[r]
Trang 1CÁC ĐỀ HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - KHỐI 9
Đề 1
Bài 1 : Chứng minh :
a) Nếu 0< a <1 thì √a>a
b) Nếu a >1 thì √a<a
c) Nếu a >0 thì √a+1 −√a< 1
2√a
Bài 2 : Cho biểu thức A= x
2
−√x
x +√x+1 −
x2+√x
x −√x +1
Rút gọn B=1 −√A+x +1 nếu 0 ≤ x ≤ 1
Bài 3 : Chứng minh các số có dạng : n 6 - n4 + 2n3 + 2n2
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số chính phương
Bài 4 : Cho tam giác có 3 góc nhọn Chứng minh :
a) Tổng của một cạnh với đường cao tương ứng lớn hơn nửa chu vi của tam giác đó
b) Nếu mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn 1 thi diện tích tam giác nhỏ hơn √3
4
Gợi ý cách giải :
Bài 1 :
Trang 2+ a) 0< a <1 => 0<√¿a <1
¿ xét hiệu √a − a=√a (1−√a)
b ) xét hiệu √a − a=√a (1−√a)
c) √a+1 −√a= 1
√a+1+√a
Chú ý : √a+1+√a > √a+√a=2√a
Bài 2 :
+ Đặt nhân tử chung của các tử - dùng HDT A3 + B3 ; A3 - B3 để rút gọn
=> A=−2√x=> B=√x
Bài 3 : + Đặt nhân tử chung n2 rồi tách hạng tử -n2 ; 2 trong ( ) thành - 2 n2 + n2 và
2 = 1 + 1 dùng HĐT bình phương của một tổng và của một hiệu thì
Có kết quả : n2 ( n + 1)2 [(n – 1)2+1]
Chứng minh : (n – 1)2+1 không phải là số chính phương
(n – 1)2+1 = n2 – 2( n – 1) < n2 => (n – 1)2 < (n – 1)2+1 < n2
Bài 4 :
a) Vẽ đường cao biến đổi AH + BC = ½ (AH + BH + CH + BC )
Dùng BĐT của tam giác AHB, AHC => đpcm
b) Tạo ra tam giác đều cạnh AB là tam giác ABC1 ( AB < 1; AB lớn nhất )
Thì : S ABC < S ABC1 => ĐPCM