1.. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá. Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát. CAÙC PHÖÔNG PHA[r]
(1)Chỉ có nổ lực thân đem lại thành cơng cho
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CĨ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TĨM TẮT GIÁO KHOA
I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ MŨ 1 Các định nghĩa:
n
n thua so
a a.a a
(n Z , n 1, a R) a1 a a
a0 1 a 0
n n
1 a
a
(n Z ,n 1,a R / )
m
n m n
a a ( a 0;m,n N )
m n
m n m n
1 1
a
a a
2 Các tính chất :
a am n am n
m
m n n
a a
a
(a )m n (a )n m am.n (a.b)n a bn n
n n
n
a a
( ) b b
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > , a1 ) Taäp xác định : D R
Tập giá trị : T R ( ax 0 x R ) Tính đơn điệu:
(2)Minh họa:
II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT 1 Định nghĩa: Với a > , a 1 N >
dn
M a
log N M a N
Điều kiện có nghóa : logaN có nghóa
¿
a>0
a ≠1
N>0
¿{ { ¿
2 Caùc tính chất :
a
log 0 log a 1a log aa M M alog Na N
a 1 2 a 1 a 2
log (N N ) log N log N
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
a a
log N .log N
Đặc biệt : log Na 2 2.log Na a>1
y=ax
y
x
1
0<a<1
y=ax y
x
1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
x
y f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
x y
y=2x
y=
1 x
y y
x
1
(3)3 Công thức đổi số :
log N log b.log Na a b
a b
a
log N log N
log b * Hệ quả:
a
b
1 log b
log a
vaø ak a
1
log N log N
k
* Công thức đặc biệt: alogbc
=clogba 4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > , a )
Tập xác định : D R Tập giá trị T R Tính đơn ñieäu:
* a > : y log x a đồng biến R
* < a < : y log x a nghịch biến R
Đồ thị hàm số lơgarít:
Minh họa: 0<a<1
y=logax
1 x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
x y
y=log2x
x y
x y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
x y
x y
2 log
1
O O 1
a>1
y=logax
1
y
x
(4)5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1 Định lý 1: Với < a 1 aM = aN M = N
2 Định lý 2: Với < a <1 aM < aN M > N (nghịch biến) 3 Định lý 3: Với a > aM < aN M < N (đồng biến )
4 Định lý 4: Với < a 1 M > 0;N > loga M = loga N M = N 5 Định lý 5: Với < a <1 loga M < loga N M >N (nghịch biến) 6 Định lý 6: Với a > loga M < loga N M < N (đồng biến) III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN
Ví dụ : Giải phương trình sau :
x 10 x 5 x 10 x 15 16 0,125.8
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình sau :
Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 2x2+x
−4 2x2− x−22x+4=0 3) 12 3x
+3 15x−5x+1=20
Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng
minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+
x
3 3) x 1
( ) 2x 1
3
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
(5)1) log (x 6) 3x 2)
x x 1
log (42 4) x log (21 3)
2
3)
x −1¿2+log1
2
(x+4)=log2(3− x)
1 2log2¿
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số. Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
3 3
2 2
4 log x log x
3
2) log3 2x
+√log32x+1−5=0 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B =
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log x 2.log x log x.log x2 7 2 7
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải phương trình sau : 2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4
V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( , , )
Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1)
2 x x 1 x 2x 1
3 ( )
3
2) 2
x 1 x 2x
1 2
2
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)22x 3.(2 ) 32 0x 2
4) √8+21+x
−4x+21+x>5
2)2x 23 x 9
5) √15 2x+1+1≥|2x−1|+2x+1 3)
2 1 1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
6) 14
x
(6)VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log M log Na a ( , ,
)
Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1)log (5xx 2 8x 3) 2 2)
2 3
3
log log x 1
3)log3x x 2(3 x) 1 4)log (log (3x 9 x 9)) 1 5) log5(4x+144)−4 log52<1+log5(2x −2+1)
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) x
x
2 3 2
log (3 2) 2.log 2 0 2)log 64 log 16 32x x2
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1: Giải phương trình sau:
1)
x
1 5
5 2)
2x
1
6x x
1 .4 8
2
3) 8.3 3.2x x 24 6 x 4) 4x 1 2x 4 2x 2 16
5)
4x 2x
3 4.3 27 6)
2
x x x x
2
7)
x x
2 3 14
8)
x x x
5 500
9)
xx x
5 100 10)
x
7 x
Bài 2: Giải phương trình sau:
1) 3.8x 4.12 18x x 2.27x 0
2) 2x x2 4.2x x2 22x 4 3) 9x x 12 10.3x x 22
4) 42x2 2.4x x2 42x 0
5) 34x 4.32x 3 0
6) 2x x2 1 7) 125x 50x 23x 1
8) 18x x 2.27x Bài 3: Giải phơng trình:
a.34x 8 4.32x 5 270 b.22x 6 2x 7 170
c.(2 3)x (2 3)x 40 d.2.16x 15.4x 80
(7)g.3.16x 2.8x 5.36x h
1 1
x x x
2.4 6 9
i
2 3x
x x
8 2 12 0
j 5x 5x 1 5x 2 3x 3x 3x Bài 4: Giải phơng trình:
a.3x4x 5x b.3x x 40
c.x2 (3 )x x 2(1 ) x 0 d.22x 1 32x 52x 1 2x 3x 1 5x 2
Bài 5: Các phương trình qua kì thi 1) 4x2
−3x+2
+4x
2 +6x+5
=42x
2 +3x+7
+1 2) (√7+4√3)sinx+(√7−4√3)sinx=4
3) 23x−6 2x−
23(x −1)+
12
2x=1 4)
x
+2 (x −2)3x+2x −5=0
5)
2x
100x=6 (0,7) x
+7 6) (1
3)
2
x+3
(13)
1
x+1 = 12 7) 9sin2x+9cos
2x
=10 8) 4x12x12x212
9) 22x21 9.2x2x22x2 0
10) -7 3x-1+√1-6 3x+9x+1=0
11) 12 3x
+3 15x-5x+1=20 12) 32x-1=2+3x-1
13) (√6-√35)x+(√6+√35)x=12 14) 4x-6 2x+1+32=0
15) 9x−(26
3 ).3
x
+17=0
Bài 6: Giải bất phương trình sau
1/
1− x−2x
+1
2x−1 ≤0 2/
2√x+3− x −6
+15 2√x+3−5<2x
3/ 251+2x− x2
+91+2x − x
2
34 52x − x2
4/ 3log3 2x
−18 xlog31x
+3>0 5/ 32x−8 3x+√x+4−9 9√x+4>0
6/ (1
3)
x−1
−(1
9)
x
>4
1 2log23
7/ √9x−3x+2>3x−9
8/ 3√x+4 √x
+91+√4x9√x 9/ 9√x2−3+1
+3<28 3√x2−3−1
10/ 4x2+1 32x−4 3x
+1≤0 11/
log1 2 x
+x
log1
x5
2
12/ 4x2
+x+1−2x+2
+1≤0
Bài 7: Định a để phương trình sau có nghiệm
2x 2 1 2x
a
ĐS: 0a1
Bài 8: Định a để phương trình sau có nghiệm
4sinx + m.2sinx + m2 – = 0 ĐS:
2 13
3 m
(8) 2 3 x 2 3x 4m
1/ Giải phương trình m =
2/ Tìm m để phương trình có nghiệm x0; 2 ĐS:
1
1 2m
Bài 10: Định m để phương trình sau có nghiệm x 1;0
6.9x 13(m 1).6x 6.4x
ĐS:
1
0 13 m
Bài 11: Định m để phương trình sau có nghiệm
0;
x
2 2
sin os sin
2 12
3
x c x m x
ĐS:
1
2
6 m
Bài 12: Tìm m để phương trình: ( m – 1).4x + 2x + 1 + m + = có nghiệm x1;2 ĐS:
1
5
m
Bài 13: Cho phương trình: ( m + 3).64x + ( 2m – 1).16 x + ( m + 1).4x = 0
Tìm m để phương trình :
a/ Có nghiệm ĐS:
11
20
m
b/ Có nghiệm
1 ;1
x
ĐS:
9
5 m
c/ Có hai nghiệm trái dấu ĐS:
3
4
m
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 14: Giải phơng trình:
a log x5 log5x6 log5x2 b log x5 log x25 log0,2 3
c
2 x
log 2x 5x4 2
d
2 x 3
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
e 1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18
2
Bµi 15: Giải phơng trình sau:
a
1 2
1
4 lg x 2lg x b.log x2 10 log x2 6 0
c log0,04x 1 log0,2x 3 1 d.3log 16x 4 log x16 2 log x2 e.log 16x2 log2x643 f.
3
lg(lg x)lg(lg x 2)0
(9)a
x
3
1
log log x 9 2x
2
b.
x x
2
log 4.3 6 log 9 6 1
c
x x
2
2 1
log 4 4 log 4 1 log
8
d
x x
lg 6.5 25.20 x lg 25
e
x x
2 lg 1 lg 5 1 lg 5 5
f
x
xlg 5 x lg 2lg3 Bµi 17: Giải phơng trình:
a
2
xlg x x 6 4 lg x2
b.log x 13 log 2x 15 2
c.
2
3
x2 log x 1 4 x log x 1 160
Bài 18: Giải bất phơng trình:
a
2
log x 4x3 1
b log x3 log x3 30
c
1
3
log log x 5 0
d
1
5
log x 6x8 2 log x 4 0
e
1 x
3 5
log x log 3
2
g log 2.logx 2x2.log 4x2 1
h 4x 6 log 0 x
i log2x3 1 log2x 1
j
8
8
2 2 log (x 2) log (x 3)
3
k
3
2
log log x0
l log5 3x4.log 1x m
2
3
x 4x 3
log 0
x x 5
n
log xlog x 1
s
2
log xlog x0
t
x x
2 16
1 log 2.log 2
log x 6
u
2
3 3
log x log x9 2 log x
Bµi 19: Giải phương trình
1/ 3| 3x – 4| = 92x – 2/ 73x + 9.52x = 52x + 9.73x
3/ 3 log 64 x
4/ 3lgx = – xlg3
5/ xlog (1x x)2 9
6/ lg 5 lg 10 x x x
7/ 27
11 log log log
2
x x x
8/ 2log9x9log 10x
9/ log log log3x x xlog log3x xlog log4x 5xlog log5 x 3x
10/
3
3
log x logx x
(10)11/
3
2
log 4x x log 2x
12/
3
2
log 4x x log 2x
Bài 20: Cho phương trình
2
3
log (mx x m) log (1 x) 0
1/ Giải phương trình m =
2/ Tìm m để phương trình vơ nghiệm ĐS:
1
2
m m
3/ Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS:
1
0
2 m m
Bài 21: Định m để phương trình sau có nghiệm
3
2
2 log (x1) log x 3 log (x m ) log (x 3)
ĐS: < a < 7
Bài 22: Cho phương trình (x1) log (22 x3) 2 m 2(x1) log (2 x3)m 1
1/ Giải phương trình m = -
2/ Tìm m để phương trình có nghiệm x [ - 1; ] ĐS:
9
7
m
Bài 23: Tìm a để phương trình sau có nghiệm
2
2
2
log (6x 25 ) log ax 4x a
ĐS:
1 12
2
a a
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bµi 24: Giải hệ phơng trình:
a
x y
3x 2y
4 128 5 1 b. x y
(x y)
5 125 4 1 b 2x y x y
3 2 77
3 2 7
d. x y
2 2 12
x y 5
Bµi 25: Giải hệ phơng trình:
a
2 lg x lg y 1
x y 29
b.
3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
c 2
lg x y 1 3lg 2
lg x y lg x y lg3
d. 2
log x log y 0
x 5y 4 0
(11)e x y
y x
3
4 32
log x y 1 log x y
f. y
2
x y
2 log x
log xy log x
y 4y 3
Bài 26: Giải hệ phương trình sau
1/
2
log 5 log
l g l g 4
1
l g l g3
x y x y
o x o
o y o
2/ 3 3
4 32
log 1 log
x y y x
x y x y
3/ ¿
y5x2−51x+10=1
xy=5 ¿{
¿
4/
¿ logxy=2
logx+1(y+23)=3
¿{ ¿
5/
¿
(x2
+y)2y − x2
=1 9(x2
+y)=6x
2 − y ¿ ¿{ ¿ 6/ ¿
y −log3x=1
xy=312
¿{ ¿
7)
2
4
9 27.3 0
1 1
l g l g lg 4
4 2
xy y
o x o y x
8) ¿ 3− x 2y=1152 log√5(x+y)=2
¿{ ¿ 9) 2
l g 1 l g8
l g l g l g3
o x y o
o x y o x y o
10/ ¿ 3x.2y=972
log√3(x − y)=2
¿{ ¿
11/
¿ 31+2 log3(y − x)
=48
2 log5(2y − x −12)−log5(y − x)=log5(y+x) ¿
¿{ ¿
12/ log9(x3+y3)=log3(x2− y2)=log3(x+y)
13/
¿
(logax+logay −2)log18a=1
2x+y −20a=0 ¿{
¿
14)
¿ (x+y)3y − x=
27 log5(x+y)=x − y
¿{ ¿
15)
¿ 2√xy−2
+4√xy−1=5 3(x+y)
x − y +
5(x − y)
x+y =8
(12)16)
¿
xy
=2 (2x)y2=64 (x>0)
¿{ ¿
17)
¿
x2
y+
y2
x =12
2−log2x
+5
log51 y
=1
3
¿{
¿
Bài 27: Định m để hệ sau có nghiệm
3
2
8
x y x y
x y x y y m
(13)MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KỲ THI
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A - 2002
Cho phương trình: log23x log23 x 1 2m1 0, m tham số .
a) Giải phương trình m =2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [1;3√3] .
Bài 2. ĐH, CĐ Dự Bị - 2002
Giaûi phương trình: 12log√2(x+3)+1
4 log4(x −1)
=log2(4x) Bài 3. ĐH, CĐ Dự Bị – 2002
Giải phương trình: 16 log27x3x −3 log3xx
2
=0
Bài 4. CĐSP Khối A – Năm 2002
a) Giải bất phương trình: log5x −logx125<1 ;
b) Giải phương trình: 4x −√x2−5
−12 2x −1−√x2−5
+8=0 Bài Cho phương trình: (√2+1)x
2
+(√2−1)x
2 −1
+m=0
Tìm m để phương trình cho có nghiệm
Bài 6. Giải phương trình: log4(log2x)+log2(log4x)=2 Bài 7. Cho phương trình: (3+2√2)tgx+(3−2√2)tgx=m
a) Giải phương trình m = 6;
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nằm khoảng (−π
2;
π
2) Bài 8. Giải phương trình: (x+1)log32x+4xlog3x −16=0
Bài 9. Tìm m để phương trình: √log2
x+log1
3
x2−3=m(log4x2−3)
có nghiệm thuộc nửa khoảng ¿ Bài 10. Giải phương trình: 9x
+6x=2 4x
Bài 11. Giải phương trình: log2002− x(log2002− xx)=logx(logx(2002− x))
Bài 12. Giải phương trình: log2 x
− x+1
2x2−4x
+3=x
2
−3x+2
Bài 13. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91+√1− x2
−(a+2)31+√1− x2
(14)Bài 14. ĐH, CĐ Khối D - 2003 Giải phương trình: 2x2
− x−22+x− x2
=3 Bài 15. Tìm m để phương trình : 4(log2√x)
2
−log1
2
x+m=0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Bài 16. CĐ Khối A, D
Giải phương trình: 32x2+2x+1
−28 3x2+x
+9=0
Bài 17. Giải biện luận phương trình sau theo tham số m
2 log3x −log3(x −1)−log3m=0 Bài 18. Giải phương trình: log2(x+1)=logx+116 Bài 19. Giải phương trình: (√2+√3)x+(√2−√3)x=4 Bài 20. Giải phương trình: 2x
=1+3
x
2
Baøi 21. Giải phương trình: (2+√3)x+(2−√3)x=4 Bài 22. Giải phương trình: log3(cotgx)=log2(cosx) Bài 23. Giải phương trình: 2x+1−4x
=x −1 Bài 24. Cho phương trình: (2+√3)x+(2−√3)x=m
a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 25. Giải phương trình: logx(x+1)−lg 4,5=0 Bài 26.ĐH Hải Phòng – 2004
Giải phương trình: 12log2(x −1)2+log1
2
(x+4)=log2(3− x)
Bài 27.CĐSP Bình Phước – 2004 Giải phương trình: 3x2−2x3
=log2(x2+1)−log2x
Bài 28.CĐSP Kon - Tum – 2004
Giải phương trình: log5x log3x=log5x+log3x Bài 29. CĐ Cơ khí luyện kim – Năm 2004
Giải phương trình: log2(25
x+3
(15)Bài 30.CĐ Hoá Chất – Năm 2004
Giải phương trình: log2(2x+1)log2(2x+1+2)=6
Bài 31. CĐ KT KT Công nghiệp I – Năm 2004 Giải phương trình: 32x+5−36 3x+1
+9=0 Bài 32. CĐ Y Tế Nghệ An – Năm 2004
Giải phương trình: log33x log2x −log3 x
√3=
2+log2√x