Dang 2 He phuong trinh

T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn.[r]

Các toán giải biện luận hệ phơng trình Bài 1:Tìm m để hệ phơng trình sau vơ nghiệm : {

mx− y=1

x 2

y 3=334 Đáp án: Hệ phơng trình vô nghiệm m = 32

Bài 2: Cho phơng trình {(a 1)x+2y=1

3x+ay=1 (I)

a Gii hệ (I) với a = 1 b Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm Đáp án: a Với a= √3 + hệ (I)  {3x√3x+2y=1

+(√3+1)y=1  {

(1−√3)[√3x+y]=0

√3x+2y=1 

{x=−

√3 y=1

b Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = Bài 3: Cho hệ phơng trình: {(m1)x my=3m1

2x − y=m+5 Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x ; y) cho: S=x2

+y2 đạt giá trị nhỏ Đáp án: * Nếu m = hệ có dạng {− x=−1

2x − y=5⇔{

x=1

y=−3 Khi S=x

+y2=10

* Nếu m hệ cho

   

 

2

1 1

2

m x my m mx my m m

   

   

  

 

Lấy (2) trừ (1) ta đợc: (m+1)x=(m+1)2

+ Khi m = -1 th× hƯ cã vô số nghiệm , không thoả mÃn ĐK toán + Khi m -1 hệ có nghiÖm nhÊt {x=m+1

y=m−3 ⇒S=x2

+y2=(m+1)2+(m−3)2=2m2−4m+10=2(m−1)2+8≥8 VËy Smin  8 m1

Bài 4: Xác định a, b để hệ phơng trình : {2x −ay=b ax+by=1

a, Cã nghiƯm lµ x =1, y = b, Có vô số nghiệm Đáp án: a HÖ cã nghiÖm x = 1, y = {2+2a=b

a −2b=1 Þ a = −

5

3 ; b = − b {a=−

3

Bµi 5: Cho hệ phơng trình

2

2 x y

x y m

   

 

  

 ( m tham số ) a Giải hệ phơng tr×nh víi m ¿−1

b Với giá trị m hệ phơng trình cho vơ nghim

Đáp án: a Khi m = - hƯ cã nghiƯm ( ; ) vµ ( - ; - )

b + Víi y ³ hƯ trë thµnh

¿ x+y=4

2x − y=m

⇔

¿x=m+4

3 y=8− m

3 ¿{

¿

Hệ vô nghiệm y <  8− m

3 <2  m > (*)

+ Víi y < hƯ trë thµnh

¿ x − y=0

2x − y=m

⇔

¿x=m

y=m ¿{

¿

hệ vô nghiệm y = m ³ (**) Từ (*) (**) , hệ cho vơ nghiệm phải có m >

Bài 6: Cho hệ phơng tr×nh

   

1 mx y x my m

  

 

 

 

a Giải biện luận hệ phơng trình

b Tỡm m để hệ phơng trình có nghiệm ngun Đáp án: a Từ (1) ta có y = mx - vào (2) ta đợc: x + m(mx - 1) = m ⇔(m2+1)x=2m⇔x= 2m

m2+1 suy y=

m2−1 m2+1

b Víi mäi m hƯ lu«n cã nghiƯm

2

2

2

1

1

1

m x

m m y

m m

  

 





   

  



VËy gi¸ trị m cần tìm m = 0, 1, -1

B i 7: Cho hà ệ phương tr×nh:

¿ mx+y=m−1

x+my=m+1 ¿{

¿

b Với gía trị m tìm tìm giá trị lớn biểu thức z = x + y Đáp án: a h có nghiệm thoả mãn y ³ x + phải có:

m2+1

m2−1 ³

m2−m −1

m2−1 + =

3m2−2m−3 m2−1 

2m2−2m−4

m2−1 £  £ m £ b Tìm Max z = x + y = 2m

2 −2m m2−1 =

2m m+1

Với £ m £ => z = 2(m+1)−2

m+1 = -

2

m+1 Suy ZMax = z(2) =

4

Bài 8: Tìm a để hệ sau vô nghiệm:

¿ x+ay=1

ax−3 ay=2a+3 ¿{

¿

Đáp án: Từ phơng trình x + ay = ta x = – ay vào phơng trình ax – ay = 2a + Ta đợc a ( – ay ) – 3ay = 2a + ⇔a− a2 y −3 ay

=2a+3 ⇔−(a2+3a)y=a+3 ( )

HƯ v« nghiƯm phơng trình (1) vô nghiệm {(a2+3a)=0

a+30 ⇔

¿ a=0

a ≠ −3 ¿{

¿

⇔ a=0

Bµi 9: Cho hƯ phơng trình:

2

2

ax y a x y a

 

 

   



a, Giải hệ phơng trình a b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x - y =

Đáp án: a Thay a = √2 vào hệ phơng trình đợc:

¿ √2x −2y=√2 −2x+y=√2+1

¿{ ¿

 x=3√2+2

√2−4 ;

y=2+3√2

√2−4

b Từ x – y = ⇒ y = x – thay vào hệ PT đợc

¿ ax−2(x −1)=a −2x+(x −1)=a+1

¿{ ¿

 a = -3; 2

Bµi 10: Cho hệ phương trình:

¿ mx− y=2

3x+my=5 ¿{

¿

a) Giải hệ phương trình m=√2

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x+y=1− m

Đáp án: a) Khi m = 2 ta cú hệ phương trình

¿ √2x − y=2

3x+√2y=5 ¿{

¿

2 2

3

x y x y

  

  

 

 

⇔

x=2√2+5

5 y=5√2−6

5 ¿{

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3 ; y=

5m −6 m2+3

Thay vào hệ thức x+y=1− m m2

+3 ; ta

2m+5

m2 +3 +

5m−6 m2

+3 =1−

m2 m2

+3 Giải tìm

m=4

7

Bµi 11: Cho hệ phơng trình:

x2+y2 x=0

x+my−m=0 ¿{

¿

a Gi¶i hệ phơng trình m =

b Tỡm m để hệ phơng trình cho có nghiệm phân biệt

c Gọi (x1; y1) ( x2; y2 ) nghiệm hệ cho CMR: (x2- x1 )2 + ( y2 - y1 )2

Đáp án: a Hệ phơng trình

x2+y2 x=0(1)

x+my−m=0(2) ¿{

¿

Từ (2) ⇒ x = m - my thay vào (1) Ta đợc (m2 + ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 - m = (3)

Khi m = phơng trình (3) trở thành y( 2y - ) = ⇔

y1=0⇒x1=1 ¿ y2=

1 2⇒x2=

1 ¿ ¿ Hệ phơng trình có nghiệm (1;0) (

2 ; )

b.Tõ x = m - my giá trị y tơng ứng với giá trị x

Để hệ có nghiệm phân biệt (3) phải có nghiƯm ph©n biƯt

⇔

m2+1≠0

Δ>0 ¿{

⇔ m( 4-3m) > ⇔ < m < 43 VËy víi m (0; 43 ) hệ có nghiệm

phân biệt

c Víi m (0;

2

1 2

2

1 2

2

1

m m

y y m

m m

y y m

 

  

 





 

 

 vµ

¿ x1=m−my1

x2=m−my2

¿{ ¿

⇒

x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 )

Suy : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1-

2m12 Bài 12: Cho hệ phơng tr×nh: {x

2

+y2=4

x+y=m

a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ phơng trình cho có nghiệm Đáp án: a Giải hệ với m =  {x

2

+y2=4

x+y=2 Đặt S = x + y; P = xy Giải đợc S = 2; P = Suy {x=2

y=0 vµ {

x=0

y=2

b Để hệ phơng trình cho có nghiệm phơng trình: x2 + (m – x)2 = có

nghiệm ⇔2x2−2 mx+m2−4=0 có nghiệm   ' m2 ³  4 2ÊmÊ2 Để hệ phơng trình cho có nghiệm −2≤ m2

Bài 13: Với giá trị a th× hƯ sau cã nghiƯm

¿

√x −1+√y+1=a

x+y=2a+1 {

Đáp án: Điều kiện x 1; y - Đặt x 1=u ,√y+1=v⇒u ≥0, v ≥0

Khi hệ

⇔

u+v=a(u , v ≥0)

u2

+v2=2a+1 ¿{

⇔

u+v=a(u , v ≥0) (u+v)2−2 uv=2a+1

⇔

¿u+v=a(u , v ≥0)

uv=1

2(a

2−2a −1) ¿{

Khi để hệ có nghiệm a ³ 0, a2 – 2a – ³ phơng trình : t2−at+1

2(a

−2a −1)=0 cã nghiÖm

⇔

a ≥0 a2−2a −1≥0 Δ=a2−2(a2−2a −1)≥0

⇔1+√2≤ a ≤2+√6 ¿{ {

Bµi 14: Cho hƯ phơng trình:

2

3 x my m mx y m

 

 

  

Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) cho x2 - 2x - y > 0

Đấp án:

1

1

m m   

giá trị cần tìm.

Bài 15: Cho h phng trỡnh

m x y 2 mx y m 1

   

 

  



 (m tham số) a Giải hệ phương trình với m = 2;

b Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤

Đáp án: a Vi m = 2, h ó cho trở thành :

x y 2 2x y 3

 

 

 

 ↔

x 1 x y 2

  

 

 ↔

x 1 y 1

  

  Vậy với m = nghiệm hệ phương trình cho (x ; y) = (1 ; 1) b Hệ phương trình cho tương đương với hệ :

mx y m 1 x m 1

  

 

 

 ↔

x m

m(m 1) y m

 

 

   

 ↔

x m 1 y 2m m

 

 

  



Suy hệ phương trình cho ln có nghiệm (x ; y) = (m – ; + 2m – m2) với

mọi m

Khi đó, ta có : 2x + y = 2(m – 1) + + 2m – m2 = - + 4m - m2 = – (m – 2)2≤

"m

Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤

Bµi 16: Cho hệ phơng trình:

2

3

9 3

x y m x m y    



 





a Với giá trị m hệ phơng trình vô nghiệm

b Vi giỏ tr m hệ phơng trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm h phng trỡnh

c Với giá trị m hệ phơng trình có nghiệm Đáp ¸n: a) Tõ (1) => y = 3x + m thay vµo (2) => 3x(3 - m2) = m3-3 3(*).

Với m = - (*) có dạng: 0x = -6 ph ơng trình vô nghiệm. b)Với m = (*) có dạng: 0x = ph ơng trình vô số nghiệm



  

y = 3x + 3 Khi nghiệm hệ:

x R

ạ

) 3 Hệ ph ơng trình có nghiƯm nhÊt.

Bµi 17: Víi giá trị m hệ phơng trình

4 mx y x my

  



 

 cã nghiÖm tháa m·n ®iỊu kiƯn

2

8 x y

m  

 Khi tìm giá trị x y.

Đáp án:

2

2

4(1)

4(1)

(

1(2) (3)

mx y

mx y m

m y m y m

x my mx m y m m

 

  

 

       ¹

 

    

 

LÊy (1) - (3) => V× 0)

 

2

4

1

1

m m m

my

m m

 

Þ   

 

x = =

2 2

4

1 ;

1 1

m m

m

m m m m

 

    

   

8

Theo có: x + y = Khi x = y =

2

Bài 18: Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình

2

1 mx y m x y m

 

 

có nghiệm nguyên, tìm

nghim nguyờn ú

Đáp án:

2 3 (1)

3(*)

1(3) 3 3(2)

mx y m mx y m

m x m

x y m x y m

   

 

 Þ   

 

     

 

LÊy (1) - (2)

* NÕu m = 3/2 (*) cã d¹ng: 0x = -6, ph ơng trình vô nghiệm =>Hệ vô nghiệm

   

1 m 1;2;0;3;

¹

       

2m+3

* NÕu m 3/2 (*) cã nghiƯm: x = Tõ (3) nhËn thÊy m nguyªn, x nguyên y nguyên - 2m

2m+3 2m - +6

x = x nguyªn - 2m 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6