4) Ñoái vôùi phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng caùch taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû:. Ñeå phaân tích tam thöùc baäc hai ax 2 +bx+c thaønh nhaân töû [r]
(1)4) Đối với phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử:
Để phân tích tam thức bậc hai ax2+bx+c thành nhân tử cách tách hạng tử bx thành
tổng hai hạng tử ta thực ba bước sau: - Bước 1: Tìm tích ac
- Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b
Ví dụ : Phân tích đa thức 3x2-8x +4 thành nhân tử
ac=12 =1.12=(-1).(-12)=2.6=(-2).(-6)=3.4=(-3).(-4)
Chọn hai thừa số có tổng -8 -2 -6, tức tách -8x thành -6x-2x 3x2-8x +4 =3x2-6x-2x +4=(3x2-6x)-(2x -4)=3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)
Sau học sinh có kĩ sử dụng phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử GV nên cho HS phân tích đa thức dạng tam thức bậc hai thành nhân tử cách sử dung phương pháp đẳng thức, để em biết rỏ tam thức bậc hai phân tích được, tam thức khơng phân tích củng cố cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)x2-4x+3=(x2-2.x.2+4)-1=(x-2)2-12=(x-3)(x-1)
b)x2-x-6=
2
2 1 1
x 2.x x (x 3)(x 2)
2 4 2
c)x2-x+1=
2
2 1 1
x 2.x x
2 4
Khơng phân tích thành nhân tử 5)Phương pháp thêm, bớt hạng tử: GV lưu ý HS phương pháp thường thêm bớt hạng tử để xuất dạng đẳng thức thứ
(A2+2AB+B2) sau xuất dạng đẳng thức thứ ba
(A2-B2).
Ngoài phương pháp học sinh học sách giáo khoa, GV nên cung cấp thêm vài phương pháp khác
6)Dùng phương pháp đổi biến:
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)(x2+x+1)(x2+x+2)-12
Đặt y=x2+x+1, ta có x2+x+2=y+1 Do đó:
(x2+x+1)(x2+x+2)-12=y(y+1)-12=y2+y-12=y2+4y-3y-12=(y+4)(y-3)
= (x2+x+1+4)(x2+x+1-3)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x-1)(x+2)
b)(x+2(x+3)(x+4)(x+5)-24=x x 5 x x 4 24 =(x2+7x+10)(x2+7x+12)-24
Đặt x2+7x+10=y, ta có x2+7x+12=y+2 Do đó:
(2)=y(y+6)-4(y+6)=(y+6)(y-4)
=(x2+7x+10+6)(x2+7x+10-4)
=(x2+7x+16)(x2+7x+6)
=(x2+7x+6)(x2+x+6x+6)
=(x2+7x+6)(x+1)(x+6)
c)4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x2=4(x2+17x+60)(x2+16x+60)-3x2
Đặt x2+16x+60=t, ta có x2+17x+60=t+x.Do đó:
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x2=4(x+t)t-3x2=4xt+4t2 -3x2=4t2+4tx+x2-4x2
=(2t+x)2-(2x)2=(2t+x-2x)(2t+x+2x)
=((2t-x)(2t+3x)
=(2x2+31x+120)(2x2+35x+120)
=(x+8)(2x+15)(2x2+35x+120).
7)Phương pháp giảm dần số mũ:
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x5+x+1
Cách 1: Phương pháp giảm dần số mũ: x5+x+1=x5+x4-x4+x3-x3+x2-x2+x+1
=(x5+x4+x3)-(x4+x3+x2)+(x2+x+1)
=x3(x2+x+1)-x2(x2+x+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x3-x2+1).
Cách 2:Thêm bớt x2
x5+x+1=x5-x2+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)
=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x3-x2+1).
b)x8+x4+1
Cách 1: Phương pháp giảm dần số mũ: x8+x4+1=x8+x7-x7+x6-x6+x5-x5+x4+x3-x3+1
=(x8+x7+x6)-(x7+x6+x5)+(x5+x4+x3)-(x3-1)
=x6(x2+x+1)-x5(x2+x+1)+x3(x2+x+1)-(x-1)(x2+x+1)
=(x6-x5+x3-x+1)(x2+x+1)
=(x6-x5+x3+x2-x2-x+1)(x2+x+1)
6 2
3 3 2
3 2
2
2
= x x x x x x x x
x x x x x x x x
x 1) x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
Cách 2:Thêm bớt x2 x
(3)=x2(x6-1)+x(x3-1)+(x2+x+1)
=x2(x3+1)(x3-1)+x(x3-1)+(x2+x+1)
=x2(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+x(x-1)(x2+x+1)+ (x2+x+1)
=(x2+x+1)(x6-x5+x3-x+1)
=(x6-x5+x3+x2-x2-x+1)(x2+x+1)
Đến giống bước cách 1, phân tích tương tự ta kết (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)
Giáo viên lưu ý HS phương pháp áp dụng với đa thức
dạng : x5+x4+1; x8+x4+1; x10+x8+1;… đa thức dạng x3m+1+x3n+2+1 có chứa nhân
tử x2+x+1.
III.Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập nhiều cách khác để củng cố
khắc sâu phương pháp học phát huy lựch tư sáng tạo học sinh( Phần GV đưa vào mục II)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)x2-8x+12
Caùch 1:x2-8x+12=x2-2x-6x+12=x(x-2)-6(x-2)=(x-2)(x-6).
Caùch 2:x2-8x+12=(x2-8x+16)-4=(x-4)2-22=(x-4+2)(x-4-2) =(x-2)(x-6).
Caùch 3:x2-8x+12=x2-36-8x+48=(x+6)(x-6)-8(x-6) =(x-2)(x-6)
Caùch 4:x2-8x+12=x2-4-8x+16=(x+2)(x-2)-8(x-2) =(x-2)(x-6)
Caùch 5:x2-8x+12=x2-4x+4-4x+8=(x-2)2-4(x-2) =(x-2)(x-6)
Caùch 6:x2-8x+12=x2-12x+36+4x-24=(x-6)2+4(x-6) =(x-2)(x-6)
Caùch 7:x2-8x+12=4x2-8x-3x2+12=4x(x-2)-3(x-2)(x+2) =(x-2)(x-6)
b)x2+4xy+3y2
caùch 1:x2+4xy+3y2=x2+xy+3xy+3y2=x(x+y)+3y(x+y)=(x+y)(x+3y)
Caùch 2:x2+4xy+3y2=x2+4xy+4y2-y2=(x+2y)2-y2=(x+y)(x+3y)
Caùch 3:x2+4xy+3y2=x2-y2+4xy+4y2=(x+y)(x-y)+4y(x+y) =(x+y)(x+3y)
Caùch 4:x2+4xy+3y2=x2=9y2+4xy+12y2=(x+y)(x+3y)
Caùch 5:x2+4xy+3y2=x2+2xy+y2+2xy+2y2=(x+y)(x+3y)
Caùch 6:x2+4xy+3y2=x2+6xy+9y2-2xy-6y2=(x+y)(x+3y)
Caựch 7:x2+4xy+3y2=4x2+4xy-3x2+3y2=(x+y)(x+3y)
2.Giải pháp.
Trớc hết giúp học sinh khai thác kỹ, nắm rõ chất hai toán bản: Bài toán 1: Phân tích đa thức: x3+y3+z3-3xyz thành nh©n tư.
+ Tìm hiểu tốn: Đề địi hỏi ta phải phân tích đa thức cho thành nhân tử tức biến đổi tổng cho thành tích gồm hai hay nhiều thừa số
(4)ph-ơng pháp cách linh hoạt để phân tích tốn phph-ơng pháp cha sử dụng đợc Bởi ta phải sử dụng phơng pháp khác thêm bớt hạng tử Vậy hạng tử cần thêm
bớt để làm xuất đẳng thức lập phơng tổng sau ta lại áp dụng tiếp đẳng thức tổng lập phơng vào để phân tích? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên để
cho häc sinh th¶o luận đa lời giải
Có thể giáo viên hớng dẫn cho học sinh theo sơ sau: x3 +y3 +z3 – 3xyz
x3 +y3 + 3xy(x+y) +z3 – 3xy(x+y) – 3xyz
hc: x3 +z3 + 3xz(x+z) +y3 – 3xz(x+z) – 3xyz
hc: y3 +z3 + 3yz(y+z) +x3 – 3yz(y+z) – 3xyz
(x+y)3 +z3 – 3xy(x+y+z)
hc: (x+z)3 +y3 – 3xz(x+y+z)
hc: (y+z)3 +x3 – 3yz(x+y+z)
(x+y+z) (x+y)2 – (x+y)z +z2 - 3xy(x+y+z)
hc: (x+y+z) (x+z)2 – (x+z)y + y2 - 3xz(x+y+z)
hc: (x+y+z) (y+z)2 – (y+z)x + x2 - 3yz(x+y+x)
(x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy yz xz).
Bài toán 2: Chứng minh x3 +y3 +z3 = 3xyz vµ chØ x +y +z =0 x= y= z.
Hớng dẫn giải:
Ta cã: x3 +y3 +z3 =3xyz
x3 +y3 +z3 – 3xyz =0
(x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –xz –yz) = (kết toán 1)
2 (x+y+z)(2x2 +2y2 +2z2 –2xy –2xz –2yz) =0
2 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = x+y+z = hc (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = 0
x+y+z = hc x=y=z
Vận dụng hai toán trên, em dễ dàng giải số tốn đợc diễn đạt dới hình thức khác; số có yêu cầu mức độ cao kể khó cỏc em Chng hn:
Bài toán 3: Chứng minh r»ng x,y,z z th× x3 +y3 +z3 – 3xyz chia hÕt cho x+y+z.
ở toán ta phân tích đợc:x3 +y3 +z3 – 3xyz = (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –yz –xz), điều này
giúp học sinh chứng minh đợc:x3 +y3 +z3 – 3xyz chia hết cho x+y+z.
Bài toán Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz vµ chØ x+y+z
Híng dÉn gi¶i:
Tõ x3 +y3 +z3 3xyz, chuyÓn vÕ ta cã: x3 +y3 +z3 -3xyz < Khai triĨn vÕ tr¸i b»ng c¸ch ¸p dụng
kết toán 1, ta có:
2 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2
x+y+z (vì (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 0).Từ cho học sinh nêu lên lời giải của
bài toán
Bài toán 5: Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz vµ chØ x+y+z 0
(5)a. M=(1 + a
b¿ (1 + b
c ) (1+ c a )
b. N= abc
(a+b)(b+c )(c +a)
Ph©n tÝch:
Để giải đợc toán ta phải biết khai thác từ giả thiết : a3 + b3 + c3 = 3abc
a3 + b3 + c3 – 3abc = 0, đến áp dụng tốn ta có :
a + b + c = a= b = c.Từ tơi hớng dẫn học sinh giải tốn theo trình tự sau:
Gi¶i.
a.Tõ gi¶ thiÕt a3 +b3 +c3 – 3abc =0 a+b+c =0 a=b=c.(bài toán 2)
+ NÕu a+b+c =0 a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b th×
M=(1 + a
b¿ (1 + b
c ) (1+ c a ) =
a+b
b
b+c
c
a+c
a =
(− c) (−a).(−b)
abc =-1
+ NÕu a=b=c th× M = (1+ a
b )(1+ b
c )(1+ c a )
Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = b.giải tơng tự ta có:+Nếu a+b+c =0 N=-1
+NÕu a=b=c th× N= Bài toán 7.a Cho x+y+z =0, tính: P = x2
yz +
y2
yz +
z
xy
2
Với toán giả thiết cho biÕt; x+ y + z = 0, ¸p dơng kÕt toán ta có: x3 +y3 +z3 =
3xyz
Khai triển biểu thức P để làm xuất điều toán cho sau thay vào ta tính đợc giá trị ca P
Ta giải toán nh sau:
Gi¶i.
Tõ gi¶ thiÕt x+y+z = x3 +y3 +z3 = xyz(bài toán 2)
P = x2 yz +
y2
yz +
z2
xy =
x3
xyz +
y3
xyz +
z3
xyz =
xyz (x3 +y3 + z3) =
1
xyz 3xyz =3 b Cho x+y+z = x,y,z khác 0, tính:
Q = x
2
x2− y2− z2 +
y2
y2− z2− x2 +
z2
z2− y2− x2
Tơng tự câu a, ta giải đợc câu b: Từ x+y+z = x = -(y+z);
y = -(z+x); z = -(x+y);
x2 – y2 –z2 = 2yz; y2 –z2 – x2 = 2zx; z2 – x2 – y2 = 2xy.
vµ x3 +y3 +z3 = 3xyz (bài toán 2)
Q = x
2
x2− y2− z2 +
y2
y2− z2− x2 +
z2 z2− y2− x2
= x
3
2 yz +
y3
2 zx +
z3
2 xy
= x
3
+y3+z xyz
(6)= xyz xyz =
3