T×m nguyªn hµm nãi chung vµ t×m nguyªn hµm tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc.. TÝnh tÝch ph©n.[r]
(1)Ngày 13 Tháng Năm 2007
Bài soạn môn: giải tích - lớp 12
TiÕt thø : 85 , , 106 (22tiết) tập ôn cuối năm
I.mc đích yêu cầu :
Củng cố hệ thống hoá kiến thức theo chủ đề để HS khắc sâu đợc kiến thức , dạng tập thờng gặp chủ đề , rèn kĩ vận dụng linh hoạt lí thuyết vào thực hành , kĩ tính tốn , lập luận lơ gíc cho học sinh
II néi dung,tiÕn hµnh
Chủ đề i : đạo hàm khảo sát hàm số
( Dù kiÕn 12 tiÕt : 85 , 86 , , 96 ) Các kiến thức cÇn nhí :
1- Tập xác định , tập giá trị hàm số Dấu nhị thức bậc , dấu tam thức bậc hai Hàm số chẵn , hàm số lẻ , hàm số tuần hồn Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp , đạo hàm phía , đạo hàm khoảng , đoạn Quan hệ đạo hàm tính liên tục hàm số ý nghĩa đạo hàm cấp (cơ học , vật lí , hình học) , Phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
- Điểm tới hạn Điều kiện để hàm số ↑ , ↓ ; chiều biến thiên , định lí : Lagrăng , Fécma Qui tắc tìm cực đại cực tiểu giá trị lớn nhỏ hàm số khoảng , đoạn Tính lồi lõm điểm uốn đồ thị , cách tìm loại tiệm cận Tính đối xứng đồ thị (tâm đối xứng trục đối xứng)
- Qui tắc tính đạo hàm , bảng đạo hàm , đạo hàm bậc cao vi phân , tính gần nhờ vi phân
- Các dạng giới hạn : Lim
x →0 sinx
x ; Limx →0 ex -
x ; Lim
x →0
ln(1 + x)
x ;
+1 x¿
x
Lim
x →∞ ¿
-Qui tắc bớc tìm cực trị hàm số
- Qui tắc tìm max , hàm số đoạn [a ; b]
- Các công thức xác định hệ số a , b tiệm cận xiên y = ax + b đồ thị y = f(x)
- Sơ đồ khảo sỏt hm s ?
Các dạng toán cÇn lun tËp
- Các ứng dụng đạo hàm : xét chiều biến thiên , tìm cực trị , tìm max , Xét nghiệm pt , bpt Lập pt tt điểm , qua điểm , tt biết hệ số góc , điều kiện tiếp xúc đờng cong - Khơng xét loại tt // 0y Các tốn tiếp xúc cắt đồ thị
- Khảo sát loại hàm số - không suy biến
- Các ứng dụng củađồ thị hàm số , miền mặt phẳng để giải toán biện luận nghiệm pt , bpt , tìm giá trị max , hàm số biểu thức ẩn Xét tính ↑ , ↓ tìm cực trị hàm số thờng gặp cho dạng tham số - Tìm giao điểm đờng
Bµi tËp vËn dơng
Bµi 1/ Cho hµm sè y = x3 + 3x2 + mx + (C m)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = -
(2)3) Tìm tất giá trị m để (Cm) cắt 0x điểm phân biệt có hồnh
độ nhỏ
H ớng dẫn đáp số : 1) CĐ , CT : M1,2(−1 ±√2 ; ∓4 √2) 2) ; - - 4√2 < m < 3) - < m <-15
4
Baì 2 / Cho hàm số y = x
- x - x +
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho
2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm pt : x2 - x - = m.x + 1
3) viết pt tt với đồ thị hàm số biết tt qua điểm A ( 1/2 ; - 1) ớng dẫn đáp số : H
1) y = x - +
x + ; C§ (-2;- 5) , CT (0 ;- 1) 2) * m < → v« nghiƯm * m = ; < m < → nghiÖm * m = ; m = → nghiÖm * < m < ; m > → nghiÖm 3) (d) : y = - ; (d') : 8x - 9y -13 = Bµi 3 / Cho hµm sè : y = - x3/3 + (a-1)x2 + (a+3)x -
a) Khảo sát bt vẽ đồ thị hàm số a =
b) Tìm tất giá trị a để hàm số ↑ ( 0;1) ớng dẫn đáp sốH :
¿
a(1; -7
3) ; C§(3; - 1)¿b¿→ a≥ x2+2x
2x+1 x (0;1) ĐS : a
Bài 4 / Cho hµm sè y = x4 - 6mx2 + m2
a) Khảo sát bt vẽ đồ thị hàm số m =
b) Tuỳ theo m tìm giá trị lớn hàm số [ - ; ] ớng dẫn đáp sốH :
a¿ C§ ( ; 1) ; CT (±√3 ; -8 ) ¿
b → max t¹i mót ¿Max f(x)
[-2 ; 1]
=Max g (t)
[ ; 4]
= Max {m2 ; 16 - 24m + m2}→ kÕt qu¶ ¿ Bµi 5 / Cho hµm sè y = x
2 x -
a) Khảo sát bt vẽ đồ thị hàm số
b) Viết pt Parabol qua điểm c/trị hs t/xúc với đ/t y = - c) Tìm điểm nhánh khác đồ thị cho khoảng cách chúng số nhỏ giá trị nhỏ ?
ớng dẫn đáp sốH :
a) C§ ( ; 0) ; CT ( ; 4) b) PT (P) : y = - x2 + 3x
c) điểm cần tìm
M1,2( ±41
√2 ; ±
√2±
√2) dmin= √2 -
Bµi 6 / Cho hµm sè : y = x
(3)a) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M thuộc đồ thị tới tiệm cậ số không đổi không phụ thuộc vào điểm M
b) Tìm đồ thị tất điểm có toạ ngun ớng dẫn đáp sốH :
¿
a=x 4+
15
16 ; x =
4 TÝch k/c = 43
16√17 ¿b¿ 16y = 4x + 15 + 17
4x - Điểm nguyên nhÊt A(1 ; 2) ¿
Bµi 7 / Cho hµm sè :
y =
√1 - 2x -
x nÕu < x ≤ ax + b nÕu x ≤
¿{ Tìm a , b để hàm số có đạo hàm ( - ∞ ;
2 ] Tìm đạo hàm ớng dẫn đáp sốH :
* §K cần : hs liên tục b = -
* ĐK đủ : lấy đạo hàm phía → a = -
Đạo hµm :
y' =
√1 - 2x+ x - x2
√1−2x nÕu < x ≤ -
2 nÕu x ≤
¿{
Bài 8 / Tìm đạo hàm cấp n hàm số : y = x -
x2 - x - + sinx cos2x ớng dẫn đáp sốH :
* y =
x + -
x - + sin3x - sinx x + 1¿n +
¿
x - 2¿n +
¿
¿ ¿
-1¿n n! ¿
* y(n)=¿
Bµi 9 / Cho hµm sè y = 2sinx + cosx -
sinx + cosx - Tìm tập giá trị hàm số a) Trên miền xác định
b) Trªn miỊn x [/3 ; ]
ớng dẫn đáp sốH :
a) §a vỊ ®iỊu kiƯn cã nghiƯm cđa pt b1 víi sin vµ cos → y b) * XÐt x = → y = 4/3
(4)
f(t)= 4t
- 4t +
3t2 - 2t + víi t ∈¿ 3t2 - 2t +
¿2 ¿ ¿ ¿
f ' (t)= 4t( t - 1)¿
C¶ trờng hợp miền giá trị ≤ y ≤4
3
Bài 10 / Không dùng bảng số máy tính tính gần sin310 với chữ
số sau dấu phẩy
H ớng dẫn đáp số :
sin310= sin (π
6+ π
180) ≈ sin π 6+( cos
π 6)
π 180 =
1 2+
√3
π 180 3,141 1,732
360 = 0,0151 .<
√3
π 180 <
3,142 1,733
360 = 0,0151 nên có kết : sin310≈ 0,5151
Bµi 11 / Cho hµm sè y = x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m2 - 3m)x + 2m3 - 3m2 +
Tìm tất giá trị m để hàm số có cực trị Viết phơng trình đ-ờng thẳng qua điểm cực trị
H ớng dẫn đáp số :
* y' ph¶i cã > ⇔ m2 - m - < → kÕt qu¶
* ĐT qua điểm cực trị : (d) y = ( 2m2 + 2m - 2)x + - m Bµi 12 / Cho hµm sè y = 2x
2 - (m + 2)x + m+ 4m +2
x -
Tìm tất giá trị m để hàm số có cực trị Viết phơng trình đ-ờng thẳng qua điểm cực trị
H ớng dẫn đáp số :
* y = 2x - m + m
2+ 3m +
x - ; y' Ph¶i cã > ⇔ < m <
-1
* §T qua điểm cực trị : (d) y = 4x - m - /.
Bài 13 / Cho đờng cong (c) có phơng trình : y = 2x
- 3x + x -
a) Cmr (c) có tâm đối xứng
b) Tìm đồ thị điểm đối xứng với qua điểm A( ; 5) c) Viết phong trình đờng cong (c1) ; (c2) ; (c3) lần lợt đối xứng với (c) * qua A( ; )
* qua đờng thẳng y = * qua đờng thẳng x =
H ớng dẫn đáp số :
a ) Tâm đối xứng I( ; 5)
b) ®iĨm M( ; 13 ) ; N ( ; - ) c) (c1) : y = 2x
2 - 11x + 18 x -
(c2) : y = 2x
2
- 7x + - x
(c3) : y = - 2x
2
- 5x +
(5)Bài 14 / Tìm tiệm cận đờng cong : y = x
2
+ x - + x√x2 - 2x -
x -
H ớng dẫn đáp số :
* Khi x → + ∞ có tiệm cận xiên ; y = 2x + * Khi x → - ∞ có tiệm cận ngang y = * Khơng có tiệm cận đứng
Bµi 15 / Chøng minh r»ng ∀ a , b , c , d phơng trình sau có nghiệm : a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx =
H ớng dẫn đáp số :
Cách : Dùng định lý Rol :
f(x)= a sinx + b
sin2x + c
sin3x + d
sin4x - cosx
cã f(0) = f(2) = -1 → kÕt qu¶ Cách : Dùng tính chất hàm số liên tục :
Đặt f(x) = a.cosx + b.cos2x + c.cos3x + d.cos4x + sinx
cã f(0) + f(/2) + f() + f(3/2) + 2.f(/4) + f(5/4) = →
∃ sè tr¸i dÊu → pt cã nghiƯm
Bµi 16 / Chøng minh r»ng nÕu a , b , c , d số phân biệt tuỳ ý phơng trình sau có nghiệm phân biệt :
x - a +
1 x - b +
x - c +
x - d = H ớng dẫn đáp số :
Gi¶ sư a < b < c < d XÐt hµm sè F(x) = (x-a) (x-b) (x-c) (x-d)
F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = LaGơRăng pt F '(x) = có nghiệm
Bài 17 / Tìm giá trị Max , hàm số sau miền t¬ng øng a) y = x.ex - 1 trªn [ - ; ]
b) y = sin4x - cos4x + sinx.cosx trªn [/4 ; /3]
c) y = x3 + x2 - 2x + x - trªn miỊn [- ; ]
d) y = ❑
√ + sinx +√ + cosx trªn R e) y = 1 + 2sinx + 1 + 2cosx trªn R
H ớng dẫn đáp số :
a) y ' = ( x + 1).ex - → tËp ®iĨm tíi h¹n
→ max =
e ; = - e2
b) C¸ch 1: Đặt tgx = t y = f(t) = + t -
t2 +
f '(t) =
t2+ 1¿2 ¿
- t
+ 4t +
¿
> ∀ t [ ; √3 ]
→ = f(1) =
2 ; max = f( √3 )
2 +√3
Cách : dạng y = √5
2 sin(2x - )
→ y ' = > → kÕt qu¶ c) = - ; max = 32
d) y2 = f(t) = =2 + t +
2 t + 1 fá gttđ
→ = f(- 1) =1 ; max = f ( √2 ) = + 2 √2 ý :có thể dùng bunhiacốp xki cô si để → kết e) y2 = f(t) = + 4t + 2.2t2 + 2t - 1
(6)Tập điểm tới hạn { ± √2 ; ; - ±√3 }
* ymin = √3−1 đạt đợc ⇔ t = - −√3
⇔ x = ?
* ymax = 2( √2 + 1) đạt đợc ⇔ t = √2 ⇔ x = ? Bài 18 / Tìm m để bpt sau thoả mãn ∀ x [-2 ; 3]
x3 + 2x + x2 - m
H ớng dẫn đáp số :
HD : bpt ⇔ x2 - m - x3 - 2x
* Nếu VP < (1)
→ chØ cần xét miền có VP 0
* đa dạng
m ≤ f(x) ∀x ∈ D
¿
m ≥ g(x) ∀ x ∈ D '
¿ ¿ ¿ ¿
* §S : m 19 ; m - 11
Bài 19 / Tìm điểm uốn đờng cong sau chứng minh điểm uốn thẳng hàng :
y = x
- x +6 x2 -4x +
H ớng dẫn đáp số :
* y ' = *y " =
* Điểm uốn A( ; 0) ; B(- √3 ; +√3
) ; C( √3 ;
3 −√3 )
* XÐt vÐc t¬ ⃗ab ; ⃗ac → cïng ph¬ng → điểm thẳng hàng
Bài 20 / Tìm max , cđa biĨu thøc S = x2 + y2 biÕt chóng tho¶ m·n hƯ
¿
3x - 2y + ≤ x - 2y + ≥ x + 2y + ≥
¿{ {
¿
H ớng dẫn đáp số :
Hd : XÐt miÒn phẳng miền tam giác ABC víi A( - ; 1) ; B( ; 3) ; C( - ; 0)
→ = OH ( Đờng cao OBC hạ từ O) = √13
13
max = OA = √17
Bài 21 / Cho số x , y , z , t thay đổi nhng thoả mãn thoả mãn : x2 + y2 ( z - 3)2 + ( t + 4)2
T×m max , cđa biĨu thøc S = (x - z)2 + ( y - t)2
H ớng dẫn đáp số :
HD : khoảng cách hình tròn hình tròn tâm O(0;0) bán kính R1 =
hình tròn tâm I ( ; - 4) b¸n kÝnh R2 =
(7)→ Max = - ( + 1) = ; = + ( + 1) =
Bài 22 / Trong nghiệm (x ; y) tho¶ m·n bpt : log x2 + y2
( x + y) ≥ T×m nghiệm có
a) Giá trị y lớn
b) BiĨu thøc S = x + 2y lín nhÊt
H ớng dẫn đáp số :
HD : Dïng miỊn trªn mf
a) ⇔ Điểm có tung độ " cao " ⇔ M(
; 1+√2
)
b) ⇔ đờng thẳng (d) : x + 2y - S = tiếp xúc với đờng tròn → Smax = +√10
đạt đợc ⇔ N(
5 +√10 ; + 2√10
)
Bài 23 / Tìm m để hàm số sau ↑ (1 ; + ∞ ) : y = x
2
- 2mx + m +
x - m
H ớng dẫn đáp số :
HD :
x - m ¿2
¿ ¿
y ' = x
- 2mx + 2m2 - m -
¿
và xác định ∀ x > → x = m (1 ; + ∞ )
ttb2 ë tö sè cã ' hc cã nghiƯm tho¶ m·n x1 < x2
1
→ kÕt qu¶ m (- ∞ ; 1] [ −√17
; )
Bài 24 / Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoàmh độ lập thành cấp số cộng
y = x4 - 2( m + 1)x2 + 2m +
H ớng dẫn đáp số :
HD : Pt trung gian phải có nghiệm dơng thoả mÃn t1 = 9t2
→ đk cần có nghiệm t2 = m+1
thay vµo pt → 9m2 - 32m - 16 = → m = ; m = −4
Thử lại → trờng hợp thoả mãn → ĐS : m = ; m = −4
Bài 25 / Tìm điểm cực trị giá trị cực trị hàm số y = 3 sinx + cosx + 2x +
H ớng dẫn đáp số :
ĐS : ( dấu hiệu 2) họ cực đại ( π
+ 2k ;
3 + 2√3
+
(8)Hä cùc tiÓu ( 7π
+ 2k ;
3 − 2√3
+
(12k +7)π )
Bµi 26 / Tìm giới hạn sau : a) Lim
x→6
√ x - -
x - b) x Lim→
√ x + -
√ x + - c) Lim
x → ±∞(√ x
2+ 3x + - x )
d) Limx →
xcosx + x 2sinx cos2 x
e) Lim
x → x2
sin3x - sinx f) Limx → ∞(
x x + )
x
g) Lim
x → ( + sinx )
x
h) Lim x →
(xsin1 x ) H ớng dẫn đáp số :
a) 1/4 b) 4/3
c) x → - ∞ gh = + ∞ ; x → + ∞ gh = 3/2 d) e) f) 1/e
g) e h) .
Bài 27 / Xét tính liên tục khả vi hàm số sau
¿
x cos1
x nÕu x ≠ nÕu x =
¿ f(x)={ ¿
H ớng dẫn đáp số :
HD : Dïng b®t - x x cos1
x x gíi h¹n kĐp
- → liªn tơc trªn R
- Khả vi R* cã f '(x) = . - T¹i x = cã Lim
Δx→0 Δy
Δx = =ΔxLim→0 (cos
x) không tồn
( ? ) không khả vi
Bµi 28 / Cho hµm sè :
¿ √ - x -
x nÕu x < ax + b nÕu x ≥
¿ f(x)={
¿
a) Tìm a , b để hàm số liên tục x = b) Tìm a , b để hàm số có đạo hàm x =
H ớng dẫn đáp số :
§S : a ) b = -1/2 ; a tuú ý b) a = b = - 1/2
Bài 29 / Tìm đạo hàm hàm số f(x) = x - ln( + x) H ớng dẫn đáp số :
§S : f '(x) = x
+|x| ∀ x R
Bµi 30 / CMR ∀ x ( ; π
) ta có :
cosx
sin2x.
(cosx - sinx) >
(9)HD : §Ỉt tgx = t → cm f(t) = 8t3 - 7t2 + > ∀ t ( ; 1)
Dùng đạo hàm → f(t) có = f(7/12) > → đfcm
Bài 31 / CM bất đẳng thức sau : a) x -
x lnx x - víi mäi x > b) NÕu cã < π
n số nguyên dơng ta có : sinn - sinn ≥sinn + 1α - sinn + 1β
H ớng dẫn đáp số :
HD :a) Dùng đạo hàm
b) XÐt hµm sè f(t) = 2tn - tn + 1 ( ; 1]
dùng đạo hàm → f(t) ↑ có sin sin → kết
Bµi 32 / Cho hµm sè y = x
+ 3x +
x2 - x + (1)
a) Lập bảng biến thiên hàm số (1) , từ biện luận theo m số giao điểm đồ thị hàm số (1) đờng thẳng (d) có pt : y = m
b) Gọi A B giao điểm đồ thị nói M trung điểm AB Tìm quĩ tích M m thay đổi
H ớng dẫn đáp số :
a) Khi x → ± ∞ y ; CĐ( ;5 ) ; CT( -1 ; -1/3 )
* m (- ∞ ; - 1/3) {1} ( ; + ∞ ) → v« nghiƯm * m = - 1/3 ; ; → nghiÖm nhÊt
* m ( - 1/3 ; )\{1} → nghiƯm ph©n biƯt
b) Toạ độ giao điểm
M
x = m + m - y = m
¿{
( - 1/3 < m < vµ m ≠ ) → y =x + x -
Víi ®iỊu kiƯn - 1/3 < y < ; y ( hc chun ®k cho x lµ x> 2)
Bài 33 / Gọi (C) đồ thị hàm số y = x +4
x M điểm mặt phẳng toạ độ cho từ M kẻ đợc tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vng góc với Chứng minh M thay đổi đờng tròn
H ớng dẫn đáp số :
Gi¶ sư M(a ; b) → c¸c tt qua M cã pt d¹ng y = k(x- a) + b (d)
§T (d) tx víi (C) → hƯ sau tho¶ m·n :
¿
x +4
x= k(x - a)+ b (1) -
x2= k (2)
¿{
¿
(2) vào (1) đặt 2/x = t → pt at2 - 4t + b - a = (*)
V× cã tt qua M có giá trị k1 ; k2 tõ hÖ cho tÝch = -
→ pt (*) ph¶i cã nghiƯm tho¶ m·n (1 - t12).(1 - t22) = - 1
(10)→ M đừơng trịn tâm O(0 ; 0) bán kính R =
chủ đề ii : nguyên hàm - tích phân ứng dụng
( Dù kiÕn tiÕt : 96 , 97 , 98 , 99 , 100 , 101 )
A Các kiến thức cần nhớ :
Định nghĩa , tính chất bảng nguyên hàm
Định nghĩa tích phân công thức Niu Tơn - Laibơnít Các tính chát tích phân
Hai phơng pháp tính tích phân : Đổi biến số phần Diện tích S hình thang Thể tích vật thể tròn xoay
B Các dạng toán cÇn lun tËp :
Tìm nguyên hàm nói chung tìm nguyên hàm thỏa m·n ®iỊu kiƯn cho tríc
Tính tích phân Các ứng dụng tích phân : tính diện tích hình phẳng (giới hạn đồ thị học) ; Tính thể tích vật thể trịn xoay theo cơng thức
C Một số tập vận dụng 1/ Tìm nguyên hàm sau :
a / e3x.x2dx (§S = e3x(x -
2x +
2 9)+ C ) b/ ∫x3ln4x dx (§S = x4(ln4x
4 -
16 ) + C ) c/ ∫exsin2x dx (§S = ex
(2sin2x - cos2x)/5 + C ) Tæng quát eaxsinbx dx (ĐS = e
ax
a2+ b2(b sinbx - a cosbx) + C ) ∫eaxcosbx dx (§S = eax
a2+ b2(a sinbx + b cosbx) + C )
d¿∫ (x
3
- x)dx
x6
+4x4+4x2+
Cách : chia tử số mẫu số cho x2 đặt x + 1/x = t →
I = ∫dt
t(t2+1) =∫(
1
t - t
t2+1)dt → kÕt qu¶ - Ph¶i chó ý x =
Cách : Đặt x2 = t → I =
2∫( t+1 -
2t+3
t2+ 3t + 1).dt = ln(x2 + 1) - ln(x4 + 3x2 + 1) + C
1- x¿2 ¿
ln 1+x 1− x dx
¿
1
¿
c¿ ∫¿
HD : Đặt t =1+x
1-x ta có
I =∫lnt dt =1+x 1-x ln
1+x 1-x -
1+x 1-x +C
(11)
x2+ ¿3 ¿ ¿
dx
¿
a¿∫
0
¿
HD : Đặt x = tg t kết : π +8 32
b/ ∫
π
2
2sinx + 3cosx 2cosx + 3sinx dx HD : I = ∫
0
π
2
(139 + 13
3cosx - sinx
2cosx + 3sinx ) dx = ln
3
2+26❑
c / ∫
3 - 2x -x2 dx HD : Đặt x = sint - → §S : I = 2π d/ ∫
π
2 sin2x
+ sin4x dx
HD : Đặt sin2x = t = tg2u → §S : /4
e/ ∫
π
|cosx|.√sinx dx HD : Tách cận + đặt sinx = t → ĐS : 4/3 3) Dạng BT cho (p) : y = ax2 + bx + c điểm M, N (p) cho
MN= m (const) Xác định vị trí M, N cho diện tích chắn MN (p) đạt max
- Giải với tập cụ thÓ
y=x2 - 2x + ; MN=2 ⇒ M( 0, 2) , N( 2, 2) - Khi MN // 0x
4) Chøng minh b®t sau : ∫
√3
e- x sinx x2+ dx<
π 12e HD : txđ < sinx ; < e-x 1/e
→ ∫
√3
e- x sinx
x2+ dx ≤ ∫1
√3
1
e(x2+ 1) dx =
π
12e đpcm
5) a/ Tìm S hình phẳng giới hạn x a2+
y2
b2= ( §S : ab ) b/ V vËt thĨ giíi h¹n bëi x
2 a2+
y2 b2+
z2
c2= ( §S :
3 abc ) 6) Cho (p) : y= x2 vµ (d) : y = -2x-
a/ Chøng minh (d) không cắt (p) tìm (p) điểm M cho khoảng cách từ M tới (d) lµ sè bÐ nhÊt
b/ Gọi A ; B điểm thay đổi (p) cho AB // Tính S S
ΔMAB
( S diƯn tÝch giíi hạn P (d) )
HD : a/ Tiếp tuyến M phải // (d) → M(-1 ; ) - tìm trực tiếp theo tọa độ M (m ; -2m - 3)
b/ giả sử pt đt AB lµ y = -2x + m
→ tọa độ A ; B thỏa mãn pt x2 + 2x - m =
TÝnh trùc tiÕp → S = (xB - xA )(2m + 2) ; S = (xB - xA )(m +1) /3 §S : 4/3
7) Tìm diện tích hình phẳng giới h¹n bëi : x2 = 2ay ; y=8a3
x2
(12)HD : S =∫
-2a 2a
(3a x23+ 4a2 -
x2
2a) dx §S : 2a2( - 2/3)
8) Cho y= sinx ; y=0 ; x= ; x= π
2 TÝnh thÓ tÝch khèi tx (H) quay xq trôc 0x ; ; 0y đt có pt : y = -1
§S :
sin2x dx =
¿ π
2 Vox =π∫
0
π
2
¿
VΔ=π
4(3π+8 )- π2
2
Voy= Vtrô- π∫
x2dy ( Đặt y= sint)
= - π∫0
π
2
t2 dsint =π
3 - (
π3
4 - 2π)= 2π
Chủ đề iii : Giải tích tổ hợp
(Dù kiÕn : tiÕt - 102 , 103 , 104 , 105 ,106 ) A C¸c kiến thức cần nhớ :
Qui tắc cộng , qui tắc nhân , khái niệm công thức tính hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp
B Các dạng toán cần luyện tập :
1- Các toán giải phơng trình , bất phơng trình có ẩn số cần tìm liên quan công thức tính số hoán vị , số chỉnh hợp chập k n phÇn tư
2- Các tốn liên quan tới công thức khai triển nhị thức Newton : chứng minh đẳng thức , tính hệ số lũa thừa khai triển C Bài luyn k nng
1) Giải pt sau :
a/ C1x + C2x + C3x = 7x/2 (§S : )
b/ 11 C3x = 24 C2x +1 (§S : )
c/ Cx x ++ = A3x + (§S : )
d/ Ax - 2 + Cxx - = 111 (§S : )
2) Cho X = { ; ; ; } ; từ X lập đợc số khác mà số gồm chữ số X số xuất lần , số khác xuất lần
HD : Đặt thứ tự số ; ; vµ sè vµo vÞ trÝ →
cã
6.6 = 180 cách → có 180 số thỏa mãn đề 3) Khi khai triển biểu thức f(x)=(√x - 31
√x ) 20
t×m hƯ sè số hạng chứa x với số mũ : ; ; cao nhÊt
HD : Khai triÓn
-1¿20-k.x
5k-20 C20k ¿
f(x)=∑
k=0 20
(13)Sè h¹ng chøa x0 , x5 , xvíi sè mị cao nhÊt t¬ng øng víi k = ,
10 , 16 có hệ số tơng ứng C20 ,
C20 10 ,
C20 16
4) Khi khai triĨn Newton( 3x+ 2y)100 t×m sè h¹ng cã hƯ sè lín nhÊt
§S : C100 60
360240x60y40
5) Chøng minh r»ng C50.C74+ C51.C37+ + C54.C70= C124
HD : XÐt hƯ sè cđa x4 khai triÓn ë vÕ (1+x)12 =(1+x)5(1+x)7
6) Chøng minh r»ng :
1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + 97.98.99.100 = 97.98.99.100.101 / HD : k.(k+1)(k+2)(k+3) = 4! Ck+4 dùng công thức phát triển tổ hợp
7) Chứng minh đẳng thức sau a/ Cn
0
+ C1n+ Cn2+ .+ Cnn = 2n
b/ Cn
1 + 2Cn
2 + 3Cn
3
+ + nCn n
= n2n-1
c/ Cn2+ 2C3n+ 3Cn4+ .+(n- 1)Cnn =(n - 2)2n-1+
HD : t¸ch VTc/ = VTb/ - VTa/ +1
(¿n+1)
2n + -1¿/¿
(¿n+1) =¿
d/ Cn
0 + Cn
1
/2 + Cn
2
/3 + .+ Cn n
/¿
8) Trong líp häc sinh cã 20 nam vµ 20 nữ Có cách chia lớp thành tổ tổ gồm nam nữ
HD : - Để lập tổ 1,2,3,4 theo thứ tự lần lợt có : C205 C205 , C155 C155 ,
C10
.C10 ,
C5
.C5 .
Do không kể đến thứ tự tổ → có tích / 4! = (20!)2/ [4!.(5!)4]
9) Từ chữ số , , , , , tạo đợc số khác a/ gồm chữ số khác số số phải đứng cạnh b/ chia hết cho gồm chữ số khác
c/ gồm chữ số khác chữ số hàng chục lớn
HD : a/ coi số 1, phần tử x → cần xếp phần tử , x , , , theo thứ tự - số khơng đứng đầu → có 4.4! cách , vị trí x có cách xếp số , → có tất 4! = 192 số thỏa mãn a/
b/ tËn cïng lµ → cã 48 sè , tËn cïng lµ cã 60 sè → §S : 108 sè
c/ trêng hỵp :
- có số : chọn số - có 10 cách ; vị trí hàng chục - cách ; hàng nghìn - cách ; hàng trăm - cách ; hàng đơn vị - cách
→ cã 40 sè
- kh«ng cã sè : chän sè - c¸ch ; số hàng chục - cách ; vị trí lại có 3! = cách cã 30 sè
§S : 70 sè
10) Tõ c¸c sè , , , , , , , , , ta cã lËp đ ợc số gồm chữ số khác Tính tổng tất số
HD : - cã 6.7.8.9 sè