Ta dùng phương pháp cải tiến luồng giống như phương pháp giải bài toán luồng lớn nhất. Xuất phát từ một luồng t nào đó thoả mãn điều kiện c), ta dùng phương pháp sau đây để giảm giá[r]
(1)BÀI 16
9.2 Một số ứng dụng toán luồng lớn
Bài tốn luồng lớn có nhiều ứng dụng việc giải toán khác lý thuyết đồ thị
9.2.1 Bài toán luồng nhỏ
Ngược lại với toán luồng lớn nhất, xét toán sau đây:
Bài tốn: Cho mạng (G, c) Tìm luồng t qua mạng có giá trị tz nhỏ thoả mãn điều kiện a’) thay cho điều kiện a) sau:
a’) ∀ e ∈ E , t(e) ≥ c(e) Thuật tốn 9.4 (Tìm luồng bé nhất):
Ta dùng phương pháp cải tiến luồng giống phương pháp giải toán luồng lớn
Xuất phát từ luồng t thoả mãn điều kiện c), ta dùng phương pháp sau để giảm giá trị luồng t
Bước 1: Đánh dấu đỉnh
Đầu tiên đánh dấu cho đỉnh thu z số
Nếu đỉnh y đánh dấu, có cạnh (x, y) với đỉnh đầu chưa đánh dấu và t((x,y)) > c((x,y)) đánh dấu cho đỉnh x +y
Nếu đỉnh x đánh dấu, có cạnh (x, y) đánh dấu cho đỉnh y -x Với cách đánh dấu mà tới đỉnh phát x0 ta tìm
đường vô hướng từ z tới x0 đánh dấu
Bước 2: Giảm luồng
Bây ta giảm luồng cách chọn luồng t’ sau: Nếu cạnh e khơng thuộc đường giữ ngun luồng, nghĩa là:
t’(e) := t(e)
Nếu cạnh e thuộc đường chiều với chiều từ x0 tới z đặt
t’(e) := t(e) - (vì cạnh t(e) > c(e)) cịn cạnh e ngược chiều đặt t’(e) := t(e) +
Lặp lại q trình giảm luồng khơng đánh dấu tới đỉnh phát x0 Khi luồng nhận có giá trị nhỏ
(2)Ví dụ 9.4: Xét mạng vận tải sau
Hình 9.7 Mạng vận tải luồng giảm
Lu ng c có giá tr tz = 19 Lu ng m i sau c i ti n có giá tr tz’ = 18 lu ng nh nh t
9.2.2 Bài toán lng mạng có nhiều đỉnh phát đỉnh thu
Giả sử (G, c) mạng vận tải với n đỉnh phát: p1, p2, , pn m
đỉnh thu: q1, q2, , qm
Bài tốn tìm luồng lớn từ nhiều đỉnh phát tới nhiều đỉnh thu đưa toán luồng lớn từ đỉnh phát tới đỉnh thu cách thêm vào đỉnh
phát giả X0, đỉnh thu giả Z, cạnh nối X0 với tất đỉnh phát
cạnh nối tất đỉnh thu với Z
Hình 9.8 Mạng vận tải có nhiều đỉnh phát nhiều đỉnh thu Khả thông qua cạnh sau:
- Nếu lượng phát đỉnh pi bị hạn chế li đặt c(X0,pi) = li, cịn khơng
bị hạn chế đặt ∞
- Tương tự thế, giới hạn lượng thu đỉnh tj khả thông qua
của cạnh (tj, Z)
(3)Bài toán dạng đặc biệt toán mạng với nhiều đỉnh phát nhiều đỉnh thu Ta đưa toán toán luồng lớn qua mạng
Giả sử đồ thị G = (V1,V2, F) đồ thị hai phần Ta xây dựng mạng vận tải
sau:
Các đỉnh mạng đỉnh đồ thị G thêm vào đỉnh phát x0 đỉnh
thu z Mạng gồm tất cạnh G có hướng từ V1 sang V2 Ngồi
nối x0 với tất đỉnh V1 nối tất đỉnh V2 với z Trên
mọi cạnh e mạng đặt c(e) =
Khi luồng t qua mạng ứng với cặp ghép W G mà:
e ∈ W ⇔ t(e) =
Ngược lại, cặp ghép W ứng với luồng t qua mạng G theo quy tắc Vậy tz đạt lớn mhất W có nhiều cạnh
Ví dụ 9.5: Từ đồ thị hai phần gồm tập đỉnh {a b, c, d, e, f, g, h, i, k} ta xây dựng mạng vận tải sau:
Hình 9.9 Mạng vận tải đồ thị hai phần
9.2.4 Bài toán vận tải với khả thông qua cạnh đỉnh
Giả sử đồ thị G, ngồi khả thơng qua cạnh với đỉnh x ∈ V cịn có khả thơng qua đỉnh d(x) địi hỏi tổng luồng vào đỉnh x không vượt d(x), nghĩa là:
1) t(W-(x)) ≤ d(x)
Hãy tìm luồng lớn x0 z mạng
(4)Ví dụ 9.6: Xét mạng vận tải sau đây:
Hình 9.10 Mạng vận tải với khả thông qua cạnh đỉnh Xây dựng mạng (G’, c) sau:
Hình 9.11 Mạng vận tải tương ứng
Do luồng vào đỉnh x_ phải qua cạnh (x_, x+) với khả thông qua
d(x) nên luồng lớn G’ luồng lớn G thoả mãn