SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021– 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b, c ¡ 2 thỏa mãn a b c a b c Tính giá trị biểu thức S a 2b b c c a P x b) Cho đa thức bậc hai thỏa mãn Nội dung Ý + Ta có suy + Từ 1b 1,0đ ab bc ca ab bc ca suy Điểm a b c a b c 2(ab bc ca ) ab bc ca 1a 1,0đ P 1 P 3 P 31 P 10 , , Tính giá trị 2 2 0,5 a 2b b 2c c a 2abc a b c S a 2b b 2c c a 0,5 a b c P 1 9a 3b c P 3 49a 7b c P 31 P x ax bx c + Đặt có hệ + Giải hệ a , b 3 , c P x x 3x P 10 102 3.10 73 + Suy nên Cách khác: P x x P x x a x 1 x 3 + Thấy có nghiệm x 1, x nên có P 31 31 a 1 3 a + Từ nên P x x 1 x 3 x P 10 73 + Vậy 0,5 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) x2 x x x 1 x 1 a) Giải phương trình x x 1 y x y 4 x y 11 x b) Giải hệ phương trình Ý 2a + Điều kiện xác định x 1 Nội dung Điểm Trang 1/5-Đáp án x x2 2x2 x 4 x 1 x 1 x 1 + PT cho tương đương với 0,25 x2 x2 40 x 1 x 1 x2 x2 (1) (2) x 1 x 0,25 1 + Giải (1) + Giải (2) x 2 x 1,0đ 0,25 1 ;2 2 Tập nghiệm phương trình Cách khác: Quy đồng, rút gọn x x x x 0,25 x x 1 x x 1 x2 x x x x x 2 (thỏa mãn điều kiện) 2b 1,0đ x x 1 y x y (1) x y 11 x (2) Xét hệ + Điều kiện xác định: x 3 y 2 y y x 2 2x2 x + Ta có y x 1 y 1 x y 1 2x y 2x 0,25 0,25 + Với y x , thay vào (2) ta 11 x x 11 x x 29 23 36 x 11 x 0,25 Khi x 29 23 y x 30 23 (thỏa mãn điều kiện) + Với y x , thay vào (2) ta x x 11 x 0,25 x32 2x 1 Trang 2/5-Đáp án x x 1 x Khi có y x 1 (thỏa mãn điều kiện) + Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm x; y 29 23;30 23 , 1; 1 nội tiếp đường tròn Đường phân giác Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC · O O BAC cắt đường tròn D ( D A ) Trên cung nhỏ AC đường tròn lấy điểm G khác C cho AG GC ; đường trịn có tâm K qua A , G cắt đoạn thẳng AD AB AC O O điểm P nằm bên tam giác ABC Đường thẳng GK cắt đường tròn điểm M ( M G ) a) Chứng minh tam giác KPG , ODG đồng dạng với b) Chứng minh GP, MD hai đường thẳng vuông góc c) Gọi F giao điểm hai đường thẳng OD KP , đường thẳng qua A song song với BC cắt đường tròn K điểm E ( E A ) Chứng minh tứ giác DGFP tứ giác nội tiếp · EGF 900 Trang 3/5-Đáp án Ý O K + Xét đường tròn + Xét đường tròn 3a 1,0đ 3b 1,0đ Nội dung Điểm · · có DOG DAG · · có PKG PAG 0,25 0,25 · · Suy DOG PKG (1) + Tam giác PKG cân K tam giác DOG cân O (2) Từ (1) (2) suy hai tam giác đồng dạng với · GKP · · · MGP KGP 900 900 DAG Có · · · · DAG DMG MGP DMG 900 Mặt khác nên 0,25 0,25 0,5 , suy GP DM 0,5 · · · · Ta có FPG KPG ODG FDG , suy tứ giác DGFP nội tiếp 3c 1,0đ 0,5 · · · · Suy DFG DPG Tứ giác APGE nội tiếp nên DPG AEG · · · · Suy AEG DFG hay HEG DFG với H giao điểm OD AE Suy tứ giác HEGF nội tiếp 0,25 · · · OD BC nên OD AE , suy FHE 900 , EGF 1800 FHE 900 0,25 Câu (1,5 điểm) x; y a) Tìm tất cặp số nguyên dương thỏa mãn x y y x xy 27 b) Cho p1 , p2 ,, p12 số nguyên tố lớn Chứng minh p p L p12 chia hết cho 12 Nội dung Ý 2 Điểm y x3 x y x 27 (1) * x , y ¥ + Giả sử có thỏa mãn u cầu Ta có 2 y 1;3 y 1;9 Suy 27 chia hết cho y nên hay 2 x x x 27 x x x 27 + Xét y , thay vào (1) có 4a 27 x 27 x 0,75đ , suy Điều chứng tỏ x ước nguyên dương 27 có x x Thử trực tiếp hai trường hợp thấy không thỏa mãn x x x x x x 3 x + Xét y , thay vào (1) có x; y 1;3 Vậy 4b p k 1 k ¥ * p tố lớn nên có dạng 0,75đ + Với 2là số nguyên Suy p 36k 12k chia hết cho 12 p + Áp dụng có 1 p22 1 p122 1 chia hết cho 12 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 4/5-Đáp án 2 Suy p1 p2 L p12 chia hết cho 12 Cách viết khác: 2 p 3k 1 k ¥ * + Từ suy p 9k 6k chia hết cho 2 p k 1 k ¥ * + Từ , có p 16k 8k chia hết cho Suy p chia hết cho 12 2 + Áp dụng suy p1 p2 L p12 chia hết cho 12 Câu (1,5 điểm) a bc b ca c ab 2 a , b , c ca a b a) Cho a b c Chứng minh b c * b) Xét hai tập hợp A, B khác thỏa mãn A I B A U B ¥ Biết A có vơ hạn phần tử tổng phần tử thuộc A với phần tử thuộc B phần tử thuộc B Gọi x phần tử bé thuộc B thỏa mãn x Hãy tìm x Ý 5a 0,75đ Nội dung Điểm a bc a a b c bc a b a c bc bc + Ta có b c Tương tự BĐT cần chứng minh viết lại thành a b a c b c b a c a c b bc ca ab + Theo BĐT Cauchy có a b a c b c b a a b a c b c b a bc Tương tự có ca bc ca b c b a c a c b b c (2) a b a c c a c b c a (3) ca bc ab a b 0,25 0,25 a b (1) 0,25 Cộng vế BĐT (1), (2), (3) suy ĐPCM 5b + Chứng minh B : 0,75đ Giả sử ngược lại, A , với x B có x 1 B x x 1 Có A, x B suy thuộc B Cứ có x, x 1, x 2, nằm B nên suy A tập hữu hạn, mâu thuẫn Vậy có B 0,25 + Xét x : Do x x nên từ tính bé x B suy x A , suy 0,25 Trang 5/5-Đáp án x x 2 thuộc B, điều lại mâu thuẫn với tính bé x B Vậy phải có x x + Với x , cách chọn A tập số nguyên dương chia hết cho B tập hợp số nguyên dương không chia hết cho thỏa mãn yêu cầu Với x , cách chọn A tập hợp số nguyên dương chẵn B tập hợp số nguyên dương lẻ thỏa mãn yêu cầu 0,25 Tóm lại x = x = Chú ý: - Nếu thí sinh làm mà cách giải khác với đáp án phù hợp kiến thức chương trình THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm trịn HẾT Trang 6/5-Đáp án ... THCS tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm tròn HẾT Trang 6/5-Đáp án ... điều kiện) + Với y x , thay vào (2) ta x x 11 x 0,25 x32 2x 1 Trang 2/5-Đáp án x x 1 x Khi có y x 1 (thỏa mãn điều kiện) + Kết luận:... BC cắt đường tròn K điểm E ( E A ) Chứng minh tứ giác DGFP tứ giác nội tiếp · EGF 900 Trang 3/5-Đáp án Ý O K + Xét đường tròn + Xét đường tròn 3a 1,0đ 3b 1,0đ Nội dung Điểm · ·