TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GỢI Ý CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TRƯỜNG THPT CHUYÊN KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2021 LẦN Đáp án gồm 04 trang Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thi thử vào Chuyên Toán, Tin) Câu Nội dung Thang điểm Câu Cho 𝑥, 𝑦, 𝑧 ba số thực dương thoả mãn: 𝑥𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 1… 2,0 Ta có 𝑥𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑥(𝑥𝑦 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 + 𝑧 ) 𝑥(𝑧 + 𝑥)(𝑧 + 𝑦) 𝑥 + 2=𝑥 + = = 𝑦 𝑦2 𝑦 𝑦 Tương tự ta có 𝑦2 + 𝑦(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧) = , 𝑧2 𝑧 𝑧2 + 1,5 𝑧(𝑦 + 𝑧)(𝑦 + 𝑥) = 𝑥2 𝑥 Từ suy √(𝑥 + 1 ) (𝑦 + ) (𝑧 + ) = (𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧)(𝑧 + 𝑥) 𝑦 𝑧 𝑥 Câu 1) 3,0 Cho hai số thực không âm 𝑎, 𝑏 thỏa mãn: 𝑎 + 𝑏 ≤ √2 Chứng minh: (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 𝑏2 + ≤ + 𝑎2 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑏)2 Điều phải chứng minh tương đương với (𝑎2 (1 + 𝑏 ) + 𝑏 (1 + 𝑎2 ))(1 + (𝑎 + 𝑏)2 ) ≤ (1 + 𝑎2 )(1 + 𝑏 )(𝑎 + 𝑏)2 ⟺ ((𝑎2 + 𝑏 ) + 2𝑎2 𝑏 )(1 + (𝑎 + 𝑏)2 ) ≤ (1 + (𝑎2 + 𝑏 ) + 𝑎2 𝑏 )(𝑎 + 𝑏)2 ⟺ (𝑎2 + 𝑏 ) + (𝑎2 + 𝑏 )(𝑎 + 𝑏)2 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 ≤ (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎2 + 𝑏 )(𝑎 + 𝑏)2 + 𝑎2 𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 ⟺ (𝑎 + 𝑏 ) + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 ≤ (𝑎 + 𝑏)2 ⟺ 2𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 ≤ 2𝑎𝑏 ⟺ 𝑎𝑏(2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)2 − 2) ≤ (1) Vì 𝑎𝑏 ≥ 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 ≤ ( ) ≤ 2 nên 2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)2 − ≤ Do (1) ta có đpcm Dấu xảy 𝑎 = 𝑏 = 𝑎 = 𝑏 = 2) 0,5 2,0 1,5 0,5 √2 Tìm tất số nguyên tố 𝑝, 𝑞 thỏa mãn: (𝑞 + 𝑝)𝑝 = (𝑞 − 𝑝)2𝑞−1 1,0 Từ giả thiết ta có q p 𝑞+𝑝 𝑝 ( ) = (𝑞 − 𝑝)2𝑞−𝑝−1 ∈ ℤ 𝑞−𝑝 Suy 𝑞 + 𝑝 ⋮ 𝑞 − 𝑝 Do 𝑞 + 𝑝 = 2𝑞 − (𝑞 − 𝑝) nên 2𝑞 ⋮ 𝑞 − 𝑝 Vì 𝑞 − 𝑝 < 𝑞 nên 0,25 𝑞 − 𝑝 ∈ {1; 2} 0,25 Nếu q p ta có (𝑞 + 𝑝)𝑝 = 1, vơ nghiệm Nếu q p 𝑞 = 𝑝 + ta có 𝑝+1 𝑝 (2𝑝 + 2)𝑝 = 22𝑝+3 ⇔ ( ) = (1) Dễ thấy (1) có nghiệm 𝑝 = 𝑝 = khơng nghiệm (1) Nếu 𝑝 > 𝑝+1 𝑝 3+1 ( ) >( ) = 2 Do (1) có nghiệm 𝑝 = 0,5 Vậy 𝑝 = 3, 𝑞 = Câu Cho tập hợp 𝑆 có phần tử số thực, 𝑆 chứa tất số nguyên đóng 1,0 phép tốn cộng nhân … Ta có √2020 + √2021 ∈ 𝑆 ⇒ (√2020 + √2021) ∈ 𝑆 ⇒ 4041 + 2√2020.2021 ∈ 𝑆 Vì 4041 + 2√2020.2021 ∈ 𝑆 −4041 ∈ 𝑆 nên 2√2020.2021 ∈ 𝑆 0,25 0,25 Vì 2√2020.2021 ∈ 𝑆 √2020 + √2021 ∈ 𝑆 nên 2√2020.2021(√2020 + √2021) ∈ 𝑆 ⇒ 4040 √2021 + 4042 √2020 ∈ 𝑆 0,25 Suy √2020 − √2021 = 4040 √2021 + 4042 √2020 − 4041 (√2020 + √2021) ∈ 𝑆 0,25 Chú ý: Có thể nhận xét: (√2020 + √2021) ∈ 𝑆 ⟹ 4041 + 2√2020.2021 ∈ 𝑆 ⟹ −4041 − 2√2020.2021 ∈ 𝑆 ⟹ 8082 + (−4041 − 2√2020.2021) ∈ 𝑆 ⟹ (√2020 − √2021) ∈ 𝑆 ⟹ (√2020 + √2021)(√2020 − √2021) ∈ 𝑆 ⟹ √2021 − √2020 ∈ 𝑆 ⟹ √2020 − √2021 ∈ 𝑆 Câu a) 3,0 Tứ giác 𝐵𝑀𝐷𝐹 nội tiếp 1,0 ̂ = 𝐴𝐷𝑀 ̂ = 900 Do đó: Xét đường trịn đường kính 𝐴𝑀: Ta có 𝐴𝐾𝑀 Δ𝑆𝐾𝑀 ~ Δ𝑆𝐷𝐴 (𝑔 − 𝑔) Suy ra: 𝑆𝐷 𝑆𝑀 = 𝑆𝐾 𝑆𝐴 (1) A K 0,25 O S P D Q M F B ̂ = 𝐾𝐵𝐹 ̂ Do đó: Δ𝑆𝐴𝐹~Δ𝑆𝐵𝐾 (𝑔 − 𝑔) Suy Xét đường trịn (O): Ta có: 𝐾𝐴𝐹 0,25 𝑆𝐵 𝑆𝐹 = 𝑆𝐴 𝑆𝐾 (2) Từ (1) (2) ta có: 𝑆𝐷 𝑆𝑀 = 𝑆𝐵 𝑆𝐹 Do 0,5 𝑆𝐷 𝑆𝐵 ̂ = 𝑆𝐵𝑀 ̂ = ⇒ Δ𝑆𝐷𝐹~Δ𝑆𝐵𝑀 ⇒ 𝑆𝐷𝐹 𝑆𝐹 𝑆𝑀 Vậy tứ giác BMDF nội tiếp b) Các điểm 𝑀, 𝐻, 𝐾 thẳng hàng 1,0 ̂ = 𝐴𝐾𝐸 ̂ = 900 nên 𝐾, 𝑀, 𝐸 thẳng hàng Kẻ đường kính 𝐴𝐸 (𝑂) Ta có: 𝐴𝐾𝑀 0,5 Do 𝐻 trực tâm A tam giác 𝐴𝑃𝑄 nên K 𝑃𝐻 ⊥ 𝐴𝑄 Do 𝐴𝐸 đường kính H (O) nên O 𝐸𝑄 ⊥ 𝐴𝑄 Suy 𝑃𝐻 ∥ 𝐸𝑄 Chứng S P D minh tương tự 𝑄𝐻 ∥ 𝐸𝑃 Do 𝑃𝐻𝑄𝐸 hình 0,5 Q M F bình hành E B Do 𝑃𝑄 ⊥ 𝑂𝑀 nên 𝑀 trung điểm 𝑃𝑄 Suy 𝐻, 𝑀, 𝐸 thẳng hàng Vậy 𝐾, 𝐻, 𝑀, 𝐸 thẳng hàng c) Đường thẳng 𝐻𝐹 qua điểm cố định… 1,0 Ta có : 𝐴𝐷 ⊥ 𝑆𝑀, 𝑀𝐾 ⊥ 𝑆𝐴 Do 𝐻 trực tâm Δ𝐴𝑆𝑀 Suy 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝑀 Gọi 𝑁 giao SH với AM, ta có: C A K N 0,5 H Δ𝑆𝐷𝐻~Δ𝑆𝑁𝑀 O ⇒ 𝑆𝐻 𝑆𝑁 = 𝑆𝐷 𝑆𝑀 Kết hợp câu a ta có: 𝑆𝐻 𝑆𝑁 = 𝑆𝐹 𝑆𝐵 hay S 𝑆𝐻 𝑆𝐵 = 𝑆𝐹 𝑆𝑁 Do đó: 𝑆𝐹𝐻~Δ𝑆𝑁𝐵 ̂ = 𝑆𝑁𝐵 ̂ = 900 Suy ra: 𝑆𝐹𝐻 P D Q M F E B Kẻ đường kính 𝐵𝐶 (𝑂) 𝐹, 𝐻, 𝐶 thẳng hàng Vậy 𝐹𝐻 ln qua C cố định 0,5 Câu Cho tập hợp 𝑋 = {1; 2; … ; 2022} a) Xét tập 𝑀 𝑋 gồm 1012 phần tử Chứng minh ln có hai phần tử 𝑎, 𝑏 𝑀 mà 𝑎 < 𝑏 𝑏 bội 𝑎 Xét toán tổng quát: Cho k số nguyên dương tập S 1;2; ;2k Khi 1,0 0,5 T tập S mà có số phần tử lớn 𝑘 + T có cặp (a; b) mà a b b bội a s Thật vậy, viết phần tử T dạng: i ti ( i 1,2, , k 1) với si , ti N , s1 s2 sk 1 ti lẻ 0,5 Ta có ti 1;3; ;2k 1 tập 1;3; ;2k 1 có k phần tử nên k số t1, , tk 1 có hai số ti , t j i j (Đirichlê) Lúc a j , kết b) chứng minh Tìm số nguyên dương 𝑛 lớn cho với tập 𝐴 𝑋 có 1348 phần tử 𝐴 có 𝑛 cặp (𝑎; 𝑏) mà 𝑎 < 𝑏 𝑏 bội 𝑎 Xét toán tổng quát: Cho tập X 1;2; ;6m ( m Z , m ) Tìm số nguyên dương n lớn thỏa mãn: Nếu A tập có 4m phần tử X A có n cặp (a; b) mà a b b bội 𝑎 Trước tiên ta xét tập đặc biệt 𝑋 gồm 4m phần tử A0 2m 1;2m 2; ;6m Với cặp (𝑎; 𝑏) A0 mà a b 𝑏 bội 𝑎 b ) Do đó, tất cặp (a; b) A0 mà a b 𝑏 a bội 𝑎 (2m i;4m 2i) với i 1,2, , m Từ ta có n m Ta chứng minh n m thỏa mãn hay A tập có 4m phần tử X A có m cặp (a; b) mà a b b a Giả sử A có k cặp (ai ; bi ) mà bi 𝑏𝑖 bội 𝑎𝑖 , i 1,2, , k (k m 1) Ta loại khỏi A tất số a1, , ak tập B có 4m (m 1) 3m phần tử Tập B tập tập X 1;2; ;6m B khơng có cặp (a; b) mà a b 0,5 0,25 b 2a (do b bội 𝑎, trái với kết câu a Do n m thỏa mãn Vậy giá trị lớn n m Trở lại tốn, ta có 𝑚 = 337 nên giá trị lớn 𝑛 337 -Hết - 0,25 ... + ? ?2021 ∈