Chøng minh hay t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh gåm hai ph¬ng tr×nh cña hai hµm sè cã nghiÖm kÐp hay ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cã nghiÖm kÐp.. X..[r]
(1)Biến đổi đồng nhất A Kiến thức cần nhớ
I Tìm ĐKXĐ: Tìm gía trị biến thoả mãn đồng thời ĐK: - Các biểu thức dới dấu bậc chẵn không âm
- C¸c biĨu thøc díi dÊu mÉu kh¸c
II Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phơng pháp đặt nhân tử chung - Phơng pháp dùng đẳng thức - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử - Phơng pháp tách, thêm bớt
(Chú ý cách tách đa thức bậc hai, đa thức bậc cao) - Phơng pháp đặt biến phụ
- Phơng pháp xét gía trị riêng
2) Chú ý:
- Kết phân tích phải tích nhân tử - Phân tích phải triệt để
III Rút gọn biểu thức: (Tuỳ theo đặc điểm biểu thức mà thực hiện)
- Sử dụng phép biến đổi đa thừa số dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu, đa thức thức đồng dạng (nếu có thể) cộng trừ cn thc ng dng
- Rút gọn phân thøc tríc tÝnh
- Qui đồng mẫu, thực phép tính ngoặc trớc - Rút gọn kết
- Sử dụng đẳng thức =
IV Tìm gía trị ngun biến để biểu thc cú gớa tr nguyờn.
- Tách phần nguyên
- Lập luận tìm gía trị ngun biến để phân thức kèm theo có gía trị ngun
V Chứng minh gía trị biểu thức không phụ thuộc vào gía trị biến:
Rút gọn biểu thức, kết không chứa biến
VI Chng minh đẳng thức:
- Biến đổi vế phức tạp vế đơn giản - Biến đổi vế biểu thức - Biến đổi tơng đơng
VII Căn bậc hai.
1 Định nghĩa bậc hai.
Căn bậc hai số a không âm lµ sè x cho x2 = a.
2 Số bậc hai số.
- Số âm bậc hai
- S có bậc hai số
- Số dơng a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu số âm kí hiệu -
3 Định nghĩa bậc hai số học.
Vi số dơng a, số đợc gọi bậc hai số học a Số đợc gọi bậc hai số học
4 Chó ý.
Víi a 0, ta cã:
(2)+ Nếu thầ x x2 = a x =
5 Định nghĩa phép khai phơng.
Phép toán tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phơng (gọi tắt khai phơng)
6 So sánh bậc hai số học.
Định lí: Với hai số a b không âm, ta có a < b <
7 Định nghĩa thøc bËc hai.
Với A biểu thức đại số, ngời ta gọi thức bậc hai A, A đ-ợc gọi biểu thức lấy can hay biểu thức dới dấu
8 Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)
có nghĩa (hay xác định) A lấy gía trị khơng âm
9 Hằng đẳng thức A2 = A .
a Định lí: Với số a, ta cã = a
b Chó ý: víi A lµ mét biÓu thøc ta cã A2 = A , cã nghÜa lµ:
2
A = A nÕu A 0
2
A = - A nÕu A < 0.
10 Liên hệ phép nhân phép khai phơng.
a Định lí: Với hai số a b không âm, ta có =
* Chú ý: + Định lí mở rộng cho tích nhiều số không âm + Với hai biểu thức A B không âm ta có =
Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()2 = A2 = A. b Qui tắc khai ph ơng tích
Muốn khai phơng tích số không ©m, ta cã thĨ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nhân kết với
c Qui tắc nhân bậc hai
Mun nhõn cỏc cn bậc hai số khơng âm, ta nhân số dới dấu với khai phng kt qu ú
11 Liên hệ phép chia phép khai phơng.
a Định lí: Với số a không âm số b dơng, ta có:
a
b =
a b
b Qui tắc khai ph ơng th ơng
Muốn khai phơng thơng , số a khong âm số b dơng, ta khai phơng lần lợt số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai c Qui tắc chia hai thức bậc hai
Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dơng, ta chia số a cho số b khai phơng kết
d Chó ý: Víi biĨu thøc A không âm biểu thức B dơng, ta có
A
B =
A B
12 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai.
a Đ a thừa số dấu Với a 0; b 0 ta có : = a * Tỉng qu¸t: Víi hai biĨu thøc A, B mµ B 0, ta cã = A NÕu A vµ B th× = A
(3)NÕu A < 0; B th× - A =
c Khử mẫu biểu thức lấy
Với biểu thức A, B mà A.B B
A
B =
AB B
d Trục thức ë mÉu
+ Víi c¸c biĨu thøc A, B mµ B > ta cã
A A B
= B B
+ Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A vµ A B2, ta cã
2
C C( A B)
=
A±B A - B
+ Với biểu thức A, B, C mà A vµ A B, ta cã
C C( A B ) =
A - B A B
13 Căn bậc ba.
a Định nghĩa
Căn bậc ba mét sè a lµ sè x cho x3 = a. b Chó ý:
+ Mỗi số a có bậc ba +
3 3 a = a = a c Nhận xét
- Căn bậc ba số dơng số dơng - Căn bậc ba số âm số âm - Căn bậc ba số lµ chÝnh sè d TÝnh chÊt
3
3 3
3
3
a < b a < b ab = a b
a a
(4)B Bµi tËp
Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, khơng, HS làm chỗ, (nếu khơng có HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm
1 Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: A = x2 - y2 - z(2x - z) B = x3 + 4x - 5
C = x3 + 3x2 + 6x + 4 D = x4 + 3x2 + 4 E = x4 + x2y2 + y4 R = 64x4 + 81 Cho ®a thøc A = n5 - 5n3 + 4n
a) Phân tích đa thức thành nhân tư
b) Chøng minh víi n Z th× A chia hÕt cho 120.
3 Cho a - b = TÝnh M = b(b + 3) + a(a - 3) - 2ab N =
4a b 3b a
3a 2b
4a Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
2 2 2
2 2
9 ; ; 1; 1; ;
1
5 6; 5; 5;
2
x a a x x a x x x
x x x x x x
x
4b TÝnh gÝa trÞ cđa biĨu thøc A = 13 30 2 94
B = 30 16 11 4 3
5 Chøng minh: a)
3
1
2
.
b) 10 60 24 40 5 3 Cho x Rót gän y = x2 x 1 x x 1
7 Cho x =
3
10 ( 1)
(5)8 Chøng minh sè a = 2( 31) 2 lµ mét sè h÷u tØ
sè b = 6 ( 3 2) 32 lµ mét sè hữu tỉ Tính gía trị biểu thức A 3 3
B =
2 3
2 3
C = 4 + 7 4
D =
2 3 3
2 3 3
E = .
G = 3 20 14 2 3 20 14 2
H =
2 7
4 3
.
10 So s¸nh A =
3 5
2 2
vµ B =
4 7
3 7
11 TÝnh A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12 Rót gän A =
1 1
2 3 4 2006 2007
13 Chøng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A =
6x (x 6) x 3
2(x x 3)(2 x ) 2x 10 x 12 x x
(6)C Híng dÉn 1. A = (x - z)2 - y2 = (x - z - y)(x - z + y)
B = (x - 1)(x2 + x + 5) C = (x + 1)(x2 + 2x + 4)
D = (x2 + 2)2 - x2 = (x2 - x + 2)( x2 + x + 2)
E = (x2 + y2)2 - (xy)2 = (x2 + xy + y2)( x2 - xy + y2)
R = (8x2 + 9)2 - (12x)2 = (8x2 + - 12x) (8x2 + + 12x)
2. a) A = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2)
b) A chia hÕt cho 3; 5; (xÐt trêng hợp n chẵn n lẻ)
3. Cách 1: Thay a = b + hc b = a -
Cách 2: Biến đổi M, N làm xuất a - b thay vào ĐS: M = 10; N =
4a.Điều kiện để biểu thức có nghĩa mẫu thức khác không biểu thức lấy bậc hai không âm
4b. TÝnh tõ §S: A = + 3; B = 3 1
5. a) Cách 1: Biến đổi vế trái Cách 2: Biến đổi vế phải Cách 3: Bình phơng hai vế b) Cách 1: Bình phơng hai vế
Cách 2: Sử dụng đẳng thức = A
6. y = + + x 1- 1 + NÕu x th× y = + NÕu x < th× y = 2.
7. x =
( 1)( 1)
5
= P = 1
8. a = ( 31) 4 ( 1)( 1) 2
b = ( 31)( 3 2) 42 ( 1) ( 3 2)2
9. a) C¸ch 1: TÝnh A2 (Chó ý A < 0). C¸ch 2: TÝnh A
Cách 3: Sử dụng công thức thức phức tạp (hai chiều) Cách 4: S dng hng ng thc A2 = A
Đáp sè: A = -
b) C¸ch 1: Trơc c¸c thức mẫu biểu thức dới dấu
Cách 2: Nhân tử mẫu biểu thức dới với sử dụng qui tắc khai phơng thơng ĐS: B =
c) C¸ch 1: TÝnh C
C¸ch 2: Sử dụng công thức thức phức tạp (hai chiều) §¸p sè: C =
d) Cách 1: Nhân tử mẫu phân thức với Cách 2: Qui ng mu
Cách 3: áp dụng công thức thức phức tạp
(7)e) E = - + - = + - g) G = + + - = 4; h) H =
10. Nhân tử mẫu phân thức với ta có A = B ( = )
11. Nhân từ phải qua trái ta cã A =
12 Trục thức mẫu phân thức ta đợc A = - 2007
13 Đặt x = a ta cã A =
(a 1)(a 2)(a 3)
2(a 1)(a 2)(a 3)
*************************
Ph¬ng trình A Kiến thức cần nhớ I Ph ơng trình ẩn.
1 Định nghĩa:
Khi núi A(x) = B(x) phơng trình ta hiểu cần tìm gía trị x để gía trị hai biểu thức A(x) B(x) x ẩn, gía trị tìm đ ợc x nghiệm phơng trình, biểu thức A(x); B(x) vế phơng trình Tập nghiệm phơng trỡnh:
Là tập tất nghiệm phơng tr×nh
3 Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm phơng trình
4 Sè nghiƯm cđa phơng trình: Một phơng trình có một, nhiều hay vô số nghiệm, phơng trình nghiệm (phơng trình vô nghiệm)
II Ph ¬ng tr×nh ax + b = 0
1 Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè
a Định nghĩa: Phơng trình bậc ẩn số phơng trình có dạng ax + b = Trong x ẩn, a b số biết, a khác
b Sè nghiƯm cđa ph ¬ng trình bậc ẩn số : Một phơng trình bËc nhÊt mét Èn sè bËc nhÊt mét Èn sè lu«n cã mét nghiƯm nhÊt x = -
2 Cách giải phơng trình ax + b = 0.
+ NÕu a = 0; b = th× phơng trình nghiệm dúng với x + Nếu a = 0; b phơng trình vô nghiệm.
(8)III Ph ơng trình bậc hai ẩn. 1 Định nghĩa:
Phng trỡnh bc nht hai ẩn phơng trình có dạng ax + by = c x y ẩn, a b số cho, a b khơng đồng thời
2 NghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- NghiƯm cđa phơng trình bậc hai ẩn cặp gía trị (x; y) thoả mÃn phơng trình
- Phng trỡnh bậc hai ẩn ln có vơ số nghiêm, biểu diễn tập nghiệm phơng trình bậc ẩn mặt phẳng toạ độ ta đợc đờng thẳng gọi đờng thẳng ax + by = c
+ Nếu a = 0; b đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành.
+ Nếu a 0; b = đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung.
+ Nếu a 0; b đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ.
IV Ph ơng trình bậc hai ẩn. 1 Định nghÜa:
Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng ax2 + bx + c = a; b; c số cho, a 0.
2 Cách giải phơng trình bậc hai ẩn.
- Đối với phơng trình bậc hai khuyết b c ta thờng đa phơng trình tích sử dụng tính chất BĐT, so sánh gía trị hai vế
- i vi phng trình bậc hai đầy đủ:
NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiƯm lµ 1; NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm 1; -
NhÈm theo hÖ thøc Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1; x2 th×
x1 + x2 = - ; x1 x2 =
Nếu b = 2b' sử dụng công thức nghiÖm thu gän: ' = b'2 - ac NÕu ' < phơng trình vô nghiệm
Nếu ' = phơng trình có nghiệm kép x = -
b' a .
NÕu ' > phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1; =
'
-b ± '
a .
Trong trêng hỵp tỉng quát sử dụng công thức nghiệm tổng quát : = b2 - 4ac
NÕu < phơng trình vô nghiệm
Nếu = phơng trình có nghiệm kép x = - Nếu > phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
x1; =
2 4
2
b b ac a
Cũng đa phơng trình tích
V Cách giải ph ơng trình chứa ẩn mẫu.
Cách 1: + Tìm ĐKXĐ
+ Qui đồng mẫu khử mẫu + Giải phơng trình tìm c
(9)Cách 2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai (nếu có thể)
VI Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc ẩn với khoảng xét)
C¸ch 2: Đa phơng trình tích
Cỏch 3: Bỡnh phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi tơng đơng hai vế du)
Cách 4: Đặt ẩn phụ
Cỏch 5: Biến đổi tơng đơng
a = b a = b±
b
a = b
a = b±
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:
0
a a
DÊu "=" x¶y a = 0.
a
a víi mäi a DÊu "=" x¶y a 0.
a
- a víi mäi a DÊu "=" x¶y a
a + b a b
DÊu "=" x¶y ab 0.
VII Cách giải ph ơng trình bậc cao.
Cách 1: Đa phơng trình tích Cách 2: Đặt ẩn phụ
Cách 3: Sử dụng tính chất BĐT, so sánh gía trị hai vế
VIII Giải ph ơng trình vô tỉ.
Cách 1: Bình phơng hai vế
(Lu ý: Phộp biến đổi tơng đơng hai vế dấu) Cách 2: Đa phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối
Cách 3: Bin i tng ng
Cách 4: Đặt ẩn phụ
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT
IX Ph ơng trình nghiệm nguyên.
Cỏch 1: Bin i phơng trình có vế tích nhân tử chứa ẩn có gía trị ngun, vế số
C¸ch 2: Rót Èn
Cách 3: Biến đổi phơng trình có vế tổng bình phơng, lập phơng hạng tử chứa ẩn có gía trị ngun, vế hng s
Cách 4: Xem phơng trình phơng trình bậc hai ẩn Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT:
Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết Cách 7: Phơng pháp xuống thang Cách 8: Sử dụng liên phân số
(10)+ Lập phơng trình
- Chn n, xỏc nh n vị điều kiện cho ẩn
(Có thể chọn số liệu cha biết làm ẩn đợc, ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi toán để chọn ẩn)
- Biểu diễn số liệu cha biết qua ẩn (Chú ý quan hệ đại lợng toán)
- Dựa vào mối quan hệ đại lợng để lập phơng trình + Giải phơng trình
+ Chọn kết thích hợp trả lời
XI Dạng toán số nghiệm ph ơng tr×nh ax2 + bx + c = 0.
- XÐt trêng hỵp a = - Trêng hỵp a 0
Nếu ac < phơng trình có hai nghiệm
Phơng trình vô nghiệm ' < < Phơng trình có nhiệm kép ' = hc =
Phơng trình có nghiệm phân biệt ' = hc =
XII Dạng toán dấu nghiệm ph ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = 0.
- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = vô nghiệm ' < < 0.
- Phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = cã nghiệm trái dấu P <
- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm dấu ' > > P > Khi nghiệm dơng S > 0;
2 nghiệm âm S <
- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm kÐp d¬ng ' = = - > 0, có nghiệm kép âm ' =
hoặc = - <
XIII.Tính gía trị cđa biĨu thøc chøa x1; x2 lµ nghiƯm cđa ph ơng trình bậc hai.
Cỏch 1: + Ch điều kiện để phơng trình có nghiệm
+ BiĨu diƠn biĨu thøc chøa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 råi sư dơng hƯ thøc Vi Ðt Cách 2: Giải phơng trình, tìm x1; x2 tính
XIV.Chøng minh biĨu thøc chøa x1; x2 lµ nghiệm ph ơng trình bậc hai
thoả mÃn mét ®iỊu kiƯn cho tr íc
+ Chỉ điều kiện để phơng trình có nghiệm
+ BiĨu diƠn biĨu thøc chøa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 råi sư dơng hƯ thøc Vi Ðt, tÝnh gÝa trÞ cđa biĨu thøc theo tham sè
+ Chøng minh biÓu thøc chøa x1; x2 nghiệm phơng trình bậc hai thoả m·n ®iỊu kiƯn cho tríc
XV.Tìm gía trị tham số để biểu thức chứa x1; x2 nghim ca ph ng
trình bậc hai thoả mÃn mét ®iỊu kiƯn cho tr íc
+ Chỉ điều kiện để phơng trình có nghiệm
+ Sử dụng hệ thức Vi ét điều kiện cho trớc để tìm gía trị tham s
XVI Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào tham số.
(11)+ Sư dơng hƯ thøc Vi Ðt biĨu diÔn x1+ x2; x1 x2 qua tham sè + Khử tham số phơng pháp cộng phơng pháp
XVII Lập ph ơng trình bậc hai.
- Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 (x - x1)(x - x2) Sau đó, đa dạng tắc
- NÕu x1+ x2 = S; x1 x2 = P x1; x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai x2 - Sx + P = 0
B Bài tập
I Dạng 1: Các toán số nghiệm phơng trình
B i toán 1 : Chứng minh phơng trình x(x - m) + x(x - n) + (x - m)(x - n) = (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m; n
H íng dÉn: '
= (m - )2+ víi mäi m.
B i to¸n 2à : Chøng minh phơng trình 2x2 - 3(m + n)x - m2 - = (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m; n
H
íng dÉn:
a c trái dấu
B i toán Với gía trị a phơng trình sau cã nghiƯm, v« nghiƯm, cã nghiƯm kÐp, cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
a) 3x2 - 2x + m = 0 b) 4x2 + m + m2 = 0 c) 48x2 + mx - = 0 d) m2x2 - mx + =
e) (m - 1)x2 - (m + 1)x + m - = 0
H
íng dÉn:
a) Phơng trình có nghiệm m Phơng trình vô nghiệm m >
Phơng trình có nghiệm kép m = Phơng trình có hai nhiệm phân biệt m <
b) Phơng trình có nghiệm m + m2 - m 0
(12)Phơng trình có nghiệm kép m = m = -
c) = m2 + 960 > với m nên với m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Phơng trình vô nghiệm m = m vµ < m R.
e) Phơng trình có nghiệm m Phơng trình vô nghiệm m <
Phơng trình có nghiệm kép m = Phơng trình có hai nhiệm phân biệt m >
B i toán 4: Không tính , chứng minh phơng trình sau có hai nghiệm phân biÖt
a) (1 - )x2 - 2x + = 0 b) x2 - 2( + )x + - = 0
c) (1 - )x2 - 2(1 + )x + + = 0
H
íng dÉn:
ac <
B i tốn 5à : Tìm a để phơng trình (x - 1)(x2 + ax + a - 1) = (1) a) Có nghiệm phân biệt
b) Cã nghiƯm kÐp
H
íng dÉn:
C¸ch 1: (1) (x - 1)(x + 1)(x + a - 1) = 0
Phơng trình (x - 1)(x2 + ax + a - 1) = (1) có nghiệm phân biệt - a hc - a - a hc a 2.
Cách 2: Phơng trình (x - 1)(x2 + ax + a - 1) = (1) có nghiệm phân biệt và phơng tr×nh x2 + ax + a - = có hai nghiệm phân biệt khác 1.
b) x2 + ax + a - = cã nghiệm kép phơng trình
x2 + ax + a - = cã = nghiệm > là nghiệm nã a = hc a =
B i tốn 6à : Tìm m để phơng trình (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - có nghiệm.
H
íng dẫn:
Đặt x2 + 3x = y ta có y = m
Phơng trình (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - có nghiệm phơng trình x2 + 3x - m = phơng trình x2 + 3x + m = cã nghiÖm
m 2,25 hc m - 2,25 m R.
VËy víi mäi m phơng trình (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - cã nghiÖm.
II Dạng 2: Giải phơng trình
B i toán 1a : Giải phơng trình: a) x2 - 5x +12 = 0
b) x2 - 4x + = 0 c) - x2 + 4x + = 0 d) - =
e) + = 10
Híng dẫn:
(13)b) áp dụng công thức nghiƯm x1 = 3; x2 = c) ¸p dơng c«ng thøc nghiƯm x1 = - 1; x2 = d) x2 + = Phơng trình vô nghiệm.
e) x = 5
B i toán 1b:à Bằng phơng pháp đồ thị (phơng pháp hình học) Giải phơng trình: a) x2 + x - = 0
b) 0,5x2 - 2x - = 0
B i toán 1 c: Giải biện luận phơng trình: a) x2 - 2(1 + 3m)x - m2 = 0
b) 2m2x2 - 3x - = 0
c) mx2 - 2(m + 1)x - 2m = 0
Híng dÉn:
a) = 10m2 + 6m + > víi mäi m Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt x1; = + 3m
b) - NÕu m = th× x = -
- NÕu m = + 8m2 > Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; =
c) - NÕu m = th× x =
- NÕu m th× = 3m2 + 2m + > víi mäi m Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1; =
m m
B i tốn 1dà : Xác định gía trị m để phơng trình mx2 + 2(m - 1)x + = (1) có nghiệm
Tìm nghiệm phơng trình (1) trờng hợp
H
íng dÉn:
- NÕu m = phơng trình có nghiệm x =
- Nếu m phơng trình có nghiệm ,=
m =
Khi m = + th× x = - Khi m = - th× x = +
B i tốn 2à : Tìm m để hai phơng trình x2 + 3x + = (1) x2 - 3x + m = (2) có nghiệm chung
H íng dÉn:
(1) x = - 1; x = - 2
Hai phơng trình x2 + 3x + = vµ x2 - 3x + m = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi x = - x = - nghiệm phơng trình (2)
ĐS: m = - 4; m = - 10
B i toán 3 : Giải phơng trình 3x2 + (3 - 2m)x - 2m = (1)
H íng dÉn:
a - b + c =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 1; }
(14)H íng dÉn:
a + b + c =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {1; - }
B i toán 5 : Giải phơng trình x2 - ( 3)x + 6= (1)
H íng dÉn:
Dùng phơng pháp phân tích sử dụng hƯ thøc Vi Ðt §S: 2;
B i toán 6 : Cho phơng trình ax2 - 2(a - 1)x + a + = (1) a) Giải phơng trình (1) a =
b) Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm
H
íng dÉn:
a) Khi a = th× (1) x
b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt vµ chØ a vµ >
a vµ a <
c) Phơng trình (1) có nghiệm a = = a = hc a =
B i toán 7 : Giải phơng trình x2 - (4a - 1)x - 3a2 - a - = (1)
H
íng dÉn:
2 2 2
4a 3a a 28a 4a
> víi mäi a Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {
4a
2
}
B i tốn 8à : Tìm m để phơng trình x2 -3(m + 1)x - m - = có hai nghiệm x1; x thoả mãn x1 < < x2
H
íng dÉn:
a - b + c = nên phơng trình có hai nghiệm - 1; m +
Để phơng trình x2 -3(m + 1)x - m - = cã hai nghiÖm x1; x2 thoả mÃn x1 < < x2 m + > m > -
B i toán 9 : Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 2mx + = (1)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) b) Xác định m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn
2
1
x x
=
H
íng dÉn:
a) - NÕu m = 0,5 th× (1) cã nghiƯm x = thuéc kho¶ng (-1; 0)
- NÕu m 0,5 (1) phơng trình bậc có a + b + c = víi mäi m
phơng trình có nghiệm Ta thấy x = thuộc khoảng (-1; 0)
(15)b)
2
1
x x
=
2
2
2
1
1
2m
1 2
1 m
2m 1
1
2m
B i toán 10 : Giải biện luận phơng trình (m - 2)x2 - 2(m + 1) x + m = (1)
H íng dÉn:
- NÕu m = - th× (1) x = - Nếu m < - (1) vô nghiệm - NÕu m - th× (1) x =
m 4m
m
B i toán 11à : Tìm m để phơng trình (m - 3)x2 -2(m + 1)x - 3m + = có các nghiệm số nguyên
H
íng dẫn:
- Nếu m = phơng tr×nh cã nghiƯm x = - Z
- Nếu m phơng trình cho phơng trình bậc hai có a - b + c =
phơng trình có nghiệm x = - Z vµ x =
Để phơng trình (m - 3)x2 -2(m + 1)x - 3m + = có nghiệm số nguyên Z 3 + Ư(8)
m = - 5; - 1; 1; 2; 3; 4; 5; '; 11.
B i to¸n 12à (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 1997- 1998): Giải phơng trình 2x2 + 2xy + y2 - 6x + = (1)
H
íng dÉn:
(1) (x + y)2 + (x - 3)2 = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {(3; - 3)}
B i tốn 13à : Tìm gía trị x thoả mãn < x < đồng thời nghiệm ph-ơng trình x 1 3 x 7 (1)
H
íng dÉn:
Víi < x < th× (1) x - + (x - 4) = x = (thoả mÃn điều kiện < x < 4)
Vậy, gía trị x thoả mãn < x < đồng thời nghiệm phơng trình
x 1 3 x 7
x =
B i toán 14 (Thi vào 10 chuyên tin Lam Sơn 2002- 2003): Giải phơng tr×nh x1 x = x (1)
H ớng dẫn:
Xét khoảng
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 2; 0; 2}
B i toán 15 : Giải phơng tr×nh
x x
(1)
H
íng dÉn:
(16)Phơng trình (1) có tập hợp nghiƯm lµ S = {2; 3; 4}
B i toán 16 : Giải phơng trình 2x x2 (1)
H
íng dÉn:
XÐt kho¶ng
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = { 1} Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = { }
B i toán 17 : Giải phơng trình
x 2x2
+ x 0 (1)
H
ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S =
B i toán 18 : Giải phơng trình 3x2 + 2 x - = (1)
H
íng dÉn:
Đặt x = y
B i toán 19 : Giải phơng trình 2(x2 + ) +3(x + ) - 16 = (1)
H
ớng dẫn:
Đặt x + = y
B i toán 20 : Giải phơng trình a) x2 - x -
4
x x 1 = (1)
b)
5
x 4x 5 - x2 + 4x - = (2a Tr30 TuyÓn tËp)
H ớng dẫn:
Đặt x2 4x5= y ta có phơng trình
5
y - y + = y = 5 Ph¬ng trình có nghiệm 0;
B i toán 21 : Giải phơng trình y2 - 2y + =
6
x 2x4 (1)
H íng dÉn:
y2 - 2y + = (y - 1)2 + víi y Dấu ''=" xảy y = 1
2
6
x 2x4 víi mäi x DÊu ''=" x¶y x = - 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {(- 1; 1)}
B i toán 22 : Giải phơng trình + = 10 (- ) (1)
H
ớng dẫn:
Đặt - = y (1) y = y =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {-2; 6; }
B i to¸n 23à : Biện luận theo m số nghiệm phơng trình x4 - mx2 + 3m - = (1)
H
(17)Đặt x2 = t đợc t2 - mt + 3m - = (2) = m2 - 12m + 32; P = 3m - 8; S = m.
- NÕu m < th× > 0; P < (2) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu (2) cã nghiƯm. - NÕu m = th× > 0; P = 0; S > (2) có nghiệm 0; nghiệm dơng
(2) cã nghiÖm
- NÕu <m < th× > 0; P > 0; S > (2) cã hai nghiƯm d¬ng (2) cã nghiÖm.
- NÕu m = th× = 0; S > (2) cã nghiƯm d¬ng (2) cã nghiƯm. - Nếu <m < < (2) vô nghiƯm (2) v« nghiƯm
- NÕu m = th× = 0; S > (2) cã nghiƯm d¬ng (2) cã nghiƯm - NÕu < m th× > 0; P > 0; S > (2) cã hai nghiƯm d¬ng
(2) cã nghiƯm.
B i toán 24 : (Thi vào 10 Chu Văn An Hà Nội - Amsterdam 1997- 1998) Cho phơng trình (x + 1)4 - (m- 1)(x + 1)2 - m2 + m - = (1)
a) Giải phơng trình với m = -
b) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với gía trị m
H
íng dÉn:
a) Với m = - ta có phơng trình (x + 1)4 + 2(x + 1)2 -3 = 0 Đặt (x + 1)2 = t đợc t2 + 2t - = (2) t = - (loại); t = 1 Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {0; - 2}
b) Đặt (x + 1)2 = t đợc t2 + (m - 1)t - m2 + m - = (3)
V× (3) phơng trình bậc có ac < nên (3) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi m phơng trình có hai nghiệm phân biệt với gía trị m.
B i toán 25 : Giải phơng trình 2x3 - x2 +3x + = (1)
H
íng dÉn:
(1) (x + 1)( 2x2 - 3x + 6) =
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 1}
B i toán 26 : Giải phơng trình 2x3 - 8x2 +11x - = (1)
H
ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 1}
B i toán 27 : Giải `hơng trình
x4 - (2m + 1)x3 + (m2 + m - 1)x2 + (2m + 1)x - m(m + 1) = (1)
H
ớng dẫn:
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = { 1; m; m + 1}
B i toán 28 : Giải phơng trình 2(x2 - 2x)2 = 3x2 - 6x + (1)
H
ớng dẫn:
Đặt t = x2 - 2x
B i to¸n 29à : Giải phơng trình (x2 + x + 1)2 - 3x2 - 3x - = (1)
H
(18)Đặt x2 + x + = t (1) x = - 1; 0;
1
2
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm lµ S = {- 1; 0;
1
2
}
B i to¸n 30 : Giải phơng trình x(x + 1)( x +5)( x + 4) = 12 (1)
H
íng dÉn:
(1) (x2 + 5x)( x2 + 5x + 4) - 12 = 0 Đặt t = x2 + 5x + ta cã t = 4
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm lµ S = {- 2; - 3;
5 33
2
} Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 1; 3}
B i toán 31 : Giải phơng trình (x + 1)( x +2)( x + 3)( x + 4) = (1)
H íng dÉn:
(1) (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) - = 0
Đặt t = x2 + 5x + ta cã t2 + 2t - = t = 1; t = - 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm lµ S = {
5 13
2
}
B i to¸n 32à : Giải phơng trình 4x4 + 12x3 - 47x2 + 12x + = (1)
H
íng dÉn:
Chia hai vế cho x2 đặt x +
1
x = t ta có phơng trình 4t2 + 12t - 56 =
t =
5 11
;t
2
Víi t = th× x = 2; Víi t =
11
th× x =
B i toán 33 : Giải phơng trình x4 - 5x3 - x2 -5x + = (1)
H
íng dÉn:
Chia hai vế cho x2 đặt x +
1
x = t ta cã t =
1 11
;t
2
Víi t =
1
phơng trình vô nghiệm Với t =
11
2 thì x =
11 105
2
B i toán 34 (Thi vào 10 chuyên toán tin Vinh vòng 1- 2001): Giải phơng trình x4 - 2x3 - x2 - 2x + = (1)
H
(19)Chia hai vế cho x2 đặt x +
1
x = y ta cã y = - (loại); y = 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {
3
2
}
B i to¸n 35 : Giải phơng trình 2x4 - 13x3 - 24x2 - 13x + = (1)
H
íng dÉn:
Chia hai vế cho x2 đặt x +
1 x = t
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {2;
1
;2
2 }
B i to¸n 36 : Giải phơng trình x4 - 5x3 + 10x2 - 10x + = (1)
H
íng dÉn:
Cách 1: Chia hai vế cho x2 đặt x +
2 x = t
Cách 2: Nhân vÕ víi x ta cã (x - 1)5 - (x - 1) = 0 Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {2; 1}
B i toán 37 : Giải phơng trình (x2 + 2x + 4)(y2 - 2y + 3) = - z2 + 4z + (1)
H
íng dÉn:
(1) (x2 + 2x + 4)(y2 - 2y + 3) víi mäi x; y Dấu ''=" xảy x = - 1; y =
- z2 + 4z + víi mäi z DÊu ''=" xảy z = 2 Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {(- 1; 1; 2)}
B i toán 38 : Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 - y2 + 2y = 1994 (1)
H
íng dÉn:
(1) x2 - (y - 1)2 = 1993 (x - y + 1)(x + y - 1) = 1993
x y 1
x y 1993
x y 1
x y 1993
x y 1993
x y 1
x y 1993
x y 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm nguyên
S = {(997; 997); (-997; 997); (997; -995); (-997; -995)}
(20)b) √x2−3x+2 =x −1
H
íng dÉn:
a) (1)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {3} b) PT
x −1¿2 ¿ ¿
x2−3x+2 +=¿
⇔¿
⇔{x=1
x ≥1 ⇔x=1
B i toán 40 : Giải phơng trình x 3 x (1)
H
íng dÉn:
§KX§: x 2
(1) x x
Bình phơng vế (không âm) ta có
x x 6 = 12 - x 2
x 12
x x 144 24x x
x = (Thoả mÃn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {6}
B i toán 41 : Giải phơng trình
1 1
x3 x2 x2 x1 x 1 x = (1)
H íng dÉn:
ĐKXĐ: x 0 (1)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {1}
B i toán 42 : Giải phơng trình x 1 x 7 12 x (1)
H
íng dÉn:
§KX§: x 12
(1) x 1 12 x x
Bình phơng hai vế (khơng âm) ta đợc x2 19x 84 x Bình phơng hai vế (không âm) ta đợc 5x2 - 84 x + 352 = 0
x = ; x = (thoả mÃn ĐKXĐ)
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {; 8}
B i toán 43 : Giải phơng trình (1)
H
(21)(1)
3
( x ) ( x )
4
x x
x x
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {0; 4}
B i toán 44 ( Thi chuyên tin vòng năm học1995 - 1996): Giải phơng trình x + = (1)
H
íng dÉn:
(1) ()3 = - x
9 - x3 = 27 - 27x + 9x2 - x3 9x2- 27x + 18 = 0
x2 - 3x + = 0 x = 1; x = 2
B i toán 45 : Giải phơng tr×nh x + - (
1 x
x
) + = (1)
H
íng dÉn:
§KX§: x > (1) (
1 x
x
)2 - (
1 x
x
) + = (
1 x
x
- 2)2 = x = 1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {1}
B i toán 46 : Giải phơng trình
1
x y z x y z
2
(1)
H
íng dÉn:
C¸ch 1: (1)
2 2
x y 1 z
= Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {(1; 2; 3)}
Cách 2: Đặt x a; y b; z c
B i toán 47 : (Thi vào 10 Chu Văn An Hà Nội - Amsterdam 1995- 1996)
Giải phơng trình
1
x y 1995 z 1996 x y z
2 (1)
H
íng dÉn:
C¸ch 1: (1)
2 2
x y 1995 z 1996
= Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {(3; - 1994; 1997)}
C¸ch 2:
B i to¸n 48à : Giải phơng trình x2 4x4 + x = (1)
H
íng dÉn:
(1) x + x =
(22)B i toán 49 (Thi vào 10 chuyên tin Lam Sơn 2003- 2004):
Giải phơng trình
1
x x
4 (1)
H
íng dÉn:
(1)
1
x
2
B i toán 50 : Giải phơng trình x x x4 x = (1)
H
íng dÉn:
(1) x x =1
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {x\ -1 x 4}
B i to¸n 51à : Giải phơng trình x2 x x x = (1)
H
íng dẫn:
Cách 1: Bình phơng hai vế (1) x = - x Cách 2: Đặt = y dỵc y + + y = y = Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {5}
B i toán 52 : Giải phơng trình: a)
1- x
x = - 2.
b) y2 + - 29 = (1)
H íng dÉn:
a) x = +
b) Đặt = t ta có t2 + t + 20 = 0
t = (thoả mÃn ĐK t); t = - (loại) Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = { 5}
2
x 3x6B i toán 53 : Giải phơng trình 3x + = x2 - 2(1)
H
íng dẫn:
Đặt x2 3x6 = y
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 2; 5}
B i toán 54 : Giải phơng tr×nh
x
x
= x - (1)
H ớng dẫn:
Đặt = y (1) y2 - y - = 0
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {9}
(23)Giải phơng trình - 5= (1)
H ớng dẫn:
Đặt = y th× (1) 2y2 - 5y - = y = - 0,5; 3
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 0,125; 27}
B i toán 56 : Giải phơng trình
3 2x
1 x
+
3 x
2x
= (1)
H
ớng dẫn:
Đặt
3 2x
1 x
= y
Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {; }
B i toán 57 : Giải phơng trình + = - 2x - x2 (1)
H íng dÉn:
Ta cã + = + víi mäi x, dấu "=" xảy x = - 1.
4 - 2x - x2 = - (x + 1)2 víi mäi x, dấu "=" xảy x = - 1. Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {- 1}
B i to¸n 58à : Giải phơng trình
2 13
x x x x
4
(1)
H íng dÉn:
Ta cã
2 13
x x x x
4
với x, dấu "=" không xảy Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S =
B i toán 59 : Giải phơng trình
2
3x 18x28 4x 24x45 6x - x2 - (1)
H íng dÉn:
Ta cã
2
2
3x 18x28 4x 24x 45 x 1 x 9
+ = víi mäi x, dÊu "=" x¶y vµ chØ x =
6x - x2 - = - (x - 3)2 víi mäi x, dÊu "=" x¶y x = 3. Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {3}
B i toán 60 : Giải phơng trình
2 13
x x x x 2,5
4
(1)
H
íng dÉn:
Ta cã
2
2 13 1
x x x x x x 3
4 2
> 2,5
(24)Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S =
B i toán 61 (Thi vào 10 chuyên toán tin, ĐHSP Hà Nội 2002):
* Chøng minh sè x0 = 2 2 6 3 nghiệm phơng trình x4 - 16x2 + 32 =
H
ớng dẫn:
Tính x02 thay vào phơng trình
B i toán 62 : Chứng minh có cặp số (x; y) thoả mÃn phơng trình x2 - 4x + y - 6+ 13 = (1)
H
íng dÉn:
C¸ch 1: (1) (x - 2)2 + (- 3)2 = (x; y) = (2; 9)
Cách 2: Xem (1) nh phơng trình bậc x (y tham số),để phơng trình có nghiệm ' - (- 3)2 y = Khi x = 2
B i toán 63 (Thi vào 10 chuyên toán Vinh vòng 1- 1998):
Mt ụ tụ d định từ A đến B cách 120 km thời gian định Sau đợc giờ, tơ phải dừng lại 10 phút Vì vậy, để đến B tơ phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định tơ
H
íng dÉn:
Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) (ĐK: x > 0) Theo ta có phơng trình = + +
120 x
x
B i toán 64 (Thi vào 10 Bắc Giang 2003- 2004):
Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B cách 24 km Cùng lúc , từ A B, bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ
H
íng dÉn:
Thời gian bè nứa trôi từ A đến C : = (h) Gọi vận tốc thực ca nô x (km/h) (ĐK: x > 4) Theo ta có phơng trình + =
x = (lo¹i); x = 20 (thoả mÃn điều kiện ẩn) Vậy, vận tốc thực ca nô 20 (km/h)
B i tốn 65à : Để làm hộp khơng nắp, ngời ta cắt hình vng góc bìa hình chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 10 cm Hỏi cạnh hình vng biết tổng diện tích hình vng diện tích đáy hộp
H
íng dÉn:
(25)Theo bµi ta cã phơng trình: 4x2 = (10 - 2x)(12 - 2x) x = 2. Cạnh hình vuông cắt cm
III D¹ng 3: HƯ thøc Vi Ðt
B i to¸n 1à : Cho x1; x2 nghiệm phơng trình x2 - 2(m + 1) x + m - = 0. Chøng minh biÓu thøc M = x1(1 - x2) + x2 (1 - x1) không phụ thuộc vào m
H
íng dÉn:
M = (x1+ x2) - x1 x2 = 2(m + 1) - (m - 4) = 10
B i to¸n 2à : Cho x1; x2 nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = TÝnh theo a; b; c gía trị biểu thức
a) A = (5x1- 3x2 )( 5x2- 3x1); b) B =
1
2
x x
x 3x x 3x
H
íng dÉn:
A = 64 x1 x2 - 15(x1+ x2)2 = - B = =
B i to¸n 3à : Cho x1; x2 nghiệm phơng trình 2x2 - 5x + = TÝnh A = x1+ x2
H
íng dÉn:
A = (+ )
Đặt B = + B2 = x1+ x2 + 2
B =
5 2
2
A =
1
5 2
2
B i to¸n 4à : Không giải phơng trình
Xỏc nh du cỏc nghim phơng trình sau 2x2 + 5x + = 0
2 3x2 + 5x + 60 = 0 7x2 - 13x + = 0 9x2 - 12x + = 0 4x2 + x - = 0
H
íng dÉn:
1 > 0; P > 0; S < x1 < x2 < < phơng trình vô nghiệm > 0; P > 0; S < x1 > x2 > 0 = 0; S > x1 = x2 >
5 P < x1 < < x2
B i tốn 5à : Tìm a để phơng trình x2 - 3x + a - = 0 a) Có nghiệm dấu
b) Cã nghiƯm tr¸i dÊu
H
íng dÉn:
a) Ph¬ng tr×nh x2 - 3x + a - = cã nghiƯm cïng dÊu vµ chØ > 0; P > 0.
(26)B i tốn 6à : Tìm a để phơng trình (a - 1)x2 +2ax + a + = có nghiệm âm.
H
íng dÉn:
a) Phơng trình (a - 1)x2 +2ax + a + = cã nghiƯm cïng ©m vµ chØ
a 1;
a
1 a
< (Do - nghiệm phơng trình) a < - a > 1
B i tốn 7à : Tìm k để phơng trình k2x2 - (k + 1)x - = 0 a) Có nghiệm dấu
b) Cã nghiƯm tr¸i dÊu
H
íng dÉn:
a) Phơng trình k2x2 - (k + 1)x - = cã nghiÖm cïng dÊu vµ chØ > 0; P > 0; k Không tồn gía trị k thoả mÃn toán.
a) Phơng trình k2x2 - (k + 1)x - = cã nghiƯm tr¸i dÊu vµ chØ P < k 0.
B i tốn 8ầ (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 2004- 2005): Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình 2x2 + 2mx + m2 - = (1) Tìm m để + + x1+ x2 =
H
ớng dẫn:
Phơng trình (1) có hai nghiệm khác ac 0
- m vµ m 2.
Khi đó, + + x1+ x2 = (x1+ x2)(1 + ) = m3 + m 2 - = 0 m = 1(Thoả mãn)
B i tốn 8bà Cho phơng trình: x - 2mx + m - 3m + = 02 Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng phân biệt Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
2
1 2
x + x + x x =
H
ớng dẫn:
Để phơng trình có nghiệm phân biệt
' = 3m - > 0 m >
Ta cã
2
c
P = = m - 3m + = (m - ) + > m
a
Do để phơng trình có nghiệm dơng S > 0 m > Kết hợp với điều kiện ta đợc
2 m >
3là kết cần tìm
Để phơng tr×nh cã nghiƯm x1; x2 th×
2
m
Theo Viet ta cã:
1
2
x + x = 2m x x = m - 3m +
Theo bµi ta cã:
2
1 2
(27)Kết hợp với điều kiện ta đợc m = giá trị cần tìm
B i tốn 9à : Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2(m + 2)x + m + = (1) Tìm m để x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2.
H
íng dÉn:
Phơng trình (1) có hai nghiệm x1; x2 nªn x1+ x2 = 2(m + 2)
x1 x2 = m +
Do đó, x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2 x1+ x2 - x1 x2 = m2
2(m + 2) - 4(m + 1) = m2 m= m = - (thoả mãn điều kiện để phơng trình có nghiệm)
§S: 0; -
B i toán 10 : Cho phơng trình x2 + ax + =
Tìm gía trị a để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
2
1
2
x x
7
x x
H
ớng dẫn:
Phơng trình có nghiệm chØ 0 a 2 (1) Theo hƯ thøc Vi Ðt th× x1+ x2 = - a; x1 x2=
Khi
2
1
2
x x
7
x x
2
4 2 2
1 2 2
x x 7x x (x x ) 2x x 9(x x ) 0
(a2 - 2)2 - >
2
2
2
a
a a a
a
(2)
Tõ (1) (2) ta có a < - a >
B i tốn 11à : Tìm a để tổng bình phơng nghiệm phơng trình
2
x 2a x 4a 3 = lµ nhá nhÊt.
H
íng dÉn:
2
4a 12a 13
> với a nên phơng trình ln có hai nghiệm x1; x2 Khi x12+ x22 = (x1+ x2 )2 - x1 x2 = (2a - 1)2 + (4a + 3) = 4a2 + 4a + = (2a + 1)2 + vi mi a.
tổng bình phơng nghiệm phơng trình
x 2a x 4a
(28)B i toán 12 : Cho phơng trình (m2 + m + 1)x2 - (m2 + 2m + 2)x - = 0 a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trÞ lín nhÊt cđa S = x1+ x2
H
íng dÉn:
a) a; c tr¸i dÊu
b) S =
2
m 2m m
1
m m m m
Đặt
m
m m
= y ym2 + (y - 1)m + y - = (2) - NÕu y = th× (2) cã nghiƯm
- Nếu y (2) có nghiệm chØ
(y - 1)2 - 4y (y - 1) 0 -3y2 +2y + 0 - y 1
Tóm lại, phơng trình (2) có nghiệm m - y 1 hay miền gía trị y - y 1 S 2.
gía trị nhỏ S ; gía trị lớn S
B i toán 13à : Giả sử x1; x2 nghiệm phơng trình x2 + 2mx + = Xác định m để x14 + x24 32
H
íng dÉn:
Phơng trình có nghiệm ' m (1) Khi đó, x14 + x24 =
2
4
1 2
x x (x x ) 2x x
- 2(x1 x2)2 x14 + x24 32 (4m2 - 8)2 - 32 32
2
m
- m2 - m (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã m = m = 2
B i toán 14 (Thi vào 10 Chu Văn An Hà Nội - Amsterdam 1998): Cho phơng trình (x + 1)4 - (m - 1)(x + 1)2 - m2 + m - = (1)
a) Gi¶i phơng trình (1) m = -
b) Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt c) Tìm gía trị m để x1 x2 2
H
íng dÉn:
a) Với m = ta có phơng trình (x + 1)4 = x + = x = 0; x = - 2 b) Đặt (x + 1)2 = y (y 0) ta đợc phơng trình y2 - (m - 1)y - m2 + m - = (2) Vì (2) phơng trình bậc hai có ac < nên (2) có hai nghiệm trái dấu Chỉ có nghiệm dơng cho ta hai gía trị đối x Từ đó, phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
c) x1 x2 2
2
1 2
(x + x ) x x
(29)B i toán 15à : Tìm m để phơng trình x4 - 2mx2 + m2 - = (1) có ba nghiệm phân biệt
H
íng dÉn:
Đặt x2 = t đợc t2 - 2mt + m2 - = (2)
Phơng trình x4 - 2mx2 + m2 - = (1) cã ba nghiÖm phân biệt (2) có nghiệm 0, nghiệm dơng P = 0; S > m =
B i tốn 16à : Tìm m để phơng trình 2x - m 2x 1+ 2m - = (1) có hai nghiệm phân biệt
H
íng dÉn:
Đặt 2x = t đợc t2 - mt + 2m - = (2)
Phơng trình 2x - m 2x 1+ 2m - = (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt (2) có hai nghiệm không âm > 0; P 0; S > 0
m > hc 1,5 m < 2.
B i toán 17 : Giả sử phơng trình ax2 + bx + c = (1) cã hai nghiệm dơng x1; x2. Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = cịng cã hai nghiƯm d¬ng x3 x4 vµ
x1+ x2+ x3 + x4 4
H
íng dÉn:
Ta thấy phơng trình (1) có hai nghiệm dơng x1; x2 phơng trình (2) có hai nghiệm dơng ;
x1+ x2+ x3 + x4 = x1+ + x2 + = (Theo BĐT Cô si)
IV Dạng 4: Hệ thức Vi ét đảo
B i toán 1 : a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiÖm x1 =
2 +
2 ; x2 =
2 -
b) TÝnh x13+ x23
H
íng dÉn:
a) C¸ch 1: x1+ x2 = ; x1 x2 =
Phơng trình cần lập x2 - x + = 4x2 - 4x + =
Cách 2: Phơng trình cần lËp lµ (x -
2 + ) (x -
2 - ) =
4x2 - 4x + =
b) C¸ch 1: x13+ x23 = (x1+ x2 )
1 2
x + x 3x x
=
7
C¸ch 2: x13+ x23 = (x1+ x2 )3 -3 x1 x2(x1+ x2) =
7
B i toán 2 : a) Lập phơng trình bËc hai cã hai nghiÖm x1 = + ; x2 = - b) TÝnh x13+ x23
H
(30)Phơng trình cần lập x2 - 4x + 1=
Cách 2: Phơng trình cần lập (x - + ) (x - - ) = x2 - 4x + =
**************************
Hệ phơng trình A kiến thức cần nhớ I Hệ ph ơng trình bậc hai ẩn.
1 Khái niệm hệ phơng trình bậc hai ẩn.
Cho hai phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c a'x + b'y = c' Khi ta có hệ hai phơng trình bậc hai ẩn (I)
ax + by = c a'x + b'y = c'.
2 Định nghĩa nghiệm hệ phơng trình.
Nu hai phơng trình có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) đợc gọi nghiệm hệ phơng trình (I) Nếu hai phơng trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ phơng trình (I) vơ nghiệm
3 Định nghĩa giải hệ phơng trình:
Giải hệ phơng trình tìm tất nghiệm (tìm tËp nghiƯm) cđa nã
4 Minh ho¹ tËp nghiƯm hệ phơng trình bậc hai ẩn.
Trờn mặt phẳng toạ độ, gọi (d) đờng thẳng ax + by = c (d') đờng thẳng a'x + b'y = c' điểm chung (nếu có) hai đờng thẳng có toạ độ nghiệm chung hai phơng trình (I) Vậy, tập nghiệm hệ phơng trình (I) đợc biểu diễn tập hợp điểm chung (d) (d')
5 Số nghiệm hệ phơng trình (I).
- Nếu (d) cắt (d') hệ phơng trình (I) có nghiƯm nhÊt - NÕu (d) // (d') th× hƯ phơng trình (I) vô nghiệm
- Nếu (d) (d') hệ phơng trình (I) có vô số nghiệm.
Chú ý: Có thể đốn nhận số nghiệm hệ phơng trình bậc hai ẩn (I) cách xét vị trí tơng đối (d) (d')
6 Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng.
Hai hệ phơng trình gọi tơng đơng với chỳng cú cựng nghim
7 Giải hệ phơng trình phơng pháp thế.
a Qui tc th (dùng để biến đổi hệ phơng trình thành hệ phơng trình tơng đơng)
- B ớc : Từ phơng trình hệ phơng trình cho (coi phơng trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn số vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ ẩn)
- B
(31)Chú ý: Nếu qui tắc giải hệ phơng trình phơng pháp thế, ta thấy xuất phơng trình có HS hai ẩn hệ phơng trình cho vơ nghiệm hoc vụ s nghim
b Dóm tắt cách giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp
1) Dùng qui tắc biến đổi hệ phơng trình cho để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn
2) Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ phơng trình cho
8 Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số.
a Qui tắc cộng đại số: (dùng để biến đổi hệ phơng trình thành hệ phơng trình tơng đơng)
- Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ phơng trình cho để đợc phơng trình
- Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho hai phơng trình hệ phơng trình (giữ nguyên phơng trình kia)
b.Tóm tắt cách giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp cộng đại số
1) Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình hệ đối
2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn
3) Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm ca h phng trỡnh ó cho
9 Giải toán cách lập hệ ph ơng trình.
+ Lập hệ phơng trình
- Chn n, xỏc nh đơn vị điều kiện cho ẩn
(Có thể chọn số liệu cha biết làm ẩn đợc, ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều địi hỏi tốn để chọn ẩn)
- Biểu diễn số liệu cha biết qua ẩn (Chú ý quan hệ đại lợng toán)
- Dựa vào mối quan hệ đại lợng để hệ lập phơng trình + Giải phơng trỡnh
+ Chọn kết thích hợp trả lời
II Giải hệ ph ơng trình gồm ph ơng trình bậc ph ơng trình bậc hai hai ẩn.
Dùng phơng pháp
III Giải hệ ph ơng trình gồm hai ph ơng tr×nh bËc hai hai Èn.
Cách 1: Đặt x + y = S; xy = P (nếu hệ phơng trình đối xứng kiểu 1) Cách 2: Tìm cách khử hạng tử bậc hai, sau dùng phơng pháp Cách 3: Đa tuyển hệ phơng trình đơn giản
Cách 4: Sử dụng tính chất bt ng thc
Cách 5: Sử dụng phơng trình bậc hai (coi phơng trình nh phơng trình bậc hai mét Èn)
B Bµi tËp
(32)B i toán 1 : Giải hệ phơng trình:
x + y + = 3 4x - y x
+ =
6 (I)
H
íng dÉn :
(I)
x + y = 11x - 2y = 12
HƯ ph¬ng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {(x; y) = (2; 5)}
B i to¸n 2à : Giải hệ phơng trình:
x - y - z - = = x + 2y - z =
(I)
H
íng dÉn :
C¸ch 1: Sư dơng tÝnh chÊt dÃy tỉ số Cách 2: Đặt
x - y - z - = =
5 = t
HÖ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {(2; 3; 2)}
B i toán 3 : Tìm m cho hệ phơng trình:
mx + y = 1 x + y = 2 x - y = m
(I) cã nghiƯm
H
íng dÉn :
Tõ (2) vµ (3) ta cã x = ; y = Thay vµo (1) ta cã m = hc m = -
B i toán 4 : Giải hệ phơng trình:
x + x +
x - = 3- x
(I)
H
íng dÉn :
(I)
x - = 3- x
x + = x +
- x 3.
HÖ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {x\ - x 3}
B i toán 5 : Tìm m cho hệ phơng tr×nh:
mx + y =
x + my = 3 (I)
a) V« nghiƯm
b) Cã nghiƯm nhÊt
H
íng dÉn :
a) (I)
y = 3- mx
1- m x = 3- 3m *
(33)b) HÖ phơng trình có nghiệm m =
B i toán 6 : Tìm m cho hệ phơng trình:
mx + y =
4x + my = -1 (I)
a) V« nghiƯm
b) Cã nghiƯm nhÊt
H
íng dÉn :
a) (I)
2
y = 3- mx
4 - m x = 1- 3m *
(I) vô nghiệm (*) vô nghiệm m = m = - 2. Hệ phơng trình có nghiệm vµ chØ m 2.
B i toán 7 : (Ví dụ 31- phơng pháp giải toán tập 2)
Cho hệ phơng trình:
x + y =
mx - y = m (I)
Tìm gía trị ngun m để hệ phơng trình có nghiệm ngun
H
íng dÉn :
Khi m = - hệ phơng trình vô nghiệm
Khi m - (I)
1
x = +1
1+ m y =
1-1+ m
Hệ phơng trình có nghiệm nguyên m + = hc m + = - m = m = 2.
B i toán 8 :
Tìm a; b cho đa thức x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1
H
íng dÉn :
§a thøc x3 + ax2 + 2x + b chia cho ®a thøc x2 + x + d (2 - a)x + b - a + 1
§a thøc x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + vµ chØ khi
2 - a = a =
b - a +1 = b = 1.
B i toán 9 : Tìm a; b cho ®a thøc ax3 + (a + b)x2 + (2 + b)x + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x - 2.
H
íng dÉn :
(34)§a thøc x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho đa thức x2 + x + chØ -2
f = a = -
b = -1
f =
B i to¸n 10 : Tìm a; b cho đa thức x2 + (2a - 5)x - 3b cã hai nghiƯm lµ - 2; - 3.
H
íng dÉn :
Đđa thức x2 + (2a - 5)x - 3b cã hai nghiƯm lµ - 2; - vµ chØ
a =
4a - 3b =
b =
6a + 3b = 24 .
B i to¸n 11 : Giải hệ phơng trình =
34 15 (1)
H
íng dÉn :
Đặt
5x
x y = z
Hệ phơng trình (1) có tập hợp nghiệm S = {
20 16 108 1392
; ; ;
3 125 125
}
Dạng Giải hệ phơng trình gồm phơng trình bậc một phơng trình bËc hai hai Èn.
B i to¸n 12à : Giải hệ phơng trình:
=
x - 2y + =
2y - x (I)
H
íng dÉn :
(I) 2
x - x - =
2y = x
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {(x; y) = (- 1; )}
B i toán 13a : Giải hệ phơng trình:
+ x + 2y = x - 2y
x + 2y =
x - 2y (I)
H
íng dÉn :
§KX§: x 2y.
Đặt
1
x - 2y = u; x + 2y = v ta cã (I)
u = v = u + v =
uv = u =
(35)Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {
7
( ; ); ;
4 12
}
D¹ng Giải hệ phơng trình gồm hai phơng trình bậc hai hai ẩn.
B i toán 13b : Giải hệ phơng trình:
2
x + y = x + y =
H
íng dÉn :
2
x + y = x + y =
V
(x + y) - 2xy = x + y =
x + y = xy =
x = x =
y = y =
Kết luận: Hệ phơng trình có nghiệm: (1; 2) (2; 1)
B i toán 13c : Giải hệ phơng trình:
x + y - 2xy = - 17
xy - 12 = (I)
H
íng dÉn :
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiƯm lµ S = {(3; 4); (4; 3)}
B i toán 14 : Giải hệ phơng trình:
2
x - y - x - y = x + y = 5xy
(I)
H
íng dÉn :
Đặt x - y = t ta có t2 - t - = t = - hc t = 3 XÐt tõng trêng hợp, dùng phơng pháp
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {(2; 4)(- 4; -2)(6; 3)(-3; - 6)}
B i to¸n 15à : Giải hệ phơng trình: 2
+ y = 25 x - y =
x
(I)
H
íng dÉn :
Rót y từ phơng trình thứ hai thay vào phơng trình thứ dùng phơng pháp cộng, khử x2 giải tiếp.
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiƯm lµ S = {(3; 4)(0; - 5)}
B i toán 16 : Giải hệ phơng trình: 2
+ y = 65 x - y - = 18
x
(36)H
íng dÉn :
(I)
x + y - 2xy = 65 xy - x + y = 17
Đặt u = - (x + y); v = xy đợc
- 2t = 65
u + t = 17 u
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {}
B i toán 17 : Giải hệ phơng trình:
2
x + y - x + y = 45 x - y - x - y =
(I)
H
íng dÉn :
(I)
V V V
x + y - = x + y - = - x + y - = - x + y - =
x - y - = x - y - = x - y - = - x - y - = -
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = {(4; 5); (6; 3); (- 3; - 2); (- 1; - 4)}
B i toán 18 : Giải hệ phơng trình: 2
2
x + 4y + x = 4xy + 2y + + 4xy + y = 2x + y + 56
4x (I)
H
íng dÉn :
Tõ phơng trình (1) ta có 2x + y Từ phơng tr×nh (2) ta cã x - 2y XÐt tõng trêng hợp
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm lµ
S = {(-2; - 5); (0; 6); (2,4; 3,2); (- 2,6; - 1,8)}
B i to¸n 19à : (Thi vào 10 chuyên lí Lam Sơn 1995- 1996)
Giải hệ phơng trình:
11
x + y + xy = 11
6
+ + xy
x y
(I)
H
íng dẫn :
Đặt x + y = S; xy = P th× (I) 6S
+ P = 11 P
S + P = 11 S = 5
P =
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm S = { x; y) = {(2; 3); (3; 2)}
B i to¸n 20 : (Thi vào 10 chung ĐHQG Hà Nội 1999)
Giải hệ phơng trình:
5
1 + x y
xy
x + y + =
+ xy
(I)
H
(37)Đặt x + y = S; xy = P th× (I) S P
+ P =
P 3
2
S = P = S + =
S = P =
HƯ ph¬ng trình (I) có tập hợp nghiệm
S = { x; y) = {(1; ); (1; 2); (2; 1); (; 1)}
B i toán 21 : Giải hệ phơng trình: 29
2+
xy = 10
x y (I)
H
íng dÉn :
Đặt x2 + y2 = S; xy = P th×
(I)
2 x + y =
x + y - 2xy = 29
x + y = -7 xy = 10
xy =
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm
S = { x; y) = (2; 5); (5; 2); (-2; -5); (-5; -2)}
B i to¸n 22à : (Thi vào 10 chung ĐHQG Hà Nội 1998)
Giải hệ phơng trình: (I)
H
ớng dẫn :
Đặt x2 + y2 = S; xy = P th×
(I)
S - P = 21
S + P = S =
P =
2 x + y =
x + y = x + y - =
x + y = -3 xy = xy =
xy =
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm
S = { x; y) = (2; 1); (1; 2); (-2; -1); (-1; -2)}
B i toán 23 : (Thi vào 10 chuyên tin vòng Lam Sơn 1995- 1996)
Tỡm di cạnh tam giác vng có chu vi 30 cm, diện tích 30cm2.
H
íng dÉn :
Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác x; y (cm) (ĐK: < x; y < 10) 2
x + y + x + y = 30 xy = 60
Đặt x + y = S; xy = P th× x2 + y2 = S2 - 2P = S2 - 120
Khi (I)
S + S - 120 = 30 P = 60
S = 17 P = 60
(38)Vậy, độ dài cạnh tam giác vuông cm, 12cm **********************************
Hàm số- Đồ thị hàm số A Kiến thức cần nhớ: I Hàm số.
1 Định nghĩa: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với gía trị đại lợng x, ta xác định đợc gía trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số đại lợng x, x đợc gọi biến số
2 Các cách cho hàm số: Hàm số đợc cho bảng, công thức, sơ đồ, đồ thị
3 Chú ý: - Khi hàm số đợc cho công thức y = f(x), ta hiểu biến số x lấy gía trị mà f(x) xác định
- Khi y lµ hµm sè cđa x, ta cã thÓ viÕt y = f(x), y = g(x)…
- Khi x thay đổi mà y ln nhận gía trị khơng đổi hàm số y đợc gọi hm hng
II Đồ thị hàm số.
Tập hợp tât điểm biểu diễn cặp gía trị tơng ứng (x; y = f(x)) mặt phẳng toạ độ đợc gọi đồ thị hàm số y = f(x)
III Hàm số đồng biến, nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với gía trị x thuợc R
- Nếu gía trị biến x tăng lên mà gía trị tơng ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) đợc gọi hàm số đồng biến R (gọi tắt hàm số đồng biến)
- Nếu gía trị biến x tăng lên mà gía trị tơng ứng f(x) lại giảm hàm số y = f(x) đợc gọi hàm số nghịch biến R (gọi tắt hàm số nghịch biến) Nói cách khác, với x1; x2 thuộc R:
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R
IV Hµm sè bËc nhÊt.
1 Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số đợc cho cơng thức y = ax + b a; b số cho trớc a 0.
2 Tính chất: Hàm số bậc y = ax + b xác định với gía trị x thuộc R có tính chất sau:
- Đồng biến R a > - Nghịch biÕn trªn R a <
3 Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) (đờng thẳng y = ax + b, b tung độ gốc
của đờng thẳng)
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng:
(39)- Song song với đờng thẳng y = ax b 0, trùng với đờng thẳng y = ax
nÕu b =
+ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
- Khi b = y = ax Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đờng thẳng đi
qua gốc toạ độ O(0; 0) điểm A(1; a)
- Khi b 0, để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , ta cần xác định đợc hai
điểm phân biệt thuộc đồ thị vẽ đờng thẳng qua hai điểm
Trong thực hành, ta thờng xác định hai điểm đặc biệt giao điểm đồ thị với hai trục toạ độ
4 Đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt nhau.
Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0) y = a'x + b' (a' 0) song với chỉ
khi a = a'; b b' vµ trïng vµ chØ a = a'; b = b', cắt
a a'
Chú ý: Khi a a' b = b' hai đờng thẳng có tung độ gốc, chúng cắt
nhau điểm trục tung có tung đọ b
5 Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0).
a Định nghĩa: - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nói góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox (hoặc nói đờng thẳng y = ax + b tạo với Ox góc ), ta hiểu góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng - Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b a
V Hµm sè y = ax2 (a 0)
1 TÝnh chÊt cđa hµm sè y = ax2 (a 0)
- Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > - Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >
2 NhËn xÐt:
- NÕu a > 0; th× y > víi mäi x 0; y = x =
GÝa trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè lµ y =
- NÕu a < 0; th× y < víi mäi x 0; y = x = GÝa trị lớn hàm
số y =
3 Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0).
Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đờng cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đờng cong đợc gọi pa bol với đỉnh O
Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh, O điểm cao đồ thị
* Chú ý: - Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị hàm số này, ta cần tìm số điểm bên phải trục Oy lấy điểm đối xứng với chúng qua Oy
- Đồ thị minh hoạ cách trực quan tính chất cđa hµm sè
VI Cách giải dạng tốn: Kiểm tra điểm A(xA; yA) có thuộc đồ thị hàm số
y = f(x) hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f(x) qua điểm A(xA; yA):
Sử dụng kíên thức điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)
VII Cách giải dạng tốn: Tìm giao điểm hai đồ thị hai hm s:
Giải hệ phơng trình gồm hai phơng trình hai hàm số
VIII Cỏch gii dạng tốn: Chứng minh hay tìm điều kiện để hai đồ thị hai hàm số có 0; 1; giao điểm:
Chứng minh hay tìm điều kiện để hệ phơng trình gồm hai phơng trình hai hàm số có 0; 1; nghiệm hay phơng trình hồnh độ giao điểm có 0; 1; nghiệm
(40)Chứng minh hay tìm điều kiện để hệ phơng trình gồm hai phơng trình hai hàm số có nghiệm kép hay phơng trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép
X Cách giải dạng tốn: Chứng minh với gía trị tham số đ ờng thẳng có ph ơng trình cho tr ớc qua điểm cố định.
Cách 1: Cho tham số hai gía trị thích hợp, giải hệ phơng trình tạo hai phơng trình có đợc ứng với hai gía trị tham số để tìm giao điểm, sau chứng minh giao điểm thuộc đồ thị đờng thẳng có phơng trình cho trớc với gía trị tham số tức toạ độ giao điểm ln thoả mãn phơng trình cho trớc với gía trị tham số
Cách 2: Biến đổi phơng trình cho trớc dạng phơng trình có vế phải 0, vế trái tổng hai hạng tử hạng tử chứa tham số, hạng tử khơng chứa tham số tìm điều kiện để phơng trình nghiệm với gía trị tham số (Hệ số tham số hạng tử ng thi bng 0)
X Cách giải dạng toán: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng hay ph ơng trình pa ra bol.
- Viết dạng tổng quát phơng trình
- Tìm tham số dựa theo điều kiện toán - kết luận
Bµi tËp
I Dạng 1: Tìm ĐKXĐ Kiểm tra điểm A(xA; yA) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f(x) qua điểm A(xA; yA). Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến.
B i tốn 1:à Tìm tập xác định hàm số sau a) y =
b) y = -
c) y =
2
2x1 x
1
d) y = x3 - 2x2 + 3x - 4.
H
íng dÉn:
a) x b) x 3. c) < x < d) x R.
B i to¸n 2à : Cho hµm sè y = f(x) =
x 1
x 1 .
a) Tìm TXĐ hàm số
b) Tớnh f(6 - ); f(m2) với m < - 1 c) Tìm x để f(x) =
(41)H
íng dÉn:
a) TX§: x 0; x 1.
b) Chó ý: - = (- 1)2 f(m2) = (V× m < -1 < 0)
c) f(x) = x =
4 -
d) f(x) = f(x2)
1 -
x x
= x =
B i toán 3à :Cho hàm số y = f(x) = a) Chứng minh hàm số đồng biến
b) Trong điểm A(9; - 6); B(8; 4) điểm thuộc, điểm không thuộc đồ thị hàm số
H
íng dÉn:
a) Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến b) Điểm A không thuộc đồ thị hàm số Điểm B thuộc đồ thị hàm số
B i toán 4à : Cho hàm số y = (2m - 3) x + n - Tìm m; n để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ y = 3- cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
x = +
H
íng dÉn:
Đồ thị hàm số y = (2m - 3) x + n - cắt trục tung điểm có tung độ y = 3- cắt trục hoành điểm có hồnh độ x = +khi
n - = -1
(2m - 3)(1+ 2) + n - =
Dạng 2: Tìm giao điểm hai đồ thị hai hàm số.
B i tốn 5à : Giải hệ phơng trình sau phơng pháp đồ thị kiểm tra ph-ơng pháp đại số
x + y = 2x - y =
H
(42)Hệ phơng trình có nghiƯm (x; y) = (2; 3)
B i tốn 6à : Giải hệ phơng trình sau phơng pháp đồ thị kiểm tra ph-ơng pháp đại số
2
y = x y = -x +
H
ớng dẫn:
Hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (1; 1); (-2; 4)
(43)H
íng dÉn:
Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng thuộc đờng thẳng cịn lại
B i tốn 8à : Tìm điểm nằm đồ thị hàm số y = -
2
2
x
và cách hai trục toạ độ
H
íng dÉn:
Toạ độ điểm nằm đồ thị hàm số y = -
2
2
x
và cách hai trục toạ độ nghiệm hệ phơng trình sau:
2
x x y = - y =
-;
2 y = x y = -x .
Dạng 3: Chứng minh hay tìm điều kiện để hai đồ thị hai hàm số có 0; 1; giao điểm Chứng minh hay tìm điều kiện để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau.
B i to¸n 9à : Cho hµm sè y = (1 - 4m)x + m - (d)
a) Tìm m để đờng thẳng d song song với trục hồnh b) Tìm m để đờng thẳng d qua điểm O điểm A(1; 2) c) Tìm m để đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn d) Tìm m để đờng thẳng d tạo với Ox góc tù e) Tìm m để đờng thẳng d tạo với Ox góc 600 g) Tìm m để đờng thẳng d có tung độ gốc - 2,5
h) Tìm m để đờng thẳng d cắt trục hoành điểm x0 cho x0 < i) Tìm m để đờng thẳng d cắt đờng thẳng 2x - 3y = (d')
k) Tìm m để đờng thẳng d song song với đờng thẳng (d') l) Tìm m để d d'.
m) Tìm m để hàm số cho hàm số đồng biến n) Tìm m để hàm số cho hàm số nghịch biến p) Vẽ đồ thị hàm số m =
xác định khoảng cách từ O đến đờng thẳng d
H
íng dÉn:
a) m = 0, 25
b) (x = 0; y = 0) vµ (x = 1; y = 2) thoả mÃn công thức biĨu diƠn hµm sè c) - 4m > m < 0,25
d) - 4m < m > 0,25.
e)1 - 4m = tg 600 = m = (1 - ): 4 g) m - = - 2,5 m = - 0,5 h) < 0,25 < m < 2. i) 2x - 3y = y = x -
Đờng thẳng d cắt đờng thẳng (d') - 4m m - m
k) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng (d') - 4m = m = - m =
vµ m - - m 1
Từ m =
(44)n) Hàm số cho hàm số nghịch biến - 4m < m > 0,25
p) Khi m = ta cã hµm sè y = x -
y d
O A x
B H
Đồ thị hàm số y = x - ®i qua c¸c ®iĨm A(2; 0); B(0; - 2)
Gọi OH khoảng cách từ O đến đờng thẳng d Tam giác OAB vng O có OH đờng cao nên = + = + = OH =
Cho đờng thẳng d: y = mx - - pa bol y =
2
2
x
B i toán 10: à a) Chứng minh d qua điểm cố định m thay đổi b) Tìm m để (P) d tiếp xúc Khi tính toạ độ tiếp điểm
H
íng dÉn:
a) Đờng thẳng d qua điểm (;- 1) cố định m thay đổi b) Phơng trình hoành độ giao điểm
2
2
x
= mx - - x2 - 2mx + m + = 0 Để (P) d tiếp xúc phơng trình phải có nghiÖm kÐp ' =
m = - 1; m = 2.
Dạng 4: Chứng minh với gía trị tham số đờng thẳng có phơng trình cho trớc ln qua điểm cố định.
Viết phơng trình đờng thẳng hay phơng trình pa bol thoả mãn điều kiện cho trớc
B i to¸n 11à : Chøng minh ®iĨm A(2; 3); B(- 1; - 3); C(0; - 1) thẳng hàng
H
ớng dẫn:
Chứng minh điểm thuộc đờng thẳng qua điểm cịn lại
B i to¸n 12à : (Thi chuyên Nga, Anh Lam Sơn 1996-1997)Cho hàm số y =
2
2
x
a) Một đờng thẳng cắt đồ thị hàm số điểm A có hồnh độ điểm B có hồnh độ - Viết phơng trình đờng thẳng
b) Qua điểm O vẽ đờng thẳng song song với AB Viết phơng trình đờng thẳng tính toạ độ giao điểm với đồ thị hàm số y =
2
2
x
H
íng dÉn:
a) Phơng trình đờng thẳng qua A(2; 2); B(- 4; 8) y = - x +
(45)Toạ độ giao điểm với đồ thị hàm số y =
2
2
x
lµ (0; 0); (- 2; 2)
B i toán 13à : Xác định a, b để đờng thẳng y = ax + b qua điểm A(2; 1) song song với đờng thẳng OB B(-2;3)
H
íng dÉn:
(a; b) = (- 1,5; 4)
B i toán 14à : Cho hai đờng thẳng 3x - 5y + = 0; 5x - 2y + = Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm đờng thẳng
a) Song song với đờng thẳng 2x - y + = b) Qua thêm điểm M(1; 4)
H
íng dÉn:
§S: a) y = 2x + b) 78x - 35y + 62 =
B i toán 15à : Chứng minh m thay đổi , đờng thẳng có phơng trình mx + (2m - 1)y + = (1)
luôn qua điểm cố định
H
íng dẫn:
Cách 1: Cho m = m = - ta cã
3
3
x y x
x y y
.
mà (x = - 6; y = 3) thoả mãn phơng trình (1) với m nên m thay đổi, đ-ờng thẳng có phơng trình (1) ln qua điểm cố định
C¸ch 2: (1) m (x + 2y) + - y = víi mäi m
******************
bất đẳng thức- bất phơng trình. A Kiến thức cần nhớ
I Bất đẳng thức
1 Định nghĩa bất đẳng thức: Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a b, a b) bất đẳng thức a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức
2.TÝnh chÊt.
a > b ⇔ a – b > 0
a > b ⇔ a + c > b + c ( c R) a > b ⇔ a.c > b.c nÕu c > 0
a.c < b.c nÕu c <0
a > b
c > d ⇒ a + c > b + c
a > b >
a.c > b.d c > d >
a > ⇒ an < an+k víi n, k N*
(46) a + b a b± a - b a > b ⇔ a2k+1 > b2k+1
a > b > ⇔ a2k > b2k
3 Các bất đẳng thức bản.
2
x y± x;y
(x + y)2 4xy DÊu "=" x¶y vµ chØ x = y.
x2 + y2 + z2 xy + yz + zx DÊu "=" xảy x = y = z.
1
+
x y x + y ( Víi x; y dơng) Dấu "=" xảy x = y.
a 0 a Dấu "=" xảy a =
a a - a a
a b
+
b a với a; b dơng Dấu "=" xảy vµ chØ a = b.
0
A A DÊu "=" xảy A = 0.
* Bất đẳng thức Côsi:Cho n số không âm a1, a2, ,an Ta có: a1+ a2+ +an n a a an n
DÊu = x¶y vµ chØ a1 = a2 = = an
4 Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
-Phơng pháp biến đổi tơng đơng, sử dụng tính chất bất đẳng thức -áp dụng bất đẳng thức côsi, bunhiacovski, trêbsep
-Sử dụng bất đẳng thức ph
-Phơng pháp chứng minh phản chứng -Phơng pháp chứng minh làm trội -Phơng pháp chứng minh quy nạp
II Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A.
B
ớc : Chứng minh A m (hay A m) với gía trị biến m số
B
íc : Chỉ trờng hợp xảy dấu "=" B
íc : KÕt luËn
III Bất phơng trình.
1 Định nghĩa
- Một bất phơng trình ẩn x có dạng A(x) < B(x) hay A(x) > B(x); A(x) B(x); A(x) B(x), vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x - Gía trị x mà thay vào bất phơng trình, ta đợc khẳng định gọi nghiệm bất phơng trình
- Tập hợp tất nghiệm bất phơng trình đợc gọi tập nghiệm bất ph-ơng trình
- Giải bất phơng trình tìm tập nghiệm bất phơng trình
2 Bất phơng trình tơng đơng.
Hai bất phơng trình gọi tơng đơng chúng có cựng nghim
3 Bất phơng trình bậc ẩn.
a Định nghĩa
Bt phng trỡnh dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0; ax + b ax + b 0) a, b hai số cho, a 0, đợc gọi bất phơng trình bậc ẩn.
(47)+ Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phơng trình từ vế sang vế ta phải i du hng t ú
+ Qui tắc nhân víi mét sè
Khi nhân hai vế bất phơng trình với số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phơng trình số dơng
- Đổi chiều bất phơng trỡnh nu s ú õm
4 Bất phơng trình bËc cao.
Biến đổi bất phơng trình tích giải bất phơng trình tích
5 BÊt ph¬ng trình phân thức.
Bin i v bt phng trỡnh thơng giải bất phơng trình thơng
6 Bất phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
C¸ch 1: XÐt kho¶ng
Cách 2: Biến đổi tơng đơng
Cách 3: Sử dụng tính chất bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế Cách 4: Đặt n ph
7 Bất phơng trình chứa dấu căn.
Cách 1: Xét khoảng
Cỏch 2: Bin i tơng đơng
Cách 3: Sử dụng tính chất bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế Cách 4: Đặt ẩn phụ
***************************************
bµi tËp
(48)Bµi 1: Chøng minh biĨu thøc sau có gía trị âm với gía trị cña x 0: S = a2 - (2+ 1)2 + + 4.
Híng dÉn
S = (a - 2)2.
Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi a,b ta cã:
2
a + b a + b 2
Híng dÉn
B§T
2 2
a + b a + b
2 a + 2ab + b2 2(a + b )2 a - b2 0
KÕt luËn
Bµi 3: Chøng minh a2 + b2 + c ab + ac + bc (1)
Híng dÉn
(1) (a - b)2 + (b - c)2+ (c - a)2 0 Dấu "=" xảy chØ a = b = c.
Bµi 4: Chøng minh a + b + c ab+ ac + bc (1)
Híng dÉn
(1) ( a - b)2 + ( b - c)2+ ( c - a)2 0.
Bµi 5: So sánh - 2và 3-
Hớng dÉn
5 - 2< 3-
Bµi 6: Chøng minh
2
a a a
a
(1) víi mäi a.
Híng dÉn
C¸ch 1: (1) ( a2 a 1- 1)2 0.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô Si a2 a
Bµi 7: (1.45 Tr22Phơng pháp giải toán tập 1) Chứng minh - > > -
Híng dÉn
- =
1 1
1
a a a a a .
- =
1 1
1
a a a a a
(49)a) a2 – b2 + c2 ( a – b +c)2
*b) a2 – b2 + c2 - d2 ( a – b + c - d)2
(Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 – 04)
Híng dÉn
a) a2 – b2 + c2 ( a – b +c)2
⇔ a2 – b2 + c2 a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc
⇔
⇔ (b – a).(b – c) b) áp dụng câu a
* Bài 9: Chứng minh r»ng nÕu y x3 + x2 + |x| +1 (1) th× ta cã x2 + y2 (2)
Tầm tất cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy dấu (Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 – 04)
Híng dÉn
XÐt trờng hợp xảy ra;
TH1: x y 1 ⇒ x2 + y2 TH2: x -1 ⇒x2≥1 ⇒ x2 + y2 TH3: - < x < ⇒ y >1 ⇒ x2 + y2 DÊu = x¶y x = 0; y = hc y = 0; x = -1
* Bµi 10: Cho ba số dơng a, b, c thoả mÃn < a b c Chøng minh r»ng
a,
a b c b c a
+ + + +
b c a a b c
b,
c b b a
+ +
a c a b
Híng dÉn
XÐt hiệu, chứng minh hiệu không âm
** Bài 11: Cho a.b.c = vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng:
2
a
+ b + c > ab + bc + ca
Hớng dẫn
Xét hiệu, tách thành
2 3
a a - 36abc - b - c +
2 12a
* Bµi 12: Cho a1, a2 , a3, a4, a5 số dơng có tổng b»ng Chøng minh r»ng : (a1
1
−1).(1
a2−1).(
1
a3−1).(
1
a4−1).(
1
a5−1)≥1024
Híng dÉn
T¬ng tù cã:
Nhân vế với vế ta đợc điều phải chứng minh
* Bµi 13: Cho x.y = vµ x > y CMR:
2
x + y
2 x - y
(50)VT = (x − y)
+2 xy x − y =
(x − y)2+2
x − y =(x − y)+
2
x − y V× x > y nên x - y > áp dụng BĐT Côsi ta có: VT 2.(x y)
x y22
II Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất
Bài 1: Tìm gÝa trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau A = 3x2 + 6x - 1
Híng dÉn
Ta cã A = 3(x + 1)2 - với x Dấu "=" xảy x = - 1
VËy, gÝa trÞ cđa biểu thức A x = -
Bài 2: Tìm gía trị lớn biểu thøc sau A = - x2 - 2x + 1
B = (x2 - 2x + 2)(4x - 2x2 + 2)
Híng dÉn
a) Ta cã A = - (x + 1)2 với x Dấu "=" xảy x = - 1
VËy, gÝa trÞ cđa biểu thức A x = -
b) Đặt x2 - 2x + = y th× B = y (6 - 2y) = 2y (6 - 2y) víi mäi y.
Bài 3: Tìm gía trị nhỏ biểu thức sau A =
6 4x - - x
B =
4
4
2 16
2 8 16
x x x
x x x x
; C =
2
3 10
2 x x x x Híng dÉn
Ta cã A =
6
x - 4x + = -
2
6
2 x
- víi mäi x DÊu "=" xảy x =
Vậy, gía trị biểu thức A - t¹i x =
B =
2 2 x x
với x Dấu = xảy chØ x = - 2. C = +
1
2
x x 3,5 víi mäi x DÊu = x¶y vµ chØ x = - 1
Bµi 4: Tìm gía trị lớn biểu thức sau A =
2 x x x Híng dÉn
Ta cã A = - +
1
x - víi x Dấu "=" xảy x =
1 VËy, gÝa trÞ lín biểu thức A - x =
1 2.
Bài 5: Tìm gía trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau A =
(51)Ta cã A = +
2
1
x +
1
x víi mäi x DÊu "=" x¶y vµ chØ x = 1
VËy, gía trị nhỏ biểu thức A x =
Bài 6: Tìm gía trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau A = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) B = (x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)
Híng dÉn
a) Ta cã A = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x + 5)2 - -1 víi mäi x
DÊu "=" x¶y vµ chØ x =
5
2
VËy, gÝa trÞ nhá biểu thức A - x =
5
2
b) Ta cãB = (x2 + 5x - 6)( x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x )2 - 36 - 36 víi mäi x DÊu "=" xảy x = 0; -
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A - 36 x = 0; -
Bài 7: Cho a + 2b = 1 Tìm gÝa trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau A = ab. Híng dÉn
Ta cã a = - 2b A = -
2
1
2
b
víi mäi b Dấu "=" xảy b =
Vậy, gía trị biểu thức A a = ; b =
Bài 8: (Thi vào 10 LS chuyên tin V2 1995- 1996)
Cho 2x - y = 1 Tìm gía trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau A = x2 + 2y2.
Híng dÉn
Ta cã y = x - A = x2 + 2(x - 1)2 = 3x2 + 4x + 2
Bài 9: Tìm gía trị nhỏ gía trị lớn biÓu thøc sau A =
1 3 1 x Híng dÉn
Ta cã A
1
2 víi mäi x
DÊu "=" lần lợt xảy x = 1; x = 0
VËy, gÝa trÞ nhá biểu thức A x = 1.
gÝa trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A
1
2tại x = 0.
Bài 10: Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn (nếu có) biểu thức sau A = 2x -
B = 3- x
C = + D = =
E = - 2 x x
G =
2
1 10
(52)H =
1 2x 3 x
I =
1 1 1 x
K =
L =
1 x x
M = -
1
x x
N =
5 10 25
2
x x
x x
P = x - 6+ (+2)2 + 9 Q = x2 - 4x + 10 - - x R = x x1 x x1
S =
2 1996
x x
x
víi x >
Híng dÉn
+ A = 2(- )2 - - với x Dấu "=" xảy x = -
VËy, gÝa trÞ nhá biểu thức A - x = -
+ B = - 3(- )2 + với x Dấu "=" xảy chØ x = C¸ch 2: B = 3(1 - ) max = - (V× + - = const)
VËy, gÝa trÞ lín nhÊt cđa biểu thức B x =
+ C 1víi mäi x DÊu "=" x¶y x = 2
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức C x =2 + D 1víi mäi x DÊu "=" x¶y vµ chØ x =
VËy, gÝa trị lớn biểu thức D x = + E = -
2
6 x1
- E víi mäi x DÊu "=" lÇn lợt xảy x = x =
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức E - x = gÝa trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc E - x = + G = (- )2 + (- )2 + = 2x - 8+ 11 víi x Dấu "=" xảy x =
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt biểu thức G x =
+ H =
2
1
1 23
2
4
x
với x Dấu "=" xảy chØ x =
VËy, gÝa trÞ lín biểu thức H x =
+ I víi mäi x DÊu "=" lần lợt xảy x = x = 0
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức I x = 1. gÝa trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc I x =
+ K với x Dấu "=" lần lợt xảy vµ chØ x = vµ x = 0
(53)+ L = -
2
1
1
x
- víi mäi x DÊu "=" xảy x = 1
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức L - t¹i x =
+ M - với x Dấu "=" xảy chØ x = 0
VËy, gÝa trÞ nhá biểu thức M - x =
+ N = +
2
10
1
x
10 víi mäi x DÊu "=" x¶y vµ chØ x = 1
VËy, gÝa trị lớn biểu thức N 10 x = + P = (x - 2) - + 15 = 2t2 - 2t + 15 14,5 víi mäi t DÊu "=" x¶y vµ chØ t = x = 2,25.
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P 14,5 x = 2,25 + Q = (x - 2)2 - 5(x - 2) - = t2 - 2t - - t
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt biểu thức Q - x =
gía trị lớn biểu thức Q max (Q(- 1); Q (8)) = max (3; 21) = 21
+ R =
2
1 1
2 2
x
x x
x
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức R t¹i x [1; 2]
+ S với x Dấu "=" xảy x = 19962
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt biểu thức S x = 19962.
*Bài 11: Tìm gía trị lớn biểu thức sau A = 3x (3 - 2x)
Híng dÉn
Ta cã A = 2x (3 - 2x) với x Dấu "=" xảy chØ x =
VËy, gÝa trÞ cđa biểu thức A x =
Bài 12: (3.2 Tr180 Gióp em giái h×nh 9)
T×m gÝa trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau A = x -
Híng dÉn
Ta cã A = (- )2 + 2004 2004víi mäi x DÊu "=" xảy x = 2005
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức A 2004t¹i x = 2005
Bài 13: (5 Tr8 Tuyển thi mụn toỏn THCS)
Tìm gía trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau A =
2
1995 1996
x x
Híng dÉn
Ta cã A = x1995 x1996 x1996 x1995 = 1 víi mäi x Dấu "=" xảy - 1996 x - 1995.
VËy, gÝa trị nhỏ biểu thức A - 1996 x - 1995.
Bµi 14: (1.55 tr24-Phơng pháp giải toán T1)
Tìm gía trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau: A =
12
x x x
(54)Ta cã A = - víi mäi x DÊu "=" x¶y x = 0
Vậy, gía trị lớn biểu thức A x =
* Bµi 15: (Thi vµo 10 Nga Pháp LS 2002)
Tìm gía trị nhỏ biÓu thøc sau A = 2
2x -
2 x Híng dÉn
C¸ch 1: Ta cã A =
2
x +
2
x - - víi mäi x DÊu "=" x¶y vµ chØ x = - 1
Vậy, gía trị nhỏ biểu thức A - 1khi - 1.
Cách 2: Phơng pháp miền gía trị
* Bài 16: (Thi vào 10 Nga Pháp LS 2002)
Tìm gía trị nhỏ gÝa trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau A = 1
4x +
2 x Híng dÉn
C¸ch 1: Ta cã A =
1
1
x +
2
x víi x Dấu "=" xảy x = - 2
A = -
2
2
1
x x
víi mäi x Dấu "=" xảy x =
VËy, gÝa trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A - 1khi x = - gía trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A lµ x = .
Cách 2: Phơng pháp miền gía trị
Bài 17: Tìm gía trị nhỏ gía trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau A = 1
x + 3x +
2 x Híng dÉn
Ta cã A = 1
x + 3x +
2
x phơng trình A =
x + 3x +
2
x cã nghiÖm
(A - 1)x2 - 6x + A - = -2 A
VËy, gÝa trÞ nhỏ gía trị lớn biểu thức A lần lợt - 4. Bài 18: Tìm gía trị nhỏ gía trị lớn cđa biĨu thøc sau A =
Híng dÉn
Ta có A = phơng trình A = có nghiÖm
(P - 1)x2 - Px + P - = P
VËy, gÝa trÞ nhá gía trị lớn biểu thức A lần lợt 2. Bài 19: Tìm gía trị lớn gía trị lớn biểu thøc sau: A = x3 (16 - x)3; B = (8 + x2 + x) (20 - x2 - x)
Híng dÉn
Sử dụng: Tổng hai số khơng đổi, tích chúng lớn hai số ĐS: a) Amax = 64 x =
b) Bmax = 196 x = hc x = -
(55)P(x) = x
2+√1− x −2x
2
Híng dÉn
P(x) xác định ⇔1− x −2x2≥0⇔−1≤ x ≤1
2
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm - x - 2x2 ta có:
1+(1− x −2x2)
2 ≥√1 (1− x −2x
2) Do đó: P(x) x
2+
2− x −2x2
2 =1− x
2 1
Đẳng thức xảy
1− x −2x2=1 x=0
⇔x=0
¿{
Vậy GTLN P(x) xảy x =
* Bài 21: Tìm GTLN biểu thøc:
P(x) = x (x2 - 6) biÕt x 3.
Híng dÉn
+ Do x nªn P(x) = x (x2 - 6) víi mäi x DÊu "=" xảy x =
VËy, GTLN cđa P(x) lµ x =
III Bất phơng trình.
Bi 1: Tỡm xác định hàm số y = -x + 7x - 62
Hớng dẫn
Yêu cầu toán -x + 7x - 62 0 x1;6
Bài 2: (1cTr15- Tuyển tập đề thi mơn tốn THCS) Giải bất phơng trình 2 + < - (1)
Hớng dẫn
Bất phơng trình (1) có nghiệm x <
Bài 3: Giải bất phơng tr×nh a (x - a) x + - 2a (1)
Híng dÉn
- NÕu a = bất phơng trình (1) có nghiệm x R.
- Nếu a > bất phơng trình (1) có nghiệm x a - 1. - Nếu a < bất phơng trình (1) có nghiệm x a - 1.
Bài 4: Giải bất phơng trình 3x2 - 4x - > 0 (1)
Híng dÉn
(1) x >
2
3
hc x <
2
3
(56)Bài 5: Giải bất phơng trình
2 4 10 7 4 11 7 0
x x x x
(1)
Híng dÉn
Đặt x24x10 = y (1) y2 - 7y < < y < 7 BÊt phơng trình (1) có nghiệm - < x <
Bµi 6: (Thi vµo 10 LS 1994)
Giải bất phơng trình x3 - 2x2 + 2x - > 0 (1)
Híng dÉn
§a bất phơng trình tích
Bài 7: Giải bất phơng trình
1
1
x x (1)
Híng dÉn
BÊt phơng trình (1) có nghiệm x < -1 x >
Bài 8: Giải bất phơng trình
2
3
6
3 27
x x
x x x
> 0 (1)
Híng dÉn
(1)
1
3
x x
BÊt ph¬ng trình (1) có nghiệm - < x
Bài 9: Giải bất phơng trình
1
2 3 x 1 4 x (1) Híng dẫn
Đa bất phơng trình thơng lập bảng xét dấu Bất phơng trình (1) có nghiệm x < - < x <
Bài 10: Giải bất phơng trình 2x1 < 3 (1)
Hớng dẫn
Bất phơng trình (1) có nghiệm lµ - < x <
Bµi 11: Giải bất phơng trình < - x (1)
Hớng dẫn
ĐKXĐ: x x 5
- NÕu - x < (1) vô nghiệm
- Nu - x (1) tơng đơng (x - 2)(x - 5)< - x2 x < 6. Bất phơng trình (1) có nghiệm x <
Bài 12: Giải bất phơng trình > x (1)
Híng dÉn
(57)- Nếu - x < (1) nghiệm với x.
- NÕu x th× (1) x - > x2
1 5
2 x
Bất phơng trình (1) có nghiệm x <
1
2
x
Bài 13: Giải bất phơng trình < 5 (1)
Híng dÉn
(1)
3
3 25
x x
Bất phơng trình (1) có nghiệm x < 9.
Bài 14: Giải bất phơng trình
1- x
x > 0 (1)
Hớng dẫn
Bất phơng trình (1) có nghiƯm lµ < x <
Bµi 15: Giải hệ bất phơng trình
2
1
0
8 17
4
x x x x
(1)
Híng dÉn
BÊt phơng trình (1) có nghiệm x x 3.