DAP AN + DE BAI TAP LƯỢNG GIÁC 11

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Bài Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x    , x  0;14 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002  Lời bình: Từ việc xuất ba cung x,2x, 3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng cung Nhưng đưa cung x hay cung 2x ? Các bạn trả lời câu hỏi dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn ba cung x,2x, 3x , ta nên đưa cung trung gian 2x biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x) Còn khơng chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa cung x " Bài giải tham khảo   4 cos    x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x   cos x  N   cos2 x cos x  2     x   k ,  k     cos x  L 0,  k  3,9     3 5 7    Do x  0;14 , k      k  14    x    ; ; ;        k 2 2 2      Bài Giải phương trình: 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2x  sin x  Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo   2 cos x  12 sin x  cos x  sin x cos x  sin x  2 cos x  12 sin x  cos x   sin x 2 cos x  1   2 cos x  1 2 sin x  cos x   sin x    2 cos x  1sin x  cos x    2 cos x      sin x  cos x      x     k2 cos x  cos    k;l   3     tan x  1  x    l  Bài Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006  Lời bình: Từ việc xuất cung 3x 2x , nghĩ đến việc đưa chúng cung x công thức nhân ba công thức nhân đôi hàm cos Bài giải tham khảo   cos x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x  cos x      cos2 x 2 cos x  1  2 cos x  1   2 cos x  1 cos2 x    sin x   x  k    2 cos x  1 sin x     k; l    cos x    x   2  l2   Bài Giải phương trình: sin x  cos x   sin 2x  cos 2x   Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo   sin x  cos x   sin x cos x  cos x   sin x  cos x   cos x sin x  cos x    sin x  cos x 1  cos x    sin x   cos x  tan x  1  x     k       k; l    cos x    cos x  cos 2   l2   x   3  Bài Giải phương trình: sin x 1  cos 2x   sin 2x   cos x  Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008  Lời bình: Từ việc xuất cung 2x cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x cung x công thức nhân đôi hàm sin cos, từ xuất nhân tử chung hai vế   sin x 1  cos  x   sin x cos x   cos x  sin x cos2 x  sin x cos x   cos x  sin x cos x cos x  1  1  cos x      x   2  k2 cos x     cos x  1sin 2x  1    k, l   2    sin 2x    x   l  Bài Giải phương trình:  sin x  7   sin   x     3  sin x     Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 3 7  x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác cung chung x Để làm điều đó, ta dùng công thức cộng cung dùng câu thần "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta thực hai ý tưởng qua hai cách giải sau  Lời bình: Từ việc xuất hai cung x  Bài giải tham khảo Cách giải Sử dụng công thức cộng cung: sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b   sin x   7 7   sin cos x  sin x cos   4  3 3  sin cos x 2   1      sin x  cos x   sin x cos x   sin x  cos x   2 sin x  cos x sin x cos x sin x cos Điều kiện: sin x cos x   sin 2x     sin x  cos x   2 sin x cos x sin x  cos x    sin x  cos x   sin 2x    x     k   tan x  1  sin x  cos x           x    l k, l, m     1  sin 2x    sin 2x    5  x   m  Cách giải Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''         x  3   sin 2    x  cos x  sin          Ta có:     7          x  sin 2  x      sin x      sin x  cos x  sin     4             1   sin x  cos x   sin x  cos x Giải tương tự cách giải       cot x   cot   x      Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999 Bài Giải phương trình: sin4 x  cos4 x       x  giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:               cot x   cot   x  cot x   cot     x  cot x   tan x                  Cơng việc lại dùng công thức: sin x  cos x   sin2 2x Nếu cos khơng có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan cot  , qui đồng tốn sin trở nên phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện  Lời bình: Từ tổng hai cung x  Bài giải tham khảo      x     sin              sin x   sin   x   cos 2x     cos 2x    ĐK:          6       sin   x        6    21 sin 2x  1  k  sin2 2x    cos 4x   x   , k    12 sin 2x  cos4 2x Bài Giải phương trình:  cos4 4x     tan   x tan   x      Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997 Bài giải tham khảo        x  cos          1   cos   x cos   x   cos 2x  cos    cos 2x  ĐK:              cos   x         4               Ta có: tan   x tan   x  tan   x  tan     x  tan   x cot   x                  21 sin 4x  cos4 4x   1  cos2 4x  cos4 4x  cos4 x  cos2 4x      t   N         2t  t        t   L  cos2 4x   sin2 4x   sin 4x     t  cos 4x       t  cos 4x       k sin 2x  N  x , k     cos 2x  L     Lưu ý, ta thực biến đổi mẫu số công thức cộng theo tan sau   tan  tan x tan  tan x      tan x  tan x 4 tan   x.tan   x          tan x  tan x  4   tan tan x  tan tan x 4  3 x   3x  Bài Giải phương trình: sin     sin    1  10  10  Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001  Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, xét tổng cung chúng, …… đừng vội làm thế, khó đến kết Ta xem 3 x  3x hai cung có mối liên hệ hay khơng ? Thật vậy:   10 10     9 3x   3 x  3x  3x  sin     sin       sin     sin    Từ đó, ta 10 10     10  10   đặt t  3 x  sử dụng công thức nhân ba tối ưu 10 Bài giải tham khảo     9 3x   3 x  3x  3x  Ta có: sin     sin       sin     sin    10 10  10     10    3 x  3 x 1  sin  10    sin  10   2     3 x 1  Và 2  sin t  sin 3t  sin t  sin t  sin3 t  sin t  sin2 t  10 2   3 x  t  k   x  3  k2   k  sin t          10  k, l     cos t   x   t   l      l2      l x  2  10   Đặt t         Bài 10 Giải phương trình: sin 3x    sin 2x sin x   1     Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo        3        sin x     3x Ta có: sin 3x     sin   3x   sin     3x   sin      4              Đặt t  x   x  t  Lúc 1   sin 3t  sin 2t  .sin t   4 sin t   sin t    sin t  sin t  cos 2t sin t     2  sin2 t  sin t    sin t      t  k  x     k sin t           x    m , k, l, m     cos t    x   l   t   l     Bài 11 Giải phương trình: cos3 x    cos 3x 1   Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999 Bài giải tham khảo     Ta có: cos 3x   cos   3x    cos 3 x            Phương trình: 1  cos3 x     cos 3 x   2       Đặt t  x  Lúc đó: 2  cos3 t   cos 3t  cos3 t  4 cos3 t  cos t    12 cos3 t  cos t   cos 3t cos2 t    cos 3t 2 cos 2t  1    t    k  cos 3t        t   l  cos 2t        t    m    x    k    x  l k;l; m    2   m x     sin3 x    sin x 1   Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thơng năm 1998 Bài 12 Giải phương trình: Bài giải tham khảo Cách giải Đặt t  x       x  t  Lúc đó: 1  sin t  sin t    sin3 t  sin t  cos t  4     sin t  sin t  cos t  sin t  sin2 t  cos2 t sin t  cos t     cos t  sin2 t  sin t cos t  cos2 t  cos t  N    sin 2t  L  t   k  x   k, k       Lời bình: Trong  , sử dụng kĩ thuật ghép công thức  sin2 t  cos2 t Vậy giải 1   cos t  sin 2t  1     phương trình lượng giác, dấu hiệu để biết ghép ? Câu trả lời đơn giản: " Khi bậc sin cos không đồng bậc hai bậc, ta nên ghép  sin2 t  cos2 t để phương trình trở nên đơn giản " Cách giải 3        1   sin x    sin x   sin x  cos x   sin x       sin x  cos x   sin x  sin x  cos x sin x  cos x   sin x  sin x  cos x 1  sin x cos x   sin x  3 sin x  cos2 x sin x  sin2 x cos x  cos x   sin x 3  cos2 x   cos x 2 sin2 x  1        sin x sin2 x   cos x sin2 x   0  sin2 x    sin2 x  cos x  sin x     cos x  sin x    tan x   x   k , k   Cách giải   VN         1   sin x    sin x   sin x  cos x  sin x       sin x  cos x   sin x 2 Vì cos x  hay sin x  1 nghiệm phương trình 2 nên chia hai vế  phương trình 2 cho cos3 x , ta được: 2  tan x  1  tan x  tan2 x Giải phương trình theo tanx ta nghiệm: tan x   x     k ,  k      Bài 13 Giải phương trình: sin  x    sin x 1   Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo Cách giải      x  t  Lúc đó: 1  sin t  sin t   sin t  sin t  cos t 4  sin t  sin t  cos t sin2 t  cos2 t Đặt t  x     sin t  sin t  sin t cos2 t  cos t sin2 t  cos3 t  cos t sin t cos t  1  cos t   3     t   k  x   k    k , k   4 sin 2t  2 L Cách giải cách giải (tương tự ví dụ 13) Bạn đọc tự giải Bài 14 Giải phương trình: cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x    Lời bình: Bài tốn có cung khác theo hàm bậc lượng giác cos (hoặc sin sin cos) dạng tổng (hoặc hiệu) Ta nên ghép số hạng thành cặp cho hiệu (hoặc tổng) cung chúng nhau, tức trường hợp để ý x  4x  5x 2x  3x  5x Tại phải ghép ? Lý đơn giản, cần "thừa số chung" để nhóm ngồi, đưa tốn dạng phương trình tích số Bài giải tham khảo 3x 5x x cos  cos cos    cos x  cos 4x  cos 2x  cos 3x   cos 5x 2 2  cos 5x  3x x 5x x  cos    cos cos x cos  cos    2 2  cos 5x     cos x    x  cos    5x     k 2    x   l    x     m  2   x    k2  5    x   l k; l;m      x    2m    Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 Bài 15 Giải phương trình: sin2 x  sin2 2x  sin2 3x   Lời bình: Với phương trình có hạng tử bậc hai theo sin cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để toán trở nên đơn giản Bài giải tham khảo   21 1  cos 2x  21 1  cos 4x  21 1  cos 6x  23  cos 2x  cos 6x  cos 4x   cos 4x cos 2x  cos 4x   cos 4x 2 cos 2x  1    cos 4x   4x    k       cos 2x  cos 2 2   l2  2x   3    x    k    x     l   Bài 16 Giải phương trình: sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  k, l    Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp HCM khối A năm 2001 Bài giải tham khảo 1   1  cos 2x  1  cos 4x  1  cos 6x  1   cos 2x  cos 4x  cos 6x    cos 2x  cos 6x   cos 4x  1  2  cos 4x cos 2x  cos 2x   cos 2x cos 4x  cos 2x    x   cos x     cos 2x cos 3x cos x   cos 2x    x     cos 3x  x     k   l   m Bài 17 Giải phương trình: sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  cos2 4x k, l, m    Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999 Bài giải tham khảo 1 1   1  cos 2x  1  cos 6x  1  cos 4x  1  cos 8x  cos 2x  cos 6x   cos 4x  cos 8x  2 cos 4x cos 2x  cos 6x cos 2x  cos 2x cos 6x  cos 4x    cos 2x cos 5x cos x   cos x        m   ; k, l, m     cos 2x   x    k  x    l   x      10     cos 5x  Bài 18 Giải phương trình: sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x  Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002 Bài giải tham khảo   21 1  cos 6x  21 1  cos 8x  21 1  cos10x  21 1  cos12x  cos 6x  cos 8x  cos10x  cos12x  cos 7x cos x  cos11x cos x   x    k    cos x  l  cos x cos 7x  cos11x       x   k, l, m     cos 7x  cos11x  m x     5x  9x Bài 19 Giải phương trình: cos 3x  sin 7x  2sin     cos2    2 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001 Bài giải tham khảo     cos 3x  sin 7x   cos  2  5x   cos 9x  cos 3x  sin 7x  sin 5x  cos 9x    cos 3x  cos 9x  sin 7x  sin 5x   cos 6x cos 3x  cos 6x sin x   x    k    cos 6x  12        cos 6x cos 3x  sin x     k, l, m     x   x   l cos 3x  cos        m  x     Bài 20 Giải phương trình: sin2 x  cos2 2x  cos2 3x  Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 Bài giải tham khảo  cos 2x  cos 4x  cos 6x    cos 2x  cos 4x   1  cos 6x   2  cos 3x cos x  cos2 3x   cos 3x cos x  cos 3x      x    cos x      cos 3x cos 2x cos x    cos 2x    x      cos 3x  x    k   l     m Bài 21 Giải phương trình: sin2 2x  sin 7x   sin x  x    x     k  k, l, m    l   Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007 7x  x  4x , ta định hướng nhóm sin 7x  sin x  , sin2 2x  lại với nhau, để sau dùng công thức  Lời bình: Từ việc xuất cung x , 2x , 7x  nhận xét   tổng thành tích hạ bậc nhằm xuất nhân tử chung cuối đưa ta phương trình tích số đơn giản Bài giải tham khảo   sin 7x  sin x   1  sin  2x   cos 4x sin 3x  cos 4x   cos 4x    cos 4x 2 sin 3x  1      sin 3x     x    k2  18   l2  x    18  k, l   Bài 22 Giải phương trình: sin x  sin 2x  sin 3x   cos x  cos 2x  Bài giải tham khảo   sin x  sin 3x  sin 2x  1  cos 2x  cos x  sin 2x cos x  sin 2x  cos2 x  cos x  sin 2x 2 cos x  1  cos x 2 cos x  1   2 cos x  1sin 2x  cos x    2 cos x  12 sin x cos x  cos x     x    k    cos x         x   l2  cos x 2 sin x  12 cos x  1    sin x    k, l, m, n     5   x   m2  cos x        x   2  n2    Bài 23 Giải phương trình: sin x cos 3x  cos3 x sin 3x  sin 4x Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999 Bài giải tham khảo   sin x 4 cos 3    x  cos x  cos3 x sin x  sin x  sin3 4x  sin3 x cos3 x  sin3 x3 cos x  cos3 x sin x  cos3 x sin3 x  sin3 4x  sin x cos x cos2 x  sin2 x   sin 4x  3 sin 2x cos 2x  sin 4x  sin 4x  sin3 4x  sin 4x  sin 4x   sin12x   12x  k  x  k , k    12 Bài 24 Giải phương trình: cos10x  cos2 4x  cos 3x cos x  cos x  cos x cos3 3x  Bài giải tham khảo Bài 126 Giải phương trình: cos x  sin x   cos x  sin x  Bài giải tham khảo 1     ● Ta có: cos x  sin x   cos x  sin x  cos x     2   Bunhiacopxki ● Đặt t  cos x  sin x Ta có: cos x  sin x  2 1      sin x  cos x  2  2  t  Do đó:    t1   t  L   t      t  2 N    x      k2    x  2  k2    3  cos x       k, l       x       l 2  x  l2  3    t  t   t  Bài 127 Giải phương trình: sin x  cos x  cos 2x Bài giải tham khảo   sin x  cos x  cos x  sin x    sin x  cos x   cos x  sin x cos x  sin x    sin x  cos x 1  cos x  sin x   2     cos x     sin x  cos x            sin x  cos x  1  cos x     1        cos x            cos x     cos 3       x  3  k      x    k        x   l 2 k, l, m    x    3  l 2  x     3  m2    x    m2 4 4    Bài 128 Giải phương trình: sin3 x   sin x  cos 3x Bài giải tham khảo   sin x  sin x  cos 3x  1  1 cos 3x  sin 3x  2    3x      k2  x    k2        18  cos 3x    cos      6  3x       l2  x     l2   6    sin 3x  cos 3x  1  k, l   Bài 129 Giải phương trình: cos 7x cos 5x  sin 2x   sin 7x sin 5x  Bài giải tham khảo   cos 7x cos 5x  sin 7x sin 5x  sin 2x   cos 7x  5x   sin 2x   cos 2x  sin 2x   cos 2x  sin 2x  2  x  k       cos 2x    cos   k, l    x     l    Bài 130 Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  4 sin x  1  Bài giải tham khảo   sin x cos x  cos x   12 sin x    sin x cos x  cos2 x  sin x      sin x cos x  sin x  cos2 x    sin x cos x  sin x  sin2 x   sin x 4 cos x  sin x  6   sin x     x  k ,  k    2  cos x  sin x  VN o :     Bài 131 Giải phương trình: tan x  sin 2x  cos 2x  4 cos x  cos x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x   sin x  1 sin x  sin x cos x  cos2 x  sin2 x  cos x  0   cos x cos x  sin x  sin x cos2 x  cos3 x  sin2 x cos x  cos2 x    sin x  2  sin x cos2 x  cos2 x  cos3 x  sin2 x cos x     sin x  2  cos2 x sin x  2  cos x cos2 x  sin2 x     sin x  2  cos2 x  cos x cos 2x    cos 2x sin x  2  cos x cos 2x   cos 2x sin x   cos x   cos 2x       x   k , k    2 sin x  cos x  VNo :     Bài 132 Giải phương trình:   2   cos x  sin  x2  4  cos x  1  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x    2  1   cos x   cos x    cos x       cos x  cos x  sin x  cos x       sin x  cos x   sin x     x   k  x    k, k     2 6 6  ● Thay nghiệm vào 1 , họ nghiệm phương trình là: x     k, k   Bài 133 Giải phương trình: 3 cos x  sin x  6   3 3 cos x  sin x  6  Bài giải tham khảo 2  ● Ta có: cos x  sin x  32  4  sin2 x  cos2 x     5  cos x  sin x   11  cos x  sin x   1 ● Đặt t  cos x  sin x  ; t  11; 1    t  1  11; 1 1   t2  3t     t  2  11; 1        1  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x cos   sin x sin    cos x     5     x     k2  x     k2 , k   ; cos   ; sin   2   2  cos x  sin x   35 cos x  45 sin x  45       cos x cos   sin x sin   sin   cos x     sin   cos  x     cos         x        l2     x         m2   Bài 134 Giải phương trình:   x    2  l 2  l, m     x     m2   sin x  sin 2x   cos x  cos 2x Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A năm 2004 Bài giải tham khảo cos x   ● Điều kiện: cos x  cos 2x   2 cos x  cos x     cos x    2   sin x  sin 2x    cos x  cos2x  3 sin x  cos x  sin 2x  cos 2x 2 2      sin 2x    sin x         x  k2 2x    x    k2   6   k, l    x  2  l 2 2x      x    l 2   6  2 l 2 ● Thay vào   , họ nghiệm phương trình x   , l     Bài 135 Giải phương trình: sin 3x  cos 3x  sin 2x Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 Bài giải tham khảo cos 3x  sin 2x  3x    2x  k2      sin 3x    sin 2x      3 3x      2x  l2     sin 3x  Bài 136 Giải phương trình: cos x  sin 2x  cos2 x  sin x  Bài giải tham khảo  x    x       k2 4 l 2  15 k, l     sin x  1 ● Điều kiện: cos x  sin x    2 sin x  sin x       sin x     2   cos x  sin 2x   cos 2x  sin x  3 cos x  sin x  cos 2x  sin x 2 2   2x    x    k2  x    k2          cos 2x    cos x      k, l         6 3  2x   x   l2  x     l 2   18     l2 ● Thay vào  , họ nghiệm phương trình là: x   k2  x    , k, l   18  cos x  sin x  cos 2x  sin x  Bài 137 Giải phương trình: tan x   ● Điều kiện: cos x  sin x  cos x  Bài giải tham khảo 1  sin x  cos x   sin x  cos x  cos x 2    x      k2  x    k2        sin x    sin    k, l     3  x        l2  x  7  l 2   6   7 ● Thay vào  , họ nghệm phương trình là: x   l 2 , l     cos x  3 Bài 138 Giải phương trình: sin 5x  cos15x   sin3 5x  Bài giải tham khảo   sin 5x  sin 5x  cos15x     sin15x  cos15x   sin 15x    sin  2      x    k2   k2  30 15 k, l      l 2 x      l 2   90 15   sin15x  cos15x    15x      15x    Bài 139 Giải phương trình: cos3 x cos 3x  sin x sin 3x  Bài giải tham khảo    cos x 4 cos     x  cos x  sin x sin x  sin x    8   cos6 x  sin6 x  cos4 x  sin x   cos 4x 3  cos 4x    8  20  12 cos 4x  18  cos 4x    k  cos 4x    cos 4x   x    , k    12  Bài 140 Giải phương trình: 10 cos x  cot x   Bài giải tham khảo cos x   10 sin x cos x  cos x  sin x  sin 2x  cos x  sin x   10 cos x  3sin x 5    sin 2x  cos x cos   sin x sin   sin 2x  cos x     sin 2x  sin   x     2   2x    x    k2  x      k2     3 k, l   ; cos        2x      x    l2  x      l2    2   Bài 141 Giải phương trình: cos 3x  sin x  cos x  sin 3x   Bài giải tham khảo   cos 3x  3 cos 3x  sin 3x  cos x  sin x 2 2    x   x   k2  k  12  k, l     l   x   l2 x    sin 3x  cos x  sin x       cos 3x    cos x          3x      3x      3  Bài 142 Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  cos 3x       Bài giải tham khảo      sin 2x  cos2x  cos    3x   sin 2x  cos 2x  sin 3x   sin 2x  cos 2x  sin 3x  sin 3x  sin 2x cos   cos 2x sin  5  x    k2 3x  2x    k2    sin 3x  sin 2x         l 2 k, l    3x    2x    l  x      5  Bài 143 Giải phương trình: sin2  x 3   cos 2x   cos2 x   , x  0;    Trích đề thi Dự bị Đại học khối A năm 2005 Bài giải tham khảo  3  cos2x    cos 2x     cos x  cos2x   sin 2x     1  cos x  cos 2x  sin 2x  cos x 2   x  5  k2     18  cos 2x    cos   x    k, l     6  x   7  l 2   5 17 5 ● Do x  0;   x1  ; x2  ; x3  18 18  cos 2x  sin 2x  2 cos x  Bài 144 Giải phương trình: cos 2x  sin 2x  sin x  cos x    Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1998 Bài giải tham khảo 1        cos 2x  sin 2x   sin x  cos x                  cos 2x    sin x      cos 2.x    sin x                        sin2 x    sin x      sin2 x    sin x                sin x            x   k2 ; k     sin x      L      Bài 145 Giải phương trình: sin x  cos x   sin 2x  1  sin x  cos x   Trích đề thi Cao đẳng Sư phạm Thể Dục TW2 năm 2002 Bài giải tham khảo   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x    sin x  cos x    2    sin x  cos x    sin x  cos x   1      20     sin x  cos x          cos x     x    k2, k    0  sin x  cos x     VN   Bài 146 Giải phương trình: cos2 x  sin x cos x  sin2 x    Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Kiểm Sát phía Nam năm 2000 Bài giải tham khảo     cos2 x  sin2 x  1  sin x cos x    sin x  cos x sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x  sin x  cos x      cos x     sin x  cos x               sin x  cos x  sin x  cos x  sin x     sin x            x    k   k, l    x     l  12  Bài 147 Giải phương trình: cos 3x   sin 3x  Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm năm 2005 Bài giải tham khảo     cos 3x   sin 3x cos 3x  sin 3x     cos 3x  cos 3x             sin 3x  cos 3x    cos 3x   sin 3x     cos 3x  cos 3x           cos 3x             cos 3x         sin 3x         cos 3x       x  k2    cos 3x3  k    x , k       l   x      cos 3x     Bài 148 Giải phương trình: sin3 x   sin x  cos 3x  Trích đề thi Cao đẳng Hải Quan năm 1998 – 1999 Bài giải tham khảo   sin x  sin x  cos 3x  1  cos 3x  sin 3x     k2  cos 3x     x    , k        Bài 149 Giải phương trình: sin6 x  cos6 x  3 cos2x  11  3 sin 4x  sin 2x Bài giải tham khảo   PT  1  sin2 2x  3 sin 4x  11  3 cos 2x  sin 2x     sin2 2x  3 sin 4x  11  3 cos 2x  sin 2x  3  sin2 2x  3 sin 4x  3 cos 2x  sin 2x  sin2 2x  sin 2x cos 2x   cos 2x  sin 2x     sin2 2x  sin 2x   cos 2x 2 sin 2x  1   sin 2x  12 sin 2x  1  cos2x 2 sin 2x  1     2 sin 2x  1 sin 2x   cos 2x     sin 2x   sin   x    k  x  5  l   12 12    k, l, m, n             sin 2x   sin  x   m   x   n         Bài 150 Giải phương trình: sin 2x 2 cos x  1  cos x   cos2x  cos 3x Bài giải tham khảo   sin 2x 2 cos x  1  cos 3x  cos2x  cos x   sin 2x 2 cos x  1  cos3 x  cos x  cos2 x   cos x   sin 2x 2 cos x  1  cos3 x  cos2 x  cos x     sin 2x 2 cos x  1  2 cos x  1 cos2 x    2 cos x  1  2 cos x  1   sin 2x  cos2 x    sin 2x  cos 2x    1   cos x  sin 2x  cos 2x      2        2 cos x  1  sin 2x    1        cos x            sin 2x            x   2  k2  k, l     x     l   HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP  Bài 151 Giải phương trình: cos2 x  sin 2x   sin2 x  Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos2 x  , ta được: ● Khi x    cos2 x sin x cos x sin2 x    cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x   tan x   tan2 x  tan2 x      t  tan x t  tan x tan x  x  k        k, l         2t  3t  t   t   tan x   x    l              Bài 152 Giải phương trình: cos3 x  sin x  cos x sin2 x  sin x   Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  cos3 x sin x cos x sin2 x sin x    0 3 cos x cos3 x cos x cos x cos x   tan x  tan2 x  tan x  tan2 x       tan3 x  tan2 x  tan x    tan2 x tan x  1   tan x  1      tan x  1 tan2 x     tan x  1  x     k     k, l    tan x       x    l   Bài 153 Giải phương trình: cos x  sin2 x cos2 x  sin x   Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x   tan2 x     tan x  tan x    tan2 x    Bài 154 Giải phương trình: sin 2x  tan x    x     k  tan x  1    k, l    x     l  tan x      Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vô nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos2 x  , ta được: ● Khi x  sin x cos x 1  tan x   tan x  tan x  tan2 x   tan2 x 2 cos x cos x cos x   tan x  tan2 x  tan x    tan x   x   k, k      Bài 155 Giải phương trình: sin x sin 2x  sin 3x  cos3 x    Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  sin x cos x sin x  sin    sin xcos x cos x 3 x  cos x cos3 x sin2 x sin x sin x   6 cos x cos2 x cos2 x cos3 x  tan x  tan x tan2 x   tan x   2    tan3 x  tan2 x  tan x    x    k  tan x   tan      k, l    x     l  tan x    Bài 156 Giải phương trình: cot x   cos 2x  sin2 x  sin 2x  tan x  Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2003 Bài giải tham khảo    sin x      sin 2x  ● Điều kiện:  cos x       tan x  1   tan x  1     cos 2x cos2 x  sin2 x cos x  sin x cos x  sin x     cos x cos x  sin x  ● Ta có:  tan x sin x cos x  sin x 1 cos x cos x x   cos2 x  sin x cos x  sin2 x  sin x cos x   cos sin x cos x  sin x    sin x cos x sin x cos x  sin x   sin x  cos x   sin x    sin x  cos x   sin x  cos x    sin x    sin x  cos x  sin2 x  sin x cos x   sin x  cos x  sin x  cos x     sin2 x sin x cos x   tan2 x  tan x   tan2 x     cos2 x  cos2 x  cos2 x    tan x      x   k  , k    2 tan x  tan x   VN  ● Thay vào  , họ nghiệm phương trình: x   k , k   Bài 157 Giải phương trình: sin 3x  cos 3x  cos x  1 Bài giải tham khảo 1  3 sin x  sin x   4 cos 3  x  cos x  cos x   sin x  sin x  cos x  cos x     k, k    cos x   sin x  1  vô nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  3 sin x sin x cos x cos x    0   3cos x cos x cos x cos x cos x cos x      tan x  tan2 x  tan x    tan2 x    x     k  tan x  1    tan x  tan2 x  tan x      k, l   x     l  tan x     Bài 158 Giải phương trình: sin x  cos3 x  sin 4x cos x cos 2x 1 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos 2x   cos x  sin2 x   tan2 x   tan x  1  10 sin 2x cos 2x cos x cos 2x  sin x  cos x  10 sin x cos2 x  1  sin x  cos x   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  x 10 sin x cos2 x  x cos3 x  tan x tan2 x    10 tan x  sin x cos 2   cos x cos x cos    tan x  tan x    t  L  Phương trình vơ nghiệm Bài 159 Giải phương trình: sin x  sin x  cos x   Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  sin x sin 4   cos x cos x cos x cos x  0 x cos x cos2 x  tan x  tan x  tan x   tan2 x       3 tan x  tan2 x  tan x    tan x   x    k, k   Bài 160 Giải phương trình: tan x sin2 x  sin2 x  cos 2x  sin x cos x  ● Điều kiện: cos x    Bài giải tham khảo ● Do cos x  nên chia hai vế  cho cos2 x  , ta được:  cos2 x sin2 x sin x cos x  x sin2 x      cos2 x  cos2 x  cos2 x   x cos2 x   sin   tan x cos    tan x  tan x   tan x  tan x    x     k  tan x  1   tan x  tan2 x  tan x      k, l   tan x    x     l    ● Thay vào  , họ nghiệm phương trình là: x      k  x    l ; k, l   Bài 161 Giải phương trình: cos3 x  sin x  sin2 x cos x   Bài giải tham khảo   k, k    cos x   sin x  1  vơ nghiệm ● Do cos x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos x  , ta được: ● Khi x  cos3 x sin x sin2 x cos x   0 cos3 x cos x cos2 x cos2 x cos x   tan x tan x  1  tan2 x   tan2 x  tan x      tan x     x  x  k     tan x    tan   x    l      k, l  , tan       Bài 162 Giải phương trình: sin2 x tan x  1  sin x cos x  sin x    Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x  ● Do cos x  nên chia hai vế  cho cos2 x  , ta được: sin2 x sin x cos x  sin2 x tan x      2 cos x cos x cos2 x  tan2 x  tan x  1  tan x  tan2 x   tan2 x      tan3 x  tan2 x  tan x  tan2 x  tan2 x     x     k  tan x  1   tan x  tan2 x  tan x      k, l   tan x    x     l    Bài 163 Giải phương trình:     9  cos2 3  2x   cos 4x     sin2   2x  , x   ;2       1 Bài giải tham khảo 1  cos 2x  sin 4x   sin2 2x     k , k    cos 2x   sin 2x  1  vơ nghiệm ● Do cos 2x  không nghiệm  nên chia hai vế  cho cos2 x  , ta được: ● Khi x    cos2 2x sin 2x cos 2x sin2 2x    cos2 2x cos2 2x cos2 2x cos2 2x   tan 2x   tan2 2x  tan2 2x  tan2 2x  tan 2x  2x  k  tan 2x       2x     l  tan 2x      x  k    x     l   k, l   ... công thức cộng theo tan sau   tan  tan x tan  tan x      tan x  tan x 4 tan   x.tan   x          tan x  tan x  4   tan tan x  tan tan x 4  3 x  ... 3x tan x cot 2x   tan x  cot2 2x  cos 3x   cos 3x sin x  cos 3x cos x     tan x    cot 3x   tan2 x  cot2 2x tan2 2x tan2 x  1  tan 2x tan x 1  tan 2x tan x    tan2...  tan2 x   Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x   x    k ● Cách giải sin2 x cos2 x  tan2 x   tan2 x  tan2 x  2 x  tan2 x   cos  tan2 x  tan2 x  tan4 x   tan2 x  tan4