Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đề thi tuyển sinh năm 2007 2008 Bµi : Cho biĨu thøc P = (1+
√x −2).(√x −
x+2√x+4
√x+3 ) víi x vµ x
1/ Rút gọn P 2/ Tìm x để P >
Bµi : Cho phơng trình x2 2(m + 1)x + m – = (1), (m lµ tham số).
1/ Giải phơng trình (1) với m = -5
2/ Chứng minh phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 víi mäi m
3/ Tìm m để |x1− x2| đạt GTNN (x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) nói phần
2/)
Bài : Cho (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O), (E, F hai tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB; điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF vơi đờng thẳng OM OH 1/ Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn
2/ Chøng minh: OH.OI = OK.OM
3/ Chøng minh IA, IB lµ c¸c tiÕp tun cđa (O)
Bài : Tìm tất cặp số (x; y) thoả mãn : x2 + 2y2 + 2xy – 5x – 5y = -6 x +
y số nguyên
Híng dÉn
Bµi 1: 1/ P = √x −4
√x −2 2/ P = x <
Bµi 2:1/ Khi m = -5, ta cã pt x2 + 8x - = ⇒ x
1 = 1, x2 = -9
2/ Cã Δ' = [-(m + 1)]2 – 1.(m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = (m + )2
+ 19
4 >0
⇒ PT lu«n cã no p/b víi mäi m
3/ No cđa pt lµ x1 = m + √m2+m+5 , x2 = m - √m2+m+5 |x1− x2|=|m+√m
2
+m+5−m+√m2+m+5| = |2√m2+m+5| = √m2+m+5
Cã m2 + m + = (m + )2 +
19
19
4 ⇒ √m2+m+5 √ 19 ⇒ √m2
+m+5 √19
VËy GTNN cña |x1− x2| lµ √19 m = -1
Bµi 3:
K O
A M
I
B E
F H
1/ điểm M, E, O, H, F nằm đờng trịn đờng kính MO
2/ Δ OHM ~ Δ OKI (g.g) ⇒ OHOK=OM
OI ⇒ OH.OI = OM.OK
3/ Cã Δ MEO ~ Δ EKO (g.g) ⇒ MOOE =OE
OK MO.OK = OE2
Mà OE = OA nên MO.OK = OA2 ⇒ MO
OA = OA
OK ⇒ Δ MOA ~ Δ AOK (c.g.c)
(2)⇒ Tứ giác IAKO nt (tứ giác có đỉnh liên tiếp …)
⇒ ∠ OAI = ∠ OKI = 900 (2 gãc nt cïng ch¾n cung OI cđa (IAKO))
⇒ OA IA ⇒ IA lµ tt cđa (O)
L¹i cã ∠ OAI = ∠ OBI = 900 ⇒ IB lµ tt cđa (O).
Bµi 4: x2 + 2y2 + 2xy – 5x – 5y = -6 (1)
Cách 1: Đặt x + y = t (t Z) ⇒ y = t – x ⇒ y2 = t2 – 2xt + x2 ta đợc pt :
x2 +2(t2 – 2tx + x2) +2x(t – x) – 5x – 5(t – x) + = 0.
⇔ x2 +2t2 – 4tx + 2x2 + 2xt – 2x2 – 5x – 5t + 5x + = 0 ⇔ x2- 2xt + 2t2 – 5t + = (*)
Cã Δ' = (-t)2 -1.(2t2 – 5t + 6) = t2 – 2t2 + 5t – = -t2 + 5t –
Để (1) có no (x; y) (*) cã no x
§Ĩ (*) cã no x th× Δ' hay -t2 + 5t – ⇔ t2 - 5t + ⇔ (t - 3)(t - 2)
⇔ t
⇒ pt (*) cã no x1, = t t2+5t 6
Mà t Z nên t {3; 2}
- Víi t = th× x = ⇒ y = - Víi t = th× x = ⇒ y =
VËy víi (x = 3; y = 0), (x = 2; y = 0) th× x2 + 2y2 + 2xy – 5x – 5y = -6 vµ x + y số
nguyên
Cách 2: x2 + 2y2 + 2xy – 5x – 5y = -6 ⇔ (x + y)2 – 5(x + y) + + y2 = 0, ⇔ (x + y – 3)(x + y – 2) + y2 = 0.
- NÕu y = th×
x −3=0
¿
x −2=0
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=3
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿ - Nếu y y2 0, đó :
(x + y – 3)(x + y – 2) + y2 = ⇔ (x + y – 3)(x + y – 2) < 0
⇔
¿x+y −3<0
x+y −2>0
¿ ¿ ¿
x+y −3>0
¿
x+y −2<0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔
¿x+y<3
x+y>2
¿ ¿ ¿
x+y>3
¿
x+y<2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔
2<x+y<3
¿
V «lÝ
¿ ¿ ¿ ¿
Vì x + y Z nên khơng có số ngun thoả mãn lớn nhỏ Do khơng có cặp số (x; y) thoả mãn < x + y <
VËy víi (x = 2; y = 0), (x = 3; y = 0) th× x2 + 2y2 + 2xy – 5x – 5y = -6 vµ x + y lµ sè
nguyªn