HAI DUONG THANG VUONG GOC

Do đó để tính góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian, ta quy về tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt. phẳng bằng cách:.[r]

Bài 2

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC NHẬN XÉT

ĐỊNH NGHĨA

1 Góc hai đường thẳng

•Vấn đề đặt ra: Cho hai đường thẳng d1, d2 bất kỳ không gian Hãy xác định góc d1, d2?

•Giải vấn đề: Ta biết tính góc hai đường thẳng mặt phẳng Đó với hai đường thẳng a, b cắt nhau, góc nhỏ tạo hai đường thẳng a, b góc hai đường thẳng

Do để tính góc hai đường thẳng không gian, ta quy tính góc hai đường thẳng mặt

Chọn điểm O (có thể thuộc d1 d2) dựng hai đường thẳng d1’, d2’ song song (hoặc trùng) với d1, d2 Ta thấy O thay đổi góc d1’ d2’ khơng đổi (do góc có cặp cạnh tương ứng song song) góc d1 d2

O

d1

d2

TH1: d1 cắt d2 TH2: d1 song song d2

d1

d2 O

d2’

TH3: d1 & d2 chéo

d1

d2

O

d1’

ĐN1: (SGK 92)

NHẬN XÉT:

a) Góc hai đường thẳng khơng vượt 900

b) Nếu góc hai vectơ phương d1, d2 thì: 

 

0

1 0 0

( 90 ) ,

180 ( 90 )

d d  

 

 



 



1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

B A C S Giải:     (1),(2),(3) 0

cos , , 120 ( , ) 60

SB AC SB AC SB AC

                                  

 

2

(1) SA AB AC SA AC AB AC

a a                                                                            

Vì SA = SC = AC nên SAC tam giác Do đó: suy ra:SAC 600



  1

cos , (2)

2

SA AC SA AC a

                                

 SA AC,  1200

                            

Ta có: BC2 = AB2 + AC2 nên tam giác ABC vuông A

 AB AC,  900 AB AC. 0(3)

                                

Ta có: cos SB AC,  SB AC SB AC                                 

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD biết AB = CD = 2a; MN = a

Giải:

P

N

M B

C

D

A Gọi P trung điểm BD.Theo tính chất đường

trung bình tam giác, ta có:

1 / / &

2 / / &

2

MP CD MP CD a NP AB NP AB a

   

Từ suy ra: (AB,CD) = (MP, NP)



2 2

2

cos( , ) cos( , ) cos

3 1

2 2

AB CD MP NP MPN a a a

MP NP MN

MP NP a

  

   

  

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐN2: (SGK93) Kí hiệu: a b

NHẬN XÉT:

) . 0

a a b  a b   )

/ /

a b

b a c

b c

 

 

 

H1: Ta có: (do A’B’C’D’ hình thoi) nên

/ / ' ', ' ' ' '

AC A C A C  B D

' '

H2: Ta có: B C D A P Q

PQ PA AC CQ PQ PB PD DQ

                                                                      

(1 k PQ PA k PB AC k BD CQ k DQ AC k BD)

                

(1 k PQ AB) AC AB k BD AB 0do AB AC AB BD                                                                                              

0( 1)

PQ AB dok PQ AB

                   

Vậy AB PQ vng góc

Giải:

B

C

D A

Ta có:

AC BD AC BD AD BC AD BC

                   

AB DC AD DB DB BC

AD DB AD BC DB DB DB BC

                                                                                                  

AD DB DB DB DB BC

                                                                       

AD BD DB DC AC DB

                                               

Vậy:               AB DC.  0 AB  DC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có CMR:

,

AC  BD AD  BC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC ABC’ (C C’ không thuộc mặt phẳng) Gọi M, N, P, Q trung điểm AC, CB, BC’, C’A CMR:

b) MNPQ hình chữ nhật

) '

a AB  CC Giải:

Q P

N M

A B

C'

C a AB CC) ' AB AC.( ' AC) AB AC '  AB AC

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

2 cos 600 cos 600 0

AB AB

  

Vậy AB vng góc CC’

/ / / /

MN PQ AB

MN PQ AB

  

 

 

Q P

N M

A B

C' C

Suy MNPQ hình bình hành (1) Mặt khác:

/ /

/ / ' (2) '

MN AB

NQ CC MN NQ

AB CC

 

 



 

