Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy nếu bài toán cho trước tọa độ 1 điểm M nằm trên AB, cho tọa độ đỉnh C, cho phương trình phân giác AB, ta có thể lấy đối xứng của M qua AD là N.. Khi đó đường thẳng AC là đường thẳng[r]
(1)PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐỘ DÀI Mục tiêu phương pháp gán độ dài xây dựng mối liên hệ
giữa có chưa có
Chẳng hạn hình vẽ bên thấy có độ dài EF cịn chưa có độ dài EA Nếu ta tính độ dài EA vấn đề trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế khó chỗ
Để tính EA ta khơng nên suy nghĩ đơn giản tính độ dài cách trực tiếp Thực tế hình học khơng thể tính trực tiếp mà Ta tính EA thơng qua bước sau: Bước 1: Đặt độ dài hình vẽ a (có thể cạnh hình vng, cạnh hình chữ nhật, chẳng hạn đặt AB = a) Bước 2: Tính độ dài EA EF theo a (chẳng hạn EA =
2a, EF = a )
Bước 3: Độ dài EF thực tế a = 1, độ dài EA = Từ việc tìm A đơn giản
VẤN ĐỀ 1: GÁN MỘT ĐỘ DÀI BẰNG TÍNH CHẤT HÌNH VẼ: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD A 1;3 M N trung điểm AB BC DM cắt AN E 13 13;
5
F điểm nằm đoạn thẳng CD cho 10DF = 3CD Biết điểm F nằm đường thẳng d:11x5y160 Xác định tọa độ đỉnh F
Bài toán có mối quan hệ dễ nhìn thấy mối quan hệ vng góc A, E F Trong tốn tơi sử dụng kỹ thuật gán độ dài để chứng minh mối quan hệ Pithagore
Các vấn đề tìm nốt điểm cịn lại để hồn thiện toán, học sinh tự xử lý nốt
Đặt độ dài cạnh AD = a, AB = 2a, gọi I trung điểm AD K trung điểm DM Ta dễ dàng thấy điểm I, K, N thẳng hàng Ta có a 3a
2 2
AM
IK KN Mặt khác theo định lý Thales ta có:
2 2 a 17 a 4a
,
3 5 5 5
ME AE AM AE ME
AE AN ME MK DE
EK EN NK AN MK
Ta dễ dàng nhận thấy 𝐴𝐷𝑀̂ = 𝑀𝐷𝐹̂ = 450 nên áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DEF ta được:
2 2 a 17
2 cos 45
5
FE DE DF DE DF FE Xét tam giác ADF ta được:
2 2 34a 2
25
(2)VẤN ĐỀ 2: GÁN MỘT ĐỘ DÀI DỰA VÀO THÔNG SỐ ĐẦU BÀI: Tam giác ABC cân A 2; có diện tích Gọi M trung điểm BC N 11 7;
4
điểm nằm cạnh AC cho AC = 4CN Biết đường thẳng MN có phương trình x y Xác định tọa độ đỉnh M
Nhìn qua tốn khơng thể gán độ dài, nhiên để ý kỹ từ chi tiết diện tích 3, ta đặt AM = a, ta có BC =
a Do mục tiêu toán tính AN theo a Ta có:
4
2 2
2
9 a a
a
a a 4a
AC AM MC AN
Mặt khác A 2; N 11 7; 4
nên
3 10
AN Như vậy:
3 a 10
a a
4a AM AM
Từ việc tìm điểm M trở nên đơn giản nhiều Học sinh tự giải nốt toán đến kết thúc
VẤN ĐỀ 3: GÁN HAI ĐỘ DÀI CHO HAI CẠNH KHÁC NHAU: Hình vuông ABCD Trên cạnh AD, AB lấy E F cho AE = AF Gọi H hình chiếu vng góc A BE Tìm tọa độ đỉnh C biết C thuộc đường thẳng x2y 1 0và hai điểm F 2; , H1; 1
Trước hết ta tìm hiểu cách chứng minh hình học túy: Ta có 𝐻𝐴𝐹̂ = 𝐴𝐸𝐻̂ = 𝐻𝐵𝐶̂ AH AH BH BH
FA AE BA BC nên ta có hai tam giác đồng dạng HAF HBC nên 𝐴𝐻𝐹̂ = 𝐵𝐻𝐶̂
Vì 𝐴𝐻𝐹̂ + 𝐹𝐻𝐵̂ = 900 nên 𝐵𝐻𝐶̂ + 𝐹𝐻𝐵̂ = 900 hay CH ⊥ HF ta tìm tọa độ điểm C 1;
3
Tuy nhiên vấn đề khó tỷ số AH AH BH BH
FA AE BA BC làm xử lý tốt
Gán độ dài có giải tỷ số không mà E F hai điểm AD AB?
Câu trả lời CÓ Nếu ta đặt AB = a, AE = AF = b với mục tiêu hai tam giác HAF HBC đồng dạng, ta tập trung vào độ dài cạnh AH, FA, BH, BC
Tính AH:
2 2
AE AB ab
AH
AE AB a b
Do đó:
2
2 ab
AH a b a
FA b a b
Tính BH:
2
2 2
2 2 2 2
a b a a
BH AB AH a
a b a b a b
Do đó:
2
2
2 a
BH a b a
BC a a b
Khi đó: AH
FA = BH
(3)PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP GỌI ẨN TRÊN ĐƯỜNG THẲNG
Giống phương pháp bình phương phương trình – hệ phương trình, phương pháp gọi ẩn đường thẳng phương pháp đơn giản nhất, dễ hiểu dễ làm, có tính khó, địi hỏi học sinh phải có kỹ tính toán tốt tuân thủ theo nguyên tắc sau:
Mỗi điểm đường thẳng gọi tham số đường thẳng Hai điểm khác phải gọi hai tham số khác
Thường sử dụng toán xuất hai đường thẳng trở lên Gọi tối đa ẩn, hạn chế tối đa gọi đến ẩn thứ
Có ẩn phải đưa nhiêu phương trình
VẤN ĐỀ 1: GỌI MỘT ẨN VÀ TÍNH TỌA ĐỘ CÁC ẨN KHÁC BẰNG CÁCH KÉO THEO: Tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là: 2x y I 2; 1 trung điểm BC Điểm M 4;1 nằm cạnh AB tam giác ABC có diện tích 90 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có hồnh độ lớn
Thiết lập mục tiêu cho toán:
Bước 1: Gọi tọa độ B tham số b đường thẳng BC Bước 2: Tìm tọa độ C theo tham số b
Bước 3: Từ B M viết phương trình BM theo tham số b Bước 4: Viết phương trình AI qua I vng góc với BC Bước 5: Tìm tọa độ A theo tham số b giao BM AI Bước 6: Giải phương trình diện tích tam giác ABC 90 b Bước 7: Kết luận
Thực hiện:
Bước 1: Gọi Bb b; 3trên đường thẳng BC
Bước 2: I trung điểm BC:
2
C I B C I B
x x x b
y y y b
C 4 b, 2b
Bước 3: Từ B M có ta viết phương trình đường thẳng BM: 2b2x 4 4 by 1
Bước 4: Đường thẳng qua I vng góc với BC AI: x2y 4
Bước 5: A giao BM AI nên tọa độ A nghiệm hệ: 2 2 4 4 1
b x b y
x y
ta tìm tọa độ A 2b 8; 3b
b b
Bước 6: Ta có
2 ABC
S AI.BC =
2
2
2 10
1
2 4
2
b
b b
b b
b b b
= 90 Do
giải phương trình ta 1, 4, 13 17 b b b
(4)VẤN ĐỀ 2: GỌI HAI ẨN PHỤ, ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG DỮ KIỆN ĐẦU BÀI: Hình thoi ABCD có phương trình đường chéo AC: x7y31 0 Hai đỉnh B D nằm đường thẳng
8
x y x2y 3 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết có diện tích 75 đỉnh A có hồnh độ khơng âm
Thiết lập mục tiêu toán:
Bước 1: Gọi B D tham số hai đường thẳng cho trước Ta cần thiết lập hai phương trình để tìm hai điểm B D
Bước 2: Phương trình 1: ABCD hình thoi nên trung điểm BD nằm đường thẳng AC Bước 3: Phương trình 2: ABCD hình thoi nên
hai đường chéo BD AC vng góc Bước 4: Thiết lập hệ phương trình tìm B D,
sau dùng kiện diện tích để tìm A C
Bước 1: Gọi Bb;8bvà D2d3;dtrên hai đường thẳng x y x2y 3
Bước 2: Gọi I 3;
2
b d b d
là trung điểm BD Ta có I thuộc AC nên:
2
7 31 9
2
b d b d
b d
Bước 3: BD vng góc với AC nên BDuAC 0 8b 13d 13
Bước 4: Ta có hệ phương trình:
0;8
6 9 0
5 2, ;
8 13 13 1;1 2
B
b d b
BD I
b d d D
Ta có 75 15
2
ABCD
S AC BDIA AI Do gọi A 7a 31;a AC, ta được:
2
2 225
7 31 11;6 0;3
2 2
IA a a A A
(5)PHẦN III: GIẢI TAM GIÁC – TỨ GIÁC I TÍNH CHẤT TRỰC TÂM TRONG TAM GIÁC
Ký hiệu hình vẽ: O: tâm ngoại tiếp
M, N, P: Trung điểm BC, CA, AB AD, BE, CF: đường cao
G: Trọng tâm H: Trực tâm
W: Tâm đường tròn Euler
J, K, L: Trung điểm HA, HB, HC T: Điểm đối xứng với A qua O R: Điểm đối xứng với H qua BC 1 QUAN HỆ 1: A, H, O, M
B C nằm đường trịn đường kính AT nên BT⊥BA, CT⊥CA Vì BH⊥CA, CH⊥BA
Do ta có BHCT hình bình hành Vậy M trung điểm HT
OM đường trung bình tam giác AHT Vậy AH 2OM
2 QUAN HỆ 2: QUAN HỆ O, A, F, E VỚI TIẾP TUYẾN TẠI A Gọi Ax tiếp tuyến A, ta có OA⊥Ax
𝑥𝐴𝐹̂ = 𝐴𝐶𝐵̂ (Góc tiếp tuyến dây cung) Tứ giác BFEC nội tiếp nên 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐴𝐹𝐸̂ Vậy 𝐴𝐹𝐸̂ = 𝑥𝐴𝐹̂
Do Ax//EF Vậy EF⊥OA
3 QUAN HỆ 3: J, M, E, F, O, A
Vì AH//OM AH = 2OM nên JA//OM JA = OM Do JAOM hình bình hành
(6)4 MỐI QUAN HỆ 4: W, O, H, G Quan hệ O, H, W:
Vì AH//OM AH = 2OM nên JH//OM JH = OM Do JOMH hình bình hành
Do JM cắt OH trung điểm W đường
Tương tự ta chứng minh KN, LP cắt OH trung điểm đường (Học sinh tự vẽ nốt hình)
Do đường JM, KN, LP, OH đồng quy trung điểm đường W (Tâm đường tròn Euler)
Vậy tâm đường tròn Euler W trung điểm đoạn OH, JM, KN, LP Quan hệ O, H, G:
Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có AG
AM Vì AM trung tuyến tam giác AHT nên G trọng tâm tam giác AHT Vì HO trung tuyến tam giác AHT nên OH = 3OG
Thứ tự điểm O, H, G, W để thiết lập tỷ số vector cần:
(Chia đoạn OH 12 đoạn, OG chiếm đoạn, W chiếm đoạn) Các loại đường tròn sau đường tròn Euler:
Đường tròn qua chân đường cao tam giác Đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác
Đường tròn qua trung điểm đoạn nối đỉnh trực tâm tam giác
5 MỐI QUAN HỆ 5: H, D, R
Ta chứng minh R đối xứng với H qua BC R nằm (O):
𝐻𝐵𝐶̂ = 𝑅𝐵𝐶̂ (H R đối xứng qua BC) Tứ giác AEDB nội tiếp nên 𝐻𝐵𝐶̂ = 𝑅𝐴𝐶̂ Do 𝑅𝐵𝐶̂ = 𝑅𝐴𝐶̂
Vậy tứ giác ABRC nội tiếp
Do R nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABRC đường tròn qua điểm A, B, C
Vậy R nằm (O)
6 MỐI QUAN HỆ 6: D, E, F, H
Tứ giác AFHE nội tiếp nên 𝐹𝐸𝐻̂ = 𝐹𝐴𝐻̂ Tứ giác HDCE nội tiếp nên 𝐷𝐸𝐻̂ = 𝐷𝐶𝐻̂ Tứ giác AFDC nội tiếp nên 𝐹𝐴𝐻̂ = 𝐷𝐶𝐻̂ Vậy ta có 𝐹𝐸𝐻̂ = 𝐷𝐸𝐻̂
Do EH phân giác góc 𝐹𝐸𝐷̂ Tương tự cho DH FH
Vậy H giao điểm đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
(7)II TÍNH CHẤT TÂM ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP, PHÂN GIÁC TRONG, PHÂN GIÁC NGOÀI Ký hiệu hình vẽ:
AD: Phân giác góc A
E: Giao điểm AD đường tròn ngoại tiếp
O, I: Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
F: Giao điểm tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp đường thẳng BC kéo dài M: Điểm AB
N: Điểm đối xứng M qua phân giác AD
J, K, L: Điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp với cạnh tam giác
1 MỐI QUAN HỆ 7: ĐỊNH LÝ THALES VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM D Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có: BD CD BD ABCD
AB AC AC Có loại đường phân giác:
Phân giác tạo 1 1 1 2
2 2
2 2 1 1 2 2
:
:
:
d a x b y c a x b y c a x b y c
d a x b y c a b a b
Phân giác tam giác ABC: Xác định tọa độ điểm D qua hệ thức: BD ABCD AC
Khi phân giác đường thẳng qua điểm A D
Phân giác tam giác ABC: Đường thẳng qua A nhận ADlà vector pháp tuyến 2 MỐI QUAN HỆ 8: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Gọi M điểm AB, N điểm đối xứng với M qua AD Ta có 𝑀𝐴𝐷̂ = 𝑁𝐴𝐷̂ nên N nằm AC Vậy toán cho trước tọa độ điểm M nằm AB, cho tọa độ đỉnh C, cho phương trình phân giác AB, ta lấy đối xứng M qua AD N Khi đường thẳng AC đường thẳng qua C N
3 MỐI QUAN HỆ 9: MỐI QUAN HỆ O, E, B, C
𝐷𝐴𝐵̂ = 𝐷𝐴𝐶̂ nên cung EB EC EB = EC Mà OB = OC nên OE trung trực BC
Hệ quả: OE vector pháp tuyến đường thẳng BC 4 MỐI QUAN HỆ 10: MỐI QUAN HỆ I, B, E, C
(8)5 MỐI QUAN HỆ 11: MỐI QUAN HỆ F, A, D
𝐹𝐴𝐷̂ = 𝐹𝐴𝐵̂ + 𝐵𝐴𝐷̂ = 𝐵𝐶𝐴̂ + 𝐷𝐴𝐶̂ = 𝐹𝐷𝐴̂ Vậy FA = FD
Hệ quả: F giao điểm trung trực đoạn AD với đường thẳng BC
6 MỐI QUAN HỆ 12: QUAN HỆ GĨC TRONG ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP
Góc tâm nội tiếp góc đỉnh: 0
180 90 90
2 2
ABC ACB BAC BAC
BIC BIC
Góc điểm tiếp xúc góc đỉnh:
0
90 90
2 2
BAC BCA ABC ABC
JKLJKILKI JCILAI JKL III TÍNH CHẤT TAM GIÁC VNG CHIA ĐƠI VÀ HỆ QUẢ:
Xét tam giác ABC vuông A đường cao AH, D E hai điểm AH CH
7 MỐI QUAN HỆ 13: QUAN HỆ BD VÀ AE LÀ HAI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Nếu D E trung điểm AH CH DE đường trung bình tam giác AHC Do DE//AC nên DE⊥AB Mặt khác AD⊥BE nên D trực tâm tam giác ABE BD⊥AE
8 MỐI QUAN HỆ 14: QUAN HỆ BD VÀ AE LÀ HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG Nếu BD AE hai phân giác thì: DH BH AH HE
AD AB AC EC DE//AC nên DE⊥AB Mặt khác AD⊥BE nên D trực tâm tam giác ABE BD⊥AE
(9)PHÂN IV: GIẢI ĐƯỜNG TRÒN 9 MỐI QUAN HỆ 15: TƯƠNG GIAO HAI ĐƯỜNG TRÒN
2 2 2 2 2 2
1 : 1 1, : 2
C x a y b R C x a y b R Hai đường trịn tiếp xúc ngồi:
' ' R
IA I A
R
Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng qua A vng góc với II’:
2 2 2 2 2 2
1 2
x a y b x a y b R R Hai đường tròn tiếp xúc trong:
' ' R IA I A
R
Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng qua A vng góc với II’:
2 2 2 2 2 2
1 2
x a y b x a y b R R
Hai đường tròn cắt nhau:
2
2
1 I AB, I AB', R R d d Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng AB):
2 2 2 2 2 2
1 2
x a y b x a y b R R
10 MỐI QUAN HỆ 16: TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN Tính chất 1:
2
4
O AB M AB
AB
D D
Tính chất 2: 21 2 12 42
OM R R AB
Tính chất 3: DO AB.OM R2 Tính chất 4:
2
sin AMB R
OM
Tính chất 5:
2
M AB AMB
AB D S
Tính chất 6:
2
2
4
O d
AB
R D