Chøng tá r»ng tÝch AC.BD chØ phô thuéc vµo R, kh«ng phô thuéc vµo α..[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Thanh hoá năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30 tháng năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2 – 4x + m = (1) víi m lµ tham sè.
1 Giải phơng trình (1) m = Tìm m để phơng trình (1) có nghim Bi (1,5 im)
Giải hệ phơng trình:
2 + y = x + 2y =
x Bài (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm A(0; 1).
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A (0; 1) có hệ số góc k
2 Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt M N với k
3 Gọi hoành độ hai điểm M N lần lợt x1và x2 Chứng minh rằng: x1x2 =
-1, từ suy tam giác MON tam giác vuông Bài (3,5 điểm)
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (khác với điểm A) Từ điểm E, A B kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt tiếp tuyến kẻ từ điểm A B lần lợt C D Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh tứ
giác ACMO nội tiếp đợc đờng tròn
2 Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác BED, từ suy
DM CM
=
DE
CE
.3 Đặt
AOC = α
Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R vàα
Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vàoα
Bài (1,0 điểm)
Cho số thực x, y, z tho¶ m·n : y2 + yz + z2 = -
2
3x
2
.Tính giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = x + y + z
-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị số 1: Chữ kí giám thị số 1:
ỏp ỏn đề tuyển sinh vào 10 thpt hoá 2009-2010 Bài (1,5 im)
Cho phơng trình: x2 4x + m = (1) víi m lµ tham sè.
1 Khi m = ta có phơng trình: x2 – 4x + = 0.
Do + (-4) + = nªn theo hƯ thức Viet phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 =
2 Để phơng trình (1) cã nghiƯm th×
Δ 0.
'
Δ
'
= (-2)2 – 1.m = – mΔ 0
'
4 – m m 4 .§Ị thức
(2)Bài (1,5 điểm)
2 + y = 3y = y = 1
x + 2y = x + 2y = x = - 2y 2.1
x y x
x y
Bài (2,5 điểm)
1 Phng trỡnh ng thẳng (d) có hệ số góc k có dạng: y = kx + b
Vì đờng thẳng (d) qua điểm A(0;1) nên ta có : = k.0 + b b = Vậy phơng trình đờng thẳng (d) là: y = kx +
2 Phơng trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = kx + x2 – kx – =
Ta cã
Δ
= (-k)2 – 4.1.(-1) = k2 + > víi mäi kSuy đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt M N với k
3 Vì x1, x2 lần lợt toạ độ hai giao điểm M N đờng thẳng (d) parabol (P) nên
x1, x2 lµ hai nghiƯm phơng trình x2 kx = Theo hÖ thøc Viet ta cã x1x2 = -1
(*)
Phơng trình đờng thẳng (d1) qua hai điểm O(0;0) M(x1;y1) có dạng y = ax (a0) Vì
M(x1;y1) giao điểm đờng thẳng (d1): y = ax parabol (P): y = x2 nờn to im
M thoả mÃn phơng trình x2 = ax Suy x
12 = ax1 a = x1 VËy (d1): y = x1x (**)
Tơng tự ta có phơng trình đờng thẳng (d2) qua hai điểm O(0;0) N(x2;y2) (d2): y
= x2x (***)
Tõ (*), (**) (***) ta có (d1) (d2) (vì có tích hai hƯ sè gãc b»ng -1) Suy tam gi¸c
MON vuông O Bài (3,5 điểm)
1 Do AC, EM tiếp tuyến (O) nªn OAAC; OMEM
hay
OAC = CMO = 90
0
OAC + CMO = 180
0
Tứ giác ACMO có tổng hai góc đối 1800 nên nội tiếp đợc.
2
ΔAEC
ΔBED
cãE
chung
EAC = EBD = 90
(Ax, By tiếp tuyến (O)) SuyΔAEC
ΔBED
(gg)DE
AC CE
=
BD
mµ BD = DM ; AC = CM (t/c cña hai tiÕp tuyến căt điểm) nên ta có:
CM CE
=
DM CM
=
DM DE
DE
CE
.3 Trong tam giác vuông AOC ta cã: AC = OA.tg hay AC = Rtg
Mặt khác
OAC = OCM ; MOD = DOB
(t/c hai tiếp tuyến căt điểm)
AOM + MOB
COD =
= 90
2
BOD = AOC = α
.Trong tam giác vuông OBD ta có BD = OB cotg hay BD = Rcotg Suy AC.BD = Rtg Rcotg = R2 ( tg cotg = tg .
1
cotgα
=1) VËy AC.BD kh«ng phơ thc vµo , chØ phơ thc vµo RBài (1,0 điểm)
y
x
O M
D
C
B A
(3)Tõ y2 + yz + z2 = -
2
3x
2
suy y2 + 2yz + z2 = – 3x2 – y2 – z2Ta cã:A2 = (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= x2 + 2xy + 2xz + – y2 – z2 – 3x2
= – (x2 – 2xy + y2 ) – ( x2 – 2xz + z2 )
= – (x-y)2 – (x-z)2 ( Vì (x-y)2 (x-z)2 không âm với x, y, z)
DÊu "="x¶y x - y = x- z = tøc lµ x=y=z
Do (x+y+z)2 Suy
- x+y+z
2
hay- A
2
.MinA = -