đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp Thời gian làm 150 phút Phòng GD-ĐT nghi léc kú thi häc sinh giái 2008 Bµi 1: Chøng minh r»ng A = 10 +2 lµ số tự nhiên Bài 2: Cho M = , 25+ √ −2 √ + √ 20 ; N= 5+ HÃy so sánh M N Bài 3: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a) xy +x - 2y = b) x2 – 2y2 = Bµi : Cho a; b; c số dơng thoả mÃn điều kiện a+b+c = 2008 Tính giá trị bé biểu thức Q=(1+ 2008 )(1+ 2008 )(1+ 2008 ) a b c Bài 5: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB , nửa mặt phẳng có bờ AB phía nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax; By C D Gọi E giao điểm AM By ; F giao điểm BM với Ax a) Chứng minh rằng: AB2 = BE AF b) Tìm giá trị bÐ nhÊt cđa diƯn tÝch tø gi¸c CDEF M chạy nửa đờng tròn đà cho c) Chứng minh tr»ng : EF , CD, AB ®ång quy M điểm cung AB Hớng dẫn chấm toán lớp Bài 1: 2008 2008 A = 10 +2 =10 +8 9 NhËn xÐt : 102008 có tổng chữ số => 102008 + có tổng chữ số => §PCM Bµi 2: M =√ , 25+ √ −2 √6 + √ 20=√ , 25+ √ −2 √ 5+ √ 5+1 √5+1 ¿2 = ¿ ¿ ¿ 8− √¿ , 25+ √ ¿ √¿ √ −1 ¿2 = = Bµi 3: ¿ = √ ,25+ √ − ¿ , 25+ √ ¿ √¿ =√ 5+ √ ,25+ √5= 21+44 √ = √ 20+2 2.2 √ 5+1 = √ 5+1 2 √ ,25+ √6 − √5 => M = N a) xy +x - 2y = => Hc Hc b) = √ x(y+1) – 2(y+1) = ¿ ¿ y+ 1=5 y=4 x − 2=1 x=3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ y +1=1 y=0 x − 2=5 x =7 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Hc Hc (y+1)(x-2) =5 ¿ y+ 1=−5 x − 2=−1 ¿{ ¿ ¿ y +1=−1 x − 2=−5 ¿{ ¿ ¿ y=− x=1 ¿{ ¿ ¿ y=− x=− ¿{ ¿ x2 – 2y2 = => x lỴ ®Ỉt x = 2k + (k Z) 4k2 + 4k + – = 2y2 2(k2 + k 1) = y2 => y chẵn đặt y = 2n (n Z) => 2(k2 + k – 1) = 4n2 k2 + k = 2n+1 k(k+1) = 2n+1 vế trái chẵn, vế phải lẻ => PT vô nghiệm Bài 4: 2008 a+ a+b+ c a+2 √ bc √ a √ bc √ bc = ≥ ≥ = a a a a √a 2008 b +a+b +c b+2 √ ac √b √ ac √ ac 1+ = ≥ ≥ = b b b b √b 2008 c +a+ b+c c +2 √ ab √ c √ ab √ ab 1+ = ≥ ≥ = c c c c √c 2 2008 2008 2008 64 √ a b c =>(1+ )(1+ )(1+ )≥ =64 a b c √ abc 1+ Dấu = xảy : a=b=c=2008/3 VËy Min Q = 64 Bµi 5: a) Kết luận đợc tam giác : ABF đồng dạng với tam gi¸c BEA AB2 = BE.AF b) E F D M C J A O B