SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021– 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu (2,0 điểm) a) Cho a , b, c ∈ ¡ S = a 2b + b c + c a thỏa mãn b) Cho đa thức bậc hai P ( x) a+b+c = a +b + c =1 2 Tính giá trị biểu thức P ( 1) = P ( 3) = P ( ) = 31 P ( 10 ) thỏa mãn , , Tính giá trị Nội dung Ý Điểm = ( a + b + c ) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) = + ( ab + bc + ca ) + Ta có ab + bc + ca = − 1a 1,0đ suy + Từ ( ab + bc + ca ) 2 0,5 = a 2b + b 2c + c a + 2abc ( a + b + c ) S = a 2b + b 2c + c a = suy P ( x ) = ax + bx + c + Đặt 1b 1,0đ 0,5 a + b + c = P ( 1) = 9a + 3b + c = P ( 3) = 49a + 7b + c = P ( ) = 31 0,5 có hệ a = b = −3 c = + Giải hệ , , P ( x ) = x − 3x + P ( 10 ) = 102 − 3.10 + = 73 + Suy nên Cách khác: P ( x) − x P ( x ) − x = a ( x − 1) ( x − 3) x = 1, x = + Thấy có nghiệm nên có P ( ) = 31 31 − = a ( − 1) ( − 3) ⇔ a = + Từ nên P ( x ) = ( x − 1) ( x − 3) + x ⇒ P ( 10 ) = 73 + Vậy 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Trang 1/5-Đáp án 7x2 x x + + = ÷ x +1 x +1 a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Ý + Điều kiện xác định x ( x + 1) = y ( x + y − ) + 4 x + + y + = 11 − x x ≠ −1 Nội dung Điểm + PT cho tương đương với x x2 x2 − x− ÷ +4= x +1 x +1 x +1 0,25 x2 x2 ⇔ +4=0 ÷ − x +1 x +1 ⇔ x2 = (1) x +1 x= 2a 1,0đ + Giải (1) + Giải (2) x2 = (2) x +1 1± 0,25 0,25 x=2±2 Tập nghiệm phương trình 1 ± ;2 ± 2 Cách khác: Quy đồng, rút gọn 0,25 x − 5x3 − x + 8x + = ⇔ ( x − x − 1) ( x − x − ) = 1± x2 − x −1 = x= ⇔ ⇔ x − x − = x = ± 2 (thỏa mãn điều kiện) 2b 1,0đ Xét hệ x ( x + 1) = y ( x + y − ) + (1) 4 x + + y + = 11 − x (2) + Điều kiện xác định: x ≥ −3 y ≥ −2 0,25 Trang 2/5-Đáp án + Ta có ( 1) ⇔ y + y ( x − ) − x − x + = y = x +1 ⇔ ( y −1 − x) ( y −1 + 2x) = ⇔ y = 1− 2x + Với y = x +1 0,25 , thay vào (2) ta 11 − x ≥ x + = 11 − x ⇔ ⇔ x = 29 − 23 36 ( x + 3) = ( 11 − x ) Khi + Với x = 29 − 23 y = − 2x y = x + = 30 − 23 0,25 (thỏa mãn điều kiện) , thay vào (2) ta x + + − x = 11 − x ⇔ x + = ⇔ ⇔ x =1 − x = ( ) ( x+3−2 + ) − 2x −1 = 0,25 Khi có + Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm ABC y = − x = −1 ( x; y ) (thỏa mãn điều kiện) ( 29 − ( AB < AC ) 23;30 − 23 ) , ( 1; −1) ( O) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn Đường phân giác · ( O) ( O) BAC AC D D≠A cắt đường tròn ( ) Trên cung nhỏ đường tròn lấy G AG > GC C K A G AD điểm khác cho ; đường trịn có tâm qua , cắt đoạn thẳng điểm M ≠G ) P nằm bên tam giác ABC Đường thẳng GK cắt đường tròn ( O) điểm M ( KPG ODG a) Chứng minh tam giác , đồng dạng với GP, MD b) Chứng minh hai đường thẳng vng góc OD F KP A c) Gọi giao điểm hai đường thẳng , đường thẳng qua song song với ( K) BC DGFP E E≠A cắt đường tròn điểm ( ) Chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ·EGF = 900 Trang 3/5-Đáp án Ý + Xét đường trịn 3a 1,0đ 3b 1,0đ ( K) có · · DOG = DAG Điểm 0,25 · · PKG = PAG 0,25 + Xét đường tròn có · · DOG = PKG Suy (1) PKG DOG O K + Tam giác cân tam giác cân (2) Từ (1) (2) suy hai tam giác đồng dạng với Có 0,25 0,25 · GKP ·MGP = KGP · · = 90 − = 900 − DAG Mặt khác 3c 1,0đ ( O) Nội dung Ta có · · DAG = DMG nên · · MGP + DMG = 900 · · · · FPG = KPG = ODG = FDG , suy tứ giác 0,5 , suy DGFP GP ⊥ DM 0,5 0,5 nội tiếp Trang 4/5-Đáp án Suy Suy · · DFG = DPG ·AEG = DFG · Suy tứ giác OD ⊥ BC Tứ giác HEGF nên hay nội tiếp nên · · HEG = DFG với H · DPG = ·AEG giao điểm OD AE 0,25 nội tiếp OD ⊥ AE Câu (1,5 điểm) APGE , suy · FHE = 900 , ( x; y ) · · EGF = 1800 − FHE = 900 0,25 x y ( y − x ) = xy − 27 a) Tìm tất cặp số nguyên dương thỏa mãn 2 p1 + p2 + L + p122 p1 , p2 ,…, p12 b) Cho số nguyên tố lớn Chứng minh chia hết cho 12 Nội dung Ý + Giả sử có 4a 0,75đ ( ) Điểm y x3 − x y + x = 27 (1) x, y ∈ ¥ * thỏa mãn yêu cầu Ta có y ∈ { 1;3} y ∈ { 1;9} y2 Suy 27 chia hết hay 2 x − x + x = 27 ⇔ x ( x − x + ) = 27 y =1 + Xét , thay vào (1) có x 27 x ≤ 27 ⇔ x ≤ 0,25 27 0,25 Điều chứng tỏ ước nguyên dương có , suy x =1 x=3 Thử trực tiếp hai trường hợp thấy không thỏa mãn x − x + x − = ⇔ ( x − ) ( x − x + 3) = ⇔ x = y=3 + Xét , thay vào (1) có ( x; y ) = ( 1;3) Vậy + Với 4b 0,75đ p số nguyên tố lớn nên có dạng p − = 36k ± 12k Suy chia hết cho 12 (p p = k ± 1( k ∈ ¥ * ) 0,25 0,25 0,25 − 1) + ( p22 − 1) + + ( p122 − 1) + Áp dụng có chia hết cho 12 2 p1 + p2 + L + p12 Suy chia hết cho 12 Cách viết khác: p = 3k ± 1( k ∈ ¥ * ) p − = 9k ± 6k + Từ suy chia hết cho 0,25 Trang 5/5-Đáp án p = k ± 1( k ∈ ¥ * ) + Từ chia hết cho 12 + Áp dụng suy , có p12 + p22 + L + p122 p − = 16k ± 8k chia hết cho 12 Câu (1,5 điểm) a) Cho a , b, c > a +b + c =1 A, B chia hết cho Suy p2 −1 Chứng minh ∅ a + bc b + ca c + ab + + ≥2 b+c c+a a +b AU B = ¥* AI B = ∅ A thỏa mãn Biết có vơ hạn x A B B phần tử tổng phần tử thuộc với phần tử thuộc phần tử thuộc Gọi x ≠1 B phần tử bé thuộc thỏa mãn Hãy tìm x Nội dung Điểm Ý a + bc a ( a + b + c ) + bc ( a + b ) ( a + c ) = = b+c b+c b+c + Ta có 0,25 Tương tự BĐT cần chứng minh viết lại thành ( a + b) ( a + c ) + ( b + c ) ( b + a ) + ( c + a ) ( c + b) ≥ b+c c+a a+b + Theo BĐT Cauchy có b) Xét hai tập hợp khác ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a) ≥ ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) 5a 0,75đ b+c Tương tự có c+a b+c c+a ( b + c) ( b + a) + ( c + a) ( c + b) ≥ ( b + c ) (2) ( a + b) ( a + c) + ( c + a ) ( c + b) ≥ ( c + a ) (3) c+a b+c a+b a+b = ( a + b ) (1) 0,25 0,25 Cộng vế BĐT (1), (2), (3) suy ĐPCM 1∈ B 5b + Chứng minh : 0,75đ x∈B x + 1∈ B 1∈ A Giả sử ngược lại, , với có Có ∈ A, x + ∈ B suy x + = + ( x + 1) thuộc B Cứ có 0,25 x, x + 1, x + 2, Trang 6/5-Đáp án nằm B nên suy A tập hữu hạn, mâu thuẫn Vậy có 1∈ B x≥4 1< x −2 < x x − 2∈ A + Xét : Do nên từ tính bé x B suy , suy x − = ( x − 2) + thuộc B, điều lại mâu thuẫn với tính bé x B Vậy phải có x=2 x=3 0,25 x=2 A B + Với , cách chọn tập số nguyên dương chia hết cho tập hợp số nguyên dương không chia hết cho thỏa mãn yêu cầu x=3 A B Với , cách chọn tập hợp số nguyên dương chẵn tập hợp số nguyên dương lẻ thỏa mãn yêu cầu 0,25 Tóm lại x = x = Chú ý: - Nếu thí sinh làm mà cách giải khác với đáp án phù hợp kiến thức chương trình THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm tròn HẾT Trang 7/5-Đáp án