CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC (NHIỀU TÁC GIẢ).. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.. cos sin.[r]

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC (NHIỀU TÁC GIẢ)

Vấn đề : Hệ Thức Lượng Cơ Bản Kiến thức bản

2

cos asin a1

sin cos

tan ;cot

cos sin

a a

a a

a a

 

Hệ :

1 tan

cot

tan cot

1 cot

tan

a

a a a

a

a



 

   

 

 

Hệ :

2

2

1 tan

cos

a

a

 

2

1 cot

sin

a

a

 

B TỐN

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG

1) a.Tính sina , tana, cota biết cosa =

4

5 0 a 900  

2) b.Tính cosa, tana, cota biết

12 sin

13

a

3

a 

  

3) c.Tính cosa, sina, cota biết tana 2 900 a0

4) d.Tính sina, cosa, tana biết cota3và 1800a2700

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN

5) a.tính

cot tan

tan 3cot

a a

E

a a

 

 biết

3 sin

5

a

và 900a1800

6) b.Tính

sin 3cos

cos 2sin

a a

F

a a

 

 biết tana3

7) c.Tính

2

2

2 cos sin cos sin

sin 3cos

a a a a

G

a a

 



  biết cota2

8) d.Tính

2sin 3cos

sin cos

a a

B

a a

 

 biết tana2

9) e Tính

2

2

3 os 2sin

sin 3cos

c a a

P

a a

 



  biết tana3

10) tính

2

2

3sin 12sin cos cos

sin sin cos 2cos

a a a a

Q

a a a a

 



11) a.Tính sin cosa a, sina cosa , sin4acos4a biết sinacosa m

b.Tính tan2acot2a, tan3cot3a biết tanacota5 ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

12)  

2 2

1 sin cot cot

M   a a  a

13)

2

2cos

sin cos

a N

a a

 



14)

   

2

sin cot cos tan

P a  a  a  a 15)

2

1 2sin

sin cos

a A

a a

 



16)

1 sin sin

1 sin sin

a a

B

a a

 

 

 

17)

1 cot sin3 1 tan cos3

P  a a  a a

18)

2

2

sin 2cos

cot

a a

Q

a

 



19)

2

2

sin tan

cos cot

a a

E

a a

 



20)

sin cos 2

cot sin cos

a a

F

a a a

 

 

CHỨNG MINH CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

21)

sina cosa2 cos2a1 tan asin2a1 cot a

22) tan2a sin2atan sin2a 2a

23)

3

sin cos

1 sin cos

sin cos

 

 

 



  

24)

2

sin cos tan

1 2sin cos tan

  

  

 



 

25)

4 6 2

sin acos a sin a cos asin cosa a 26)

 4   6 

3 cos asin a  cos asin a 1

27)

sin cos

1 cos sin sin

a a

a a a



 



28)

1 os cos

2cot

1 cos os

c a a

a a a c a



   

     

   

29) cot2a c os2a c ot os2a c 2a

CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG

PHỤ THUỘC VÀO X

30) a

 4   6 

3 cos sin cos sin

A x x  x x 31) b

3

os sin

sin cos

sin cos

c x x

P x x

x x



 



32) c

 8   6 

3 sin os cos 2sin 6sin

B x c x  x x  x 33) d

 4 2  2 8 

2 cos sin sin cos sin os

C x x a a  x c x

34)  

4

4 sin cos os4

D a a  c a 35)

 8 

8 cos sin os6 cos

E a a  c a a

VẤN ĐỀ : CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT (Cung

liên kết).

STT Hai cung Gọi haicung

1 a v a Đối

os( ) cos

c a  a

sin(a) sina

tan(a) t ana

cot(a)cota

2   a v a à Bù sin(  a) sin a

os( ) cos

c   a  a

3 a v aà



 



 

  Phụ

4 a v a Sai kém

5

2 a v a



 



 

 

Sai

2



Hệ : A , B , C góc tam giác

a Ta có : A + B + C = 

( ù)

A B   C b

 

sin A B sinC

 

os os

c A B c C

Chứng minh rằng:

36) tan10 tan 20 tan 70 tan 800 0 1

37)

0 0

os20 os40 os160 os180

c c c c 

38) tan 500tan 750 tan 2300tan 2550

39)cos200cos400 sin1100sin1300

40)sin 250sin 650 sin1550sin1150

41)

0 0

sin 75 sin 65 cos165 cos205 0

42)

0

0

sin168 sin192

cot12

sin 78





Tính giá trị biểu thức :

43)

0

0

0

sin( 234 ) os216

tan 36

sin144 os126

c A

c

 





44)

 0

0

0

cot 44 tan 226 os406

ot17 ot73 os316

c

B c c

c



 

45)C cot cot10 cot 80 cot 850 0

46)

0 0 0

cos10 cos 20 cos30 cos190 cos 200 cos 210

D     

47)

9 11

os os os 16

5 5 tan

3

os sin

10

c c c

E

c

  



 

 





Đơn giản biểu thức sau : 48)

   

sin os cot tan

2

F     c         

   

49)

  3

os sin tan cot

2 2

G c            

     

50)

     

cot os os 2sin

2

H    c    c     

VẤN ĐỀ : CÔNG THỨC CỘNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN

os( ) cos cos sin sin

c a b  a b a b

os( ) os cos sin sin

c a b c a b a b

sin(a b ) sin cos a b c a os sinb

sin(a b ) sin cos a b c a os sinb

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b a b

a b

  



tan tan

tan( )

1 tan tan

a b a b

a b

  



Hệ : Biến đổi biểu thức E a cosx b s inx

i Giả sử a2b2 0( a b khơng đồng thời triệt tiêu)

Ta có :

 

2

2 2

2 2

cos sin

cos sin

cos os sin sin

os( )

E a x b x

a b

a b x x

a b a b

a b x c x

a b c x

 



 

 

    

 

 

  

  

Áp dụng kết ta có :

cos sin os

4

a a c a 

 

cos sin os

4

a a c a

 

sin cos sin

4

a a a

 

sin cos sin

4

a a a  

 

Rút gọn biểu thức sau :

51) A c os54 os40c 0 cos36 os860c

52) Bsin 56 sin 40 0 sin 34 sin 860

53)

0

0

tan 64 tan176

1 tan 64 tan 356

C 



54)

0 0

sin( 17 ) os( 13 ) sin( 13 ) os( 17 )

D a c a  a c a

55)

2cos os

4

E   c  

   

56)

os( ) sin sin

sin( ) sin cos

c a b a b F

a b a b

  

 

57)

5

tan tan

2 12

5

1 tan tan

12 12

G

 

 

 

 

   

  

   

   



   

      

   

58)

2cos( )

tan

sin( ) sin( )

a b

H a

a b a b



 

  

59)

sin cos

sin cos

a a

K

a a

 



Chứng minh :

60)

cot cot

cot( )

cot cot

a b a b

b a

 

 

61)

tan(a b ) tan a tanbtan tan tan(a b a b )

62)

2sin( )

tan tan

os( ) os( )

a b

a b c a b c a b



 

  

63)

2 2

sin (a b ) sin a sin b2sin sin os(a b c a b )

64) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

65)

2

os ( ) os 2cos cos os( )

A c a x c x a x c a x

66)

2

os 2cos cos os( ) os ( )

B c x a x c a x c a x

67)

 6   4 

2 sin cos sin cos

C a a  a a

Các toán liên quan đến tam giác :

68) Chứng minh với tam giác ABC (khơng vng) ta có : 69)

t anA tan BtanCt anA.tan tanB C 70) Chứng minh với tam giác

71)

A A

t an tan tan tan tan t an

2 2 2

B B C C

  

72) Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

73) M t anA+ tanBtanC xác định

hình tính tam giác ABC trường hợp

74)

A A

1 t an tan tan tan tan t an

2 2 2

B B C C

F      

75) Cho tam giác ABC có góc nhọn

trực tâm H chia đường cao AA' theo

tỉ số ' ,( 0)

HA

m m

HA   .Tính

tan , tanB C theo m chứng minh :

2

tanA m

m

 

76) Cho tam giác ABC thỏa mãn :

2

tanA2 tanBtan A.tan B CMR tam giác ABC cân

Các toán liên quan khác

77) Cho x y hai số thay đổi nghiệm phương trình

2 1

x y  Tìm giá trị nhỏ

giá trị lớn phương trình

2

P x y 

78) Cho bốn số thay đổi a, b, x, y thỏa

mãna2b2 4 x2y2 3 CMR

: 3 ax  by2

79) Tìm giá trị lớn nhỏ

biểu thức y 2x5 biết x y hai

số thay đổi thỏa mãn :36x216y2 9

80) Cho hai số x y thay đổi cho

2

4x 25y 16 Tìm giá trị lớn

và nhỏ biểu thức :

3

P x y

VẤN ĐỀ : CÔNG THỨC NHÂN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

2

2

os sin

os2 os

1 2sin

c a a c a c a

a

 



 

  

2

2 tan tan

1 tan

a a

a

 

Hệ

Đặt tan2

a t

, ta có :

2 2

2 sin

1 cos

1 tan

1

t a

t t a

t t a

t

 

 

 



Công thức nhân 3

3

3

sin 3sin 4sin

os3 4cos 3cos

3tan tan

tan

1 3tan

a a a

c a a a

a a

a

a

 

 

 



81) Tính sin , os2 , tan 2a c a a biết

5

cos

13

a v  a 

82) Tính

4

tan ,cos

5

a a v  a

Tính giá trị biểu thức sau: 83) A sin24 osc 24 osc 12 osc

   



84) B sin12 osc 12 os osc c

   

85)C2cos 752 01

86) D 1 2sin 752

 os150 sin150  os150 sin150

E c  c 

87)

 os750 sin 750  os750 sin 750

F  c  c 

88)

2

tan tan

8

G

  



89)

2 0

1 cot 105 cot 75

H  

Chứng minh : 90)

3 sin

cos sin sin cos

4

a a a a a

91)

3

sin cos sin

1

sin cos

a a a

a a



  

92)

2

1 2sin

tan

os2 sin

a a

c a a



 



93)

cos sin cos sin

2 tan

cos sin cos sin

a a a a

a

a a a a

 

 

 

94)

2

1 sin

1 tan tan

cos cos os

a

a a

a a c a

   

    

   

   

95)

2

sin 2sin

tan

sin 2sin

a a a

a a



 

96)

2

1 sin 2sin

2

a a   

    

 

97)

0

sin 3a4sin sin(60a a).sin(60  a)

98)

0

os3 os os(60 ) os(60 )

c a c a c a c  a 99)

0

tan3atan tan(60a a).tan(60  a)

100) Cho tam giác cân có góc đỉnh

bằng 200, cạnh bên b cạnh

đáy băng a CMR a3b33ab2

Tính giá trị biểu thức sau : 101)

sin 2cos

a M

a



 tan2

a



102)

tan sin

tan cos

a a

N

a a

 

 nếu

2 tan

5

a

103)

2sin os2

tan cos

a c a P

a a

 

 nếu

1 tan

2

a



VẤN ĐỀ : BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

 

1

cos cos os( ) os( )

2

a b c a b c a b

 

1

sin sin os( ) os( )

2

a b c a b  c a b

 

1

sin os sin( ) sin( )

2

a c b a b  a b

 

1

os sin sin( ) sin( )

2

c a b a b  a b

Biến đổi biểu thức sau thành tổng : 104) sin(a b ).sin(a b )

105) sinx.sin2x.sin3x

106) cos cos cosa b c

Chứng minh đẳng thức sau: 107)

sin sin(a b c ) sin sin( b c a ) sin sin( c a b ) 0

108)

os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( )

c b c b c c c a c a 

109)

0

sin 2sin 15 os 15

2 2

a a

a   c   

   

110) Cho tam giác ABC có

2 2

ˆ ˆ ˆ

4 : os os os

4

A B C CMR c A c B c C

VẤN ĐỀ 6: BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

cos cos 2cos cos

2

a b a b a b  

cos cos 2sin sin

2

a b a b a b  

sin sin 2sin os

2

a b a b a b  c 

sin sin os sin

2

a b a b a b c  

Hệ :

cos sin os

4

a a c a 

 

cos sin os

4

a a c a

 

sin cos sin

4

a b a 

 

sin cos sin

4

a b a  

 

 

sin

tan tan

cos cos

a b a b

a b



 

 

sin

tan tan

cos cos

a b a b

a b



 

 

sin

cot cot

sin sin

a b a b

a b



 

 

sin

cot cot

sin sin

a b a b

a b



 

Biến đổi biểu thức sau dạng tích :

111) sin 700 sin 200 sin 500

112) cos440 cos220 os79c

113) sinxsin 2xsin 3x

114) cos x c os2x

Đơn giản biểu thức sau: 115)

sin( ) sin os( ) os

sin( ) sin os( ) os

a b a c a b c a A

a b a c a b c a

   

 

   

116)

1 cos os2

1 3sin cos

x c x B

x x

 



 

Chứng minh :

117) cos850cos350 cos250 0

118) cos1300cos1100 cos100 0

VẤN ĐỀ : CÁC BIẾN ĐỔI VỀ GÓC TRONG

TAM GIÁC

A, B , C góc tam giác , ta có : A B C  

A B   C(bù) A B   C

sin(A B ) sin C

os( ) os

c A B c C sin 2 os 2 A B C

c

 

tan cot

2

A B C



Bất đẳng thức côsi

Cho a ,b >0 ta ln có a b 2 a b hay

2

2

a b a b  

 

Tổng quát : a a1, , ,2 an 0 ta ln có a1a2 an n a a an .2 n

Bất đẳng thức BOUNHIACOSKY

a2b2 c2 d2 a c b d  2

hay      

2 2

a c b d  a b c d

Định lí hàm số sin

2

sin sin sin

a b c

Định lí hàm số cosin

2 2

2 2

2 cos cos

2

a b c bc A b c a A

bc

    

 

Cho tam giác ABC biến đổi biểu thức sau dạng tích :

119) sinAsinBsinC

120) sin 2Asin 2Bsin 2C

121) cot cot2 cot

A B C

 

A , B , C góc tam giác Chứng minh :

122)

cos cos cos 4sin sin sin

2 2

A B C

A B C 

123)

cos 2Acos 2Bcos 2C 1 4cos cos cosA B C 124)

2 2

os os os cos cos cos

c A c B c C   A B C 125)

2 2

sin Asin Bsin C 2 2cos cos cosA B C 126)

tanA+ tanBtanC t anA.tan tanB C

127)

tan cot cot cot cot tan

2 2 2

A B B C C A

  

128)

5 5

sin sin sin os os os

2 2

A B C

A B C c c c 129)

sin 6Asin 6Bsin 6C4sin sin sin 3A B C

130) Chứng tỏ tam giác ABC

có t anA tan 2cot

C B

 

tam giác ABC tam giác cân

131) Cho tam giác ABC , đặt

2 2

sin sin sin

T  A B C Chứng

minh tam giác ABC nhọn T 2.

132) Hãy nhận dạng tam giác ABC

biết : cos2A c os2B c os2C1.

133) Cho tam giác ABC có cạnh

và góc thỏa mãn hệ thức :

2

1 cos

sin 4

B a c

B a c

 



 Chứng minh

tam giác ABC cân

134) Số đo góc tam giác ABC

lập thành cấp số cộng thỏa mãn hệ thức :

3

sin sin sin

2

A B C 

Tính góc A, B , C

135) Chứng minh tam giác ABC

cân :

.cos cos sin sin

a B b A a A b B.

136) Chứng minh tam giác

ABC có :

.cos cos cos

.sin sin sin

a A b B c C p a B b C c A R

 



  (tron

g p nửa chu vi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) Thì tam giác ABC tam giác

137) Giả sử tam giác ABC thỏa mãn

điều kiện :

 

2 cosa A b cosB c cosC   a b c

Thì tam giác ABC tam giác

VẤN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CƠ BẢN

Loại : PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương trình

cosX cos

sinX sin 

t anX tan

cotX cot

  



Giải phương trình sau :

138)

1 sin

2

x

139) 2sinx

140)

3 cos

2

x

141)

3 sin

2

x

142)

3 cos

3

x 

 

 

 

 

143)

3 sin

3

x 

 

 

 

 

144)  

0

sin 50

2

x 

145) tanx

146)

3tan

3

x 

 

 

 

 

147)

3cot

3

x 

 

 

 

 

148)

2

tan

x

149) tan sinx x tanx0

150)

2

tan cot

cosx x x

  

151) 3sin 22 x7 cos 2x 0

152) 6cos2 x5sinx 0

153) cos 2x 5sinx 0

154) cos 2xcosx 1

155) 6sin 32 xcos12x14

156) 4sin4x12cos2x7

157) 2cos2 x 3cos 2x4

158) 5sin2x2cos 2x2

159) sin 2xsinx0

160) 5sinx c os2x 2

161) sin2 cos

x

x

 

162)

2

tan

4

x 

 

 

 

 

163) tanx 4cotx12

164)  

2

cot x cot x 0

165) 2sin2x 2cos2x 4sinx 2

166)  

2

1 2 cos

1 tan

x

x

  



167)

2

os os 3cos

2

c   x c x   x 

   

168) tanx 1 tan2 x

169) tanxtan 2x0

170) tanx cotx 1 3 0

171) 3tanx cotx 3 0

172)

2

2

2

sin 2

tan

sin 4cos

x

x

x x



 

173)

1

2 tan cot 2sin

sin

x x x

x

  

174)

 

tan cot

2

x  x

      

 

175) 3cos 2x4cos3x cos3x0

176) 4sinx 2cos 2 x2

177) tanxtan 2xsin cosx x

178)

 0  0 4cos2

tan 45 tan 45

tan cot

2

x

x x

x x

  



180) sin sin 7x xsin sin 5x x

181) sin sin 3x xsin sin 7x x

182)

cos os3x c x sin sin 6x x sin sin 6x x0

183)

sin sin 5x xsin sin 3x x sin sinx x0

184) sin 5xsin 3xsin 4x

185) sinxsin 2xsin 3x0

186) cosxcos 3x2cos5x0

187) cos2 x sin2xsin 3x c os4x

188)

cos 22x3cos18x3cos14x c os10x0

189)

23

os2 cos 2sin

2

x c x x

190) 8cos sin os4x x c x

191)

2 2

sin sin sin

2

x x x

192)

2 2

sin 3xsin 4xsin 5xsin 6x 193) sin 22 xsin 42 xsin 62 x

194)

2 2

os os os os

c x c x c x c x

195) sin6xcos6x4cos 22 x

196)

2

2 tan x3 tanx2cot x3cotx 2

197)

2

2 tan x 3tanx2cot x3cotx 0

Tính giá trị gần nghiệm phương trình sau:

198)

2 sin

6

x 

 

 

 

  khoảng

,

 

 



 

 

199)

2 os

2

x c 

khoảng

2 , 4 

200)

3

tan

5

x  

khoảng

7 , ,

2

 

 



 

 

201)

9 15

sin 3cos 2sin

2

x  x  x

   

    

   

   

trong đoạn x0, 2 202)

sin

cos

in

x

x

s x   khoảng

0, 

x 

203)

sin sin

os2 sin

1 os2

x x

c x x

c x



 



trong khoảng x0, 2

204)

1 cos cos

4sin cos

x x

x x

  



trong khoảng x0, 2

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH:

205)

 

cos 2x 4m1 sinx 2m0

206)

 

cos 2x 2m cosx m 1 0

207) Tìm tất giá trị m

để phương trình sau có nghiệm x0,

2m1 cos 2 x5cosx m  3

208) Tìm tất giá trị m để phương

trình sau có nghiệm

3 , 2

x  

 

 

cos 2x 2m1 cosx m  1

209) Tìm tất giá trị m để phương

trình sau có nghiệm

0, 12

x   

 

3

cos 4x c os x m sin x

LOẠI 2

2 2 2

cos sin

cos sin

a x b x c

a b c

x x

a b a b a b

 

  

  

2 2

2

os

cos os sin sin ,

sin

a c

c a b

x c x

b a b

a b



 

 

 

 

   

  

 



  2 2

os c

c x

a b



  

 (điều kiện để phương trình có nghiệm

Giải phương trình sau :

210) 4sinx 3cosx5

211) cosxsinx2

212)

6

sin cos

2

x x

213) cos3x sin 3x1

214) cos5xsin 5x1

215)

9

2 sin 3cos

2

x x

216) 3sin 2x2 cos 2x3

217) 2sin 2x3cos 2x 13 sin 4x

218) sin 4x cos 4x

219)    

0

os 15 sin 15

c x  x 

220) 2sinx cosx 85

221) sin 2x3cos 2x4

222)

 0  0

5cos 2x18 12sin 2x18 13

223)

5

2cos 3cos

6

x  x 

   

   

   

   

224) 2sin2x sin 2x3 225) 2sin 22 x sin 4x3 226)

 

sin 8x c os6x sin 6x c os8x

227)

3

8cos

sin cos

x

x x

 

228)

cos sin 2cos

3

x x   x

 

229)

3

2sin sin

4 x x

 

   

   

   

   

230)

3 cos sin 2sin 2

6

x x  x  

 

231)

5

12cos 5sin

12cos 5sin 14

x x

x x

   

 

232)

 

4sin 3cos tan

cos

x x x

x

   

233)

6

sin cos sin

2

x x x

234) Tìm giá trị  để phương

trình :

cos 3sin 3x2  3 osc  3sin 2x sin cos 3 0

        

có nghiệm x1

235) Tìm giá trị  để phương

trình :

2sin cos2 1x2  3 sinx 2 osc 2 3 3 sin  0

      

236)

2

sin 4x3sin os4x c x os 4c x0

trong khoảng

0,

x   

 

Giải biện luận phương trình theo tham số m :

237) Cho phương trình :

3 os3 sin

m c x x m .Chứng minh

rằng phương trình ln có nghiệm

238) Cho phương trình :

m os2c x2 sin cosm x x3m2

239) Tìm giá trị

3 ,

x   

 

thỏa mãn phương trình sau với m:

2sin sin2 2cos os2 cos sin

m x m x m x mc x x x

240) Tìm m để phương trình

có nghiệm :

 

sin cos

cos

m

m x m x

x

  

LOẠI

Phương trình chứa tổng tích sinx cosx :A(sinx+cosx) +Bsinxcosx+C=0 (1)

Đặt  

sin cos os ,

4

t x x c x   t 

 

2

2

1 2sin cos sin cos

2

t x x

t x x

  



 

Thay vào phương trình (1), ta có :

2 1

0

t

At B  C

Giải phương trình sau :

241) sin xcosx sin 2x 0 242) sinxcosx 4sin cosx x1 0

243) 2sin 2x 3 sin xcosx 8 244) sin xcosx3sin 2x2 245)

1 sin xcosx sin 2x 1 2 0

246) sin4x 3sin2x  cos2x 0  247) sin 2x cos x sinx 0 248) 5sin 2x12 sin x cosx12 0 249) 1 sin  x cosxsin 2x 250)

sin 2sin

4

x x  

 

251)

 3   

2 sin x c os x sin sinx xcosx 

252)

1 10

cos sin

cos sin

x x

x x

  

253)

 3   

4 sin x c os x  3sin 2x sinxcosx 0

254)

3

sin cos

sinxcosx  x x

255)

9

2cos 10cos

2

x  x 

   

    

   

   

256)

sin 2x c os2xsin 23 x c os 23 x 1

257)

  

3

3sin 2x 4sin 2x 2 sin 3x c os3x  0 

258) Cho phương trình :

   

sin 2x a2 sinxcosx 2a 3

a) Chứng minh phương

trình có nghiệm khoảng

0,

      

b) Xác định a để phương

trình có nghiệm khoảng

0,

      

c) Xác định a để phương

trình có nghiệm khoảng

0,

      

259) Cho phương trình :

 

2.sin 2x 2m sinxcosx 2m 1

Xác định m để phương trình có

nghiệm khoảng 0,

LOẠI :PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Cách :

Bước : kiểm tra cosx = có phải nghiệm phương trình hay khơng ?

Bước : chia hai vế phương trình cho cos (cos2x x0)

có ẩn số phụ t = tanx At2Bt E 0.

Dùng công thức :

2

1 os2

os

2

1 os2

sin

2

sin cos sin

2

c x c x

c x x

x x x

 

 



 

 

 

 



Để biến đổi phương trình dạng bậc sin2x cos2x (Acos2x + Bsin2x = C)

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU : 260) sin2x10sin cosx x21cos2 x0

261) sin2x 2sin cosx x 3cos2x0

262) 6sin2xsin cosx x cos2x2

263) sin 2x 2sin2x2cos 2x

264)

2

2sin 2x 3sin cos 2x xcos 2x2

265) cos2 x 3sin cosx x 1

266) cos2 x sin2x sin 2x1

267)

2

4 sin cos os 2sin

2

x x c x x

268)

1

4cos 6sin

sinx  x x

269) sin6x c os6x 3sin cosx x0

270) 3sin3x4 osc 3x3sinx

271)

       

2 0

3sin 180  x 2sin 90 x c os 90 x  5sin 270x 0

272)

 

2

2sin os sin

2 2

x  c  x x 

     

      

     

     

273)

   

4sin cos 4sin cos 2sin os

2

x x  x x    x c x 

   

274)

   

2

2sin sin sin

2

x  x  x

         

   

275)

 

2

3sin x 3 sin cosx x osc x0

276)

2 2

3sin os 3sin os sin os sin os

2 2 2 2 2

x x x x x x x x

c     c  c     c

   

277) Số đo góc

tam giác vng ABC nghiệm phương trình :

3

sin xsin sin 2x x osc x0 Chứng

minh tam giác ABC tam giác vuông

VẤN ĐỀ : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

278) Cho phương trình lượng giác :

 

os2 cos c x m x m  

279) Giải phương trình với

3

m

280) Tìm m để phương trình có nghiệm

3 , 2

x   

 

281) Cho phương trình lượng giác :

6

sin xcos xa sin 2x

Xác định a để phương trình có nghiệm

282) Cho phương trình :

 

2

3

3tan tan cot

sin x x m x x  

Với giá trị m phương trình có nghiệm

283) Cho phương trình :

   

sin x   sin 3x  a sinx

a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có

nghiệm x k k Z (  )

284) Cho phương trình :

1 sin x sin xkcosx a) Giải phương trình với k = b) Giải biện luận phương trình

trong trường hợp tổng quát

285) Cho phương trình :

1 tan2

cos

a x a

x

    

định a để phương trình có nhiều nghiệm khoảng

0,

      .

286) Tìm số dương a nhỏ thỏa mãn

điều kiện :

 

2

cos sin

2

a a a

 

  

   

 

 

 

 

VẤN ĐỀ 10 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

287) Giải phương trình :

2

4cos x3tan x cosx2 tanx 4

288) Giải phương trình :

 

2

os3 os sin

c x  c x   x

289) Giải phương trình :

2 2 sin 1 0

x  x xy  .

290) Giải phương trình :

cos4x c os2x2  5 sin 3x

291) Giải phương trình :

15 24

cos xsin x1.

292) Giải phương trình :

 

2

tan xtan ycot x y 1

293) Chứng minh phương trình sau

vơ nghiệm :

sinx 2sin 2x sin 3x2 2.

294) Giải phương trình :

 

2

sin sin sin

4

x y x y 

295) Giải phương trình :

2 2

sin sin sin sin

4

x x x x

296) Giải phương trình :

2

2

2

1 1

cos sin 12 sin

cos sin

x x y

x x

   

    

   

   

297) Giải phương trình :

1

cos cos3 1

cos cos3

x x

x  x 

VẤN ĐỀ 11 - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

298) Giải hệ phương trình :

tan cot 2sin

4

tan cot 2sin

4

x x y

y y x

 

  

    



  



 

   

 

  



299) Giải hệ phương trình :

1

sin cos sin cos

2

2sin sin

2

x x y y

x y



   

  

 

 

300) Giải hệ phương trình :

sin sin

cos cos

x y x y

  

 

 

 

301) Giải hệ phương trình :

2

sin cos cos

cos sin sin

x x y

x x y

 

 

 



302) Giải hệ phương trình :

sin sin

cos cos

x x m

x x m

 

 

 



303) Giải hệ m =

304) Xác định m để hệ phương trình có

nghiệm

305) Tìm m để hệ phương trình sau có

nghiệm :

1

sin sin

2

cos cos

x y

x y m



 

 

  



306) Giải hệ phương trình :

2 2

cos cos cos

cos cos cos

x y z

x y z

x y z 

  

 

  



    

307) Giải hệ phương trình :

sin cos

5sin cos

x y

y x

 

 

  



308) Giải hệ phương trình :

2

3

9sin 15sin sin 17 cos 11

5cos 3sin 8cos

x x x x

x x x

    

 

   

309) Tìm m để hệ phương trình

1

sin sin

2

os2 os2

x y

c x c y m



 

 

  

 có nghiệm.

310) Tìm m để hệ phương trình :

 

2 os2 os2 4cos

x y m

c x c y m

  

 

   



 có

nghiệm Tìm nghiệm

311) Giải biện luận phương trình:

 

sin cos

cos

m

m x m x

x

  

VẤN ĐỀ 12 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải bất phương trình lượng giác sau:

312)

sin sin

3

x  x

 

 

 

 

313) sinxsin 2x0

314) sinx cosx 2cos3



 

315) cos2x cosx0

316)

 sin 2  x cos 4x 1 0

317)

 

2cos sin

2

x

x    

318) cos 4x cos 2x 0

319) cos2x 3cosx 0

320) tanxcotx4

321) osc 4x cos2x 3

322) 3tan2 x1 0

323)

   

2

1

1 tan

cos 2x  x  

324)

2

1 tan

2 cos

4 tan

x

x x



 

325) tan 6xtan 3x0

326) Xác định 0  2 cho

phương trình sau có nghiệm :

 

2 2 2sin 1 2sin 1 0

x   x  

327) Tìm giá trị a để phương

trình sau vô nghiệm :

 

2 2sin 1 6sin2 sin 1 0 x  a x a a 

328) Giải bất phương trình :

sinxsin 3xsin 2x.

329) Giải bất phương trình :

3

os os3 sin sin

8

c xc x x x

330) Giải bất phương trình :

sin os2

0

sin os2

x c x x c x

 



 

331) Tìm tất giá trị m để bất

phương trình sau có nghiệm với x:

2

2

cos

0

1 cos

m x m m

m m x