Chuyen de he thuc Viet

T×m nghiÖm cßn l¹i.[r]

Chuyên đề: hệ Thức vi ét  Cỏc kin thc cn nh

1) Định lí Vi ét:

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) Nếu phơng trình có hai nghiệm x

1; x2 th×:

1

1

b

x x

a c x x

a



  

 

 

  L

u ý : Khi ta có: x1 x2 a 

 

2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai:

- NÕu a + b + c = phơng trình có nghiệm

c

x 1; x

a

 

- NÕu a – b + c = th× phơng trình có nghiệm

c

x 1; x

a

 

3) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch:

Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P hai số x; y nghiệm phơng trình: X2 SX + P = 0

Điều kiện S2 4P. Bài tập

Dạng thứ nhất: Lập phơng trình biết hai nghiệm: Bài 1:

a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 d) x1=0,1; x2=0,2 e)

1

1

x 3; x

4

 

f)

3

x 5; x

2

 

g)

1

x ; x

4

 

h)

1

x ; x

4

 

i)

1

x ; x 0,9

3

 

j) x1  1 2; x2  1 k)

1

1

x 2; x

3

  



l) x1  5 6; x2  5 m) x1  3 2; x2  3 2

n)

1

1

x ; x

2 3

 

  o)

1

x ; x

10 72 10 72

 

 

p) x1 4 5; x2  4 q) x1  3 11; x2  3 11

r) x1  3 5; x2  3 s) x14; x2  1

t)

1

x ; x

3

  

u) x1 1,9; x2 5,1 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình:

2

a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 c)

1

x vµ 2 x d) 1

x vµ 22

x e)

2

x x vµ

1 x x f) 1 x x  vµ 2 x x  g) x x  vµ x x  h) x

x 1 vµ

2

x

x 1 i) 2

1 x x  vµ 1 x x 

j)

1

x 2 vµ 1

x 2

B i : Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình:

x px 50 Không giải phơng trình,

hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là:

a) -x1 -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c)

1 x

3 vµ

1 x

d)

1

x vµ 2

1

x e)

2

x x vµ

1 x x f) 1 x x  vµ 2 x x  g) x x   vµ x x   h) x

x  1 vµ

2

x

x  i) 2

1 x x  vµ 1 x x  j)

x vµ x22 k) 2

1 x x  vµ 1 x x 

l) x12x2 vµ x1x22

Bµi 4: Gäi p; q lµ hai nghiệm phơng trình 3x2 7x Không giải phơng trình HÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là:

p q 1 vµ

q p 1 Bµi 5: T¬ng tù:

a) x2 4x 2 b) x2  5x 30 c) 2x2 6x 70 Bµi 6:

a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiệm phơng trình:

x px 0, b

1; b2 hai nghiệm phơng trình:

2

x qx 1 0 th×:

        2

1 2 1 2

a  b a  b a b a b q  p

b) Chứng minh tích nghiệm pt: x2 ax 1 0với mộ nghiệm pt

x bx 1 0 lµ nghiƯm pt th×:

2 2

4 1

2

a b  a  b 

c) Cho pt

x pxq0

Chøng minh r»ng nÕu

2p  9q0 pt có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghim kia.

Bài 1: Cho phơng trình: x2 5x Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình không giải phơng trình hÃy tÝnh:

a)

2

1

x x b) x13 x23 c) x1 x2 d)

2

1

x  x

e)

3

1

x  x f) 1 2

1

x x g) 12 22

1

x x h)

1

1

x x

x x

 



i)

1

x  x  j)

1

2

x x

x x

 



k)

1

1

1

x x

x x

  

l)

1

1

1 x x

2x 2x

 



m)

2

1 2

x x x x n)

1

2

x x

x  x

Bài 2: Tơng tự: 2x2 5x 0; 3x2 4x 30; 3x2 2x 5

Bài 3: Cho phơng trình: x2  4x 1 0 Khơng giải phơng trình tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm

c) Tæng lËp phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm Bài 4: Cho pt: x2 4 3x 8 cã hai nghiệm x1; x2 Không giải pt hÃy tính:

2

1 2

3

1 2

6x 10x x 6x

A

5x x 5x x

 

Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1:

a) Tìm hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 27, tÝch cđa chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 33 , tÝch cđa chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 4, tÝch cđa chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng , tÝch cđa chóng b»ng -315 Bµi T×m hai sè u, v biÕt:

a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 Dạng thứ bốn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiƯm:

Bµi 1: Cho pt x2  6xm0 TÝnh giá trị m biết pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶:

a)

2

1

x x 36 b) 1 2

1

3

x x  c) 12 22

1

x  x 3 d) x1 x2 4

Bài 2: Cho pt x2  8xm0 Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả hệ thức sau:

a)

2

1

x x 50 b) x1 7x2 c) 2x13x2 26 d) x1 x2 2

Bài 3: Cho pt x2  (m3)x2(m2)0 Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2 Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt?

a) Tìm k để pt: x2 (k 2)xk 50 có hai nghiệm x1; x2 thoả

2

1

x x 10

b) Tìm m để pt: x2  2(m 2)x 50 có hai nghiệm x1; x2 thoả

2

1

x x 18

c) Tìm k để pt: (k1)x2  2(k2)xk 30 có hai nghiệm x1; x2 thoả

1

(4x 1)(4x 1) 18

d) Tìm m để pt: 5x2 mx 280 có hai nghiệm x1; x2 thoả5x1 2x2 1 Bài Gọi x1; x2 hai nghiệm khác pt:

2

mx (m 1)x 3(m 1) 0 Chøng minh:

1

1 1

x x

Dạng thứ năm: Các toán tổng hợp

Bài 1: Cho pt: x2 (2m3)xm2 3m a) Giải pt m =

b) Định m để pt có nghiệm Khi pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt với m

d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để

2

1

x x 1

e) Định m để pt có nghiệm ba nghiệm kia? Bài 2: Cho pt x2  2(m 1)x  m0

a) CMR pt lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 víi mäi m b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiÖm lµ: 1

1

y x

x

 

vµ

2

1

1

y x

x

 

c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x2 3 Bài 3: Cho pt x2  2(k3)x2k 1 0

a) Gi¶i pt

1 k

2



b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt ln có nghiệm x1; x2 vi mi k

d) CMR tổng tích nghiệm có liên hệ không phụ thuộc k?

e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 2

1

2

x x  x x 

f) Tìm k để tổng bình phơng nghiệm có giá trị nhỏ Bài 4: Cho pt (m 1)x  2mxm 1 0

a) CMR pt có nghiệm phân biệt m

b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m?

d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

1

2

x x

0

x  x 2 

Bµi 5: Cho pt x2  2(m 1)x 2m 10 0 a) Giải biện luận pt

c) T×m m cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶

2

1 2

10x x x x đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: Cho pt x2  2mx2m 1 0

a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 với m b) Đặt

2

1 2

A2(x x ) 5x x

+) Chøng minh A8m2 18m9 +) T×m m cho A = 27

c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt x2  2(m 1)x m 40

a) Gi¶i pt m = -5

b) CMR pt ln có nghiệm x1; x2 với m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng

e) CMR biÓu thøc Ax (1 x )1  x (1 x )2  không phụ thuộc m. f) Tính giá trị biểu thøc x1 x2

Bµi 8: Cho pt x2  2(m2)xm a) Giải pt

3 m

2



b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm?

d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để

2

1 2

x (1 2x ) x (1 2x ) m

Bµi 9: Cho pt x2  2(m 1)x m2  4m 90 (x ẩn) a) Giải biện luận pt

b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc tìm nghiệm cịn lại pt

c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt (m 4)x2  2mxm 2

a) Tìm m để pt có nghiệm x Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm

c) TÝnh

2

1

x x theo m.

d) TÝnh

3

1

x x theo m.

e) Tìm tổng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo nghiệm Bài 11:

a) Pt

x  2px 5 0 có nghiệm x1 2 Tìm p tính nghiệm kia.

b) Pt

x 5xq 0 cã nghiệm Tìm q tính nghiệm kia.

c) BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt

x 7xq0 11 Tìm q hai nghiệm của

d) Tìm q hai nghiệm pt

x  qx500, biÕt pt cã hai nghiÖm vµ nghiƯm nµy

e) Tìm giá trị m để pt x2 2(m2)x2m2 7 có nghiệm x1 = tìm nghiệm cịn lại

f) Định giá trị k để pt x2 k(k1)x5k200 có nghiệm x = -5 Tìm nghiệm

g) Cho pt: 5x2 mx 280 Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x12x2 1

h) Tìm tất giá trị a để pt x2 ax  a có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

2

1

x x 10

Bài 12: Cho pt (m 1)x  2(m 1)x m 20 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

1

1

x x 4; 1 2

1

1

x x  ; x12 x22 2

d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1x )2 5x x1 Bài 13: Cho pt x2  2(m 1)x 2m 10 0

a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho

2

1 2

P6x x x x ( x

1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN

Bài 14: Tìm giá trị m; n để pt x2  2(m 1)x   n có hai nghiệm

1

x 1; x 2?

Bài 15: Tìm giá rị m để pt x2  mxm 1 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn hai điều:

a) x x1 2(x1x ) 192  0 b) x1; x2 âm

Bµi 16: Cho pt x2  2(m 1)x m 30 a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m

b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuéc m

c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 17: Cho pt x2 mx 3

a) Giải biện luận pt Từ cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dơng

c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x2 8xm 5

a) Xác định m để pt cú nghim

b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trờng hợp

Bài 19: Cho pt x2  mxm 1 0

a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m Tính nghiệm kép (nếu có) pt giá trị tơng ứng m

b) Đặt

2

1 2

+) Chứng minh Am2  8m8 +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A

Bµi 20: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x  m0

a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? Bài 21: Cho pt x2  (2m 3)xm2 3m0

a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m

b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều: +)

2

1

x x 9 +) x x12 2 x x1 22 4

Bµi 22: Cho pt kx2  18x 3

a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

2

1 2

x x x x 6

Bµi 23: Cho pt x2  10x m200 a) Gi¶i pt m = 4?

b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng Bài 24: Cho pt x2  2(m2)xm 1 0

a) Tìm giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để:

2

1 2

x (1 2x ) x (1 2x ) m

Bµi 25: Cho pt 2x2 6xm

a) Với giá trị m th× pt cã nghiƯm

b) Với giá trị m pt có nghiệm dơng

c) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để

1

2

x x

3

x  x 

Bµi 26: Cho pt x2  2(a 1)x 2(a5)0 a) Gi¶i pt a = -2

b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoảx12x2 3 d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng

Bài 27: Cho pt (m 1)x  2(m 1)x m 20 a) Xác định m để pt có nghiệm

b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả

1

x x 4

c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm

Bài 28: Xác định m để pt x2  (5m)x m 6 có hai nghiệm thoả mãn điều kiện sau:

Bài 29: Tìm giá trị m để

2

1

x x đạt giá trị nhỏ nhất:

a) x2  (2m 1)x m 20 b) x2 2(m 2)x (2m 7)0 Bµi 30: Cho pt x2  2(m 1)x m 40

a) Giải pt m =

b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m

d) Tìm m để pt có nghiệm thoả

2

1

x x 5

e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt

2

x  2(m 1)x 2m 40

a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b) Gäi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN

2

1

Yx x

c) Tìm m để Y = 4; Y = Bài 32: Cho pt 5x2 mx 280

a) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:

+)

1

x x 4 +)

2

1

142

x x

25

 

d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x12x2 1 Bài 33: Cho pt 2x2 (2m 1)x m 1 0

a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt

b) Tỡm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x2 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng