Giải tích cổ điển tập 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN TẬP VÕ THÀNH TÀI AN GIANG, 02/2018 Tài liệu giảng dạy “Giải tích cổ điển tập 1”, tác giả Võ Thành Tài, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày ……………………… , Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày …………………… Tác giả biên soạn ThS VÕ THÀNH TÀI Trưởng đơn vị Trưởng Bộ môn VÕ TIẾN THÀNH Hiệu trưởng PGS TS VÕ VĂN THẮNG AN GIANG, 02/2018 LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày 01 tháng 02 năm 2018 Người biên soạn ThS VÕ THÀNH TÀI i MỤC LỤC Chương SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Số thực 1.1.1 Tập số hữu tỉ 1.1.2 Nhát cắt Dedekind 1.1.3 Quan hệ thứ tự tập số thực 1.1.4 Các phép toán tập số thực 1.1.5 Tính chất trù mật tập số thực 1.1.6 Định nghĩa số thực tính chất liên tục tập số thực 1.1.7 Biểu diễn hình học biểu diễn thập phân số thực 1.1.8 Cận cận 1.1.9 Số thực mở rộng 1.1.10 Khoảng, đoạn, lận cận 1.1.11 Giá trị tuyệt đối 1.1.12 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường gặp tập số thực 10 1.2 Giới hạn dãy số thực 11 1.2.1 Khái niệm dãy số 11 1.2.2 Giới hạn dãy số 11 1.2.3 Dãy bị chặn dãy đơn điệu 14 1.2.4 Dãy giới hạn riêng 15 1.2.5 Phép tốn tính chất dãy hội tụ 16 1.2.6 Một số dãy số đặc biệt 23 1.2.7 Điều kiện hội tụ dãy số 27 1.2.8 Đại lượng vô bé đại lượng vô lớn 34 1.2.9 Giới hạn giới hạn 36 1.2.10 Tổng hợp số định lý quan trọng việc tìm giới hạn dãy số 37 BÀI TẬP CHƯƠNG 59 CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 65 2.1 Hàm số 65 2.1.1 Khái niệm hàm số 65 2.1.2 Các phương pháp cho hàm số 65 ii 2.1.3 Phép toán hàm số 66 2.1.4 Hàm số đơn điệu 67 2.1.5 Hàm số bị chặn 67 2.1.6 Hàm số chẵn hàm số lẻ 68 2.1.7 Hàm số tuần hoàn 68 2.1.8 Hàm số hợp 69 2.1.9 Hàm số ngược 69 2.1.10 Các hàm số sơ cấp 71 2.1.11 Hàm số sơ cấp 73 2.2 Giới hạn hàm số 73 2.2.1 Khái niệm giới hạn 73 2.2.2 Tính chất phép toán 78 2.2.3 Điều kiên tồn giới hạn hàm số 83 2.2.4 Đại lượng vô bé đại lượng vô lớn 83 2.2.5 Các dạng vô định 86 BÀI TẬP CHƯƠNG 90 Chương HÀM SỐ LIÊN TỤC 97 3.1 Hàm số liên tục điểm 97 3.1.1 Các khái niệm 97 3.1.2 Các phép toán hàm số liên tục 101 3.2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn 102 3.2.1 Định nghĩa 102 3.2.2 Các tính chất hàm số liên tục đoạn 103 3.3 Tính liên tục hàm số sơ cấp 108 3.3.1 Điều kiện liên tục hàm đơn điệu 108 3.3.2 Tính chất liên tục hàm số sơ cấp đơn giản 109 3.4 Liên tục 111 BÀI TẬP CHƯƠNG 114 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 117 4.1 Đạo hàm 117 4.1.1 Khái niệm ý nghĩa đạo hàm 117 iii 4.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 122 4.1.3 Bảng công thức đạo hàm thường gặp 126 4.2 Vi phân cấp 127 4.2.1 Định nghĩa 127 4.2.2 Điều kiện hàm khả vi 128 4.2.3 Các quy tắc lấy vi phân 130 4.2.4 Tính bất biến dạng thức vi phân 130 4.2.5 Ứng dụng vi phân để tính gần 130 4.2.6 Các định lý hàm khả vi 131 4.3 Đạo hàm cấp cao 139 4.3.1 Định nghĩa 139 4.3.2 Công thức Leibnizt 140 4.3.3 Đạo hàm cấp cao hàm số thường gặp 140 4.4 Vi phân cấp cao 142 4.5 Ứng dụng phép tính vi phân 144 4.5.1 Công thức Taylo khai triển hàm số sơ cấp đơn giản 144 4.5.2 Quy tắc L’Hospital 148 4.5.3 Khảo sát hàm số 149 BÀI TẬP CHƯƠNG 163 CHƯƠNG TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 169 5.1 Nguyên hàm 169 5.1.1 Định nghĩa 169 5.1.2 Tính chất 170 5.1.3 Bảng tích phân số hàm thường gặp 170 5.1.4 Các phương pháp tính tích phân 171 5.1.5 Tích phân hàm hữu tỉ 176 5.1.6 Tích phân hàm vô tỉ 180 5.1.7 Tích phân hàm lượng giác 187 5.2 Tích phân xác định 192 5.2.1 Bài tốn tính diện tích hình thang cong 192 5.2.2 Định nghĩa 194 iv 5.2.2 Điều kiện khả tích 195 5.2.3 Tính chất tích phân xác định 202 5.2.4 Mối liên hệ tích phân xác định nguyên hàm 206 5.2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 208 5.2.6 Một số tích phân dạng đặc biệt 211 5.3 Một số ứng dụng tích phân xác định 212 5.3.1 Tính giới hạn dãy số 212 5.3.2 Tính dộ dài cung 213 5.3.3 Tính diện tích hình phẳng 215 5.3.4 Tính thể tích vật thể 217 5.3.5 Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay 220 BÀI TẬP CHƯƠNG 224 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ 229 TÀI LIỆU THAM KHẢO 268 v vi 1 !  y 10  1  cos 2x  x 10 10k    1 9  k  ! C 10k 2k cos 2x  k     x 10k k 1   210 cos 2x  10  ln x   4.17 y 100 100 x    C k 0 k 100 x  1    1  x     100k  k   100 99 1  1     x 1  x    100 1  x   ;     y y 100 201 x   x 1.3.5 199 1  x  100 100 199 1.3.5 197  x   99 0  100 1.3.5 197 99 4.18 y y  100 50 50  x 250e 2x  C 50 2x 249e 2x  C 502 2.248e 2x  0  4.19 y 10 49 C 502  29 x cos 2x  5.29.sin 2x   d 10y  29 x cos 2x  5.29.sin 2x dx 10 4.20 Đặt f x   x ; g x   n 1 y n  1  1x 1.4 3n  53n  2x  n 3 1  x  n  1  x   1 1    4.21 Ta có y    x  x   Sử dụng chứng minh quy nạp chứng minh công thức   n n!   1 n   y  1   n  n   x  1 x      4.22 Ta có y   1  x   Suy y 10 1x 10 10 10 1  1      x    x   x   x                    10 1  11  Chứng minh 1  x    10 ! 1  x    255 y n  0  10 ! 4.23 Ta có y   hay  x y   (*) x 1   Lấy đạo hàm cấp n  1 hai vế (*) (trong vế trái tính theo cơng thức Leibniz) ta được: 1  x  y   n  1 xy Tại x  ta có y n  n 1 n  n  1n  2 y n 2  0   n  1n  2 y  0, n  n 2 Do y 49 0  48.47y   0  1 47 48.47.46.45y 45 0   1 48! y  0  1 48 ! 24 24 4.24 Ta có f x        2x  2x  x 1  x   Mà    x3  1 2x 2x (1  x ) 1 1x  x (1  x  x )(1  x )  1    1   k  1 x x    1 x 1      xn 2! n! n   1  x  1 x3   x4 Vậy f x    2x  2x     2x  2x   x4    2x   x 2 4.25 e 2x x   2x  x  x  x   x 6  x   x  x6   6     2! !  x x x      o x6 4.26 e cos x 1      2! ! 6!  2! 3!     4.27 Ta có f (x )  ln cos x  ln 1  cos x  1   x x x ln 1  cos x  1      x6   12 45   Vậy f (x )  x x x     x6 12 45   4.28 f x   ln 1  x  sin x   256 x3 x5 x6     x6 3! 5! 72     4.29 f x   tan x   f (k ) 0 x k k! k 0    o x5  x  x3  x5  o x5 15   4.30 Đặt x   t 3x  Ta có f (x )   2x  x    t2   t 1      t2 3t  g(t )   t   Áp dụng công thức khai triển Maclaurin hàm số 1     từ suy khai triển hàm số g t  : g(t )  2k k t 3 n 1 2k  1 !! t  t.    t 2n   k k 2 k 1 k !   Thay t  x  , ta có khai triển Taylor hàm số f x  f (x )  n 1 2k  1 !! 2k 1 2n   (x  1)   x  1   x  1   3k 1   2 k! k 1 4.31 Đặt x   t ta có: 2x  x   (1  t )(3  t )  3(1  t )(t  )  t f (x )  ln 2x  x   ln  ln 1  t   ln 1    g t      k 1 k   1 n  x  2  f (x )  ln     1  x  2  k    k k 1    n 4.32 a Ta có: cos x  e lim x 0 cos x  e x4 b lim x 0  x2  x2   lim x4 x4 x4    x4     x4 24 12  x 0 e x sin x  x 1  x  x3     x4   x4 12   12 x4    ak x m k 1 , F x  liên tục 0,1 khả vi 0,1 4.33 Đặt F x    m  k  k 0 n n Mặt khác F 0  0; F 1   i 0  m i 1 257 Áp dụng định lí Rolle, tồn c  0,1 cho F  c   n n Mà F  x    ak x m k  x m  ak x k k 0 k 0 n F  c    c m  aic i   i 0 n Vậy phương trình a x i 1 i i 4.34 Xét hàm số F x   n a c i 0 i   ln có nghiệm 0,1 a b sin 3x  sin 2x  c sin x  cos x 4.35 Xét hàm số F x   a1 sin x  a2 a sin 2x   n sin nx n 4.36 Xét hàm số F x   a1 cos x  4.37 Xét hàm số g(x )  i a2 a cos 2x   n cos nx n f (x ) x 4.38 Xét hàm số F x   f x   x 4.39 Đặt F x   an a a a x n 1  n 1 x n   x  x n 1 n 4.40 Xét hàm số g x   an a a lnn 1 x   ln x  ln x  a ln x n 1 4.41 Xét hàm số f t   sin t Hàm số f t  liên tục x ; y  khả vi x ; y  nên thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange đoạn x ; y  Suy f x   f y   f  c x  y  hay sin x  sin y  cos c x  y  Do cos c  nên sin x  sin y  x  y 4.42 Xét hàm số f t   arctan t 4.43 Xét hàm số f t   ln t Hàm số f x  liên tục x n  1; n  , n   khả vi n  1; n  nên thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange   đoạn n  1; n  4.44 Với   0, n  , xét hàm số f x   Ta có f  x    x  1   Suy f n   f n  1  f  c  n  n  1 , n   c  n 258   1     1 n  n  1 , n   c  n   n c n  1   n  1     1 , n   c  n  n c   1 1 Vậy 1     ,   0, n     n  1 n   n   4.45 f khả vi a ;b  nên liên tục a ;b  f a   f b   Theo định lý Rolle tồn x  a;b  cho f  x   Hàm số f  x  liên tục a; x  , khả vi a; x  f  a   f  x     Theo định lý Rolle tồn x  a; x   a;b  cho f  x1   4.46 Do f khả vi a ;b  nên liên tục a ;b  , khả vi a;b      f a   f b   nên theo định lý Rolle tồn x  a;b  cho f  x   Hàm số f  x  liên tục a; x  , khả vi a; x  f  a   f  x   nên theo định lý Rolle tồn x  a; x   a;b  cho f  x1   Hàm số f  x  liên tục x ;b  , khả vi x ;b  f  b   f  x   nên theo   định lý Rolle tồn x  x ;b   a;b  cho f  x   Do x  a; x  , x  x ;b  nên x  x f  x1   f  x   4.47 Xét hàm số g x   xf x e x ; 4.48 Xét hàm số g x   f x sin x  cos x  4.49 Xét hàm g x   f x e 2015x CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5.1 Tam thức bậc hai x  x  vô nghiệm thực có hệ số a  nên đặt x  x   x  t  x   dx   x  t2  2t   dt t2  t  2t  1 dx x2  x      dt  t2  t  t 2t  1    2 3 3     dt  2  t 2t  2t  1   259 t4   ln  C , với t  x  x   x 2t  1 2t  1  2x  x  xt   x  5.2 Đặt t  1 t2  5.3 Tam thức bậc hai x  3x  có hai nghiệm thực x  1, x  2 nên ta đặt x 2  t2 2t t x   dx  dt x 1 t 1 t2 1   5.4 Ta có 1  x I  dx   ln x x 1 1 1  x   x dx 1 x 2x  1 dx  dx  dx   2 2 x  x  x  x    1 1 1  x      Tính I   1 x  1  ln x  x   arctan 3 1 1 1    arctan  arctan  ln        1      ln      ln    2 Tính I   ln   x   x dx 1 Đặt f x   ln   x   x Do f x  xác định 1,1 f x   f x  nên f x  hàm lẻ 1,1 Suy I   ln   x   x dx  1  x   x  x   ln 1  Vậy I     x   x  dx  ln   2   5.5 a Đặt t  tan 260 x dt  x  arctan t  dx  2  t2 b Đặt f x   sin 2014x  sin x  f x  xác định ;   f x   f x  x  ;       Do f x  hàm lẻ ;   nên   sin 2014x  sin x dx   5.6 a Đặt t  x  x  t  dx  6t 5dt   b Đặt f x   ln sin x   sin2 x f x  xác định ;   f x   f x  x  ;   Do f x  hàm lẻ nên   ln sin x    sin x dx   5.7 a dx  x  1x  /2 b   1     ln     cos3 x  dx  3 sin x  cos x 5.8  u  x n du  n x n 1dx  a Đặt   dv  e xdx  v   e x   x In   e x n  n n 1  x  x e dx  I  x n   e x n  n I n 1 I n 1 b I 10   x 10e   x 10e x x  10I   x 10e  10x 9e x  x  10.9  x 8e   10 x 9e x  9I x  8I     e x x 10  10x  10.9x  10.9.8x  10.9.8.7x 10.9.8.7.6x  10.9.8.7.6.5x  10.9.8.7.6.5.4 x  10.9.8.7.6.5.4.3 x   10.9.8.7.6.5.4.3.2 x  10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 C 5.9 a I n  tann 1 x  I n 2 n 1 b I 10  1 1 tan x  tan x  tan5 x  tan x  tan x  x 5.10 261 a I n  (n  1) n 1 sin x cos x  I n 2 n n sin x cos4 x  sin x cos2 x   sin x 15 15 b I  5.11 I n  1 I n 1   n I  n 2   dx   n 1  1 1  22 2n  1 5.12 I n    I n 1    I n 1  n 1      n    n n    n 2  5.13 S   r 2d    a (  x  a (1  cos ) d  a  (1  cos   cos 2 2 )d  )  a 2      3 5  Từ phương trình r  a cos 2 ta nhận    ,    ,   4  4              4  4   S    r 2d    r 2d      a cos 2d    a cos 2d         3 3 4     5.14    sin 2 sin 2  a2       5.15 S      a 3    5 x  r cos  5.16 Chuyển sang tọa độ cực  y  r sin   Phương trình trở thành r  3a sin  cos  sin   cos3  Đường cong khép kín     Do 9a S  3a 262 2     2 sin  cos   9a d  2 cos3   sin      d tan  1  tan 2   tan d tan   1  tan    3a  1 3a     1  tan  0 2 5.17 Ta có y   R  x Vì tính đối xứng nên độ dài đường tròn R L  2  y 2dx  2R R e 5.18 L    y 2dx  5.19 L  ln  e2  4  1   x  a cos3 t  5.20 Phương trình tham số đường cong:   t  2  y  a sin t    2 L  /2 2  x  t   y  t dt  3a  0 2 sin t cos tdt  12a  sin t cos tdt  6a 2 5.21 L  8a 5.22 Cắt ellipsoide mặt phẳng x  x ta ellipse mặt phẳng có phương trình x 02 y2 z2 y2 z   hay    2 b2 c2 a2     x  x    b   c   a  a    Diện tích thiết diện giới hạn ellipse     x 02   x 02  x 02       S x    b   c    bc 1     a   a  a   Thể tích cần tìm  x   V   S x dx   bc 1  dx  abc   a  a a a  5.23 V    2x  x a  2 4 x5  16 dx    x  x      0 15 5.24 Ta có y  2x  x  x    y Thiết diện vật thể mặt vng góc với trục Oy y 0  y  1 hình khăn có diện tích   S y    x 22  x12 , x    y ; x    y   Suy S y    x 22  x 12  4  y Vậy V  4   ydy  8 263 3 5.25 5.26 Khi cho đường cong giới hạn y  sin x , y  0  x    quay quanh trục Oy ta vật thể tròn xoay Từ y  sin x 0  x    suy       y  sin x 0  x    x  arcsin y 0  x                      y  sin   x    x    x    arcsin y   x       2 2   Thiết diện vật thể mặt phẳng vng góc trục Oy y 0  y  1 hình vành khăn có diện tích   S y    x 22  x12 , x  arcsin y, x    arcsin y  S y      arcsin y  Vậy V   S y dy      arcsin y dy  2 2 5.27 V  12   y 2dy  6 1 5.28 Khi quay đường cong quanh trục Ox ta vật thể trịn xoay, diện tích xung quanh bề mặt cần tìm là:  S x   2  tan x    2   dx  2  cos4 x  cos4 x sin xdx cos3 x 1  cos4 x  u4 d cos x      u du cos3 x 2   2 1  u4 d u2   u    t2 dt t2    v2 2v  dt  dv Đổi biến t.v    t  t  2  v2 1v   t2  264   v2 4v ;t  2 1v 1v   1  v  dv   ln  v   v S x      1v 2v 2v 1  v   2 1 2 2       1 2    1 2         ln       5.29 Đường cong có hai nhánh đối xứng qua Ox có phương trình 3  x  x Khi quay đường cong quanh trục Ox ta vật thể tròn xoay, diện tích xung quanh bề mặt cần tìm y  3 S  2  y  y  dx  2  0 x 1  x x dx  3  x   x  a cos3 t  5.30 Phương trình tham số đường cong   y  a sin t     S  2  x t  x 2 t   y 2 t dt    12a 2  1    lim 5.31 Ta có lim     n   n  n2 n  n  n  n  Xét hàm số f x   Do f x  liên tục 1x n  k 1 k 1 n 0,1 nên khả tích   0,1   k Phân hoạch đoạn 0,1 điểm chia x k  , k  0,1, n Trên đoạn n x , x  k  1, 2, n  lấy   k k  1, 2, n  lập tổng: k  k 1 k  n n  f     n n  k 1 n Theo định nghĩa tích phân xác định k k 1 n k k 1 lim  f k  k  n  k 1  1 dx  ln 1  x   ln 1x  1    ln    Vậy lim  n   n  n 2 n  n   265  n  1      2 5.32 Đặt Sn  sin  sin   sin   n  n n n  n n k  sin  n k 1 Xét hàm số f x   sin x  n  1      2 sin  sin   sin   n  n    n n  n Vậy lim  1  2  n  n 5.33 Đặt Sn  1   1   1   Ta có ln S n     n n  n   n     1  k  ln   n  k 1 n Xét hàm số f x   ln 1  x   ln  2  n  n Vậy lim 1   1   1    e e     n   n  n   n  e   n n n    lim 5.34 Ta có lim     2 2 2 n   n   n n 2 n n  n  Xét hàm số f x   n  k 1 k      n   x2  n n n        Vậy lim  2 n   n  n 2 n  n   1p  2p   n p 5.35 Ta có lim  lim p  n  n  n n p  k       k 1  n  n Xét hàm số f x   x p , (p  0) 1p  2p   n p  p  n  p 1 n Vậy lim 5.36 n  n 2n 3n n   Ta có lim      lim   n   n  13 n  n  33 n  n  n  k 1  Xét hàm số f x   k n k  n     n  x  x3  n 2n 3n n  3    ln  Vậy lim     3 3 3 n   n  3 n 2 n 3 n  n   5.37 266 x a lim  arctan tdt x  x2 1  lim x  arctan x   x x2  x 2x  e t dt b lim ex 5.38 Ta có x    x  x x x       tf t dt   f t dt   tf t dt   f t dt     0 F  x   x      f t dt  0   x x 0 xf x   f t dt  f x   tf t dt x   f t dt       0 x  f x   x  t  f t dt x   f t dt       0 Do f x  dương x  t  f t   x  t, x  0;  Nên F  x   x  0;  Vậy F x  đồng biến 0;   5.39 F  x   x  0;  Vậy F x  đồng biến 0;  5.40 Xét hàm số F x   e x x  f t dt a 5.41 Xét hàm số F x   e x 2015 x  f t dt a 5.42 Do  f x dx  nên tồn x  0;1 cho f x   1 Ta có f x  liên tục 0;1 nên liên tục 0;x1  f 0 f x1   Như tồn x  0; x1  cho f x   Phương trình f x   có nghiệm thuộc 0; x1   0;1 Vậy phương trình f x   có nghiệm thuộc 0;1 267 268 TÀI LIỆU THAM KHẢO Jean, Marie Monier (2001) Giải tích (Nguyễn Văn Thường dịch) Nhà xuất Giáo dục Jean, Marie Monier (2001) Giải tích (Nguyễn Văn Thường dịch) Nhà xuất Giáo dục Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2003) Bài tập giải tích 1: Số thực - dãy số chuỗi số (Nhóm biên dịch: Đồn Chi) Nhà xuất Đại học Sư phạm Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2003) Bài tập giải tích 2: Liên tục vi phân (Nhóm biên dịch: Đoàn Chi) Nhà xuất Đại học Sư phạm Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2003) Integration United States of America, American Mathematical Society Nguyễn Đình Trí (2007) Tốn học cao cấp tập (Phép tính giải tích biến số) Nhà xuất Giáo dục Trần Bình (2011) Giải tích Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Vũ Tuấn (2011) Giáo trình Giải tích tốn học tập Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 269 ... cho 2 011 số dương ta được: un   Mặt khác  2 012 2 011  2 010 un ? ?1   2 011  un2 010  ? ?1  2 012 2 011  un ? ?1   un ? ?1    2 012 2 011  un2 010  ? ?1 un  2 012 2 011  2 010 ...  2, 3, un2 010 ? ?1 Chứng minh un  giảm bị chặn 2 012 Giải Ta có 2 011 un  2 010 un ? ?1  2 012 2 011  2 012 2 011    u  2 010 u   n n ? ?1  2 010 2 011  un2 010 u  ? ?1 n ? ?1 Do u1  nên un ...  1, k  1, 2, , n a1  a   an  n n k ? ?1 k ? ?1 +)   ak   ? ?1  ak   n (1. 15) (1. 16)   ak k ? ?1 n n k ? ?1 k ? ?1 +)   ak   ? ?1  ak   n   ak k ? ?1 1.2 Giới hạn dãy số thực 1. 2.1