Chéo hoá và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM     ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP KHOA CHÉO HOÁ VÀ ỨNG DỤNG BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ CHỦ NHIỆM ĐỀ TÁI Nguyễn Ngọc Vân Năm 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM     Đề tài nghiên cứu khoa học cấp khoa CHÉO HOÁ VÀ ỨNG DỤNG Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Ngoc Vân Lớp: DH10A Năm 2012 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua LỜI CẢM ƠN Sau năm nghiên cứu đề tài “Chéo hóa ứng dụng” hoàn thành Những kết ban đầu mà tơi thu nhờ hướng dẫn tận tình chu đáo thầy Lê Văn Chua Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng tới thầy Mặc dù bận nhiều việc thầy dẫn tận tình, đồng thời động viên tơi suốt q trình nghiên cứu Tơi xin cảm ơn đến quý thầy cô trường Đại học An Giang tạo điều kiện tốt giúp tơi q trình thực đề tài Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy mơn Tốn trang bị kiến thức cho tơi suốt q trình học tập góp ý q báu giúp tơi hồn thành đề tài Cuối cùng, vô biết ơn cha mẹ xin chân thành cảm ơn bạn bè, người thân thiết xung quanh bên cạnh động viên tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi có thành ngày hôm nay! An Giang, ngày tháng năm 2012 Nguyễn Ngọc Vân SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua MỤC LỤC Trang Chương mở đầu Chương KHÔNG GIAN VÉC TƠ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Khái niệm không gian véc tơ ví dụ Khơng gian tập sinh Tập độc lập tuyến tính Cơ sở số chiều Ma trận chuyển sở Chương CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Đa thức đặc trưng Định lý Cayley-Hamilton 2.2 Giá trị riêng véc tơ riêng ma trận 2.3 Chéo hóa ma trận Chương CHÉO HĨA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 3.1 Tốn tử tuyến tính 3.2 Ma trận biểu diễn tốn tử tuyến tính 3.3 Chéo hóa tốn tử tuyến tính Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Tính lũy thừa ma trận Tính đa thức ma trận Tìm bậc k ma trận Xác định số hạng tổng quát dãy số thực Xác định số hạng tổng quát dãy số thực cho dạng truy hồi Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính Xác định cơng thức lũy thừa tốn tử tuyến tính Kết luận Tài liệu tham khảo SVTH Nguyễn Ngọc Vân 13 20 20 21 25 29 29 32 39 47 47 50 52 54 57 60 62 67 68 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua CHƯƠNG MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đại số tuyến tính có nhiều mảng kiến thức mà sinh viên phải học, chéo hóa chiếm lượng kiến thức lớn, có vai trị ứng dụng quan trọng đại số tuyến tính Đã có nhiều sách viết chéo hóa song sách nghiên cứu chưa triệt để, chưa phân biệt rõ chéo hóa ma trận chéo hóa tốn tử tuyến tính, ứng dụng chéo hóa Với mong muốn cung cấp cho bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên năm nhất, năm hai ngành sư phạm Toán số ngành tự nhiên khác hiểu biết sâu kiến thức chéo hóa hiểu rộng ứng dụng chéo hóa Tơi chọn đề tài nghiên cứu khoa học cấp khoa “Chéo hóa ứng dụng ” Cấu trúc đề tài gồm có chương Chương Khơng gian véc tơ Chương Chéo hóa ma trận Chương Chéo hóa tốn tử tuyến tính Chương Một số ứng dụng chéo hóa Tuy nhiên, lần làm nghiên cứu, phần chưa quen, phần chưa có kinh nghiệm nên q trình tiến hành cịn nhiều thiếu xót, khuyết điểm Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng quý báu thầy để đề tài hồn thiện II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu vấn đề sau Chéo hóa ma trận Chéo hóa tốn tử tuyến tính Một số ứng dụng chéo hóa III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Làm rõ số vấn đề liên quan đến chéo hóa ma trận tốn tử tuyến tính - Ứng dụng phương pháp giải cho ứng dụng - Tìm hiểu số ví dụ IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Đưa thuật toán hay phương pháp chéo hóa ma trận tốn tử tuyến tính - Tìm ứng dụng chéo hóa tốn học V PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu xoay quanh vấn đề chéo hóa - Ứng dụng chéo hóa VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong q trình nghiên cứu sử dụng số phương pháp sau - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp nghiên cứu sách tài liệu Đọc sách tài liệu phương pháp thiếu việc nghiên cứu, sử dụng từ khâu chọn đề tài, xây dựng đề cương nghiên cứu suốt SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua trình nghiên cứu Phương pháp đọc sách tài liệu giúp tơi tìm hiểu, nắm bắt có liên quan đến vấn đề nghiên cứu, xác định vị trí “cái mới” đề tài nghiên cứu - Phương pháp trò chuyện lấy ý kiến chuyên gia Để có nghiên cứu tơi nhận nhiều giúp đỡ từ thầy hướng dẫn, người nghiên cứu lần tơi việc nhận bảo từ người có kinh nghiệm quan trọng trình nghiên cứu đề tài SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua Chương KHÔNG GIAN VÉC TƠ 1.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ CÁC VÍ DỤ Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường V tập không rỗng với phép toán cộng cách gán v, w ∈ V thành tổng v + w ∈V phép nhân vô hướng cách gán α ∈ K v ∈ V thành tích α v ∈V Khi V gọi khơng gian véc tơ K điều kiện sau thoả mãn A1 Với u , v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w) A2 Với u , v ∈ V , u + v = v + u A3 Tồn phần tử ∈ V cho v + = v = + v với v ∈V A4 Với v ∈ V tồn −v ∈V cho v + (−v) = M1 Với α ∈ K v, w ∈ V , α (v + w) = α v + α w M2 Với α , β ∈ K v ∈ V , (α + β )v = α v + β v M3 Với α , β ∈ K v ∈ V , (αβ )v = α ( β v ) M4 Với v ∈ V , 1v = v Các điều kiện A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3, M4 gọi hệ tiên đề không gian véc tơ Các phần tử V gọi véc tơ, phần tử K gọi vô hướng Phần tử điều kiện A3 gọi véc tơ không véc tơ −v điều kiện A4 gọi véc tơ đối v, phép cộng véc tơ với véc tơ đối véc tơ khác gọi phép trừ v − w = v + (− w) Định lý 1.1.2 Cho V không gian véc tơ K Khi (i) Với α ∈ K ∈ V , ta có α = (ii) Với ∈ K với v ∈ V , ta có 0v = (iii) Với α ∈ K v ∈ V , α v = α = v = (iv) Với α ∈ K v ∈ V , ta có ( −α )v = α (−v ) = −α v Dưới số ví dụ khơng gian véc tơ quan trọng Ví dụ 1.1 Khơng gian K n Cho K trường Kí hiệu K n = {(a1 , a2 ,K, an ) | ∈ K } Phép cộng phép nhân vô hướng định nghĩa (a1 , a2 ,K , an ) + (b1 , b2 ,K , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ,K , an + bn ) α (a1 , a2 ,K , an ) = (α a1 , α a2 ,K , α an ) Ta có K n khơng gian véc tơ K Véc tơ không K n = (0, 0,K , 0) véc tơ đối véc tơ (a1 , a2 ,K , an ) −(a1 , a2 ,K , an ) = (−a1 , −a2 ,K , − an ) Ví dụ 1.2 Khơng gian ma trận M m×n ( K ) Kí hiệu M m×n ( K ) tập tất ma trận cấp m × n K Phép cộng phép cộng hai ma trận phép nhân vô hướng phép nhân vô hướng cho ma trận A + B = ⎡⎣ aij + bij ⎤⎦ α A = ⎡⎣α aij ⎤⎦ Ta có M m×n ( K ) khơng gian véc tơ K Véc tơ khơng M m×n ( K ) ma trận 0, véc tơ đối A ma trận đối − A SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua Ví dụ 1.3 Khơng gian đa thức K [t ] Kí hiệu K [t ] tập hợp đa thức K có dạng a0 + a1t + a2t + L + am t m ( m = 0,1, 2,K) Phép công phép nhân vô hương K [t ] xác định f (t ) + g (t ) = ( a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + ( a2 + b2 )t + L + ( am + bm )t m α f (t ) = α a0 + α a1t + α a2t + L + α am t m f (t ) = a0 + a1t + a2t + L + amt m , g (t ) = b0 + b1t + b2t + L + bm t m ∈ K [t ], α ∈ K Khi K [t ] khơng gian véc tơ K Véc tơ không K [t ] đa thức không véc tơ đối f (t ) = a0 + a1t + a2t + L + am t m − f (t ) = − a0 − a1t − a2t − L − amt m 1.2 KHÔNG GIAN CON VÀ TẬP SINH Định nghĩa 1.2.1 Cho V không gian véc tơ K W tập khác rỗng V Ta nói W khơng gian V W không gian véc tơ K phép cộng phép nhân vô hướng V Định lý 1.2.2 Giả sử W tập không gian véc tơ V Khi W khơng gian V điều kiện sau thoả mãn ∈W với véc tơ không V (i) W đóng phép cộng: v + w ∈W với v, w ∈ W (ii) (iii) W đóng phép nhân vơ hướng: α v ∈W với α ∈ K , v ∈ W Ví dụ 1.4 Chứng minh W = {(a, b, 0) | a, b ∈ } không gian Giải o Ta có = (0, 0, 0) ∈ W o Với v = ( a, b, 0), w = ( x, y , 0) ∈ W Ta có v + w = ( a, b, 0) + ( x, y , 0) = ( a + x, b + y , 0) ∈ W o Với α ∈ , v = ( a, b, 0) ∈ W Ta có α v = α ( a, b, 0) = (α a, α b, 0) ∈ W Vậy W khơng gian Ví dụ 1.5 Kí hiệu K n [t ] tập tất đa thức có bậc nhỏ n − K Chứng minh K n [t ] không gian K [t ] Giải o Ta có đa thức ∈ K n [t ] o Với f (t ), g (t ) ∈ K n [t ] Khi deg f (t ) ≤ n − 1, deg g (t ) ≤ n − Ta có deg( f (t ) + g (t )) ≤ max {deg f (t ), deg g (t )} ≤ n − Do f (t ) + g (t ) ∈ K n [t ] o Với α ∈ , f (t ) ∈ K n [t ] Ta có deg (α f (t ) ) ≤ deg f (t ) ≤ n − Vậy α f (t ) ∈ K n [t ] K n [t ] khơng gian K [t ] Ví dụ 1.6 Chứng minh W = { A ∈ M n ( K ) | AT = A} không gian M n ( K ) Giải o Ta có = nên ∈W T SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua o Với A, B ∈ W Khi AT = A, BT = B Ta có ( A + B )T = AT + BT = A + B Do A + B ∈W o Với α ∈ K , A ∈ W Ta có (α A)T = α AT = α A Vậy α A ∈W W khơng gian M n ( K ) Ví dụ 1.7 Chứng minh W = { A ∈ M ( K ) | det A = 0} không gian M ( K ) Giải ⎡0 0⎤ ⎡1 ⎤ Xét hai ma trận A = ⎢ B = ⎢ ⎥ ⎥ Rõ ràng det( A) = det B = 0, nhiên ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ det( A + B ) = Do W khơng phải khơng gian M n ( K ) Hệ 1.2.3 Giả sử W tập không gian véc tơ V Khi W khơng gian V điều kiện sau thoả mãn ∈W với véc tơ không V (i) (ii) α v + β w ∈ W với v, w ∈ W α , β ∈ K Ví dụ 1.8 Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn viết dạng ma trận AX = Gọi W tập hợp nghiệm AX = Chứng minh W không gian K n Giải Rõ ràng A0 = nên ∈W Với v, w ∈ W α , β ∈ K , ta có A(α v + β w) = A(α v ) + A( β w) = α Av + β Aw = α + β = Vậy α v + β w ∈ W W khơng gian K n Định nghĩa 1.2.4 Cho V không gian véc tơ K Một véc tơ v ∈ V gọi tổ hợp tuyến tính véc tơ v1 , v2 ,K , v viết dạng v = x1v1 + x2 v2 + L + xn x1 , x2 ,K , xn ∈ K Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính v1 , v2 ,K , kí hiệu v1 , v2 ,K , span(v1 , v2 ,K , ) gọi không gian sinh v1 , v2 ,K , Nếu V = v1 , v2 ,K , {v1 , v2 ,K , } gọi tập sinh V Tổng quát, giả sử S tập V , S = S tập rỗng S gồm tất tổ hợp tuyến tính véc tơ S Ví dụ 1.9 Chứng minh S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1)} tập sinh Giải Với v = (a, b, c) ∈ , ta có v = ae1 + be2 + ce3 ∈ S Vậy = S S tập sinh Ví dụ 1.10 Chứng minh S = {v1 = (1, 2, 0), v2 = (1,3, 2), v3 = (0,1,3)} tập sinh Giải Với v = (a, b, c) ∈ , giả sử v = x1v1 + x2 v2 + x3v3 tương đương SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎧ x1 + x2 + x3 = a ⎧ x1 = 7a − 3b + c ⎡a ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ b ⎥ = x ⎢ ⎥ + x ⎢ ⎥ + x ⎢1 ⎥ ⇔ ⎪2 x + 3x + x = b ⇔ ⎪ x = −6a + 3b − c ⎨ ⎨ 2 ⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ 3⎢ ⎥ ⎪ ⎪ x = 4a − 2b + c ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 3⎥⎦ ⎩ ⎩0 x1 + x2 + 3x3 = c Vậy v = (7a − 3b + c)v1 + (−6a + 3b − c)v2 + (4a − 2b + c)v3 ∈ S Do = S Ví dụ 1.11 Chứng minh S = { f1 (t ) = + t , f (t ) = t + 2t , f (t ) = t + t } tập sinh [t ] Giải Với f (t ) = a + bt + ct ∈ [t ], giả sử f (t ) = x1 f1 (t ) + x2 f (t ) + x3 f3 (t ) tương đương a + bt + ct = x1 + ( x1 + x2 + x3 )t + (2 x2 + x3 )t Đồng hệ số ta hệ phương trình ⎧ x1 = a ⎧ x1 = a ⎪ ⎪ ⎨ x1 + x2 + x3 = b ⇔ ⎨ x2 = a − b + c ⎪ ⎪ ⎩ x3 = −2a + 2b − c ⎩2 x2 + x3 = c Vậy f (t ) = af1 (t ) + (a − b + c) f (t ) + (−2a + 2b − c) f3 (t ) ∈ S ⎧ [t ] = S ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎫ , E2 = ⎢ , E3 = ⎢ , E4 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎬ ⎣0 0⎦ ⎣0 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣0 1⎦ ⎭ Ví dụ 1.12 Chứng minh S = ⎨ E1 = ⎢ ⎩ tập sinh M ( ) Giải ⎡a b ⎤ Với E = ⎢ ⎥ ∈ M ( ), ta có E = aE1 + bE2 + cE3 + dE4 ∈ S Vậy M ( ) = S ⎣c d ⎦ S tập sinh M ( ) Định lý 1.2.5 Cho S tập không gian véc tơ V Khi S khơng gian V S ⊃ S (i) (ii) Nếu W không gian V W ⊃ S W ⊃ S 1.3 TẬP ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.3.1 Cho V không gian véc tơ K Các véc tơ v1 , v2 ,K , ∈V gọi độc lập tuyến tính x1v1 + x2 v2 + L + xn = x1 = x2 = L = xn = Các véc tơ v1 , v2 ,K , ∈ V không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính Một tập hợp {v1 , v2 ,K, } gọi tập độc lập tuyến tính véc tơ v1 , v2 ,K , độc lập tuyến tính, {v1 , v2 ,K, } gọi tập phụ thuộc tuyến tính véc tơ v1 , v2 ,K , phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1.13 Chứng minh S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1)} độc lập tuyến tính Giải SVTH Nguyễn Ngọc Vân Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua 4.4 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CÁC DÃY SỐ THỰC Cho dãy số thực ( x1,n ), ( x2,n ), , ( xk ,n ) cho biểu thức sau x1,n +1 = a11 x1,n + a12 x2, n + L + a1k xk ,n ; x1,0 = α1 x2,n +1 = a21 x1,n + a22 x2,n + L + a2 k xk ,n ; x2,0 = α xk ,n +1 = ak x1,n + ak x2,n + L + akk xkn ; xk ,0 = α k Muốn xác định số hạng tổng quát dãy số thực này, ta lập đẳng thức ma trận ⎡ x1,n +1 ⎤ ⎡ a11 a12 L a1k ⎤ ⎡ x1,n ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2,n +1 ⎥ = ⎢ a21 a22 L a2 k ⎥ ⎢ x2,n ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M M O M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ xk , n +1 ⎦ ⎣ ak ak L akk ⎦ ⎣ xk ,n ⎦ ⎡ x1,n +1 ⎤ ⎡ x1,n ⎤ ⎡ a11 a12 L a1k ⎤ ⎢x ⎥ ⎢x ⎥ ⎢a a22 L a2 k ⎥⎥ 2, n +1 ⎥ 2, n 21 ⎢ ⎢ Đặt X n +1 = ; A= ; X = ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M M O M ⎥ n ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ak1 ak L akk ⎦ ⎣ xk , n +1 ⎦ ⎣ xk , n ⎦ Ta có X n +1 = AX n = A2 X n −1 = A3 X n − = L = An X = An +1 X Do X n = An X Giả sử ma trận A chéo hóa Khi tồn ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D = diag (λ1 , λ2 , , λn ) cho A = PDP −1 Trước hết, ta tính ma trận An = PD n P −1 = P diag ( λ1n , λ2n , , λkn ) P −1 = ⎡⎣bij (n) ⎤⎦ Khi ⎡ x1,n ⎤ ⎡ b11 (n) b12 (n) L b1k (n) ⎤ ⎡ x1,0 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2,n ⎥ = ⎢b21 (n) b22 (n) L b2 k (n) ⎥ ⎢ x2,0 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M M O M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ xk , n ⎦ ⎣bk1 (n) bk (n) L bkk (n) ⎦ ⎣ xk ,0 ⎦ Vậy số hạng tổng quát ( x1,n ), ( x2,n ), , ( xk ,n ) x1,n = b11 (n)α1 + b12 (n)α + L + b1k (n)α k x2,n = b21 (n)α1 + b22 (n)α + L + b2 k (n)α k xk ,n = bk (n)α1 + bk (n)α + L + bkk (n)α k Ví dụ 4.9 Cho (un ), (vn ), ( wn ) dãy số thực xác định u0 = v0 = w0 = ⎧un +1 = − un − 7vn + 5wn ⎪ ⎨vn +1 = −2un − 8vn + wn ⎪ w = −4u − 16v + 12 w n n n ⎩ n+1 Hãy xác định số hạng tổng quát dãy (un ), (vn ), ( wn ) Giải Muốn xác định công thức tính un , , wn , ta lập đẳng thức ma trận sau SVTH Nguyễn Ngọc Vân 55 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎡ un +1 ⎤ ⎡ −1 −7 ⎤ ⎡ un ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢ − −8 ⎥ ⎢ v ⎥ ⎢ n +1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ n ⎥ ⎢⎣ wn +1 ⎥⎦ ⎢⎣ −4 −16 12 ⎥⎦ ⎢⎣ wn ⎥⎦ ⎡ un +1 ⎤ ⎡ − −7 ⎤ ⎡ un ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Đặt U n +1 = ⎢ +1 ⎥ , A = ⎢ −2 −8 ⎥ , U n = ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎣ wn +1 ⎥⎦ ⎢⎣ −4 −16 12 ⎥⎦ ⎢⎣ wn ⎥⎦ Ta có U n +1 = AU n = A2U n −1 = A3U n − = L = AnU1 = An +1U Do U n = AnU • Trước hết ta tính ma trận An cách chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A f A (t ) = −t (t − 1)(t − 2) o Các giá trị riêng ma trận A λ1 = , λ = λ = o Các không gian véc tơ riêng ứng với λ1 = , λ = λ = E A (0) = (1, 2,3) ; E A (1) = (3, 2, 4) ; E A (3) = (1,1, 2) o Ma trận A chéo hoá A = PDP −1 , −1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 P = ⎢ 2 ⎥ ; D = ⎢0 ⎥ ; P = ⎢ 1 −1⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 −5 ⎥⎦ Với n ∈ , ta có −1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ n n −1 −1⎥⎥ A = PD P = ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ n ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎣⎢ −2 −5 ⎡ − 2n+1 −3 + 2n+ ⎤ − ⋅ 2n ⎢ ⎥ = ⎢ − 2n +1 −2 + 2n+ ⎥ − ⋅ 2n ⎢ − 2n+ − ⋅ 2n+1 −4 + 2n +3 ⎥⎦ ⎣ n +1 −3 + 2n+ ⎤ ⎡1⎤ ⎡ − ⋅ 2n ⎤ − ⋅ 2n ⎡ un ⎤ ⎡ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 + 2n+ ⎥ ⎢⎢1⎥⎥ = ⎢ − ⋅ 2n ⎥ • Khi = ⎢ − 2n +1 − ⋅ 2n ⎢ ⎥ ⎢⎣ wn ⎥⎦ ⎢⎣ − 2n+ − ⋅ 2n+1 −4 + 2n+3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ − ⋅ 2n ⎥⎦ • Vậy un = − ⋅ 2n , = − ⋅ 2n , wn = − ⋅ 2n Ví dụ 4.10 Cho m số nguyên lớn 1, a b số nguyên dương Giả sử (un ) (vn ) dãy số nguyên xác định ⎧un +1 = un + mvn ⎨ ⎩vn +1 = un + un = m n →∞ v n Giải Muốn xác định công thức tính un , , ta lập đẳng thức ma trận sau u0 = a, v0 = b Chứng minh lim SVTH Nguyễn Ngọc Vân 56 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎡un+1 ⎤ ⎡1 m ⎤ ⎡un ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢1 ⎥ ⎢ v ⎥ ⎦⎣ n⎦ ⎣ n+1 ⎦ ⎣ ⎡u ⎤ ⎡u ⎤ ⎡1 m ⎤ Đặt U n +1 = ⎢ n+1 ⎥ ; A = ⎢ ; Un = ⎢ n ⎥ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎣ vn+1 ⎦ ⎣ ⎦ Ta có U n +1 = AU n = A2U n −1 = A3U n − = L = AnU1 = An +1U Do U n = AnU • Trước hết ta tính ma trận An cách chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A f A (t ) = t − 2t + − m o Các giá trị riêng ma trận A λ1 = − m , λ = + m o Các không gian véc tơ riêng ứng với λ1 = − m , λ = + m ( ) (− EA − m = ) ( ) ( m ,1 ; E A + m = ) m ,1 o Ma trận A chéo hoá A = PDP −1 , ⎡1 − m ⎡− m ⎤ −1 m⎤ ⎡ −1 m⎤ P=⎢ D P ; ; = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ m ⎣⎢ 1 ⎦ m ⎦⎥ + m ⎦⎥ ⎣ ⎣⎢ Với n ∈ , ta có n ⎡− m m⎤ ⎤ ⎡ −1 m ⎤ ⎡λ An = ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ n ⎦ ⎣ λ ⎦ m ⎣⎢ m ⎦⎥ ⎣ ⎤ ⎡ −1 − λ1 ⎤ ⎡λ1 − λ − 1⎤ ⎡ λ n1 =⎢ ⎢ ⎥ n ⎥ ⎦ ⎣ λ ⎦ λ − λ1 ⎢⎣ λ − 1⎥⎦ ⎣ = n n n n ⎡λ − λ1 + λ 2λ1 − λ1λ ⎢ λ − λ1 ⎣ λ 2n − λ1n ⎤ m(λ 2n − λ1n ) ⎥ λ 2n − λ1n + λ 2λ1n − λ1λ 2n ⎦ • Do U n = AnU nên n n n n ⎡un ⎤ ⎡λ − λ1 + λ 2λ1 − λ1λ = ⎢ ⎢ ⎥ λ − λ1 ⎣ λ 2n − λ1n ⎣ ⎦ = ⎤ ⎡a ⎤ m(λ 2n − λ1n ) ⎥ ⎢ ⎥ λ 2n − λ1n + λ 2λ1n − λ1λ 2n ⎦ ⎣ b ⎦ n n n −1 n −1 ⎡(a + bm)(λ − λ1 ) − aλ1λ (λ − λ1 ) ⎤ ⎢ ⎥ λ − λ1 ⎣ ( a + b)(λ 2n − λ1n ) − bλ1λ (λ 2n −1 − λ1n−1 ) ⎦ • Vậy số hạng tổng quát dãy số (un ) (vn ) λ 2n − λ1n λ 2n−1 − λ1n −1 − aλ1λ = (a + bm) xn − aλ1λ xn−1 un = (a + bm) λ − λ1 λ − λ1 λ n2 − λ1n λ n2−1 − λ1n−1 − bλ1λ = (a + b) xn − bλ1λ xn −1 = (a + b) λ − λ1 λ − λ1 xn = λ n2 − λ1n Chú ý λ − λ1 SVTH Nguyễn Ngọc Vân 57 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎛ ⎛ λ ⎞n ⎞ λ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ λ2 ⎠ ⎟ x λn − λn ⎝ ⎠ =λ lim n = lim n −21 1n−1 = lim n −1 n →∞ x n →∞ λ n →∞ ⎛ ⎛λ ⎞ ⎞ n −1 − λ1 n −1 λ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ λ2 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ u (a + bm) xn − aλ1λ xn−1 ( a + bm)λ − aλ1λ • Ta có lim n = lim = = m n →∞ v n →∞ ( a + b) x − bλ λ x ( a b ) b + λ − λ λ n n n −1 2 n 4.5 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ THỰC ĐƯỢC CHO DƯỚI DẠNG TRUY HỒI Cho dãy số thực (un ) xác định ⎧u0 = α , u1 = α1 , , uk −1 = α k −1 ∈ ⎨ ⎩un + k = a0un + a1un +1 + L + ak −1un + k −1 Muốn xác định số hạng tổng quát dãy số thực này, ta lập đẳng thức ma trận ⎡ un +1 ⎤ ⎡ ⎢u ⎥ ⎢ ⎢ n+2 ⎥ = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣un + k ⎦ ⎣ a0 ⎤ ⎡ un ⎤ L ⎥⎥ ⎢⎢ un +1 ⎥⎥ M M M M ⎥⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ a1 a2 L ak −1 ⎦ ⎣un + k −1 ⎦ L ⎤ ⎡ un ⎤ ⎥ ⎢u ⎥ L ⎥ ; U n = ⎢ n +1 ⎥ ⎢ M ⎥ M M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ L ak −1 ⎦ ⎣un + k −1 ⎦ = L = AnU1 = An +1U Do U n = AnU L ⎡ un +1 ⎤ ⎡0 ⎢u ⎥ ⎢0 Đặt U n +1 = ⎢ n + ⎥ ; A = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢M M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣un + k ⎦ ⎣ a0 a1 a2 Ta có U n +1 = AU n = A2U n −1 = A3U n − Giả sử ma trận A chéo hóa Khi tồn ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D = diag (λ1 , λ2 , , λn ) cho A = PDP −1 Trước hết ta tính ma trận An = PD n P −1 = P diag ( λ1n , λ2n , , λkn ) P −1 = ⎡⎣bij (n) ⎤⎦ Khi ⎡ un ⎤ ⎡ b11 (n) b12 (n) ⎢ u ⎥ ⎢b ( n) b ( n) 22 ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ M ⎥ ⎢ M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣un + k −1 ⎦ ⎣bk1 (n) bk (n) Vậy số hạng tổng quát (un ) L b1k (n) ⎤ ⎡ u0 ⎤ L b2 k (n) ⎥⎥ ⎢⎢ u1 ⎥⎥ O M ⎥⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ L bkk (n) ⎦ ⎣uk −1 ⎦ un = b11 (n)u0 + b12 (n)u1 + L + b1k (n)uk −1 = b11 (n)α + b12 (n)α1 + L + b1k (n)α k −1 Ví dụ 4.11 Dãy Fibonacci ( Fn ) dãy số nguyên xác định F0 = 0, F1 = Fn+1 = Fn + Fn −1 với n ∈ Chứng minh n n ⎡ Fn = n 1+ − 1− ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ( SVTH Nguyễn Ngọc Vân ) ( ) 58 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua Giải Muốn xác định cơng thức tính un , , ta lập đẳng thức ma trận sau ⎡ Fn+1 ⎤ ⎡0 1⎤ ⎡ Fn ⎤ ⎢ F ⎥ = ⎢1 1⎥ ⎢ F ⎥ ⎦ ⎣ n+1 ⎦ ⎣ n+ ⎦ ⎣ ⎡F ⎤ ⎡ Fn ⎤ ⎡0 1⎤ = Đặt U n +1 = ⎢ n+1 ⎥ ; A = ⎢ ; U ⎥ n ⎢F ⎥ ⎣1 1⎦ ⎣ Fn+ ⎦ ⎣ n+1 ⎦ Ta có U n +1 = AU n = A U n −1 = A U n − = L = AnU1 = An +1U Do U n = AnU • Trước hết ta tính ma trận An cách chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A f A (t ) = t − t − 1+ 1− , λ2 = 2 1+ 1− o Các không gian véc tơ riêng ứng với λ1 = , λ2 = 2 E A ( λ1 ) = (1, λ1 ) ; E A ( λ2 ) = (1, λ2 ) o Các giá trị riêng ma trận A λ1 = o Ma trận A chéo hoá A = PDP −1 , ⎤ −1 ⎡1 ⎤ ⎡λ ⎡ λ −1⎤ P=⎢ ;D=⎢ ;P = ⎥ ⎥ 1⎥⎦ λ − λ1 ⎢⎣ −λ1 ⎣ λ1 λ ⎦ ⎣ λ2 ⎦ Với n ∈ , ta có ⎡ 1 ⎤ ⎡λ1n ⎤ ⎡ λ −1⎤ An = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ n⎥ 1⎥⎦ ⎣λ1 λ ⎦ ⎣ λ ⎦ λ − λ1 ⎣ −λ1 n n λ 2n − λ1n ⎤ ⎡ λ1 λ − λ1λ = ⎢ ⎥ λ − λ1 ⎣λ1n+1λ − λ1λ 2n+1 λ 2n +1 − λ1n+1 ⎦ • Do U n = An U nên n n n n λ 2n − λ1n ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ Fn ⎤ ⎡ λ1 λ − λ1λ ⎡ λ − λ1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ F ⎥ = λ − λ ⎢ n+1 n +1 λ 2n+1 − λ1n+1 ⎦ ⎣1 ⎦ λ − λ1 ⎣λ 2n+1 − λ1n+1 ⎦ ⎣ n+1 ⎦ ⎣ λ1 λ − λ1λ • Vậy số hạng tổng quát dãy Fibonacci ( Fn ) n n ⎡⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞ ⎤ ⎢⎜ = ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ n n ⎡ 1+ − 1− ⎤ = n ⎥⎦ ⎢⎣ Ví dụ 4.12 Xác định số hạng tổng quát dãy số thực (un ) xác định λ1n − λ n2 ) Fn = ( λ1 − λ ( ) ( ) ⎧u0 = a, u1 = b, u2 = c ∈ ⎨ ⎩un +3 = 6un − 11un +1 + 6un + Giải Muốn xác định số hạng tổng quát un , ta lập đẳng thức ma trận sau SVTH Nguyễn Ngọc Vân 59 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎤ ⎡ un ⎤ ⎡ un +1 ⎤ ⎡0 ⎢u ⎥ = ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ un +1 ⎥⎥ ⎢ n+2 ⎥ ⎢ ⎢⎣ un +3 ⎥⎦ ⎢⎣6 −11 ⎥⎦ ⎢⎣un + ⎥⎦ 0⎤ ⎡ un +1 ⎤ ⎡0 ⎡ un ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Đặt U n +1 = ⎢un + ⎥ ; A = ⎢0 ⎥ ; U n = ⎢⎢ un +1 ⎥⎥ ⎢⎣ un +3 ⎥⎦ ⎢⎣6 −11 ⎥⎦ ⎢⎣un + ⎥⎦ Ta có U n +1 = AU n = A2U n −1 = A3U n − = L = AnU1 = An +1U Do U n = AnU • Trước hết ta tính ma trận An cách chéo hoá ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A f A (t ) = −(t − 1)(t − 2)(t − 3) o Các giá trị riêng ma trận A λ1 = , λ = λ = o Các không gian véc tơ riêng ứng với λ1 = , λ = λ = E A (1) = (1,1,1) ; E A (2) = (1, 2, 4) ; E A (3) = (1,3,9) o Ma trận A chéo hoá A = PDP −1 , ⎡1 P = ⎢⎢1 ⎢⎣1 Với n ∈ , ta có ⎡1 n n −1 A = PD P = ⎢⎢1 ⎢⎣1 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ −5 ⎤ 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 3⎥ ; D = ⎢0 ⎥ ; P = ⎢ −6 −2 ⎥⎥ ⎢⎣0 3⎥⎦ ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎥⎦ 1 ⎤ ⎡1 3⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 2n 0 ⎤ ⎡ −5 ⎤ ⎥⎥ ⎢⎢ −6 −2 ⎥⎥ 3n ⎥⎦ ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎡ − ⋅ 2n + ⋅ 3n 1⎢ = ⎢ − 12 ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎢6 − 24 ⋅ 2n + 18 ⋅ 3n ⎣ n • Do U n = A U nên −5 − ⋅ 2n − ⋅ 3n − ⋅ 2n + 3n ⎤ ⎥ −5 − 16 ⋅ 2n − ⋅ 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎥ −5 − 32 ⋅ 2n − 27 ⋅ 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎥⎦ ⎡ − ⋅ 2n + ⋅ 3n − ⋅ 2n + 3n ⎤ ⎡ a ⎤ −5 − ⋅ 2n − ⋅ 3n ⎡ un ⎤ ⎢ u ⎥ = ⎢ − 12 ⋅ 2n + ⋅ 3n n n n n⎥⎢ ⎥ 16 3 − − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ n + ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥ n n n n n n ⎢ ⎥ ⎣⎢un + ⎥⎦ ⎣6 − 24 ⋅ + 18 ⋅ −5 − 32 ⋅ − 27 ⋅ − ⋅ + ⋅ ⎦ ⎢⎣ c ⎥⎦ • Vậy số hạng tổng quát dãy (un ) un = ⎡⎣6a − 5b + c − (6a + 8b + 2c) ⋅ 2n + (2a − 3b + c) ⋅ 3n ⎤⎦ SVTH Nguyễn Ngọc Vân 60 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua 4.6 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ⎧ f1' = a11 f1 + a12 f + L + a1n f n ⎪ ' ⎪ f = a21 f1 + a22 f + L + a2 n f n ⎨ ⎪LLLLLLLLLLLL ⎪ f ' = a f + a f +L + a f n1 n2 nn n ⎩ n aij ∈ Đặt ⎡ f1' ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ⎢f ⎥ ⎢a f' f = ⎢ ⎥ , f ' = ⎢ ⎥ , A = ⎢ 21 ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎢ '⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f n ⎥⎦ ⎣ fn ⎦ ⎣ an1 a12 L a1n ⎤ a22 L a2 n ⎥⎥ M O M ⎥ ⎥ an L ann ⎦ Hệ phương trình cho tương đương với phương trình ma trận f ' = Af Giả sử ma trận A chéo hố Khi tồn ma trận khả nghịch P = [ v1 v2 L ] ma trận chéo D = diag ( λ1 , λ ,K , λ n ) cho P −1 AP = D Đặt g = P −1 f tương đương f = Pg , g = ( g1 , g ,K , g n ) Ta có fi = pi1 g1 + pi g + L + pin g n Lấy đạo hàm hai vế ta fi ' = pi1 g1' + pi g 2' + L + pin g n' Do f ' = Pg ' , thay vào f ' = Af Pg ' = APg tương đương g ' = P −1 APg = Dg Khi ta có gi' = λ i gi Nghiệm tổng quát phương trình gi' = λ i gi gi ( x) = ci eλ x với ci số Do f = Pg nên ta nhận nghiệm tổng quát f ( x) = c1v1eλ x + c2 v2 eλ x + L + cn eλ x i n ⎧⎪ f1' = f1 + f ' ⎪⎩ f = f1 + f Ví dụ 4.13 Giải hệ phương trình vi phân ⎨ Giải ⎡f ⎤ ⎡f ⎤ ⎡2 4⎤ ' • Đặt f = ⎢ ⎥ , f ' = ⎢ ⎥ , A = ⎢ ⎥ Hệ phương trình cho tương đương f = Af f 3 f ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ • Chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) = t − 5t − ' ' o Các giá trị riêng A −1, o Không gian riêng E A (−1) = (4, −3) , E A (6) = (1,1) ⎡ 1⎤ o Ma trận làm chéo hoá A P = [ v1 v2 ] = ⎢ ⎥ ⎣ −3 1⎦ ⎡ −1 ⎤ −1 Dạng chéo A D = diag (−1, 6) = ⎢ ⎥ A = PDP ⎣ ⎦ • Nghiệm tổng quát hệ phương trình f ( x) = c1v1e − x + c2 v2 e6 x với c1 , c2 ∈ hay ⎡ f1 ( x) ⎤ ⎡ 4⎤ − x ⎡1⎤ x ⎡ 4c1e − x + c2 e6 x ⎤ = + =⎢ c e c ⎢ ⎥e ⎢ f ( x) ⎥ ⎢ −3 ⎥ −x 6x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣1⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −3c1e + c2 e ⎦ SVTH Nguyễn Ngọc Vân 61 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua • Do f1 ( x) = 4c1e − x + c2 e6 x , f ( x) = −3c1e− x + c2 e6 x với c1 , c2 ∈ Ví dụ 4.14 Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân ⎧ f1' = f1 + f + f ⎪ ' ⎨ f = f1 + f − f ⎪ ' ⎩ f3 = f1 + f + f3 thoả mãn điều kiện f1 (0) = f (0) = f3 (0) = Giải ⎡f ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎡2 ⎢ ⎥ • Đặt f = ⎢⎢ f ⎥⎥ , f ' = ⎢ f ⎥ , A = ⎢⎢ ⎢f ⎥ ⎢⎣ f3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎣ ⎦ ' ' ' 2⎤ −2 ⎥⎥ 1 ⎥⎦ Hệ phương trình cho tương đương f ' = Af • Chéo hoá ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) = −t + 5t − 2t − o Các giá trị riêng A −1, 2, o Không gian riêng E A (−1) = (−8,10, 7) , E A (2) = (1, −2,1) , E A (4) = (1, 0,1) ⎡ −8 o Ma trận làm chéo hoá A P = [ v1 v2 v3 ] = ⎢⎢10 −2 ⎢⎣ ⎡ −1 0 ⎤ Dạng chéo A D = diag (−1, 2, 4) = ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 1⎤ ⎥⎥ ⎥⎦ A = PDP −1 • Nghiệm tổng qt hệ phương trình f ( x) = c1v1e − x + c2 v2 e2 x + c3v3e x với c1 , c2 , c3 ∈ hay ⎡ −8c1e + c2 e x + c3e4 x ⎤ ⎡ f1 ( x) ⎤ ⎡ −8 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ f ( x) ⎥ = c ⎢10 ⎥ e − x + c ⎢ −2 ⎥ e2 x + c ⎢ 0⎥ e x = ⎢ 10c e − x − 2c e2 x ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎥ −x 2x 4x ⎥ ⎢ ⎣⎢ f3 ( x) ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢1 ⎦⎥ ⎣ 7c1e + c2 e + c3e ⎦ −x • Do ⎧ f1 ( x) = −8c1e − x + c2 e x + c3e x ⎪ −x 2x ⎨ f ( x) = 10c1e − 2c2 e ⎪ −x 2x 4x ⎩ f3 ( x) = 7c1e + c2 e + c3e • Do f1 (0) = f (0) = f3 (0) = nên ⎧ ⎪c = ⎧−8c1 + c2 + c3 = ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨10c1 − 2c2 = ⇔ ⎨c2 = − ⎪7 c + c + c = ⎪ ⎩ 3 ⎪ ⎪⎩c3 = SVTH Nguyễn Ngọc Vân 62 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua 2x 4x ⎧ ⎪ f1 ( x) = − e + e ⎪⎪ • Vậy nghiệm riêng hệ ⎨ f ( x) = −e x ⎪ ⎪ f3 ( x) = − e x + e x 2 ⎩⎪ 4.7 XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC LUỸ THỪA CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Cho ϕ tốn tử tuyến tính V n ∈ Ta định nghĩa luỹ thừa ϕ n ϕ quy nạp sau: ϕ = IdV , ϕ = ϕ , ϕ = ϕϕ ,K , ϕ n = ϕ n −1ϕ Giả sử ϕ chéo hoá được, S sở V [ϕ ]S ma trận biểu diễn ϕ theo sở S Rõ ràng [ϕ ]S ma trận biểu diễn ϕ theo sở S Bằng phép chứng minh quy nạp, ta chứng minh n [ϕ ]S ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Khi với v ∈V , ta có n ⎡⎣ϕ n (v) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ n ⎤⎦ [ v ]S = [ϕ ]S [ v ]S Do ta xác định cơng thức tốn tử tuyến tính S luỹ thừa ϕ n V Ví dụ 4.15 Cho tốn tử tuyến tính ϕ xác định ϕ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + x3 , −2 x1 + 3x2 , −2 x1 + x2 + x3 ) (a) Xác định cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n (b) Với n ∈ , chứng minh tồn tốn tử tuyến tính ψ ψ n = ϕ Giải (a) Công thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n • Ma trận biểu diễn ϕ theo sở tắc E(3) A = [ϕ ]E (3) ⎡ −1 = ⎢⎢ −2 ⎢⎣ −2 cho 1⎤ ⎥⎥ ⎥⎦ • Chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) = −(t − 1)(t − 2)(t − 3) o Các giá trị riêng A 1, 2,3 o Không gian riêng E A (1) = (1,1,1) , E A (2) = (1, 2,3) , E A (3) = (0,1,1) ⎡1 ⎤ ⎡ 1 −1⎤ o Ma trận làm chéo hoá A P = ⎢⎢1 ⎥⎥ P −1 = ⎢⎢ −1 1⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −1⎥⎦ ⎡1 0 ⎤ Dạng chéo A D = ⎢⎢0 ⎥⎥ A = PDP −1 ⎢⎣0 ⎥⎦ • Tính luỹ thừa ma trận An SVTH Nguyễn Ngọc Vân 63 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎡1 ⎤ ⎡1 A = PD P = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣0 n −1 n ⎡1 2n ⎢ = ⎢1 ⋅ 2n ⎢1 ⋅ 2n ⎣ n ⎤ ⎡ 1 −1⎤ ⎥⎥ ⎢⎢ −1 1⎥⎥ 3n ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −1⎥⎦ ⎤ ⎡ 1 −1⎤ ⎥ 3n ⎥ ⎢⎢ −1 1⎥⎥ 3n ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −1⎥⎦ ⎡ 1 − 2n ⎢ = ⎢1 − 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎢1 − 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎣ ⎤ ⎥ −1 + ⋅ − ⎥ −1 + ⋅ 2n − 3n ⎥⎦ −1 + 2n n n • Cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Với x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ , ta có ⎡⎣ϕ n ( x) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ n ⎤⎦ [ x ]E (3) = [ϕ ]E (3) [ x ]E (3) = An [ x ]E (3) E (3) E (3) n ⎡ 1 − 2n ⎢ = ⎢1 − 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎢1 − 3n − ⋅ 2n + ⋅ 3n ⎣ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ −1 + ⋅ − ⎥ ⎢ x2 ⎥ −1 + ⋅ 2n − 3n ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ −1 + 2n n n ⎡ ⎤ x1 − (2n − 1) x2 + (2n − 1) x3 ⎢ ⎥ n n n n n = ⎢(1 − ) x1 + (1 − ⋅ + ⋅ ) x2 + (−1 + ⋅ − ) x3 ⎥ ⎢ (1 − 3n ) x1 + (1 − ⋅ 2n + ⋅ 3n ) x2 + (−1 + ⋅ 2n − 3n ) x3 ⎥ ⎣ ⎦ Vậy ϕ n ( x) = ϕ n ( x1 , x2 , x3 ) = ( y1 , y2 , y3 ), y1 = x1 − (2n − 1) x2 + (2n − 1) x3 y2 = (1 − 3n ) x1 + (1 − ⋅ 2n + ⋅ 3n ) x2 + (−1 + ⋅ 2n − 3n ) x3 y3 = (1 − 3n ) x1 + (1 − ⋅ 2n + ⋅ 3n ) x2 + (−1 + ⋅ 2n − 3n ) x3 (b) Tồn tốn tử tuyến tính ψ Đặt ma trận C = diag ( n ) ( cho ψ n = ϕ ) 1, n 2, n = diag 1, n 2, n B = PCP −1 Ta có B n = PC n P −1 = PDP −1 = A Vậy B bậc n ma trận A Cụ thể ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎢ B = PCP −1 = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢0 ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢0 ⎣ n 0 ⎤ ⎡ 1 −1⎤ ⎥ ⎥ ⎢⎢ −1 1⎥⎥ n ⎥ ⎢ −1 −1⎥⎦ 3⎦ ⎣ ⎡ 1− n −1 + n ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢1 − n − n + n −1 + n − n ⎥ ⎢ n ⎥ n n n n ⎢⎣1 − − + −1 + − ⎥⎦ Đặt ψ ( x) = ψ ( x1 , x2 , x3 ) = ( z1 , z2 , z3 ), SVTH Nguyễn Ngọc Vân 64 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua z1 = x1 − ( n − 1) x2 + ( n − 1) x3 z2 = (1 − n 3) x1 + (1 − n + n 3) x2 + (−1 + n − n 3) x3 z3 = (1 − n 3) x1 + (1 − n + n 3) x2 + (−1 + n − n 3) x3 Rõ ràng ψ tốn tử tuyến tính thoả mãn ψ n = ϕ Ví dụ 4.16 Cho tốn tử tuyến tính ϕ 3[t ] xác định ϕ ( f (t )) = (2t + 1) f (t ) − (t − 1) f ' (t ) (a) Chứng minh ϕ chéo hoá (b) Xác định cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Giải (a) Cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n • Ma trận biểu diễn ϕ theo sở S0 = {1, t , t } A = [ϕ ]S ⎡1 ⎤ = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ • Chéo hố ma trận A o Đa thức đặc trưng f A (t ) = −(t − 1)(t − 3)(t + 1) o Các giá trị riêng A 1, −1,3, o Không gian riêng E A (1) = (1, 0, −1) , E A (2) = (1, −2,1) , E A (3) = (1, 2,1) ⎡ 1 o Ma trận làm chéo hoá A P = ⎢⎢ −2 ⎢⎣ −1 ⎡1 0 ⎤ Dạng chéo A D = ⎢⎢0 −1 ⎥⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ • Tính luỹ thừa ma trận An ⎡ 1 ⎤ ⎡1 1⎢ n n −1 A = PD P = ⎢ −2 ⎥⎥ ⎢⎢ 2n ⎢⎣ −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡ + (−1) n + 3n 1⎢ = ⎢ 2(−1) n +1 + ⋅ 3n ⎢ −2 + (−1) n + 3n ⎣ 1⎤ ⎡ −2 ⎤ 1⎢ ⎥ −1 ⎥ P = ⎢1 −1 1⎥⎥ ⎢⎣1 1 ⎥⎦ ⎥⎦ A = PDP −1 ⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎥⎥ ⎢⎢ −1 1⎥⎥ 3n ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (−1) n +1 + 3n 2(−1) n + + ⋅ 3n (−1) n +1 + 3n −2 + (−1) n +1 + 3n ⎤ ⎥ 2(−1) n +1 + ⋅ 3n ⎥ + (−1) n + 3n ⎥⎦ • Cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Với f (t ) = a + bt + ct ∈ SVTH Nguyễn Ngọc Vân [t ], ta có 65 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎡⎣ϕ n ( f (t )) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ n ⎤⎦ [ f (t ) ]S = [ϕ ]S [ f (t )]S = An [ f (t ) ]S S0 S0 0 0 n ⎡ + (−1) n + 3n (−1) n +1 + 3n −2 + (−1) n +1 + 3n ⎤ ⎡ a ⎤ 1⎢ ⎥ = ⎢ 2(−1) n +1 + ⋅ 3n 2(−1) n + + ⋅ 3n 2(−1) n +1 + ⋅ 3n ⎥ ⎢⎢ b ⎥⎥ ⎢ −2 + (−1) n + 3n (−1) n +1 + 3n + (−1) n + 3n ⎥⎦ ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎣ ⎡ 2(a − c) + (−1) n (a − b − c) + 3n (a + b + c) ⎤ 1⎢ ⎥ = ⎢ 2(−1) n +1 (a − b + c) + ⋅ 3n (a + b + c) ⎥ ⎢ 2(c − a) + (−1) n (a − b + c) + 3n (a + b + c) ⎥ ⎣ ⎦ n n 2 Vậy ϕ ( f (t )) = ϕ (a + bt + ct ) = α + β t + γ t , α = ⎡⎣ 2(a − c) + (−1) n (a − b − c) + 3n (a + b + c) ⎤⎦ β = ⎡⎣ 2(−1) n +1 (a − b + c) + ⋅ 3n (a + b + c) ⎤⎦ γ = ⎡⎣ 2(c − a) + (−1) n (a − b + c) + 3n (a + b + c) ⎤⎦ b⎤ ⎧⎡a ⎫ Ví dụ 4.17 Cho V = ⎨ ⎢ | a, b, c ∈ ⎬ không gian M ( ) ⎥ ⎩⎣ c −a ⎦ ⎭ (a) Tìm sở số chiều V ⎡1 0⎤ (b) Cho ánh xạ ϕ :V → V xác định ϕ ( X ) = XA − AX với A = ⎢ ⎥ Chứng ⎣ 3⎦ minh ϕ tốn tử tuyến tính V xác định cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Giải ⎡a b⎤ (a) Với X = ⎢ ⎥ ∈ V , ta có ⎣ c −a ⎦ b⎤ 0⎤ ⎡a ⎡1 ⎡0 ⎤ ⎡0 0⎤ X =⎢ = a⎢ +b⎢ +c⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ c −a ⎦ ⎣0 −1 ⎦ ⎣0 0⎦ ⎣1 ⎦ 0⎤ ⎡1 ⎡0 1⎤ ⎡0 0⎤ , X2 = ⎢ , X3 = ⎢ Đặt X = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ∈ V Vậy S = { X , X , X } tập sinh V ⎣0 −1 ⎦ ⎣0 0⎦ ⎣1 ⎦ Rõ ràng S độc lập tuyến tính Do S sở V dim V = (b) Với X , Y ∈ V α , β ∈ , ta có ϕ (α X + β Y ) = (α X + β Y ) A − A(α X + β Y ) = (α XA + β YA) − (α AX + β AY ) = α ( XA − AX ) + β (YA − AY ) = αϕ ( X ) + βϕ (Y ) Vậy ϕ tốn tử tuyến tính V • Ta tìm ma trận biểu diễn ϕ theo sở S ⎡1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎣0 −1⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ −1⎦ ⎣ −4 ϕ ( X ) = X A − AX = ⎢ SVTH Nguyễn Ngọc Vân 0⎤ ⎥⎦ 66 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua ⎡0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡2 2⎤ ϕ ( X ) = X A − AX = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎡0 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎡ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎣1 ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣1 0⎦ ⎣ −2 ϕ ( X ) = X A − AX = ⎢ Ta có 0⎤ ⎥⎦ ϕ ( X1 ) = X1 + X − X ϕ ( X ) = X1 + X + X ϕ ( X1 ) = X1 + X − X Ma trận ϕ theo sở S B = [ϕ ]S ⎡ = ⎢⎢ ⎢⎣ −4 0⎤ ⎥⎥ −2 ⎥⎦ • Chéo hố ma trận B o Đa thức đặc trưng f B (t ) = −t (t − 2)(t + 2) o Các giá trị riêng B 0, 2, −2 o Không gian riêng EB (0) = (1, 0, −2) , EB (2) = (1,1, −1) , EB (−2) = (0, 0,1) ⎡ 1 o Ma trận làm chéo hoá B P = ⎢⎢ ⎢⎣ −2 −1 ⎡0 0 ⎤ Dạng chéo B D = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎣0 −2 ⎥⎦ 0⎤ ⎡1 −1 ⎥ −1 ⎥ P = ⎢⎢ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ 0⎤ ⎥⎥ ⎥⎦ B = PDP −1 • Cơng thức tốn tử tuyến tính luỹ thừa ϕ n Với n ∈ , ta có ⎡ 1 0⎤ ⎡0 ⎢ ⎥ ⎢ n n −1 B = PD P = ⎢ ⎥ ⎢ 2n ⎢⎣ −2 −1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡ 2n ⎢ =⎢ 2n ⎢ ⋅ (−2) n −2n − (−2) n ⎣ ⎤ ⎡1 −1 ⎥⎥ ⎢⎢ (−2) n ⎥⎦ ⎢⎣ −1 0⎤ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎥ ⎥ (−2) n ⎥⎦ b⎤ ⎡a ⎥ ∈ V , ta có ⎣ c −a ⎦ Với X = ⎢ ⎡⎣ϕ n ( X ) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ n ⎤⎦ [ X ]S = [ϕ ]S [ X ]S S S n ⎡ ⎤ b 2n ⎢ ⎥ n =⎢ b2 ⎥ ⎢[2a + (−1) n +1 b − b + c](−2) n ⎥ ⎣ ⎦ Vậy ϕ n ( X ) = b 2n X + b2n X + [2a + (−1) n +1 b − b + c](−2)n X SVTH Nguyễn Ngọc Vân 67 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua KẾT LUẬN Ì Đề tài nghiên cứu trình bày - Các kiến thức cần nắm không gian véc tơ Chứng minh định lý quan trọng đại số tuyến tính, định lý CayleyHamilton, Đưa thuật tốn chéo hóa ma trận Phân biệt chéo hóa ma trận chéo hóa tốn tử tuyến tính mối quan hệ chéo hóa ma trận chéo hóa tốn tử tuyến tính Một phần quan trọng thể tên đề tài nghiên cứu, số ứng dụng chéo hóa Sau nghiên cứu, tìm tịi tơi đưa ứng dụng sau + Tính lũy thừa ma trận + Tính đa thức ma trận + Tìm bậc k ma trận + Xác định số hạng tổng quát dãy số thực + Xác định số hạng tổng quát dãy số thực cho dạng truy hồi + Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính + Xác định cơng thức lũy thừa tốn tử tuyến tính Ì Mặt hạn chế Mặc dù cố gắng nhiều, lần làm nghiên cứu khoa học, phần chưa quen, phần chưa có kinh nghiệm nên q trình tiến hành cịn nhiều thiếu xót, khuyết điểm Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy để nghiên cứu hoàn chỉnh SVTH Nguyễn Ngọc Vân 68 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Carl D Meyer Matrix Analysis & Applied Linear Algebra [2] David C Lay Linear Algebra And Its Applications [3] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ 2003 Toán cao cấp tập Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ 2003 Bài tập toán cao cấp tập Nhà xuất giáo dục [5] Lê Tuấn Hoa 2006 Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nicholson, W Keith Linear Algebra with Applications 3rd Edition [7] SEYMOUR LIPSCHUTZ SCHAUM'S OUTLINE OF THEORY AND PROBLEMS OF LINEAR ALGEBRA Second Edition [8] Ngơ Việt Trung Giáo trình đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội SVTH Nguyễn Ngọc Vân 69 ... cấp khoa CHÉO HOÁ VÀ ỨNG DỤNG Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Ngoc Vân Lớp: DH10A Năm 2012 Đề tài NCKH Chéo hóa ứng dụng GVHD: Th.s Lê Văn Chua LỜI CẢM ƠN Sau năm nghiên cứu đề tài ? ?Chéo hóa ứng dụng? ??... thức chéo hóa hiểu rộng ứng dụng chéo hóa Tơi chọn đề tài nghiên cứu khoa học cấp khoa ? ?Chéo hóa ứng dụng ” Cấu trúc đề tài gồm có chương Chương Khơng gian véc tơ Chương Chéo hóa ma trận Chương Chéo. .. cứu vấn đề sau Chéo hóa ma trận Chéo hóa tốn tử tuyến tính Một số ứng dụng chéo hóa III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Làm rõ số vấn đề liên quan đến chéo hóa ma trận tốn tử tuyến tính - Ứng dụng phương