Tai lieu on tap vao lop 10

Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.[r]

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 A Căn thức biến đổi thức A.1 Kin thc c bn

A.1.1. Căn bậc hai a Căn bậc hai số học

- Vi s dng a, số a đợc gọi bậc hai số học a - Số đợc gọi bậc hai số học

- Mét c¸ch tỉng qu¸t:

2

x

x a

x a

 

 

b So sánh bËc hai sè häc

- Với hai số a b khơng âm ta có: a b  a  b A.1.2. Căn thức bậc hai ng thc

2

A A a Căn thøc bËc hai

- Với A biểu thức đại số , ngời ta gọi Alà thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu

- A xác định (hay có nghĩa)  A  b Hằng đẳng thức

2

A A - Víi mäi A ta cã

2

A A - Nh vËy: +

2

A A nÕu A  0

+ A2  A A <

A.1.3. Liên hệ phép nhân phép khai phơng a Định lí: + Với A 0 vµ B  ta cã: A B A B

+ Đặc biệt với A  ta cã

2

( A) A A

b Quy tắc khai phơng tích: Muốn khai phơng tích thừa số không âm, ta khai ph-ơng thừa số nhân kết với

c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số d-ới dấu vd-ới khai phng kt qu ú

A.1.4. Liên hệ phép chia phép khai phơng

a Định lí: Víi mäi A 0 vµ B > ta cã:

A A

B  B

b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, a khơng âm b dơng ta lần lợt khai phơng hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai

c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a khơng âm cho số b dơng ta chia số a cho số b khai phơng kết

A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đa thừa số dấu

- Víi hai biĨu thøc A, B mµ B  0, ta cã

2

A BA B

, tøc lµ + NÕu A  B A B2 A B

+ NÕu A < vµ B  A B2 A B b Đa thừa số vào dấu

+ Nếu A B A B A B2 + Nếu A < B A B  A B2 c Khư mÉu cđa biĨu thức lấy

- Với biểu thức A, B mµ A.B  vµ B  0, ta cã

A AB

- Víi biểu thức A, B mà B > 0, ta cã

A A B

B B 

- Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B 2, ta cã

( )

C C A B

A B A B

 

 

- Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A0,B0 vµ A B , ta cã

( )

C A B

C

A B

A B



A.1.6. Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba:

- Căn bậc ba cđa mét sè a lµ sè x cho x3 = a - Víi mäi a th×

3 3

3

( a)  a a

b TÝnh chÊt

- Víi a < b th× 3a  3b

- Víi mäi a, b th× 3ab 3a b.3

- Víi mäi a vµ b 0th×

3

3

a a

b  b A.2 KiÕn thøc bæ xung

A.2.1. Căn bậc n

a Căn bậc n (2 n N  ) cđa sè a lµ mét sè mµ lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)

 Mọi số có bậc lẻ  Căn bậc lẻ số dơng số dơng  Căn bậc lẻ số âm số âm  Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chn (n = 2k )

Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số lµ sè

 Số dơng có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2ka 2ka d Các phép biến đổi thức

 2k1A xác định với A

2k A.

xác định với  A  2k1A2k1 A với A

2k A2k A 

víi A

 2k1A B 2k1A.2k1B víi A, B

2k A B. 2k A.2k B

víi A, B mµ A B   2k1A2k1.B A.2k1B víi A, B

2k A B2k. A.2kB

víi A, B mµ B 0



2

2

k k

k

A A

B B

 

 

víi A, B mµ B 0

2

2

k k

k A A

B  B

 m n A mn A víi A, mµ A 0 

m mAn An

 víi A, mµ A 0

A.2.2. Bất đẳng thức bất phơng trình  Bất đẳng thức

 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) biểu thức

1( ) 2( ) n( ) 1( ) 2( ) n( ) f x f x   f x  f x  f x  f x

Đẳng thức xảy f x ii( ) 1,n cïng dÊu

 Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an số khơng âm,

1

1

n n

n

a a a

a a a n



Đẳng thức xảy a1 = a2 = … = an

 Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) (b1, b2, …, bn ) hai số bất kì,

2 2 2 2

1 2 2

(a b a b  a bn n) (a a an)(b b bn)

Đẳng thức xảy

1

1

n

n a a a

b b  b (quy ớc bi == = 0)  Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

 f x( )  ( 0)  f x( )

 f x( )  ( 0) f x( ) hc f x( )

A.2.3. Dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai a Cho nhị thức f(x) = ax + b (a  0) Khi ta có

x -  -b/a +

f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a Cïng dÊu víi a

b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi ta có  Nếu  0

x -  -b/2a + f(x) = ax2 + bx + c Cïng dÊu víi a Cïng dÊu víi a

 NÕu  0

x -  x1 x2 + f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a A.2.4. Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi ta có

2

( ) ( )

2

b f x ax bx c a x

a a



     

víi  b2 4ac  NÕu a > th×

( )

f x a

  

nªn

min ( )

x R f x a   

2

b x

a



 

 NÕu a < th×

( )

f x a

  

nªn

max ( )

x R f x a   

2

b x

a



 

* Chó ý NÕu ' k A

A



(k số dơng) ta có  Amin  A’max

 Amax  A’min A.3 VÝ dơ minh häa A.4 Bµi tËp chän läc

Bµi Cho biĨu thøc:

1 2

1 2

x x

P

x x x x x x

 

 

 

     



     

a Rót gọn P

b Tính giá trị P với x  3 2

Bµi Cho biĨu thøc

1 2

:

1

x x x x x x

P

x

x x x x

     

 

     



 

   

a Rót gọn P

b Tính giá trị P với x  7

c Tính giá trị lớn a để P > a

Bµi Cho biÓu thøc

3 2( 3) ( 3)

2 3

x x x x

P

x x x x

  

  

   

a Rút gọn P

b Tính giá trị cđa P víi x  11 c T×m giá trị nhỏ P

Bài Cho biÓu thøc :

3 2

1 :

1

x x x x

M

x x x x x

      

      

        

   

a Rút gọn M b Tìm x để M >

c Tìm giá trị củ m để có giá trị x thỏa mãn: M( x1)m x( 1) 2

Bµi 5: Cho biĨu thøc:

2

2

4

4

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

   

a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Rút gọn A

c Tìm x để A 

Bµi 6: Cho

1

2 1

x x x x x

A

x x x

     

      

 

   .

a Rút gọn A b Tìm x để A > -6

Bµi 7: Cho

2 10

:

4 2

x x

B x

x x x x

    

       

     

  .

a Rút gọn B b Tìm x để B > Bài 8: Cho C =

√x +1−

2

x√x +1+

2

x −√x +1 a Rót gän C

b Chøng minh r»ng C <

Bµi 9: Cho biĨu thøc: A4x 4x212x9 a Rót gän A

b Tìm x để A = -15

Bµi 10: Cho biĨu thøc: A2x x2 6x9 a Rót gọn tìm giá trị A a = -5 b Tìm x A = 15

Bài 11: Cho biÓu thøc:

2

3

1 :

1

M x

x x

 

 

      



    .

a Rót gän M

b Tìm giá trị M

3

2

x 

 .

Bµi 12: Cho biĨu thøc: A3x 1 4x2 9 12x a Rót gän biĨu thøc A

b Tìm giá trị x để A =

Bµi 13: Rót gän biĨu thøc:

2

2

4

A x  x  x

tìm giá trị x để A = 3/2

Bµi 14: Cho biĨu thøc:

2

5

x x x

Q

x x x x

  

  

   

a Rút gọn tìm giá trị x để Q <

b Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị ngun

Bµi 15: Cho biĨu thøc:

3

2

x x x x

P

x x x x

   

  

   

a Rót gän P

b Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị ngun

Bµi 16: Cho biểu thức : A=( x+2

x√x −1 +

√x

x +√x+1 +

1

1 −√x ) :

√x − 1

2

1 Rút gọn A

2 Chứng minh A với x

3 Với giá trị x A có giá trị lớn Tìm GTNN ?

Bµi 17 Cho biĨu thøc

2 3 2

:

9

3 3

x x x x

P

x

x x x

     

      

       

    , víi x  vµ x9

a Rót gän P

b Tìm giá trị x để P < -1/3

c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 18 Cho biểu thức

3

3

1 1

: x y x x y y

A

x y

x y x y x y xy

     

     

 

  

  víi x > 0, y > 0

a Rót gän A

b Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Bài 19 Cho biểu thức A x 2 2x2  1 x

a Rót gän biĨu thøc A

b Với giá trị x A = -3 Bµi 20: Cho biĨu thøc:

2 2 1 2 1

A x  x   x  x  .

a Tìm điều kiện x để A có nghĩa

b Tính giá trị A x

Bµi 21: Cho

1

: x

A

x x x x x x

 

   .

a Tìm điều kiện x để A có nghĩa

b Rót gän A

Bµi 22: Cho

3

1

1 1

x x B

x x x x x



  

     .

a Tìm điều kiện x để B có nghĩa

Bµi 23: Cho biĨu thøc:

  1 

2

1

1

x x x

x x x x x x

E

x x x x

 

     

    

  

  .

a Tìm điều kiện để E có nghĩa

b Rót gän E

Bµi 24: Cho

3 2

1

:

a b a b

A ab

a b

a b

 

 

   

  

   

  .

a Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa

b Rót gän A

Bµi 25: Cho biĨu thøc: A x2 6x 9 x2 6x9

a Rót gän A

b Tìm giá trị x để A =

Bµi 26: Cho biĨu thøc:

2

2

2

2

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

   

a Tìm điều kiện xác định A

b Rót gän A

c Tìm x để A < Bài 27 Xét biểu thức

1

(1 ) : ( )

1 1

a a

B

a a a a a a

  

    

a Rót gän B

b Tìm giá trị a cho B >

c Tính giá trị B a  6 Bµi 28 XÐt biĨu thøc

2

2 6

a b ab

A

ab a b ab a b

 

 

     

a Rót gän A

b Cho giá trị biểu thức A sau rút gọn 10

( 10)

10

b

b b





 Chøng minh r»ng a/b = 9/10

Bµi 29 XÐt biĨu thøc

2

:

2 2

x x x x

P

x

x x x x

    

   

     

 

a Rót gän P

b Tìm giá trị x để P > 0, P <

c Tìm giá trị x để |P| = Bài 30 Cho biểu thức A4x 9x212x4

a Rót gän A

b TÝnh giá trị A x = 2/7 Bài 31 Cho biĨu thøc A5x x2 6x9

a Rót gän B

b Tính giá trị x để B = -9

Bµi 32: Cho biĨu thøc:

1

2

x P

x x x x



  

   

a Rót gọn P

b Tìm giá trị lớn P

Bµi 33: Cho

2 :

1

1

x y x y x y xy

P

xy

xy xy

       

     



   

  .

b Tính giá trị P với

2

2

x 

 .

c Tìm giá trị lớn P

B Hệ phơng trình B.1 Kiến thức bản

b.1.1 Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn a Phơng trình bậc hai ẩn

Phơng trình bậc hai Èn: ax + by = c víi a, b, c  R (a2 + b2  0)  TËp nghiệm phơng trình bậc hai ẩn:

Phng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c

- Nếu a 0, b 0 đờng thẳng (d) đồ thị hàm số

a c

y x

b b

 

- Nếu a 0, b = phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a đờng thẳng (d) song song trùng với trục tung

- Nếu a = 0, b 0 phơng trình trở thành by = c hay y = c/b đờng thẳng (d) song song trùng với trc honh

b Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn

Hệ hai phơng trình bậc hai Èn: ' ' ' ax by c a x b y c

 

 

 

 a, b, c, a’, b’, c’  R  Minh họa tập nghiệm hệ hai phơng trình bậc hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có  (d) // (d’) hệ vơ nghiệm

 (d) (d’) =  A th× hƯ cã nghiƯm (d) (d) hệ có vô số nghiƯm

 Hệ phơng trình tơng đơng

Hệ hai phơng trình tơng đơng với chúng có tập nghiệm c Giải hệ phơng trình phơng pháp

 Quy t¾c thÕ

 Giải hệ phơng trình phơng pháp

Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình cho để đợc hệ phơng trình có phơng trình ẩn

 Giải phơng trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ d Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng i s

Quy tắc cộng

Giải hệ phơng trình phơng pháp

Nhõn hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình đối

 áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (phơng trình ẩn)

 Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ cho b.1.2 Hệ phơng trình đa phơng trình bậc hai

- Nếu hai số x y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2  4P) hai số x, y nghiệm phơng trình: x2 + SX + P = 0

B.2 KiÕn thøc bỉ xung

b.2.1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1 a Định nghĩa:

Hệ hai phơng trình hai ẩn x y đợc gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y ph-ơng trình hệ khơng đổi

b Cách giải

t S = x + y, P = x.y, Đk: S2  4P  Giải h tỡm S v P

Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phơng trình: t2 St + P = 0

c Ví dụ

Giải hệ phơng trình

2

7 13

x y xy x y xy

  

 

  

 2

1 22

x y xy x y x y

   

 

   



2 8

( 1)( 1) 12

x y x y xy x y

    



  

a Định nghĩa

Hệ hai phơng trình hai ẩn x y đợc gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phơng trình trở thành phơng trình ngợc lại

b Cách giải

Tr v theo v hai phng trình hệ để đợc phơng trình hai ẩn  Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích  Giải phơng trình tích để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

 Thế x y (hoặc y x) vào phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn  Giải phơng trình ẩn vừa tìm đợc rịi suy nghiệm hệ

c Ví dụ

Giải hệ phơng trình

2

2

2

x y y

y x x

           3 13 13

x x y

y y x

        

b.2.3. Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2 a Định nghĩa

- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

2

2

0

' ' '

ax bxy cy a x b xy c y

    

b Cách giải

- Xét xem x = có nghiệm hệ phơng trình khơng - Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phơng trình hệ - Khử x giải hệ tìm t

- Thay y = tx vào hai phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn (ẩn x) - Giải phơng trình ẩn để tìm x từ suy y dựa vào y = tx

* Lu ý: ta thay x y y x phần để có cách giải tơng tự

c VÝ dơ

Giải hệ phơng trình

2

2

4

3

x xy y y xy           2 2

2 3

2

x xy y

x xy y

          

B.3 VÝ dô minh häa B.4 Bài tập chọn lọc

Bài Giải hệ phơng trình

( 2)( 2)

( 4)( 3)

x y xy

x y xy

  

 

   



( 1)( 2) ( 1)( 3)

( 3)( 1) ( 3)( 5) 18

x y x y

x y x y

     

 

     



( 5)( 2)

( 5)( 12)

x y xy

x y xy

  

 

  



2

16

11

7 2( 1)

31

5

x y x y

x y x

                28 3 12 15 x y x y            15 14 x x y y x y              10 1 18 1 x y x y                1 2 20 2

x y x y

x y x y

              

4 13

36 10 x y x y            3

1

3

x y x y x y x y

              

7

3

7

5 13

6 x y x y                3 1,5

x y x y

x y x y

                  

Bµi Giải hệ phơng trình

1

1 3

x y x y             2

10 25

10 25

x x x

x x x

            

2

2 2( 2)

x y xy

x y

   



 

 2

1 22

x y xy x y x y

   

 

   

 2

7 13

x y xy x y xy

  

 

  



2 10

4 x y x y       

2 65

( 1)( 1) 18

x y x y        

2 6

5

x y xy xy x y

  



  



3

5 2

1

x y

x y x y

  

 

  



 3 2

1

x y

x y x y

 

 

  



( 1)( 1) 10

( )( 1) 25

x y

x y xy

         13 x y x y y x          3 2 2 x y x y xy

         4 2 97

( ) 78

x y xy x y

   

Các HPT có chứa tham số Bài Cho hệ phơng trình

2

9 3

x y m

x m y

    

a Với giá trị m hệ phơng trình vô nghiệm

b Với giá trị m hệ phơng trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm hệ phơng trình

c Víi gi¸ trị m hệ phơng trình có nghiệm Bài Với giá trị m hệ phơng trình

4 mx y x my       

Cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn

8

x y m

 

 Khi tìm giá trị x y.

Bài Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình

2

1

mx y m x y m

 

 

  



Có nghiệm ngun, tìm nghiệm ngun Bài Cho hệ phơng trình

2 2 x y x y       

a Giải hệ phơng trình cho phơng pháp đồ thị

b Nghiệm hệ phơng trình cho có phải nghiệm phơng trình 3x - 7y = - không ? c Nghiệm hệ phơng trình cho có phải nghiệm phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = (d2): 7x - 5y = -5

Tìm giá trị a để đờng thẳng y = ax qua giao điểm hai đờng thẳng (d1) (d2) Bài Cho ba đờng thẳng

(d1): y = 2x - (d2): y = (d3): y = (2m - 3)x -1 Tìm giá trị m để ba đờng thẳng đồng quy

Bài Cho hệ phơng trình

2 x ay ax y       

Tìm giá trị a để hệ phơng trình cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài Tìm giá trị a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(-5; -3) điểm B(3; 1) Bài Tìm giá tr ca m

a Hệ phơng trình:

5

2

mx y x my      

 cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn x > 0, y < 0

b Hệ phơng trình:

3 mx y x my      

có nghiệm thoả mÃn điều kiện x > 1, y > 0

2

mx y m x my m

 

 

  



Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm x, y số ngun Bài 11 Cho hệ phơng trình

2

( 1)

2

m x my m

mx y m

   

 

  



Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bài 12 Hãy tìm giá trị m n cho đa thức

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) (x + 2) Bài 13 Cho hệ phơng trình

( 1)

( 1)

m x y m

x m y

   

 

  



Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn Bài 14 Cho hệ phơng trình

2

mx my m mx y m

 

 

 

m, n tham số

a Giải biện luận hệ phơng trình

b trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m để nghiệm phơng trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y <

Bài 15 Tìm a b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với giá trị tham số m

( 3)

2

m x y a b m

x my am b m

    

 

    



Bài 16 Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm nhất:

2

2

4

4

y x x a x

x y y ay

   

 

  

 

Bµi 17 Biết cặp số (x, y) nghiệm hệ phơng tr×nh:

2 2 6

x y m

y x m

 

 

HÃy tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P = xy + 2(x + y)

Bài 18 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phơng trình:

2 2

2

2

x y a

y x a a

  

 

   

 Xác định giá trị tham số a để hệ

tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt

Bµi 19 Cho hệ phơng trình:

2

1 1

xy a x y b

 

 

 

 

Giải biện luận hệ phơng trình biết x, y độ dài cạnh hình chữ

Bài 20 Cho hệ phơng trình:

2

2

x my mx y

 

 

 



a Giải biện luận theo tham số m

b Tìm số ngun m hệ có nghiệm (x; y) với x, y s nguyờn

Bài 21 Cho hệ phơng trình:

4

4 10

x my

mx y m

 

 

  

 (m lµ tham sè).

a Giải biện luận theo m

b Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dơng

Bài 22 Cho hệ phơng trình:

( 1)

2

m x my m

x y m

   

 

  



Bài 23 Cho hệ phơng trình:

2

( 1)

2

m x my m

mx y m

   

 

  



Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn

Bµi 24 Cho hệ phơng trình:

2

mx y m x my m

 

 

  



a Gi¶i hƯ m = -1

b Tìm m để hệ có vơ số nghiệm, có nghiệm: x = 1, y =

Bài 25 Giải biện luận hệ phơng trình sau theo tham số m:

2

2

mx y m x my        

Bài 26 Cho hệ phơng trình:

2 x my mx y       

a Gi¶i hƯ m =

b Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > y < c Tìm số ngun n để có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyờn

Bài 27 Cho hệ phơng trình:

1

3

x my

mx my m

 

 

  



a Gi¶i hƯ m = -

b Giải biện luận hệ cho theo m

Bài 28 Cho hệ phơng trình:

2

3

x y m x y

 

 



(m tham số nguyên).

Xác định m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > 0, y <

Bµi 29 Cho hệ phơng trình:

2 mx y x my       

a Giải biện luận hệ cho

b Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:

2 m x y m    .

Bài 30 Cho hệ phơng trình:

2

( 1)

mx my m

x m y

  

 

  



a Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) ln ln thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi

b Xác định m để M thuộc góc vng phần t thứ

c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm gốc tọa độ bán kính

Bài 31 Với giá trị số nguyên m, hệ phơng trình:

4

mx y m x my m

  

 

 

 cã nghiƯm nhÊt (x; y) víi x; y

là số nguyên

Bài 32 Cho hệ phơng trình:

2 x my mx y       

a Giải biện luận theo m

b Tỡm s nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên

c Chứng minh hệ có nghiệm (x; y), điểm M(x; y) luôn chạy đờng thẳng cố định

d Xác định m để M thuộc đờng trịn có tâm gốc tọa độ bán kính

2

2 .

Bµi 33 Giải biện hệ phơng trình:

a

2

2 3( 1)

( ) 2

m x m y

m x y y

         b 2

x y m

x y m

         c x my x y m

 

 

 

Bµi 34 Cho hệ phơng trình:

2

3

mx y mx y

  

 

 



a Gi¶i hƯ phơng trình lúc m =

b Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số

Bài 35 Cho hệ phơng trình (m tham số ):

1

mx y

x y m

 

 

  



a Chøng tá lóc m = 1, hệ phơng trình có vô số nghiệm b Giải hệ lóc m kh¸c

Bài 36 Với giá trị x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0.

Bài 37 Với giá trị m, hệ phơng trình:

2 25

3

x y mx y m

  



  

có nghiệm?

Bài 38 Cho hệ phơng tr×nh:

2 2

2

x y a

xy a

  



 

 Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm nghim ú.

Bài 39 Cho hệ phơng trình: x y

m y x x y



 

 

  

 Xác định m để hệ phơng trình cú nghim kộp.

Bài 40 Cho hệ phơng trình:

2 1

x y m y x

 

 

 

 Xác định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm đó.

Bµi 41 Cho x, y hai số nguyên dơng cho:

2

71 880

xy x y x y xy

  

 

 

Tìm giá trị biểu thức: M = x2 +y2.

Bài 42 Cho hệ phơng trình:

1

3

x my m mx y m

  

 

a Giải biện luận hệ phơng trình

b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị m hệ phơng trình có nghiệm nhất?

Bài 43 Cho hệ phơng trình:

( 1)

( 1)

a x y a

x a y

   

 

  

 (a lµ tham số).

a Giải hệ phơng trình với a = b Giải biện luận hệ phơng trình

c Tìm giá trị nguyên a để hệ phơng trình có nghiệm ngun

d Tìm giá trị a để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng qua gốc O song song với AB biết:

A(-1; 1), B(-1; 3) A(1; 2), B(3; 2) A(1; 5), B(4; 3)

Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD

Bµi 46 Cho ®iĨm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thẳng hµng

Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD hình gì?

Bài 48 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau vơ nghiệm, vơ số nghiệm:

2( 1) ( 2)

( 1)

m x m y m

m x my m

    

 

   



Bài 49 Cho hệ phơng trình:

( 1) 2

2 ( 1) ( 1)

m x my

mx m y m

   

 

    

 (m lµ tham sè).

a Giải hệ phơng trình

b Tỡm giỏ trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x < 0, y <

Bài 50 Cho hệ phơng trình:

( 1)

( 1)

m x y m

x m y m

   

 

  

a Giải hệ phơng trình

b Tỡm giỏ tr nguyên m để hệ có nghiệm nguyên

c Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghim dng nht

Bài 51 Cho hệ phơng tr×nh:

1

3

x my m mx y m

  

 

  

 (m lµ tham sè)

a Giải hệ phơng trình

b Tỡm m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy nhỏ

Bài 52 Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm nhất:

2 2 1

4

x y a

x y a

   



 



Bµi 53

a Tìm giá trị nguyên tham số a m để hệ phơng trình có nghiệm số dơng, số âm.

2

2

ax y x ay

 

 

 

 ;

3

2

x y m

x y

 

 

 



b Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình sau:

2

3

x y m x y

 

 

 

 cã nghiÖm x > vµ y < 0.

c Víi giá trị khác m hệ phơng tr×nh:

2

3

mx y x my

 

 

 

 cã nghiÖm tháa m·n

2

3

m x y

m

  



Bµi 54

1 Cho hệ phơng trình:

1

a x y

x y

  

  

  

a Giải hệ phơng trình với a =

b Tìm giá trị a để hệ có nghiệm

2 Tìm giá trị a để hệ phơng trình sau vơ nghiệm C Phơng trình C.1 Kiến thức bản

C.1.1 Phơng trình bậc ẩn a Định nghĩa

- Phơng trình có dạng ax + b = Trong a, b  R a 0 b Cách giải biện luận

- Nếu a = Khi đó: + b = phơng trình có VSN + b 0 phong trình VN

- Nếu a 0 Khi phơng trình có nghiệm x = - b/a C.1.2 Phơng trình bc hai mt n

a Định nghĩa

- Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong a, b, c  R a 0 b Cách giải biện luận

- Nếu a = Phơng tình có dạng bx + c = 0: Phơng trình bậc - Nếu a 0 Khi

2 4

b ac

   (hc  ' b'2 ac)

+ 0 (hoặc ' 0): Pt vô nghiệm

+ (hc  ' 0): Pt cã nghiƯm kÐp 2 b x x

a

 

(hc

'

b x x

a

 

) + 0 (hc  ' 0): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt

' 1,2

'

b x

a

  



(hc 1,2 b x

a

   

)

Chú ý: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2)

- Nếu phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 tổng tích hai nghiệm b S x x

a

  

vµ

c

P x x a

 

b Định lí đảo

- NÕu hai sè x vµ y cã tỉng x1x2 S vµ tÝch x x1 P tháa m·n S2 4P th× hai sè x vµ y lµ hai nghiƯm

cđa phơng trình t2 - St + P = 0 Bài tËp chän läc

Bài Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + mx + = 0; x2 + x + m = 0

Bµi Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0

Chứng minh p p1 22(q1q2) hai phơng trình cho có nghiệm

Bài Với giá trị bào k hai phơng trình sau:

2x2 + (3k + 1)x - = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0 Có nghiệm chung, tìm nghiệm chung ú

Bài Chứng minh phơng trình sau lu«n cã nghiƯm víi mäi a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) =

Bài Cho a, b, c số đo độ dài cạnh m ột tam giác Chứng minh phơng trình sau vơ nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = 0

Bµi Cho ba phơng trình

x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = Chøng minh ba phơng trình cã nghiƯm

Bài Cho phơng trình: ax2 + bx + c = Chứng minh phơng trình cho có nghiệm hai điều kiện sau đợc thỏa mãn

a(a + 2b + c) < 5a + 3b + 2c =

Bài Tìm giá trị k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = có nghiệm số hữu tỉ.

Bài Cho phơng trình: 2x2 - 3x + = Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Không giải phơng trình hÃy tìm giá trị biểu thức sau:

a

1

A

x x

 

b

1

1

1 x x

B

x x

 

 

c

2

1

Cx x

d

1

2 1

x x

D

x x

 

 

Bài 10 Cho phơng trình: x2 + (2m - 1)x - m = 0

a Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với m

b Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để biểu thức

2

1

A x x  x x đạt giá trị nhỏ

Bµi 11 Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình: 3x2 + 5x - = Không giải phơng trình hÃy lập phơng trình bậc hai ẩn y cã c¸c nghiƯm

1

2

y x x

 

;

2

1

y x x



Bài 12 Cho phơng trình x2 3x Không giải phơng trình hÃy tính giá trị cđa biĨu thøc a

3

1

A x x

b

2

1 2

3

1 2

3

4

x x x x

B

x x x x

 





Bµi 13 Cho phơng trình (k 1)x2 2kx + k – = Gäi x1, x2 lµ hai nghiệm phơng trình trên, hÃy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào k

Bài 14 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình: a x2 + (m - 2)x + m + = thỏa mãn

2

1 10

x x 

b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = tháa m·n x1 = 2x2

c x2 - mx + m + = tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0 Bài 15 Cho phơng trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - = 0

a Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm hai số đối

b Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm hai số nghịch đảo Bài 16 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn

2

1 2

10

A x x x x

đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài 17 Gọi x1, x2 hai nghiệm ca phng trỡnh

Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2| Bài 18 Cho phơng trình: x2 - mx + m - = 0

a Chøng minh phơng trình có nghiệm với m

b Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:

1

2

1 2

2

2( 1)

x x P

x x x x

 

  

Bµi 19 Cho phơng trình: x2 + px + q = 0

Tìm giá trị p q cho hai nghiệm phơng trình thỏa mÃn

1

3

1

5 35

x x x x

 

  

 

 

Bµi 20 Cho phơng trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = có nghiệm x1, x2 Lập phơng trình bËc hai cã c¸c nghiƯm y1, y2 cho:

a y1 = x1 - 3, y2 = x2 - b y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 -

Bài 21 Lập phơng trình bậc hai cã c¸c nghiƯm tháa m·n:

1

3

1

2 26

x x x x

 

  

 

 

Bµi 22 Chøng minh ba phơng trình sau có phơng trình vô nghiệm x2 + ax + b - = 0

x2 + bx + c - = 0 x2 + cx + a - = 0 Bài 23 Cho phơng trình:

x2 + 2x + a = (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = (2)

Chøng minh r»ng nÕu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt phơng trình (2) vô nghiệm Bài 24 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = 0.

a Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b Chứng minh biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron x1, x2 hai nghiệm phơng trình khơng phụ thuộc vào m

Bµi 25 Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = 0

a Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm với m

b Tỡm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có tích 5, từ tính tổng hai nghiệm phơng trình

c T×m hƯ thøc liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức:

1

2

5

x x

x x   Bài 26 Tìm giá trị m n để hai phơng trình sau tơng đơng

x2 + (4m + 3n)x - = 0. x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0

Bài 27 Cho phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm dơng phân biệt x1, x2

a Chứng minh phơng trình cx2 + bx + a = có hai nghiệm dơng phân biệt b Chứng minh S = x1 + x2 + x3 + x4 

Bài 28 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0

a Biết phơng trình có nghiệm x1 = 2,tìm m tìm nghiệm cịn lại b Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức -2 < x1 < x2 <

Bài 29 Tìm a cho nghiệm phơng trình x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Bài 30 Cho a, b, c ba số dơng kh¸c cã tỉng b»ng 12 Chøng minh r»ng ba phơng trình sau: x2 + ax + b = 0

x2 + bx + c = 0 x2 + cx + a = 0.

Cã mét phơng trình vô nghiệm, phơng trình có nghiệm

Bài 31 Cho biết phơng trình x2 + bx + c = 0, với b, c số hữu tØ cã mét nghiƯm lµ

1

2 Tìm cặp số

(b, c)

Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền

2

tháa m·n ®iỊu kiƯn:

2

1

x x 

:

Bài 34 Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số). Tìm m để phơng trình có nghiệm

2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn

3 Xác định m để nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = Tìm hệ thức x1, x2 mà khơng ph thuc vo m

Bài 35 Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn

1

1

1

5

x x x x



 

-Bài 36 Cho phơng trình x2 + 5x - = (1)

Không giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1)

Bài 37 Chứng minh phơng trình sau cã nghiƯm víi mäi a vµ b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0.

Bài 38 Chứng minh phơng trình sau có nghiƯm víi mäi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0.

Bài 39 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau có nghiệm:

2

4

2

x y

x y m

 

 

 



Bài 40 Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + ax + = (1) x2 + x + a = (2).

Bài 41 Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0.

Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = có hai nghiệm âm, dơng, trái dấu

Bài 43 Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + = 0. Bài 44 Chứng minh phơng trình sau có nghiệm với a, b c:

x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) =

(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) =

Bài 45 Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm nÕu

2

4

b c a  a .

Bµi 46 Chøng minh r»ng Ýt hai phơng trình sau có nghiệm bm = 2(c + n): x2 + bx + c = vµ x2 + mx + n = 0.

Bài 47 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc α mà af() phơng trình có nghiệm

Bài 48 Cho biết phơng trình ax2 + bx +2 c = ax2 + bx - c = (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng 22 để chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = có nghiệm.

Bµi 50 Víi giá trị a hệ phơng trình sau cã nghiÖm:

2

3x y

x y a

 

 

 



Bài 51 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) và x2 + mx + = (2).

Bài 52 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + m + = 0.

Bài 53 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 + (3m - 5)x - = 6x2 + (7m-15)x -19 = 0.

Bài 54 Tìm giá trị nguyên a để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 + (3m - 1)x - = 6x2 - (2m - 3)x - = 0.

Bài 55 Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình 2x2 - 13x + 2m = (1) gấp đôi nghiệm ph-ơng trình x2 - 4x + m = (2).

Bài 56 Cho số a, b, c khác đôi một, c ≠ Biết phơng trình

x2 + ax + bc = 0(1) x2 + bx + ca = (2) có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó. Bài 57 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2).

1 Biết phơng trình (1) có nghiệm dơng m,

2 Chứng minh phơng trình (2) có nghiƯm n cho m + n ≥ Bµi 58 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2).

Tìm liên hệ số a, b, c biết nghiệm x1, x2 phơng trình (1), nghiệm x3, x4 ph-ơng trình (2) thỏa mãn đẳng thức:

2 2

1 4

x x x x

Bài 60 Tìm số a, b cho phơng trình: x2 + ax + = vµ x2 + bx + 12 = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung vµ a b nhá nhÊt

Bài 61 Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m - = có nghiệm khơng âm. Bài 62 Tìm m để phơng trình

2 2 2 4 3 0

x  m x  x m  

cã nghiÖm

Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2.

Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = có hai nghiệm phân biệt lớn -1. Bài 65 Với giá trị m hai nghiệm phơng trình x2 + x + m = lớn m?

Bài 66 Tìm giá trị m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + = 0.

Bài 67 Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0. Bài 68 Tìm giá trị m để phơng trình: mx4 - 10mx2 + m + = 0

1 Cã nghiƯm ph©n biÖt

2 Cã nghiÖm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) tháa m·n ®iỊu kiƯn:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1 Bµi 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 - 2(m - 1)x - - m = 0.

1 Chøng tá phơng trình có nghiệm số với m

2 Tìm m cho nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mÃn điều kiện:

2

1 10

x x 

Bµi 78 Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0.

a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Bài 79 Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.

a Chứng minh rằng, phơng trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi b Định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: < x1 < x2 < Bài 80 Cho hai phơng trình: x2 + x + a = (1)

x2 + ax + = (2) Tìm giá trị a để hai phơng trình: a Tơng đơng với

b Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung Bµi 81

a Chứng minh đẳng thức: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2

b Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1

Bµi 84 Cho phơng trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - + m = 0. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m

2 Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 tìm giá trị m để nghiệm gấp hai lần nghiệm

Bài 85 Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = 0. Định m để phơng trình có nghiệm

2 T×m m cho phơng trình có nghiệm x1, x2 tháa m·n:

2

1 10

x x

Bài 85 Cho phơng trình x2 - 2mx + m + = 0.

1 Xác định m để phơng trình có nghiệm khơng âm

2 Khi tính giá trị biểu thức: E x1 x2 theo m

Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 -

Bài 88 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - m = 0.

1 Chøng minh r»ng ph¬ng trình luôn có nghiệm x1, x2 với m Với m 0, lập phơng trình ẩn y tháa m·n:

1

2

y x x

 

,

2

1

y x x

 

Bài 89 Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn:

2

1

5

x  x 

Bài 90 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - = Xác định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn

2

1 2

B x x  x x

đạt giá trị nhỏ

T×m hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 91 Cho phơng trình: x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0.

1 Chứng minh phơng trình ln ln có hai nghiệm x1, x2 với m Xác định m để:

2

1 4( 2)

Bài 92 Cho phơng trình: x2 + ax + = Xác định a để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2

1

2

7

x x

x x

   

 

   

   

Bài 93 Cho phơng trình: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2

2 Chứng minh nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức:

2

1 2

2

3

2

x x  x x   

  .

Bài 94 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm là: 9ac = 2b2.

Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac.

Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b Định m để hai phơng trình tơng đơng

c Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt.

Bài 100 Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = víi a, b, c lµ số hữu tỉ, a Cho biết phơng trình có nghiệm HÃy tìm nghiệm l¹i

Bài 101 Tìm tất số ngun k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = ln ln có nghiệm số hữu tỷ. Bài 102 Cho phơng trình: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + = xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

1

1

1

2

x x

x x



 

Bài 105 Cho hai phơng trình: 2x2 + mx - = (1) mx2 - x + = (2) Với giá trị m, phơng trình (1) phơng trình (2) có nghiệm chung

Bài 106 Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình: 3x2 - cx + 2c -1 = Tính theo c giá trị biểu thøc:

3

1

1

S

x x

 

Bài 107 Xác định a để phơng trình: x2 + ax + = x2 + x + a = có nghiệm chung.

Bµi 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = Với giá trị tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa m·n:

1

2

2

x x x x  .

Bµi 109 Cho biết x1, x2 hai nghiệm phân biệt khác phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (

0; , ,

a a b c R ) HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: 12 22 1

,

x x .

Bµi 110 BiÕt x1, x2 hai nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = HÃy viết phơng trình bËc hai nhËn

3

1,

x x

lµm hai nghiƯm

Bµi 111 Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.

1 Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m

2 Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn

Bài 112 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6. Định m để phơng trình có hai nghiệm âm

2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

3

1 50

x x

Bài 114 Cho phơng trình: x2 - 6x + m = Với giá trị tham số m, phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 tháa m·n

3

1 72

x x 

Bài 116 Cho phơng trình: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = 0.

1 Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu với m Với giá trị nµo cđa tham sè m, biĨu thøc:

2

1

E x x

đạt giá trị nhỏ Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = x2 + a2x + b2 = 0

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh hai phơng trình cho có nghiệm Bài 119 Cho phơng trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + = 0.

1 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

1

1

2 Lập hệ thức x1 x2 c lp vi m

Bài 120 Cho phơng tr×nh: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + - m = 0.

1 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2

1 2

x x x x LËp mét hƯ thøc gi÷a x1 x2 không phụ thuộc vào m

3 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là:

1

1

1

1

,

1

x x

X X

x x

 



Bài 121 Cho phơng tr×nh: x2 + (m + 1)x + m = 0.

1 Chứng minh phơng trình luôn có nghiƯm x1, x2 víi mäi m Víi gi¸ trị tham số m, biểu thức:

2

1

E x x

đạt giá trị nhỏ Bài 122 Cho phơng trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - = 0.

1 Giải phơng trình a = 13

2 Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 123 Cho phơng trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0.

1 Chứng minh phơng trình ln ln có nghiệm với m Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 <

4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, h·y lËp mét hƯ thức x1, x2 m

Bài 124 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m - = 0.

1 Chứng minh phơng trình ln ln có nghiệm với m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối

Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 - x2 =

3

1 35

x  x 

Tính nghiệm

Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm dơng x1 phơng trình: ct2 + bt + a = có hai nghiệm phân biệt t1 > thỏa mãn: x1 + t1 ≥

Bµi 130 Cho phơng trình: 2x2 (2m + 1)x + m2 9m + 39 = 0. Giải phơng trình m =

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại Tìm nghiệm Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a b để phơng trình có hai nghiệm a b.

Bài 132 Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1). Khi m = 1, tìm nghiệm phơng trình f(x) = Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng bình phơng

3 Giả sử phơng trình f(x) = có hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 LËp mét hƯ thøc x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bi 138 Giả sử phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác định m để biểu thức:

2

1 10

E x x  x x

đạt giá trị nhỏ Tính E Bài 140 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0

a Chứng minh với m, phơng trình ln ln có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép

b Xác định m để phơng trình có nghiệm x = Tớnh nghim cũn li

Bài 141 Cho phơng trình: x2 - mx + m -1 = Cã nghiệm x1, x2 Với giá trị m, biểu thøc:

1

2

1 2

2

2(1 )

x x R

x x x x

 

   đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó.

Bµi 142 Cho a số thực khác -1 HÃy lập phơng tr×nh bËc hai cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n c¸c hƯ thøc: a 4x1x2 + = 5(x1 + x2) (1)

b    

1

1

1

x x

a

 

(2)

Bài 145 Cho phơng tr×nh: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a Với giá trị a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân bit ln hn -1

Bài 146 Cho phơng trình: x2 - ax + a + = cã hai nghiệm x1 x2.

a Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị biểu thức:

2

1

2

1 2

3x 3x

M

x x x x

 





b Tìm giá trị a để:

2

1

P x x

đạt giá trị nhỏ Bài 147 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= 0.

b Chøng minh có hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0.

a Chứng minh với a, b phơng trình cho có nghiệm

b Muốn cho phơng trình cho có nghiệm 1/2 a b phải bao nhiêu? Bài 149 Cho phơng trình: x2 - 2mx - 2m - = 0.

a Chứng minh phơng trình luôn có nghiƯm x1, x2 víi mäi m b T×m biĨu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m

c Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

1

2

5

x x

x  x . Bài 150 Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m =

a Giải biện luận phơng trình theo m

b Khi phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2:  Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m  Tìm m cho: x1 x2

Bài 151 Cho phơng trình : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = 0.

a Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm

c Gọi x1, x2 hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E(x11)x2 đạt giỏ tr ln nht.

Bài 152 Cho phơng trình: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0. a Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi m

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2

1

x x Bµi 153 Gäi x1, x2 hai nghiệm phơng trình: x2 - 3x + a = 0

Gäi t1, t2 lµ hai nghiệm phơng trình: t2 - 12t + b = 0 Cho biÕt:

1

2

x x t

x t t

TÝnh a vµ b

D Hàm số đồ thị Kiến thức bản

Hµm sè

a Khái niệm hàm số

- Nu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số tơng ứng x x đợc gọi biến số

- Hàm số cho bảng công thức b Đồ thị hàm số

- thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) mặt phẳng tọa độ)

c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

* Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R

- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R * Tổng quát

+

2

1 2

2

( ) ( )

0, , ,

f x f x

x x D x x x x



    



Hàm số f(x) đồng biến D +

2

1 2

2

( ) ( )

0, , ,

f x f x

x x D x x x x



 

Hàm số f(x) nghịch biến D Hàm số bậc nhất

a Khái niƯm hµm sè bËc nhÊt

- Hàm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trớc a 0 b Tính chất

Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a >

- Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b

- Song song với đờng thẳng y = ax, b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Cho y = x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi

+

' // '

'

a a d d

b b

   

 

+ d'd' A  a a '

+

' '

'

a a d d

b b

 

  

 

+ d d' a a '1

e Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0)  Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox

- Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng

 Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a phơng trình y = ax + b đợc gọi hệ số góc đờng thẳng y = ax +b f Một s phng trỡnh ng thng

- Đờng thẳng qua ®iĨm M0(x0;y0)cã hƯ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0 - Đờng thẳng qua điểm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ 0

1

x y x  y  Hàm số bậc hai

a Định nghĩa

- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) b TÝnh chÊt

- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với giá trị c thuộc R và: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị

+ Nếu a < đồ thị nằm phía dời trục hồnh, O điểm cao đồ thị Kiến thức bổ xung

Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi

- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính cơng thức

2

( B A) ( B A) AB x  x  y  y

- Tọa độ trung điểm M AB đợc tính công thức

;

2

A B A B

M M

x x y y

x   y  

Quan hệ Parabol y = ax2 (a 0) đờng thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phơng trình

2

y ax y mx n

  

 



- Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phơng trình ax2= mx + n (*)

- Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phơng trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm (P) (d) điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiÕp xóc

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

- Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị - Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị - Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần

- Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox

Hàm số chẵn, hàm số lẻ d Hàm số chẵn, Hàm số lẻ

- Hm s y = f(x) đợc gọi chẵn +  x D  x D + f(-x) = f(x)  x D - Hàm số y = f(x) đợc gọi lẻ

+  x D  x D + f(-x) = - f(x)  x D e Chó ý

- Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

Sơ lợc hàm bậc hai tổng quát y = ax2 + bx + c (a 0)

a TÝnh chÊt

Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a 0) xác định với giá trị x thuộc R - Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến

( ; ]

2

b x

a

    

, đồng biến

[ ; )

2

b x

a

   

- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến

( ; ]

2

b x

a

    

, nghÞch biÕn

[ ; )

2

b x

a

   

a §å thÞ

Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Parabol có đỉnh

( ; )

2

b S

a a



 

có trục đối xứng

2

b x

a



- NÕu a > 0: Parabol cã bỊ lâm quay lªn trªn nhËn S làm điểm thấp - Nếu a < 0: Parabol cã bỊ lâm quay xng díi nhËn S lµm ®iĨm cao nhÊt nhÊt a Chó ý

- Tọa độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) (D): y = mx + n nghiệm hệ

2

y ax bx c y mx n

   



 



- Hoành độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) (D): y = mx + n nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = mx + n

- Giao ®iĨm cđa (P): y = ax2 + bx + c (a 0) trục hoành nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = 0

VÝ dô minh häc Bµi tËp chän läc

Bµi Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x

a Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Oxy

b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy điểm có tung độ 6, cắt đờng thẳng: y = x y = 3x lần lợt A B Tìm tọa độ điểm A B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ

1

y x

a Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số trên; b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng

1

y x

y = - 2x lần lợt A B Chứng minh tam giác AOB tam giác vng tính diện tích tam giác

Bài 3: Cho hàm số yx a Vẽ đồ thị hàm số;

b Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số yx A B Tam giác OAB tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi diện tích tam giác

Bµi 4: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + (d)

b Tìm giá trị m, biết đờng thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc m

c Chứng minh m thay đổi đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m

a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ

c Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị ứng với giá trị m tìm đợc câu a, b Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + y = -1

a Vẽ ba đờng thẳng cho hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm đờng thẳng y = -x + y = x + A, giao điểm đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + y = x + theo thứ tự B C Tìm tọa độ điểm A, B, C

c Tam giác ABC tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x +

a Xác định tọa độ giao điểm A B đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d

b Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d Bài 9: Tìm giá trị k để ba đờng thẳng:

y = 2x + (d1)

1

3

y x

(d2)

2

y x

k k

 

(d3) đồng quy mặt phẳng tọa độ

Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x - y = (2m - 1)x + a Chứng minh

1

m 

hai đờng thẳng cho vng góc với b Tìm tất giá trị m để hai đờng thẳng cho vng góc với Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trờng hợp sau:

a Khi a  3, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ  b Khi a = - 5, đồ thị hàm số qua điểm A(- 2; 3)

c §å thị hàm số qua hai điểm M(1; 3) N(- 2; 6)

d Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y 7x qua điểm 1;7 7 Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d)

a Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) có tung độ gốc 10

b Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vng góc với đờng thẳng (d) cắt trục Ox điểm có hồnh độ –

c Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox A, cắt trục Oy B diện tích tam giác AOB

Bµi 13: Cho hµm sè: y = 2x + (d1)

1 2

y x

(d2)

a Vẽ đồ thị hai hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với trục Oy A, giao điểm đờng thẳng (d2) với trục Ox B, giao điểm đờng thẳng (d1) (d2) C Tam giác ABC tam giác gì? Tìm tọa độ điểm A, B, C

c TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Bài 14: Cho hàm số sau: y = - x - (d1) ;

1

y x

(d2) ; y = 4x (d3) a Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) (d3) lần lợt A B Tìm tọa độ điểm A, B

c Tam gi¸c AOB tam giác gì? Vì sao? d Tính diện tích tam gi¸c AOB

Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + (d1) y = 3x + (d2)

a Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy

b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) (d2) với trục Oy lần lợt A B Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB

c Gọi J giao điểm hai đờng thẳng (d1) (d2) Chứng minh tam giác OIJ tam giác vng Tính diện tích tam giác

Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + (d1) y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm giá trị k để:

a (d1) vµ (d2) cắt

b (d1) (d2) cắt điểm trục tung c (d1) (d2) song song víi

Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d) Tìm giá trị m, n để đờng thẳng (d): a Đi qua điểm A(1; - 3) B(- 2; 3)

b Cắt trục tung điểm có tung độ 1 3, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 3 c Cắt đờng thẳng 3y - x - =

d Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - e Trùng với đờng thẳng y - 3x - = Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm

1

(0; )

4

F

a và đờng thẳng (d):

1

y

a



(a ≠ 0) Gọi M(x; y) điểm thuộc mặt phẳng, H hình chiếu điểm M đờng thẳng (d)

a Tính MF2 MH2 theo x, y tọa độ điểm M. b Biết MF = MH, tìm hệ thức liên hệ x y Bài 19: Cho hàm số: y = (m2 - 6m + 12)x2.

a Chứng tỏ hàm số nghịch biến khoảng (-2005; 0), đồng biến khoảng (0; 2005) b Khi m = 2, tìm x để y = 8; y = y = -

c Khi m = 5, hÃy tìm giá trị y, biÕt x  1 2, x = 1- vµ

1

1

x 

 .

Bµi 20: Cho hµm sè: y = - (k2 – 2k + 3)x2.

a Chứng tỏ hàm số đồng biến khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0)

b Khi k = 1, tính giá trị y, biết x  2 3, x  2 vµ

2

2

x 

 .

c Tìm giá trị k x = 2, y = 10 Bµi 21: Cho hµm sè: y = (2m + 1)x2.

a Tìm m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – điểm A có hồnh độ

b Với giá trị tìm đợc m vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 đồ thị y = 4x – mặt phẳng tọa độ

c Bằng đồ thị, xác định tọa độ giao điểm thứ hai hai đồ thị vẽ ý b

Bài 22 Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Tìm giá trị a, b, c biết đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện sau:

a Hµm sè nhËn giá trị x = 0, x = nhận giá trị x = -1

b Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1/2

c Đồ thị hàm số qua điểm A(-1, 0), B(1, 3) vµ C(3, 2)

Bài 23 Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q Tìm giá trị k q biết đờng thẳng (d) thỏa mãn điều kin sau:

a Đi qua điểm A(-1; 2) B(3; 4)

b Cắt trục tung điểm có tung độ 1 cắt trục hoành điểm có hồnh độ 2 c Cắt đờng thẳng -2y + x - =

d Song song với đờng thẳng 3x + 2y =

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) đờng thẳng (d): y = -2x - a Chứng minh A (d)

b Tìm giá trị a để Parabol: y = ax2 qua A

c Tìm đờng thẳng qua A vng góc với đờng thẳng (d)

d Gọi A B giao điểm (P) với đờng thẳng tìm đợc câu c, C giao điểm đờng thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ điểm B, C tính diện tích tam giác ABC

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 đờng thẳng (d): y = mx + n Tìm giá trị m n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn điều kiện sau:

a Song song với đờng thẳng y = x tiếp xúc với (P) b Đi qua điểm A(1,5; -1) tiếp xúc với (P)

Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (d) trờng hợp Bài 26 Cho hàm số:

2

y x Vẽ đồ thị (P) hàm số

2 Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phong trình đờng thẳng MN

3 Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm

Bµi 27 Cho hµm sè

2

y x

1 Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số

Bµi 28 Cho hµm sè:

2

( ) 2

yf x   x  x .

1 Vẽ đồ thị hàm số

2 T×m tÊt giá trị x cho f(x) Bµi 29 Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè).

1 Tìm m cho đồ thị (P) hàm số y = x2 đồ thị (D) y = x + m có hai giao điểm phân biệt A B

2 Tìm phong trình đờng thẳng (d) vng góc với (D) (d) tiếp xúc với (P) a) Thiết lập cơng thức tính khoảng cách hai điểm theo tọa độ hai im y

b) áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A, B (ở câu 1) lµ 3

Bài 30 Trong hệ trục tọa độ gọi (P) đồ thị hàm số y = ax2 (D) đồ thị hàm số y = - x + m. Tìm a biết (P) qua A(2; -1) vẽ (P) với a tìm đợc

2 Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) tìm tọa độ tiếp điểm

3 Gọi B giao điểm (D) (ở câu 2) với tung độ C điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ C nằm (P) tam giác ABC vuông cân

Bài 31 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + =

1 Tìm tọa độ giao điểm A (D1) (D2) đồ thị kiểm tra lại phép toán Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc. Tìm phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) A

Bài 32 Cho (P) đồ thị hàm số y = ax2 điểm A(- 2; -1) hệ trục. Tìm a cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm đợc

2 Gọi B điểm thuộc (P) có hồnh độ Viết phong trình đờng thẳng AB Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) song song với AB

Bµi 33 Cho parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (D) qua điểm A B (P) có hồnh độ lần lợt -

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số Viết phong trình (D)

3 Tìm điểm M cung AB (P) (tơng ứng hoành độ) x   2; 4 cho tam giác MAB có diện tích lớn

Bµi 34 Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1 Vẽ (P)

2 T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)

3 Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 35.Trong hệ trục vng góc có parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (D) qua điểm

3 ( ; 1)

2

I 

cã hÖ sè gãc m

1 VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cđa (D) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)

3 Tìm m cho (D) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 36 Trong hệ trục tọa độ cho parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (D):

1 2

y x

VÏ (P) vµ (D)

2 Bằng phép tốn, tìm tọa độ giao điểm (P) (D)

3 Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (D) Bài 37 Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + = (1)

1 Viết phong trình đờng thẳng qua A(2; 1)

2 Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định M với m Tìm tọa độ M Bài 38 Cho hàm số:

3

2

2 8

( )

4

x x x

y f x

x

  

 

 .

1 Tìm tập xác định hàm số Vẽ đồ thị (D) hàm số

3 Qua điểm M(2; 2) vẽ đợc đờng thẳng khơng cắt đồ thị (D) hàm số? Bài 39 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3.

Bµi 40 Cho parabol

2

y x

(P), điểm I(0; 2) điểm M(m; 0) víi m ≠ VÏ (P)

2 Viết phong trình đờng thẳng (D) qua hai điểm M, I

3 Chứng minh đờng thẳng (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m ≠

4 Gọi H K hình chiếu A B lên trục hoành Chứng minh tam giác IHK tam giác vuông Chứng minh độ dài đoạn AB > với m ≠

Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho parbol (P):

2

y x

điểm I(0; -2) Gọi (D) đờng thẳng qua I có hệ số góc m

1 Vẽ đồ thị (P)

2 Chøng tá r»ng với m, (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung ®iĨm M cđa AB

3 Với giá trị m AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài 42 Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P).

1 Vẽ đồ thị (P)

2 Tìm quỹ tích điểm M qua vẽ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

Bài 43 Trong hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đờng thẳng (D): y = kx + b. Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; -1)

2 Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) 2)

4 Gọi (d) đờng thẳng qua điểm

3 ;

C  

  vµ cã hƯ sè gãc m.

a Viết phong trình đờng thẳng (d)

b Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với Bài 44 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy.

1 VÏ (P)

2 Gọi A B hai điểm nằm (P) lần lợt có hoành độ -1 Chứng minh rằng; tam giác OAB vng

3 Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB tiếp xúc với (P) Cho đờng thẳng (d): y = mx + (với m tham số)

a Chứng minh rằng; (d) luôn qua điểm cố định với m b Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn:

2

1

1

11

x x 

Vẽ (d) với m tìm đợc

Bài 45 Cho hàm số: y x2 2x 1 x2 6x9 Vẽ đồ thị ca hm s

2 Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tơng ứng Với giá trị x y

Bµi 46 Cho hµm sè:

2 4

4

x x

y 

có đồ thị (P) Vẽ (P)

2 Viết phong trình đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P) Tìm tập hợp điểm mà qua có hai tiếp tuyến vng góc đến (P) Bài 47 Cho hàm số: y = 2x2 (P).

1 Vẽ đồ thị (P) hàm số

2 Tìm quỹ tích điểm M cho qua M kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc tiếp xúc với (P)

Bài 48 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x2 + 4x - đờng thẳng (D); 2y + 4x - 17 = 0. Vẽ (P) (D)

2 Tìm vị trí A thuộc (P) B thuộc (D) cho độ dài đoạn AB ngắn

Bài 49 Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - Gọi (d) đờng thẳng qua A(3; 2) có hệ số góc m. Chứng tỏ với m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt B, C Xác định đờng thẳng (d) cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ

Bµi 50 Cho parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (d) có phong trình:

1

y mx 

2 Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN

Bài 51 Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x (d2): y = ax (a  0). Định a để (d2) qua A(3; -1)

2 Tìm giá trị m (d1) vng góc với (d2) câu 1) Bài 52 Cho hàm số: y = ax + b

1 Tìm a b cho biết đồ thị hàm số qua hai điểm M(- 1; 1) N(2; 4) Vẽ đồ thị (d1) hàm số với a, b tìm đợc

2 Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 – m)x + m2 + m đờng thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) vừa tìm đợc

3 Gọi A điểm đờng thẳng (d1) có hồnh độ x = Tìm phong trình đờng thẳng (d3) qua A vng góc với hai đờng thẳng (d1) (d2) Tính khoảng cách (d1) (d2)

Bµi 53 Cho hµm sè: y = mx - 2m - (1) (m  0)

1 Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc

2 Tính theo m tọa độ giao điểm A, B đồ thị hàm số (1) lần lợt với trục Ox Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích (đ.v.d.t)

3 Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm cố định m thay đổi Bài 54 Cho parabol (P): y = ax2 hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0).

1 Tìm a biết (P) qua điểm M(1; 2) Khảo sát vẽ (P) với a tìm đợc

2 Tìm phong trình đờng thẳng AB tìm giao điểm đờng thẳng với (P) (ở câu 1)

3 Gọi C giao điểm có hồnh độ dơng Viết phong trình đờng thẳng qua C có với (P) điểm chung

Bµi 55

1 Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1) (P) Xác định a vẽ (P) với a tìm đợc. Biện luận số giao điểm (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx - m +

3 Chøng tá r»ng,

1 ; 2

I 

  thuộc (d) với m Tìm phong trình đờng thẳng qua I có vi (P)

điểm chung Bài 56

1 Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số

2

x y 

đờng thẳng (d):

1

y x 

Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P)

3 Biện luận số giao điểm (P) (d’): y = x - m hai cách (đồ thị phép toán) Bài 57 Cho parabol (P):

2

y x

đờng thẳng (d) qua hai điểm A B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -

1 Khảo sát vẽ đồ thị (P)

2 Viết phong trình đờng thng (d)

3 Tìm điểm M cung AB cđa (P) cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch lớn Tìm trục Ox điểm N cho NA + NB nhá nhÊt

Bµi 58 Cho parabol (P): y = ax2 hai điểm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5)

1 Viết phong trình đờng thẳng AB Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Khảo sát vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc

3 Một đờng thẳng (D) di động ln ln vng góc với AB cắt (P) hai điểm M N Xác định vị trí (D) để

5

MN 

Bài 59 Cho hàm số: y = x2 - 2x + m - có đồ thị (P). Vẽ đồ thị (P) m =

2 Xác định m để đồ thị (P) hàm số tiếp xúc với trục hoành

3 Xác định m để đồ thị (P) hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + hai điểm phân biệt Bài 60 Cho đờng thẳng (D1): y = mx -

(D2): y = 2mx + - m

1 Vẽ mặt phẳng tọa độ Oxy đờng thẳng (D1) (D2) ứng với m = Tìm tọa độ giao điểm B chúng Qua O viết phong trình đờng thẳng vng góc với (D1) A Xác định A tính diện tích tam giác AOB

2 Chứng tỏ đờng thẳng (D1) (D2) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định

Bài 61 Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phong trình: (d1):

3

2

2

m

y  x m

vµ (d2):

1

( 2)

3

m y m x 

3 Viết phong trình đờng thẳng (d1) (d2); cho biết (d1) song song với (d2) Bài 62 Cho parabol (P):

2

y x

1 Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m qua điểm A trục hồnh có hồnh độ 1, đờng thẳng gọi (D)

2 BiÖn luËn theo m số giao điểm (P) (D)

3 Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

4 Trong trờng hợp (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Tìm (P) điểm mà đờng thẳng (D) khơng qua với m

Bài 63 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + điểm A(2; 1) Gọi (D) đờng thẳng qua A có hệ số góc m. Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N

2 Xác định m để MN ngắn

Bài 64 Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - có đồ thị (P).

1 Chứng minh rằng; với m, đồ thị (P) ln ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt

2 Chứng minh m thay đổi, đỉnh parabol luôn chạy ng thng song song vi trc honh

Các dạng ôn tập vào lớp 10

( Su tập )

Phần 1: Các loại bµi tËp vỊ biĨu thøc Bµi 1: Cho biĨu thøc :

P=√a+2

√a+3−

5

a+√a −6+¿

1 2 −√a a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<1 Bài 2: Cho biểu thức:

P= (1 − √x

√x +1):(

√x +3

√x − 2+

√x +2

3−√x+

√x+2 x −5√x+6) a) Rót gän P

b)Tìm giá trị x để P<0 Bài 3: Cho biểu thức:

P= ( √x −1

3√x − 1−

1

3√x+1+

8√x

9 x −1):(1−

3√x −2

3√x +1) a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=

5

Bµi 4: Cho biĨu thøc : P= (1+ √a

a+1):(

1

√a −1−

2√a

a√a+√a −a −1) a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<1

c) Tìm giá trị P a=19 83 Bài 5: Cho biÓu thøc;

P=

1− a¿2 ¿

√a¿ ¿

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

2 )

P= ( √x +1

√2 x +1+

√2 x +√x

√2 x − 1 −1):(1+

√x+1

√2 x+1−

√2 x+√x

√2 x −1 )

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x ¿1

2.(3+2√2)

Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= ( 2√x

x√x+√x − x − 1−

1

√x −1):(1+

√x x +1) a) Rót gän P

b) Tìm x để P Bài 8: Cho biểu thức: P= (2 a+1

√a3 −

√a a+√a+1).(

1+√a3 1+√a −√a) a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P √1− a Bµi 9: Cho biĨu thøc:

1 2

:

1

x x x x x x

P

x

x x x x

     

 

     

 

 

   

a Rút gọn P

b Tính giá trị cđa P víi x  7

c Tính giá trị lớn a để P > a

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P= (1− a√a

1−√a +√a).(

1+a√a

1+√a −√a) a) Rót gän P

b) Tìm a để P< 7 − 4√3 Bài 11: Cho biểu thức: P= ( 2√x

√x +3+

√x

√x −3−

3 x +3

x − 9):(

2√x −2

√x −3 − 1) a) Rót gän P

b) Tìm x để P<

2

c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 12: Cho biÓu thøc :

P= (x −3√x x − 9 −1):(

9− x

x+√x − 6−

√x − 3

2−√x−

√x − 2

√x +3) a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P<1 Bài 13: Cho biểu thức :

P= 15√x −11 x +2√x −3+

3√x −2

1−√x −

2√x +3

√x+3 a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=

2

c) Chøng minh P

Bµi 14: Cho biĨu thøc: P= 2√x

√x +m+

√x

√x − m− m2

4 x − m2 víi m>0

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0

c) Xác định giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bài 15: Cho biểu thức :

P= a

2 +√a

a−√a+1−

2 a+√a

√a +1 a) Rót gän P

b) Biết a>1 Hãy so sánh P với |P| c) Tìm a để P=2

d) T×m giá trị nhỏ P Bài 16: Cho biểu thøc

P= ( √a+1

√ab+1+

√ab+√a

√ab− 1 −1):(

√a+1

√ab+1−

√ab+√a

√ab − 1 +1)

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P a= 23 b= 3 1

1+3

c) Tìm giá trị nhỏ P a+b=4 Bài 17: Cho biÓu thøc :

P= a√a− 1 a −√a −

a√a+1

a+√a +(√a −

1

√a)(

√a+1

√a− 1+

√a −1

√a+1) a) Rót gän P

b) Víi giá trị a P=7 c) Với giá trị a P>6 Bài 18: Cho biểu thøc:

P= (√a

2 −

1 2√a)

2

(√a −1

√a+1−

√a+1

√a −1) a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<0 c) Tìm giá trị a để P=-2 Bài 19: Cho biểu thức:

P= (√a−√b)

2

+4√ab

√a+√b

a√b − b√a

√ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rỳt gn P

c) Tính giá trị P a= 2√3 vµ b= √3 Bµi 20: Cho biĨu thøc :

P= ( x +2 x√x −1+

√x x +√x +1+

1 1−√x):

√x −1

2

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x Bµi 21: Cho biÓu thøc :

P= (2√x +x x√x −1−

1

√x −1):(1 −

√x +2 x+√x +1) a) Rót gän P

P=

1:(

2+√x+

3 x 4 − x−

2 4 −2√x):

1 4 − 2√x a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=20 Bài 23: Cho biểu thức :

P= ( x − y

√x −√y+

√x3−√y3 y − x ):

(√x −√y)2+√xy

√x +√y a) Rót gän P

b) Chøng minh P Bµi 24: Cho biÓu thøc : P= (

√a+√b+

3√ab

a√a+b√b).[(

1

√a −√b−

3√ab

a√a− b√b):

a− b a+√ab+b]

a) Rót gän P

b) TÝnh P a=16 vµ b=4 Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= 1+(2 a+√a −1

1 − a −

2 a√a −√a+a

1 −a√a )

a −√a

2√a −1 a) Rót gän P

b) Cho P= √6

1+6 tìm giá trị a

c) Chứng minh r»ng P>

3

Bµi 26: Cho biĨu thøc: P= (x −5√x

x −25 −1):(

25 − x

x+2√x −15−

√x +3

√x +5+

√x −5

√x −3) a) Rót gọn P

b) Với giá trị x P<1 Bài 27: Cho biểu thức:

P= ( 3√a a+√ab+b−

3 a

a√a −b√b+

1

√a −√b):

(a −1) (√a−√b)

2 a+2√ab+2 b

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị ngun a để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức:

P= (

√a− 1−

1

√a):(

√a+1

√a − 2−

√a+2

√a −1) a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P>

6

Bµi 29: Cho biÓu thøc: P= [(

√x+ √y)

2 √x+√y+

1 x+

1 y]:√

x3+y√x +x√y +√y3

√x3y +√xy3 a) Rót gän P

b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức :

P= √x

3

√xy −2 y−

2 x

x +√x −2√xy −2√y

b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P<0,2

PhÇn 2: Các tập hệ ph ơng trình bậc 2: Bài 31: Cho phơng trình :

m2 x (2 1)2=2 x +m2 a) Giải phơng tr×nh m=√2+1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 −√2 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 32: Cho phơng trình :

(m− ) x2− mx+m− 2=0 (x ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

c) Tính x12+x22 theo m Bài 33: Cho phơng tr×nh :

x2−2 (m+1) x +m −4=0 (x ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu

b) Chøng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với mäi m

c) Chứng minh biểu thức M= x1(1 − x2)+x2(1 − x1) không phụ thuộc vào m Bài 34: Tìm m để phơng trình :

a) x2 x +2 (m 1)=0 có hai nghiệm dơng phân biÖt b) 4 x2+2 x+m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt

c) (m2+1)x2−2 (m+1 ) x +2 m1=0 có hai nghiệm trái dấu Bài 35: Cho phơng trình :

x2( a 1) x a2+a 2=0

a) Chứng minh phơng trình cã nghiƯm tr¸I dÊu víi mäi a

b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị a để x12+x22 đạt giá trị nhỏ Bài 36: Cho b c hai số thoả mãn hệ thức:

b+

1

c=

1

CMR Ýt nhÊt mét hai phơng trình sau phải có nghiệm x

2

+bx +c=0

x2+cx +b=0

Bµi 37:Víi giá trị m hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2 x

2

−(3 m+2) x+12=0(1)

4 x2−(9 m 2) x +36=0(2)

Bài 38: Cho phơng trình :

2 x2−2 mx+m2− 2=0

a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghim dng phõn bit

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn phơng trình Bài 39: Cho phơng trình bậc hai tham sè m :

x2

+4 x +m+1=0

a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

b) T×m m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện x12+x22=10

Bài 40: Cho phơng tr×nh

x2−2 (m− 1) x +2 m 5=0

a) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm víi mäi m

x2−2 (m+1) x +2 m+ 10=0 (víi m tham số ) a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; hÃy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tỡm giá trị m để 10 x1x2+x12+x22 đạt giá trị nhỏ Bài 42: Cho phơng trình

(m− 1) x2− mx+m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt ∀ m≠ 1

b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm ph-ơng trình

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1

x2

+x2 x1

+5 2=0 Bài 43: A) Cho phơng trình :

x2− mx+m− 1=0 (m lµ tham sè)

a) Chứng tỏ phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mäi m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( nÕu cã) cđa phơng trình giá trị m tơng ứng

b) Đặt A=x12+x22 x1x2

Chng minh A=m28 m+8 Tỡm m A=8

Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng

c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lần nghiệm

B) Cho phơng trình

x22 mx+2 m 1=0

a) Chứng tỏ phơnh trình có nghiệm x1; x2 với m b) Đặt A= 2(x12+x22)− x1x2

 CMR A= 8 m2−18 m+9  T×m m cho A=27

c)T×m m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm

Bài 44: Giả sử phơng trình a x2+bx+c=0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt Sn=x1n+x2n (n nguyên

dơng)

a) CMR a Sn+2+bSn+1+cSn=0

b) áp dụng Tính giá trị : A= (1+√5

2 )

5

+(1−√5

2 )

5

Bµi 45: Cho

f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = có nghiệm với m

b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có nghiệm lớn Bài 46: Cho phơng trình :

x2−2 (m+1) x +m2− m+5=0 a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng

c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu d) Gọi x1; x2 hai nghiệm có phơng trình Tính x12+x22 theo m

Bµi 47: Cho phơng trình x2

x3+8=0 có hai nghiệm x1; x2 Không giải phơng trình , hÃy tính giá trị biểu thức : M =6 x1

2

+10 x1x2+6 x2

5 x1x23+5 x13x2 Bài 48: Cho phơng trình

a) Giải phơng trình m=

2

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x1(1 −2 x2)+x2(1− x1)=m2

Bài 49: Cho phơng trình

x2+mx+n −3=0 (1) (n , m lµ tham sè) Cho n=0 CMR phơng trình có nghiệm víi mäi m

 Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phơng trình (1) thoả mãn hệ : {x1− x2=1

x12− x 2=7

Bài 50: Cho phơng trình:

x22 (k −2 ) x − k − 5=0 ( k tham số) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k

b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị k cho x12+x22=18

Bài 51: Cho phơng trình

(2 m1) x2 mx+4=0 (1) a) Giải phơng trình (1) m=1

b) Giải phơng trình (1) m bÊt k×

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bài 52:Cho phơng trình :

x2−(2 m− 3) x+m23 m=0

a) CMR phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1<x1<x2<6 Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bài53: Tìm giá trị m để hệ phơng trình ; {(m+1) x − y=m +1

x+(m−1 ) y=2

Có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y nhỏ Bài 54: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị

a) {|x|+1= y

2 y −5=x b) {

x −|y|=2

x

4+

y

4=1

c) {|y +1|=x −1 y =3 x 12

Bài 55: Cho hệ phơng trình : {2 x+by=− 4

bx − ay=− 5

a)Giải hệ phơng trình a=|b|

b)Xỏc định a b để hệ phơng trình có nghiệm : * (1;-2)

* ( 2 1;2 )

*Để hệ có vô số nghiệm

Bài 56:Giải biện luận hệ phơng tr×nh theo tham sè m: {mx − y=2 m

4 x my=6+m

Bài 57: Với giá trị a hệ phơng trình : {x +ay=1

a) Cã mét nghiÖm b) Vô nghiệm

Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau: {x

2

+xy+ y2=19

x − xy + y=− 1

Bµi 59*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiệm: { |x − 1|+|y −2|=1

(x − y)2+m(x y 1) x + y=0

Bài 60 :GiảI hệ phơng trình: {2 x

2 xy+3 y2=13

x2− xy −2 y2=−6

Bµi 61*: Cho a b thoả mÃn hệ phơng trình : {a

3+2 b2− b+3=0

a2+a2b2− 2b=0 .TÝnh a

2 +b2

Bài 61:Cho hệ phơng trình : {(a+1) x − y =3

a x+ y=a

a) Giải hệ phơng rình a=- √2

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Phần 4: Hàm số đồ thị

¿ ¿ ¿

Bµi 62: Cho hµm sè :

y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)

b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √2 cắt trục hoành điểm có hồnh độ 2+ √2 c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bài 63: Cho hàm số : y=2 x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx− 1 theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2 x+m

1.Xác định m để hai đờng :

a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hồnh độ x=-1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm toạ độ A B

2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M N

Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x2 hai điểm phân biệt A B

b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 66: Cho (P) y=− x2

a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y=3

4x − 3

a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d)

a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị m hai đờng thẳng :

(d) y=(m− 1) x+2 (d') y=3 x − 1

a) Song song víi b) C¾t

c) Vu«ng gãc víi

Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng :

(d1)y=2 x − 5

(d2)y =x+ 2 (d3)y=a x −12

đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ

Bài 71: CMR m thay đổi (d) 2x+(m-1)y=1 ln qua điểm cố định Bài 72: Cho (P) y=1

2x

đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P)

Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2|

a) Vẽ đồ thị hàn số

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 75: Cho (P) y=−x

2

4 vµ (d) y=x+m

a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P)

Bµi 76: Cho hµm sè y=x2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d)

a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P)

c) ThiÕt lËp công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai ®iĨm A vµ B b»ng 3√2

Bài 77: Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì ?

b) Tìm a để hàm số y=a x2 (P) qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d2 ) qua A vng góc với ( d1 )

d) Gọi A B giao điểm (P) ( d2 ) ; C giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC

Bµi 78: Cho (P) y=1

4 x

đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lợt -2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số

c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x∈[− 2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn

(Gợi ý: cung AB (P) tơng ứng hoành độ x∈[− 2; 4] có nghĩa A(-2; yA ) B(4; yB ) tính yA ;; yB )

Bµi 79: Cho (P) y=−x

2

4 điểm M (1;-2)

a) Vit phng trỡnh đờng thẳng (d) qua M có hệ số góc m b) CMR (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi

c) Gọi xA; xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt giá trị nhỏ tính giá trị

d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ giác AA'B'B *Tính S theo m

*Xác định m để S= 4 (8+m2√m2+m+2) Bài 80: Cho hàm số y=x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=−1

4x

đờng thẳng (d) y=mx− 2m −1

a) VÏ (P)

b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định

Bµi 82: Cho (P) y=−1

4x

điểm I(0;-2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B ∀ m∈ R

b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 83: Cho (P) y=−x2

4 đờng thẳng (d) qua điểm I(

2;1 ) cã hƯ sè gãc lµ m

a) VÏ (P) viết phơng trình (d) b) Tìm m cho (d) tiÕp xóc (P)

c) T×m m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 84: Cho (P) y=x

2

4 đờng thẳng (d) y=−

x

2+2

a) VÏ (P) vµ (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài 85: Cho (P) y=x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bµi 86: Cho (P) y=2 x2 a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hồnh độ x=2 Xác định giá trị m n để đ -ờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB

Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1)x + y=m

(d2)mx+ y=1 cắt điểm

(P) y= x2

Phần 5: Giải toán cách lập ph ơng trình

Bài 88: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi

Bài 89: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng ,biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nớc km/h

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng n ớc km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động quãng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quãng đờng 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời

Bài 92: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc

4 quãng đờng AB , xe tăng vận tốc thêm Km/h quãng đờng

lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút

Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ng ời đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biết thời gian nhiều thời gian 30 phút

Bài 94:Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngợc chiều Sau 1h40 gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ng ợc 9Km/h vận tốc dòng nớc Km/h

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ?

Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ng ời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB

Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 Km/h Khi đến B ng ời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 Km/h Tính qng đờng AB biết thời gian lẫn 50 phút

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau ng ợc từ B A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi

Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 Km/h Lúc đầu tơ với vận tốc , cịn 60 Km đợc nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h quãng đờng cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB

Bài 100: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qng đờng sơng AB biết hai ca nô đến B lúc

Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút , ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp

Bài 102: Một ca nô chạy sông , xuôi dòng 108 Km ngợc dòng 63 Km Một lần khác , ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 Km ngợc dịng 84 Km Tính vận tốc dịng nớc chảy vận tốc riêng ( thực ) ca nơ

Bµi103: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km , 20 phút Tính vận tốc tầu nớc yên lặng , biết vận tốc dòng nớc Km/h

Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa qng đờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng

Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đ ợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô

Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cịn cách B 30 Km , ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng lúc đầu

2 Năng xuất

Bi 108: Hai i cụng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày vợt mức 6000 đơi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà cịn vợt mức 104 000 đơi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch

Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng vợt mức đợc tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà cịn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định

Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe đợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng bng

Bài 112: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung hoàn thành đ ợc

2

3 mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khốn tổ phải làm bao

l©u ?

Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc

Bài 114: Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơngviệc Hỏi ngời làm cơng việc xong

3 ThĨ tÝch

Bài 115: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

Bài 116: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai giê 30 Hái nÕu ch¶y riêng vòi chảy đầy bể bao l©u ?

Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc

3 thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn ,

bơm đợc 15 m3 Do so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa.

Bài upload.123doc.net: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khố lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 20 phút đợc

1

5 bể Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể ?

Bài 119: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

Phần : Hình học

Bi120: Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA CO’B Qua trung điểm M AB , dựng DE  AB

b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G

d) *Xét vị trí MF đờng trịn tâm O’ , vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE

Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R

2 CMR

ΔPOQ ΔCED=

25 16

d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng trịn tâm O hình thang vng CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD

Bài 122: Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey

a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ?

c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ?

Bài 123: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax

c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H

Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE

a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ?

b) Gọi I trung ®iĨm cđa AC , chøng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH

2 H ; F đối xứng qua AC

Bài 125: Cho (O,R) (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vng góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng O’P = R ; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O’

Bài 126: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D

a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B

Bài 127: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )

a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc hai tiếp tuyến MP MQ 45 0

b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I nằm đờng tròn c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp  MPQ M chạy d

Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB

( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác tam giác )

Bài 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), cung tròn BC nằm  ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH

a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác  HMK

Bài 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B ^A C > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm AB , AC Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp  AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH , DE

Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R√2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN

a) CMR OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng

c) TÝnh diƯn tÝch cđa phÇn mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhá BC cña (O)

Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF

a)  AFC vµ  BEC cã quan hƯ víi nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D l giao im đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài133: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N

a) CMR  AMC đồng dạng  ANC b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM=3MB TÝnh tØ sè CN ND

¿❑

❑

Bài 134: Một điểm M nằm đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng tròn (O) đờng kính AB

Bài 135: Gọi O trung điểm cạnh BC  ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N

a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ suy BC2 = BM.CN b) CMR : MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC

c) CMR đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng trịn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC

Bài136: Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M ≠ A , B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ

Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn

b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB

Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C ) vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đ -ờng trịn (O) ti I

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC

(Lớp10- đề toán)

a) Chøng minh : CD // AB

b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN ln qua điểm K cố định c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 140: Cho đờng trịn đờng kính AB , điểm C , D đờng trịn cho C , D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD lần l ợt M , N ; giao điểm MN với AC , AD lần lợt H , I ; giao điểm MD với CN K

a) CMR: ΔNKD ; ΔMAK c©n

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK

Bài 141: Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp c

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? T¹i ?

d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đờng tròn cố định M di động

Bài 142: Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm cung AB ; gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) điểm K Các tia AH ; BM cắt S

a) Tam giác BAS tam giác ? Tại ? Suy điểm S nằm đờng tròn cố định b) Xác định vị trí tong đối đờng thẳng KS với đờng trịn (B;BA)

c) Đờng tròn qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) điểm N CMR đờng thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB

d) Xác định vị trí M cho M ^K A=900 .

Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn P điểm cung AB khơng chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:

a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiÕp xóc víi PA t¹i A

Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt điểm B , C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D v CO2E

a) CMR: M trung điểm cđa BC b) CMR: Δ O1MO2 vu«ng

c) Chøng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng

d) Gi I trung điểm DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d Bài 145: Cho (O;R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA

a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi

d) Gọi I giao điểm đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy đờng tròn cố định Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?

c) Gọi K giao ®iĨm cđa AN víi OP ; I lµ giao ®iĨm ON với PM ; J giao điểm PN víi OM CMR : K , I , J thẳng hàng

d) Xỏc nh v trớ ca P cho K nằm đờng tròn (O)

Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi

Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F

a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O’)

Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM )

a) CMR tia OC , OD tia phân giác cđa c¸c gãc AOM , BOM b) CMR : CA DB vuông góc với AB

c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD d) CMR : AC.BD = R2

Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB điểm M đờng trịn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H , I Cãc dây AM HI cắt K

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹ ΙΡ⊥ ΑΜ Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)

c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với đờng trịn cố định

Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 C ^O D=900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm chớnh chớnh gia cung AM

Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E F a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ? b) CMR : D điểm chÝnh gi÷a cđa cung MB

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc

d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đờng tròn

Bài 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q

a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC