ? để sử dụng đợc (I) từ học sinh

biến đổi nh sau :

 

   

2

1 2

2

2

2

2 10

4 10

4

3 9

2 16 16

3

4 16

3

4

3 3

4

2

3

0

4

x x x x

m m m m m m m m m m m m                                                  

Bài số : Cho số thực x , y , z khác không thoả mÃn điều kiÖn

x+y+z = xyz ; x2 = yz

Chøng minh r»ng : x2 3

Giải GV: Cho học sinh thấy đợc chuyển vế đợc

3

2

y z xyz x y z x x

y z x y z x

                

khi tốn trở thành tìm hai số biết tổng tích hai nghiệm chúng Từ học sinh định hớng đợc việc sử dụng định lý Viét để biến đổi

- Theo định lý Viét y , z hai nghiệm phơng trình :

u2 - (x3 - x)u +x2 =  u2 + (x-x3)u + x2 = (1)

xÐt  = x2(1-x2)2 - 4 (2)

(1) có nghiệm nên

do x  nªn tõ (2)  (1- x2)2 -   (1- x2)2 

 1-x2 -2  x2 (®pcm)

- Nếu toán giải theo cách khác phức tạp nhiều Do

đó việc sử dụng định lý Viét cách giải hay toán Các em học sinh qua thấy đợc để giải tốn có nhiều cách giải khác nhng sử dụng cách cho lời giải ngắn gọn xác

Bµi sè :

Các số thực x ,y ,z thoả mÃn ®iỊu kiƯn x + y + z = vµ yz +xz + xy = Chøng minh r»ng :

7 7

1 ;1 ;1

3 3

x y z

     

Tõ gi¶ thiết toán x + y + z = vµ yz + xz + xy = ta cã

5

8 (5 )

y z x

yz x x

   



   

Từ dẫn đến y ,z nghiệm phơng trình : u2 + (x-5)u + x2 - 5x +8 = (1)

xÐt  = (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8)

vì (1) có nghiệm nên 0  (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) 0

từ suy

7

3

x

vai trò x , y , z nh nªn ta cịng cã 7 ;1 3 y z    

Bµi sè :

Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình x2 + kx + a = ( a  0)

Tìm tất giá trị k để có bất đẳng thức

3

1

2

( x ) (x ) 52

x  x 

( a , k số thực )

Giải + Ta xét a hai trờng hợp :

 Nếu a >  = k2 - 4a > với k Khi phơng trình cho ln

có hai nghiệm khác khác dấu , điều dẫn đến bất đẳng thức cho với giá trị thực k

 NÕu a >

Ta cã x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2 )

áp dụng đẳng thức ta đợc :

3

1 2

2 2

( x ) (x ) ( x x ) ( x x ) 3

x x x x x x

 

      

 

nhng

2 2 2 2 2 1 2

( ) 2

2

x x x x x x k

x x x xx x x x a

  

    

( định lý Viét)

Do

3 2 2

2

1

2

2 ( 2) 3 52

x x k k

x x a a

                       Đặt k t

a  Ta cã       

2 2

2 2 3 52 6 9 0

t  t     t t  

ta thấy t2 + >  t , (2) t - 60 hay

6 0

k

a  

do a > nªn suy k26a Bëi vËy ta cã  6a k  6a

VËy a < , k lµ sè thực

0

6 6

a

a k a

   

  

 

Bµi sè :

Cho a  Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng tr×nh :

2

2

1

0 2

x ax a

  

Chứng minh : x14 + x24 + 2 , dấu đẳng thức xảy ?

Gi¶i

áp dụng định lý Viét ta có

1

1 2

1

2

x x a

x x

a

 

  

 



Ta cã : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2

=

2

2 4

2 4

1 1 1 1

2 2 . 2 2 2

2 2 2

a a a

a a a a

   

        

   

   

VËy x14 + x24  + 2

Dấu đẳng thức xảy

4 8

4

1 1 1

2 2 2

a a a

a

    

Bµi sè :

Gäi x1 , x2 lµ hai nghiệm phơng trình :

2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m +3 = (1)

Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x1x2 - 2x1 - 2x2

Gi¶i Ta cã : ’ = (m+1)2 - 2(m2+4m+3)

= m2 + 2m +1 - 2m2 -8m -

= - m2 - 6m -

phơng trình (1) có nghiệm m2 + 6m+ 0

víi -  m  - ta cã hÖ thøc ViÐt   2 1 4 3 . 2

x x m

m m x x           

Nªn A = x1x2 - 2x1 - 2x2 = x1x2 - 2(x1 - x2 )

     

2

2

4 3 1 1

2 1 8 7 1 7

2 2 2

m m

m m m m m

 

        

V× -  m  -1  ( m + 1)(m + 7) <

Do : A =    

2

1 9

8

2 m m m 2 m

       

dấu đẳng thức xảy m = -4 Bài số :

Cho m giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình :

2 1 0 x mx m   

Tìm giá trị nhỏ bbiểu thức A = x14 + x24

Giải

Xét phơng trình

2 x mx m   

(m  0) Ta cã :  =

2 0 m m m    

Theo định lý Viét ta có :

1

1 2

1

x x m

x x m        

mµ A = x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2x1x2= {(x1+x2)2 - 2x1x2}2 - 2(x1x2)2

=

2

2

2 4

2

2

m m

m m m m

 

     

 

 A =

2

4

4

2 4 4 2 2

4 2

m m

m m

A

 

      

 

  

Đẳng thức xảy

2

2

2

2

m m

m

  

Bài số :

Tìm tất giá trị a số tự nhiên cho phơng trình

x2 - a2x + a +1= cã nghiƯm nguyªn

Gi¶i

Xét phơng trình : x2 - a2x + a +1 = (1)

Gi¶ sư x1 , x2 hai nghiệm nguyên phơng trình (1)

ta cã

2

1

1

(2)

. 1(3)

x x a

x x a

   

  

 ( x1 - 1)(x2 -1) = -(a2 - a -2 ) = -( a -2 )( 1+ a ) (4)

tõ (2) vµ (3) 

1

1

0

. 1

x x

x x

  





 ( a  N )

 x1 , x2   ( x1- 1)( x2 - 1)  (5)

kÕt hỵp (4) , (5)  ( a - 2)( + a)  v× a  N   a 

Thử lại ta thấy a = thoả mãn yêu cầu đề Bài số :

Cho x + y + z = (1)

a Tìm giá trị nhỏ cña : A = x2 + y2 + z2

b Tìm giá trị lớn : B = xy + yz + zx Gi¶i

a - Từ đẳng thức (1)  x + y = - z

tõ A = x2 + y2 + z2  A = ( x + y + z )2 - ( xy + yz + zx )

 A = - 2xy -2(3 - z).z  xy =

2

9 6 2 2

z z A

  

áp dụng định lý Viét ta có x ,y nghiệm phơng trình :

X2 - (3 - z )X +

2

9

2

z z A

  

XÐt  = (3-z)2 -

2

9

2

z z A

  

= 9-6z + z2-18 +12z - 4z4+ 2A=

= - (3z2 - 6z + - 2A) phơng trình cã nghiÖm  

 3z2 - 6z + - 2A 

XÐt z = - 27 + 6A = - 18 + 6A

V× x , y lµ nghiƯm cđa (*) suy z tån t¹i  z  A 

VËy Amin = vµ chØ x = y = z =

b - Giải tơng tù :

III B íc thø ba : Bµi tËp vËn dơng

Với mục đích đa tập có áp dụng kiến thức định lý Viét để giải , giúp học sinh tự luyện tập , rèn luyện t độc lập sáng tạo lời giải :

Bµi tập :

Cho phơng trình bậc hai 2x2 + 6x + m =

Víi gi¸ trị tham số m Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2

thoả mÃn

1

2

2

x x

x  x 

Bµi tËp :

Cho phơng trình : (m -1)x2 - 2(m +1)x + m = (1)

Khi (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 T×m m cho x1 - x2

Bµi tËp :

a/ Cho a,b,c R tho¶ m·n a + b + c = vµ ab + bc + ca =

Chøng minh r»ng :  a,b,c 

4

b/ Cho a,b,c R tho¶ m·n a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 2

Chøng minh r»ng :  a 

4

3 ;  b 

3 vµ  c 

Bµi tËp :

Giả sử x1 x2 nghiệm phơng tr×nh x2 + 2kx +4 =

Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức :

2 2

3

x x

x x

   

 

   

   

Bµi tËp :

Cho x , y , z  R thoả mÃn điều kiện

2 2

5 x y z

x y z

  

 

  



Chøng minh r»ng :

7

1 , ,

3

x y z

 

Cho x, y, z số thoả mÃn hệ phơng trình

5 8

x y z xy yz zx

   



  

Tìm giá trị lớn bé nhÊt cña x , y , z

Bµi tËp :

Cho a  Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình :

2

2

1 0 x ax

a

  

Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = x14

+ x24

D KÕt luËn :

+ Qua phần trình bày ta thấy nhiều tập chứng minh bất đẳng thức , hay tìm giá trị lớn nhỏ , thấy đợc định lý Viét có vai trị quan trọng áp dụng để giải phơng trình bậc hai Ngồi cịn thấy đợc sử dụng định lý Viét vào giải bất đẳng thức đợc dễ dàng đặc biệt giúp cho học sinh hiểu sâu định lý Viét Những tập giúp cho học sinh rèn t kĩ biến đổi , áp dụng kiến thức biết

Thử nghiệm thu đợc kết nh sau :

 cha thực chuyên đề học sinh gặp nhiều khó khăn

ngay tập số tập tơng đối dễ mà 100% học sinh không định hớng đợc cách giải Các tập cịn lại em hồn tồn bế tắc Có , câu hỏi tởng chừng khơng ăn nhập với phần lý thuyết đợc học định lý Viét nh , , , , học sinh làm đợc Và giáo viên chữa cho học sinh khó khăn phải diễn giải nhiều có đợc kiến thức sử dụng hệ thức Viét , dẫn đến học sinh khó tíêp thu , sợ tập nh

 Sau tơi nghiên cứu xếp hệ thống tập nh trình

bày , áp dụng dạy cho học sinh thấy học sinh hiểu , say mê với bất đẳng thức , Tìm cực

trị em tự giải đợc tập , đồng thời phần trình bày em ngắn gọn , dễ hiểu , dễ ghi

 Ngoài tập tơi đa cịn nhiều tập , từ

70%- 80% số học sinh lớp làm đợc đặc biệt có em trình bày lời

gi¶i xóc tÝch , gän , dƠ theo dâi Gãp phÇn rÌn kĩ giải toán,

lc hot động trí tuệ cho học sinh Học sinh khơng cịn hiểu vấn đề

mét c¸ch m¸y móc dập khuôn Vì điều kiện trình bày hết

tất tập xin trình bày số tập lµm vÝ dơ

E bµi häc rót :

Nh tơi đặt vấn đề học sinh trung học sở lứa tuổi thiếu niên nên việc t , khả khái qt hố em cịn hạn chế

Do để giải tập khó cơng việc nặng nề em tập bất đẳng thức Vì địi hỏi ngời giáo viên đầu t lớn việc nghiên cứu chơng trình sách giáo khoa , hệ thống tập áp dụng tập nâng cao , từ xây dựng thành chuyên đề nhằm giúp học sinh có lực độc lập t , khái quát hố kiến thức từ mà lực trí tuệ em đợc rèn luyện nâng cao Trong chơng trình khơng phải nội dung kiến thức có kiến thức lý thuyết bổ xung nằm tiềm ẩn bên nh định lý Viét Xong có nhiều đơn vị kiến thức làm đợc nh Điều quan trọng tâm huyết ngời giáo viên nghề nghiệp

Chỉ qua ví dụ định lý Viét ta thấy rút nhiều điều bổ ích cho việc giải tập bất đẳng thức , tìm cực trị

Môc lôc

A Đặt vấn đề : Trang

B Cơ sở khoa học : Trang C Giải vấn đề : Trang D Kết luận : Trang 12 E Bài học rút : Trang 13

Tài liệu tham khảo

Nâng cao phát triển toán ( Vũ Hữu Bình)

Trng im i s ( Ngô Long Hậu – Trần Luận)

 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp ( Nguyn c ng)

Tuyển chọn 400 toán ( Phan ThÕ Thỵng)

 Tun tËp năm tạp chí toán học tuổi trẻ

Ngòi trình bày : Bùi Văn Thông

Nhận xét tổ chuyên môn

………

………

………

NhËn xÐt cña bgh

………

………

………

………

………

………