1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

ÔN học SINH GIỎI cấp 2 hệ PHƯƠNG TRÌNH

11 525 9

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 102,33 KB

Nội dung

www.facebook.com/hocthemtoan

I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :   f ( x, y ) = Dạng  mà vai trị x, y  g ( x, y ) =   f ( x, y ) = f ( y , x ) Tức   g ( x, y ) = g ( y , x) Cách giải: • Thơng thường người ta đặt ẩn phụ: S = x + y hay S = x − y P = xy  f ( S, P) =  sau tìm S , P tìm nghiệm ( x, y ) ⇒ g ( S, P) =  Ví dụ: Giải hệ  x y + xy =   xy + x + y = Như nói trên, ta đặt S = x + y; P = xy hệ cho trở thành  SP = S = S=3 ⇒ hay   S + P =  P =  P=2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( x, y ) sau: ( x, y ) = (1, 2);(2,1) • Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng   xy + x + y = Ví dụ 1:  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35  Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1) ; P = ( x + 1)( y + 1) ta có hệ phương trình sau  S = x =  x=2 P = ⇒  ⇒  hay   P = y =  y=3  S ( S − 3P ) = 35   x + y + x2 + y2 = Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y Ở theo thông lệ thử đặt  , ta thu hệ sau:  P = xy  S2 + S − P =   P ( P + S + 1) = 12 Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, x ( x + 1) y ( y + 1) Từ ý tưởng ta đặt: a = x ( x + 1) b = y ( y + 1) Hệ cho tương đương với: a = a + b =  a=2 ⇒  hay    ab = 12 b=6 b = Như ( x, y ) nghiệm phương trình sau: i) t + t = ⇒ t1 = ∨ t2 = −2 ii )t + t = ⇒ t3 = ∨ t3 = −3 Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( x, y ) = (1, −2);(−2,1);(2, −3); (−3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2:  f ( x, y ) =   f ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau:  f ( x, y ) − f ( y , x ) =   f ( x, y ) + f ( y , x ) = Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta  h ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( y , x ) xét phần Thật đặt  Ta đưa hệ  g ( x, y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) dạng:  h ( x, y ) =  h ( x, y ) = − h ( y , x ) Ở    g ( x, y ) =  g ( x, y ) = g ( y , x) Có thể bạn thấy h( x, y ) khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng h( x, y ) = (Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng h ( x, y ) = ,chẳng phải h ( x, y ) đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J) C Phương trình đẳng cấp  f (tx, ty ) = t k f ( x, y )  f ( x, y ) = a(1) mà :   k  g ( x, y ) = b(2)  g (tx, ty ) = t g ( x, y ) Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = ,ở dó a, b khơng đồng thời Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình f ( x, y ) = 0; g ( x, y ) = so sánh nghiệm Cách giải tương tự phương trình bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = nên bạn tham khảo bên Ta xét trường hợp i ) x = nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x = giải phương trình biến theo y Trường hợp ta thu nghiệm ( x, y ) = (0, y1 ) ii ) Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0, y1 ) Chia hai vế cho x k x k bậc f Đặt t = Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình y x ta tìm tỉ số Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y y, ta rút nghiệm tốn (ty0 , yo ) Ví dụ: 3 x − xy + y =  2  x + xy − y = −8 Giải: Hệ cho tương đương với:  24 x − 16 xy + 16 y = 56  2 7 x + 42 xy − 21y = −56  24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔ 2 31x + 26 xy − y = 0(*) Ta giải (*) 31x + 26 xy − y = ⇔ (31x − y )( x + y ) = 0(**) 31x − y = 0(1) ⇔  x + y = 0(2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : x + y + z =   (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + xyz  Giải: ( ) ( VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz ) + xyz = + xyz Suy dấu xảy x = y = z =1 ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + + x + + x + = y −1 + y − + y −   2  x + y + x + y = 80  Giải: Đk: x ≥ −1; y ≥ Giả sử x > y − ⇒ VT > VP x < y − ⇒ VT < VP Suy x = y − Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : 4y 2z  3x  x +1 + y +1 + z +1 =  89.x y z =  Giải: -Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ 2x 4y 2z = + + Ta có: x + x + y + z + Áp dụng Cauchy số: = x +1 x x y y y y z z x2 y z + + + + + + + ≥ 88 x +1 x +1 y +1 y +1 y +1 y +1 z +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Hòan tòan tương tự : x3 y z ≥ 88 3 y +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x y z1 ≥ 88 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Từ bất đẳng thức thu ta có: 1 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) ≥ 89 x 24 y 32 z16 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 24 32 16 ⇒ 89 x y z ≤ dấu xảy ⇔ x y z 1 = = = ⇔x= y=z= x +1 y +1 z +1 697  x + y = Ví dụ 4: giải hệ:  81  x + y + xy − x − y + =  Giải: -Ví dụ chúng tơi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x + x ( y − 3) + y − y + = = ( y − 3) − ( y − ) ≤ ⇔ ( y − 1)( y − ) ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có ≤ x ≤ 697 4 7 Suy ra: x + y ≤   +   = 81 3 3 ⇒ x = y = Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa 3 Vì hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ:  x5 − x + x y =  y − y + 2y z =  z5 − z + 2z x =  Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x = y = z = ,sau chứng minh x > hay x < vô nghiệm Nếu x > ⇒ = z − z + z x > z − z + z ⇒ > ( z − 1) ( z + z + ) Do z + z + dương nên > z Tương tự ⇒ y > ⇒ x < ⇒ Vơ lí Tương tự x < ⇒ vơ lí.Vậy x = ⇒ y = ⇒ z = Bài tập luyện tập Giải hệ:  x = ( y − 1)( z + )   2)  y = ( z − 1)( x + )   z = ( x − 1)( y + )  1) x + y + z =  2 xy − z =  x2 1 + x = y   y2 4)  =z  y +1  2z2 =x   z +1  y 21 x + y = 1988   z 3) 21 + z = 1988  y  x 21 + x = 1988  z  x2 + y2 + z2 =  5)  x y z  y + z + x =9  B.Đặt ẩn phụ: Đôi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt a = f ( x), b = f ( y ), c = f ( z ), Ví dụ 1:Giải hệ 12  xy x+ y =  18  yz =  y+z  xz 36 =   x + z 13 1 Hướng dẫn: Đặt a = , b = , c = x y z Ví dụ 2: Giải hệ:  x ( y + z ) = (3 x + x + 1) y z  2 2  y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z  z ( x + y ) = (5 z + z + 1) x y  Nếu x = dễ dàng suy được: y = z = Như ( x, y , z ) = (0, 0, 0) nghiệm hệ Ta tìm nghiệm khác ( 0,0,0 ) Chia hai vế cho x y z ta thu hệ tương đương:   y + z 2 1   = 3+ + x x  yz   1  x + z    = 4+ + y y  xz    x + y  = + +   xy  z z2   1 Ta lại đặt a = ; b = ; c = ta nhận được: x y z  (a + b)2 = c + c + 5(1)  2 (b + c ) = a + a + 3(2)  (a + c )2 = b + b + 4(3)  (2) − (3) ⇒ (a − b) ( 2(a + b + c ) + 1) = Lấy (1) − (2) ⇒ (b − c)(2(a + b + c) + 1) = Từ suy a − b = b − c ⇒ a + c = 2b Thay vào (2) ta 3b − b + = Từ bạn dễ dàng giải tiếp tốn Ví dụ 3: Giải hệ  x (6 + 21 y ) =   x( y − 6) = 21 Nếu giải hệ với ẩn ( x, y ) ta thật khó để thấy đwocj hướng giải Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x = z  z = 21 y +   y = 21z + Đây hệ đối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J Sau tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ: 2 x2 + x + y + =   xy ( xy + x + y + 1) = Bài 2: Giải hệ: ( x + y + z )3 = 12t  3 ( y + z + t ) = 12 x  3 ( z + t + x ) = 12 y (t + x + y )3 = 12 z  C.Tính đại lượng chung Ý tưởng phương pháp tính đại lượng Ví dụ 1:Giải hệ:  xy + y + x + =   yz + z + y = (*)  xz + z + x =   ( x + 1)( y + 2) =  (*) ⇔ ( y + 2)( z + 3) = 12 ⇒ ( x + 1)( y + 2)( z + 3) = ±24  ( z + 3)( x + 1) =  Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2:Giải hệ:  u + v = 2(1)  ux + vy = 3(2)   2 ux + vy = 5(3) ux + vy = 9(4)  Giải: Nhân x + y vào (3) ⇒ ux + vy + ux y + vxy = 5( x + y ) ⇒ + xy = 5( x + y ) Nhân x + y vào (2) ⇒ uy + vx = 2( x + y ) − Nhân x + y vào (2) 3( x + y ) = + xy (uy + vx) = + xy [ 2( x + y ) − 3] Đặt a = x + y; b = xy Đến bạn có thễ dễ dàng giải tiếp J Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + y + z + t = 50  2 2  x − y + z − t = −24  xz = yt   x − y + z + t =  Bài 2:Giải hệ  y − xz = b   z − xy = c ( a, b, c số)  x − yz = a  Bài 3:Giải hệ ax + by = ( x − y )  ( a, b, c số)  by + cz = ( y − z )  cz + ax = ( z − x)  Bài 4:Giải hệ  x3 + x( y − z )2 =   y + y ( z − x ) = 30  z + z ( x − y ) = 16  D.Nhân liên hợp Phương pháp chủ yếu bỏ dâu thức đễ dễ tính tốn hay để xuất đại lượng đặt ẩn phụ Ví dụ 1:Giải hệ:  x+ y =4  (1)   x+5 + y+5 =  Giải: Ta có:  x + + x + y + + y = 13  (1) ⇔   x+5 − x + y +5 − y =   x + x + + y + y + = 13  ⇔ 5  x + x+5 + y +5 + y =  Đặt u = x + x+5 v = y + y +5 Ta suy ra:  u + v = 10  1 u + v =  u + v = 10 ⇒  uv = 25 ⇒ u = v = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ:    −  2y = y + 42 x      3+  x =2  y + 42 x   Giải: Từ hệ ta suy điều kiện: x, y > Hệ cho tương đương với:  + =6  x 2y    10 = −  y + 42 x x 2y  15 ⇒ = − y + 42 x x y ⇒ 15 xy = ( y − x )( y + 42 x ) ⇒ y + 25 xy − 84 x = ⇒ (3x − y )( y + 28 x ) =  3x = y ⇒  y + 28 x = Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện x, y > Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:  5+ 5+  ( x, y ) =   27 ,     Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + + y +1 =    x +1 + y + =  Bài 2: Giải hệ  − x + y + xy + = −  ( x − 1)( y − 1) =   Bài 3: Giải hệ x y  = y +1 + y −  x +1 + x − 2   y + x + ( x + 1)( y + 1) =  Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x y + xy = a)   xy + x + y =  x + x y + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =   x y = −2   Bài 4:Giải hệ phương trình sau:  x− y =6  3  x − y = 126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau:  x + y = 2a   xy + = 2a ... + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =   x y = ? ?2  ... = 0 (2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ khơng mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ. .. y + 2) =  (*) ⇔ ( y + 2) ( z + 3) = 12 ⇒ ( x + 1)( y + 2) ( z + 3) = ? ?24  ( z + 3)( x + 1) =  Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2: Giải hệ:  u + v = 2( 1)  ux + vy = 3 (2)   2 ux

Ngày đăng: 18/01/2014, 10:39

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w