Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là s[r]
(1)PHÒNG GDĐT LY NHÂN
Tự chọn Toán lớp 7
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Học sinh tìm hiểu số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11
Học sinh biết cách chứng minh số, tích , tơng đại số có chia hết cho số hay không
II CHUẨN BỊ :
GV: Nội dung chuyên đề HS: Theo hướng dẫn gv III TIẾN TRÌNH
A Một số kiến thức bản
1.Định nghĩa:
Với số nguyên a,b (b≠0) có cặp số nguyên q;r
sao cho:
a = bq +r với ≤ r < b
a gọi số bị chia, b số chia, q thương số, r số dư Số dư r |b| số:
0; 1; 2; …; ( |b| - 1)
- Nếu r = ,ta nói a chia hết cho b hay a bội b, kí
hiệu a ⋮ b
Người ta nói b chia hết a hay b ước a, kí hiệu b/a
- Nếu r ≠ ta có phép chia cịn dư
2 Tính chất:
a) Mọi số nguyên khác chia hết cho
b) Nếu a ⋮ b b ⋮ c a ⋮ c (a,b,c Z b,c ≠ 0)
c) Nếu a ⋮ b b ⋮ a a=b a =- b (a,bZ a,b ≠ 0)
d) Số chia hết cho số nguyên b ( b ≠ 0)
e) Nếu a ⋮ c b ⋮ c a+b ⋮ c a- b ⋮ c (a,b,c Z ,
(2)f) Nếu a ⋮ b ka ⋮ b ( a, b, k Z, b≠0 )
g) Nếu a ⋮ b a ⋮ c (b,c) =1 a.b ⋮ c (a,b,c Z c≠
0)
h) Nếu ab ⋮ c mà (b,c) =1 a ⋮ c (a ,b ,c Z ,c≠0)
3.Dấu hiệu chia hết số tự nhiên
a, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho chữ số tận số
chẵn
b, Dấu hiệu chia hết cho (cho9)
Một số chia hết cho ( cho9 ) tổng chữ số nó chia hết cho (cho9)
c, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 4
d, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho số tận chữ số 0 chữ số 5
e, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8.
f, Dấu hiệu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số “đứng vị trí lẻ” tổng chữ số “đứng vị trí chẵn” (kể từ phải sang trái) số chia hết cho 11.
Ngồi cần nắm vững đẳng thức sau:
¿
a+b¿2=a2+2 ab+b2
a −b¿2=a2−2 ab+b2
a+b¿3=a3+3 a2b +3 ab2+b3
a− b¿3=a3−3 a2b+3 ab2−b3
1(¿2).(¿3).(a − b)(a+b)=a2−b2.¿4¿.(¿5).(¿6) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2).¿7¿ a3− b3=(a − b)(a2+ab+b2).¿8¿ an− bn=(a −b)(an −1+an −2b+ +abn− 2+bn − 1)¿
(3)B Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh số chia hết cho 13 tổng
của số chục lần chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 13
Giải
Giả sử N cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b a,b chữ số
và a≠0 Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 số M = a+4b chia hết cho 13
Ta có:
10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b số chia hết cho 13
Do :
-Nếu M ⋮ 13 10M ⋮ 13 mà 10M- N ⋮ 13 nên N ⋮ 13
-Nếu N ⋮ 13 mà 10M- N ⋮ 13 10M ⋮ 13 ( 10,13)
=1 nên M ⋮ 13
Vậy N ⋮ 13 M ⋮ 13
ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a,Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b,Tích số ngun liên tiếp chia hết cho c,Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
Giải.
a, Gọi số nguyên liên tiếp a a+1 Ta thấy số a a+1 có số chẵn ,do a(a+1) số chẵn nên a(a+1) chia hết cho
b, Gọi số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2 Ta phải chứng minh a(a+1)(a+2) chia hết cho
Vì a số ngun nên a viết dạng a=3k a=3k-1 a+1=3k-1+1=3k , a =3k+1 , a+2 = 3k+1+2= 3(k+1) với kZ Như số nguyên a, a+1, a+2 có số chia hết cho Do tích a(a+1)(a+2) chia hết cho
(4)Giả sử dãy (1) khơng có số chia hết cho n Như chia số (1) cho n số dư số:1,2,3 ,n-1
Vì có n số mà có n-1 số dư nên theo ngun tắc Đirichlê phải có số (1) chia cho n có số dư Giả sử số a+i a+k ≤ i ≤ k <n-1 chia cho n có số dư,
a+k –(a+i ) = k-i ⋮ n Điều vơ lý < k-i < n ,khơng
thể chia hết cho n
Vậy (1) luôn tồn số chia hết cho n nên tích chúng chia hết cho n
Chú ý: Câu a, câu b trường hợp riêng câu c n=2,n=3
Vì vậyta chứng minh câu c trước áp dụng kết với n=2 để có a ,với n=3 để có b
ví dụ Tìm số dư phép chia 3100 cho
Giải
Ta có :
33=27 ≡ −1(mod7) nên
3
¿33≡ −1(mod 7)
399
=¿ ,
3 399≡(−1) 3(mod7) ,hay 3100≡− 3(mod7) ,hay 3100≡ (mod 7)
Vậy 3100 chia cho 7,dư
Ví dụ 4: Chứng minh điều kiện cần đủ để số chia
hết cho 17 tổng lần số chục hai lần chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 17
Giải
Giả sử N gồm a chục ,b đơn vị : N=10a+b a,b chữ số a≠0
Ta phải chứng minh N ⋮ 17 k hi số M= 3a+2b ⋮ 17
Ta có:
M+17a = 3a+2b +17a = (10a+b) = 2N
-Nếu N ⋮ 17 2N ⋮ 17, M+17a ⋮ 17, suy M ⋮
(5)-Nếu M ⋮ 17 M+ 17a ⋮ 17 ,do 2N ⋮ 17, suy N ⋮ 17
ví dụ 5: Chứng minh với số nguyên n
a, n3+11n chia hết cho6;
b, n −19 n chia hết cho 6.
giải
a, n3+11 n=n3−n+12 n=(n −1)n(n+1)+12 n.
Ta có (n-1)n(n+1) chia hết cho Hơn số nguyên liên tiếp
n-1,n ,n+1 ln có số chia hết cho 2, (n-1)n(n+1)
⋮
Mặt khác 12n ⋮ Vì (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6,
hay n 3+11n chia hết cho
b, n3−19 n=n3− n −18 n=(n −1)n(n+1)− 18 n.
Lập luận tương tự câu a, ta có n3−19 n chia hết cho
C.Một số tập
Bài1 Với 19 số tự nhiên liên tiếp ,có hay khơng số có tổng chữ số chia hết cho 10 ?
Bài2 Cho N số chẵn khơng chia hết cho 10 Hãy tìm:
a,Hai chữ số tận số N20
b,Ba chữ số tận số N200
Bài Chứng minh số A= 3105
+4105 chia hết cho 13
không chia hết cho 11
Bài 4, Chứng minh điều kiện cần đủ để m2+mn+n2 chia
hết cho m,n chia hết cho3
CHUYÊN ĐỀ 2
(6)A –Một số kiến thức bản
1.Định nghĩa:
Số phương số bình phương số tự nhiên Ví dụ: 32=9;152=225
Các số 9; 225 bình phương số tự nhiên : 3; 15 gọi số phương
2 Một số tính chất:
a) Số phương tận : 0; 1; 4; 5; 6; tận 2; 3; 7;
b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục
Thật ,giả sử M =a 52 = 10 a+5¿2=100 a2+100 a+25
¿
Vì chữ số hàng chục 100 a2 100a số nên chữ số hàng
chục số M
c) Một số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ
Thật vậy, giả sử số phương N=a2 có chữ số tận là
6
chữ số hàng đơn vị số a
Giả sử hai chữ số tận số a b4 (nếu b6 chứng minh tương tự ),
Khi b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục số 100b2 80b số chẵn nên chữ số
hàng chục N số lẻ
d) Khi phân tích thừa số nguyên tố ,số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
(7)A = m2 =(ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…
Từ tính chất suy ra
-Số phương chia hết cho chia hết cho 4. -Số phương chia hết cho chia hết cho 9. -Số phương chia hết cho chia hết cho 25. -Số phương chia hết cho chia hết cho 16.
B Các ví dụ:
Ví dụ Chứng minh :
a) Một số phương khơng thể viết dạng 4n+2 họăc 4n +3 (nN);
b) Một số phương khơng thể viết dạng 3n+2(nN)
Giải
a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), (2k)2 = 4k2
số chia hết cho cịn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) ,
Khi (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 số chia cho dư
Như số phương chia hết cho
(8)b) Một số tự nhiên viết dạng 3k 3k ± 1 (k
N) bình phương có dạng(3k)2 =9k2 số chia hết
cho ,hoặc có dạng (3k ± 1)2= 9k2 ± 6k +1 số chia
cho dư 1.Như số phương khơng thể viết dạng 3n+2(nN)
Ví dụ 2:
Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị
Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương
Giải
Cách
Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho là: 1, 3, 5, ,9 tổng chúng :
1+3+5+7+9=25 =52 số phương.
Cách
Nếu số phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị
chữ số tận số a số chẵn, a ⋮ nên a2 ⋮ 4.
Theo dấu hiệu chia hết cho chữ số tận số Mchỉ 16,36,56,76,96.Từ ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52là số phương
Ví dụ3:
Tìm số tự nhiên n có chữ số, biết số 2n+1 3n+1 đồng thời số phương
Trả lời
n số tự nhiên có chữ số nên 10 ≤ n < 100,
(9)nên 2n+1 nhận giá trị :25; 49; 81; 121; 169
Từ n nhận giá trị 12, 24, 40, 60,84 Khi số 3n+1 nhận giá trị :
37; 73; 121; 181; 253
Trong số có số 121=112 số phương.
Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm n=40
Ví dụ 4:
Chứng minh p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng thể số phương
Giải
Vì p tích n số nguyên tố nên p chia hết cho p không chia hết cho (1)
a) Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (mN)
Vì p số chẵn nên p+1 số lẻ , m2 số lẻ ,vì m số lẻ
Đặt m=2k+1 (kN)
Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy p+1= 4k2+ 4k+ p=4k(k+1) số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 không số phương b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho
Do p-1 = 3k+2 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương
C MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài
Cho số tự nhiên A B số A gồm có 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số 4.
Chứng minh : A+B +1 số phương.
Bài 2.
(10)Bài3
Tìm số phương có chữ số , biết chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Bài 4.
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số có chữ số , mỗi số gồm chữ số khác Hỏi số lập có số chia hết cho 11 khơng ? Có số số phương khơng?
Bài 5