SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: Toán (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên xã hội (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu (2,0 điểm) 8x − P= 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức Câu m y = mx + m ≠ để đường thẳng ( ) đường 2) Tìm tất giá trị tham số y = 9x + thẳng song song cm ABC 3) Tính chiều cao tam giác cạnh bằng cm 4) Tính thể tích hình nón có chiều cao bằng Biểu thức xác định chỉ 1) 2) bán kính đáy 3cm 8x − > ⇔x> 0,25 Hai đường thẳng song song chỉ 0,25 m = 1 ≠ ⇔m=9 3) 0,25 AM = cm Gọi AM đường cao tam giác ABC, tính được V = π R h 4) Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức với 0,5 0,25 Thể tích hình nón ⇒ V = π 32.4 = 12π cm3 Câu 0,25 0,25 x x +1 x + ÷ x + 25 Q= + − x x −1 x − ÷ x + x + ÷ x ( ) x > 0; x ≠ 1 1) 2) Q Rút gọn biểu thức Q x Tìm để có giá trị bằng 10 Với đk : 1) , ta được 0,25 x + x + 25 = 1 + ÷ x x + x +1 = 0,25 x + 25 x ⇔ 0,25 x > 0; x ≠ với 2) x > 0; x ≠ x x +1 x + 25 Q = + − ÷ ÷ x + x + x − x x − ( x −5 ) Q = 10 ⇔ , ta có x + 25 = 10 ⇔ x − 10 x + 25 = x 0,25 = ⇔ x −5 = 0,25 ⇔ x = 25 0,25 Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x − ( m + 1) x + m + = a) Giải phương trình (1) Câu b) Tìm tất giá trị x1 = x2 + mãn 2) Giải phương trình sau: Với 1.a) m=3 với m tham số m = m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa − x + x − − 2 = ta có phương trình Phương trình có (1) x − x + 10 = ∆ ' = 16 − 10 = > 0,25 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = + 10 ; x2 = − 10 1.b) ⇔ ∆ ' = ( m + 1) − m − = 2m > ⇔ m > Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0,25 0,25 Theo hệ thức Viét ta có Mà Có x1 = x2 + suy x1 + x2 = ( m + 1) x1.x2 = m + 0,25 x2 = m x1 = m + ; x1.x2 = m + ⇒ m ( m + ) = m + 0,25 m= Giải đối chiếu điều kiện ta được 0,25 2≤ x≤6 Điều kiện: 0,25 ⇔ 6− x + x−2 = 2 Với điều kiện cho phương trình ⇔ 6− x+ x−2+2 2) ⇔ ( − x ) ( x − 2) ( − x ) ( x − 2) 0,25 =8 = ⇔ −12 + x − x = ⇔ x − x + 16 = ⇔ ( x − ) = ⇔ x = 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn AP Câu Các đường cao BE 1) Chứng minh rằng tứ giác CF ABC ( AB > AC ) cắt tại BCEF 3) Gọi lần lượt trung điểm M giao điểm tròn (O) Chứng minh rằng IK M H nội tiếp K, I 2) Gọi thỏa mãn EF BC N ; nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AE AC = AF AB AH Chứng minh giao điểm trung điểm đoạn BC MH AP ⊥ EF với cung nhỏ · · HMC = HAN AP AC // IK đường 0,25 Vì BE, CF đường cao tam giác ABC nên · · BEC = BFC = 900 0,25 suy điểm B,C,E,F thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp 1) ·AEF = ·ABC Xét hai tam giác AEF tam giác ABC có ∆ABC ∆AEF A chung, suy đồng dạng (g.g) Suy Tứ giác 2) ) có góc AE AF = ⇔ AE AC = AF AB AB AC AP ⊥ At (1) » · CAt = ·ABC = sđ AC BCEF (2) nội tiếp nên suy từ (2) (3) suy Từ (1) (4) suy ·AEF = CAt · ·AEF = ABC · , suy At // EF (4) (5) 900 3) song song với AP nên tứ giác 0,25 AFHE nội tiếp đường tròn tâm IK ⊥ EF I đường kính AH, lại có K trung điểm dây cung EF suy (6) IK 0,25 (3) AP ⊥ EF Ta có E F nhìn đoạn AH góc từ (5) (6) suy 0,25 0,25 Kẻ tiếp tuyến At đường tròn tâm O ta suy Khi (cùng bù với góc · FEC 0,25 0,25 0,25 Gọi D giao điểm AH BC 0,25 BCEF IK Ta có tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC, đường trung trực dây EF cung nên M trung điểm BC Có BP // CH vng góc với AB; CP // BH vng góc với AC Suy tứ giác BPCH hình bình hành nên điểm P, M, H thẳng hàng hay điểm P, M, H, N thẳng hàng ⇒ ·ANM = 900 ; mà · · ⇒ NMD = NAD ·ADM = 900 suy tứ giác (góc nội tiếp chắn cung ANDM » ND 0,25 nội tiếp · · HMC = HAN ) hay 0,25 0,25 Câu V (1,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình Câu 2) Cho Điều kiện: x, y , z 2 x + + y = y + x + 2 y + x + x = (1) (2) xyz = số dương thỏa mãn Chứng minh rằng 2 x x y z y z + + ≥ 2 + + ÷ yz xz xy y+ z x+ z x+ y x + + 3y ≥ y ≥ x + ≥ Xét phương trình (1) có: 0,25 x + + 3y = y + x + ⇔ ( x + + 3y ) = y + x + + y ( x + 2) 3( x + 2) + y = Với y = x+2 ( x + 2) y ⇔ ( x+2 − y ) =0⇔ y = x+2 , thay vào phương trình (2) ta được: x = −1 ⇔ 2x2 + x + = ⇔ x = −2 + + x = −1 ⇒ y = x = −2 ⇒ y = thỏa mãn thỏa mãn ( x + 2) + x2 + x = 0,25 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: Với x = −1 y =1 x = −2 y = xyz = số dương ta có: 2 x x x y z y z y z 3 + + ≥ 2 + + + + ÷⇔ x + y + z ≥ ÷ yz xz xy y+z x+z x+ y y+z x+z x+ y x, y , z Ta có Suy x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) x − xy + y ≥ xy x+ y x + y ≥ ( x + y ) xy ⇒ x + y ≥ z y3 + z3 ≥ Tương tự ta có y+z x z + x3 ≥ 0,25 z+x y 1 1 1 1 1 ( x + y + z ) ≥ x + ÷+ y + ÷+ z + ÷ z x x y y z Từ BĐT ta có: Mặt khác áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có 1 1 1 1 1 4z x+ y + ≥2 = + ≥ ⇒ z + ÷≥ xy ≤ x y x y x y x+ y xy x y x+ y mà suy 1 4y y + ÷≥ z x z+x Tương tự ta có: 1 4x x + ÷≥ y z y+z x 4x 4y 4z y z ( x3 + y + z ) ≥ + + ⇒ x3 + y + z ≥ + + ÷ y+ z z+ x x+ y y+z z+x x+ y Suy Ta được điều cần chứng minh x = y = z =1 Bất đẳng thức xảy dấu bằng khi: 0,25 Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống cho điểm thành phần tương ứng HẾT