[r]
(1)ph n I: m ầ ở đầu I/đặ ấ đềt v n .
Trong đề thi t t nghi p THPT , ố ệ Đại h c , Cao ọ đẳng, THCN c a cácủ n m b i tốn tích phân h u nh không th thi u nh ng ă ầ ể ế đố ới v i h c sinhọ THPT b i tốn tích phân l m t nh ng b i tốn khó c n à ộ ữ ầ đến áp d ng linh ho t c a ụ ủ định ngh a, tính ch t , phĩ ấ ương pháp tính c aủ tích phân Trong th c t a s h c sinh tính tích phân m t cách h t s c máyự ế đ ố ọ ộ ế ứ móc ó l : tìm m t nguyên h m c a h m s c n tính tích phân r i dùngđ ộ ủ ố ầ nh ngh a c a tích phân ho c ph ng pháp i bi n s , ph ng pháp tính
đị ĩ ủ ặ ươ đổ ế ố ươ
tích phân t ng ph n m r t h c sinh ầ ấ ọ để ý đến nguyên h m c a h m sà ủ ố tìm có ph i l ngun h m c a h m s ó o n l y tích phân hayả à ủ ố đ đ ấ không? phép đặt bi n m i phế ương pháp đổi bi n s có ngh a không?ế ố ĩ Phép bi n ế đổ ài h m s có tố ương đương khơng? th q trình tínhế tích phân h c sinh thọ ường m c ph i nh ng sai l m d n ắ ả ữ ầ ẫ đế ờn l i gi i sai quaả th c t gi ng d y nhi u n m nh n th y r t rõ y u i m n y c a h c sinhự ế ả ề ă ậ ấ ấ ế đ ể ủ ọ v y tơi m nh d n ậ ạ đề xu t sáng ki n : “ M t s sai l m thấ ế ộ ố ầ ường g p c aặ ủ h c sinh tính tích phân”ọ
Nh m giúp h c sinh kh c ph c ằ ọ ắ ụ nh ng y u i m nêu t óữ ế đ ể đ t c k t qu cao gi i b i tốn tích phân nói riêng v t k t qu
đạ đượ ế ả ả à đạ ế ả
cao trình h c t p nói chung.ọ ậ II/Lí ch n ọ đề t i :
“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh tính tích phân”ặ ủ ọ
trong tốn Đạ ối S Gi i Tích 12 Nó cho phép ti p c n nhanh nh ngả ế ậ ữ b i tốn ph c t p, c th tính giá tr c a t ng d ng tích phân v có ứ ụ ể ị ủ ể nhìn th y nh ng sai l ch , m ta s d ng không úng phấ ữ ệ ụ đ ương pháp …vv Chính v y tơi ch n ậ ọ đề t i : “ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh khiặ ủ ọ tính tích phân”
(2)Nguyên h m v tích phân v i phà ương pháp tương ng ã có t lâu ,ứ đ nh ng :
“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh tính tích phân” h u nh ặ ủ ọ ầ để ý đến
V i quan sát nh v y , m nh d n ậ ạ đưa đề t i nh th n y kho ngư ế ả th i gian suy ngh t ĩ đến n m Tuy l m i , nh ng không ng ng thamă kh o ý ki n c a em v ả ế ủ đồng nghi p ệ để ho n ch nh ỉ
IV/gi i h n c a ủ đề t i :
V ki n th c : Nguyên h m v tích phân ch gi i h n m t ph n ki n th cề ế ứ à ỉ ộ ầ ế ứ h c k II c a sách ọ ỳ ủ đạ ố ải s gi i tích 12
V th i gian : không nhi u nghiên c u v nhìn nh n vi c d y , theo dõiề ề ứ ậ ệ vi c h c c a em Nh ng v i tinh th n giáo d c , nên m i khó kh n chúngệ ọ ủ ầ ụ ọ ă c ng ũ vược qua
V/ phương pháp :
+ L a ch n ví d b i t p c th phân tích t m nh ng sai l m c aự ọ ụ ậ ụ ể ỉ ỉ ữ ầ ủ h c sinh v n d ng ho t ọ ậ ụ động n ng l c t v k n ng v n d ng ki nă ự ỹ ă ậ ụ ế th c c a h c sinh ứ ủ ọ để đ đư t ó a l i gi i úng c a b i toán.ờ ả đ ủ
+Th c nghi m s ph m ự ệ
Ph n II: n i dungầ ộ
I/ c s khoa h c :ơ ở ọ
D a nguyên t c trình nh n th c c a ngự ắ ậ ứ ủ ườ đ ừi i t : “ sai n g n úng r i m i n khái ni m úng”, nguyên t c d y h c v
đế ầ đ đế ệ đ ắ ọ
c i m trình nh n th c c a h c sinh
đặ đ ể ậ ứ ủ ọ
II/ n i dung c th ộ ụ ể
(3)B i t p minh ho :à ậ ạ
B i 1à : Tính tích phân: I =
x+1¿2 ¿ ¿
dx
¿
∫
−2
¿
* Sai l m thầ ường g p: I = ặ
x+1¿2 ¿ ¿
dx
¿
∫
−2
¿
=
x+1¿2 ¿ ¿
d(x+1)
¿
∫
−2
¿
=-
x+1 ¿−22
=-1
3 =
-4
* Nguyên nhân sai l m :ầ H m s y = ố
x+1¿2 ¿
1
¿
không xác định t i x= -1ạ [−2;2] suy h m s khôngà ố liên t c ụ [−2;2] nên không s d ng ụ công th c Newt n – leibnitzứ nh cách gi i trên.ư ả
* L i gi i úngờ ả đ H m s y = ố
x+1¿2 ¿
1
¿
không xác định t i x= -1ạ [−2;2] suy h m s khôngà ố liên t c ụ [−2;2] ó tích phân không t n t i.đ
* Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi tính ∫
a b
❑f(x)dx c n ý xem h m s y=f(x) có liên t c ầ ố ụ [a ;b] không? n u có áp d ng phế ụ ương pháp ã h c đ ọ để tính tích phân ã cho cịnđ n u khơng k t lu n tích phân n y khơng t n t i.ế ế ậ
(4)1/
x −4¿4 ¿ ¿ dx ¿ ∫ ¿ 2/ x2 ¿ x¿ ∫ −2 ¿ 3/ ∫ π cos4x dx
4/ ∫ −1
− x3.ex+x2
x3 dx
B i 2à :Tính tích phân: I = ∫
0
π dx
1+sinx
* Sai l m thầ ường g p: ặ Đặt t = tg x
2 dx = 2dt 1+t2 ;
1 1+sinx =
1+t¿2 ¿
1+t2
¿
⇒ ∫dx
1+sinx =
1+t¿2 ¿ ¿ 2dt ¿ ∫¿ =
t+1¿−2
2¿
∫¿
d(t+1) = ❑
❑
2
t+1 + c
⇒ I = ∫
0
π dx
1+sinx =
−2 tg x
2+1
¿0
π = −2 tgπ
2+1
- tg 0+1 tg π
2 khơng xác nh nên tích phân không t n t iđị *Nguyên nhân sai l m:ầ
t t = tg
Đặ x
2 x [0;π] t i x = π tg
x
(5)I = ∫
0
π dx
1+sinx =
dx
1+cos(x −π
2) =¿∫
0
π d(x 2−
π
4) cos2(x
2−
π
4)
=tg(x 2−
π
4)¿0
π
∫
0
π
¿
= tg
π
4−tg(
− π
4 )=2
* Chú ý đố ọi v i h c sinh:
i v i ph ng pháp i bi n s t t = u(x) u(x) ph i l m t h m
Đố ươ đổ ế ố đặ ả ộ
s liên t c v có ố ụ đạo h m liên t c ụ [a ;b] *M t s b i t p tộ ố ậ ương t :ự
Tính tích phân sau: 1/ ∫
0 π dx sinx 2/ ∫ π dx
1+cosx
B i 3:à Tính I = ∫
0
√x2−6x+9 dx * Sai l m thầ ường g p:ặ
I = ∫
0
√x2−6x+9 dx = ∫
0
√(x −3)2dx=∫
0
(x −3)d(x −3)=(x −3)
2
2 ¿0
=1 2−
9 2=−4 * Nguyên nhân sai l m:ầ
Phép bi n ế đổi √(x −3)2
=x −3 v i x [0;4] l không tà ương đương * L i gi i úng:ờ ả đ
I = ∫
0
√x2−6x+9 dx = ∫
0
√(x −3)2dx=∫
0
|x −3|d(x −3)=∫
0
−(x −3)d(x −3)+∫
3
(x −3)d(x −3) = - (x −3)
2
2 ¿0
+(x −3)
2
2 ¿3
=9 2+
1 2=5 * Chú ý đố ọi v i h c sinh:
2n
(6)I = ∫ a b
2n
√(f(x))2n=¿ ∫
a b
|f(x)|dx ta ph i xét d u h m s f(x) trênả ấ ố [a ;b] r i dùngồ tính ch t tích phân tách I th nh t ng phân không ch a d u giá tr tấ ổ ứ ấ ị ệ
i
đố
M t s b i t p tộ ố ậ ương t : ự
1/ I = ∫
0
π
√1−sin 2x dx ; 2/ I = ∫
0
√x3−2x2
+x dx
3/ I = ∫
1 2
√(x2+
x2−2) dx
4/ I = ∫ π
6
π
3
√tg2x
+cotg2x −2 dx
B i 4:à Tính I = ∫ −1
dx
x2+2x+2 * Sai l m thầ ường g p:ặ I = ∫
−1
d(x+1)
(x+1)2+1=arctg(x+1)¿−1
0
=arctg 1−arctg 0=π * Nguyên nhân sai l m :ầ
H c sinh không h c khái ni m arctgx sách giáo khoa hi n th iọ ọ ệ ệ * L i gi i úng:ờ ả đ
t x+1 = tgt
Đặ ⇒dx=(1+tg2t)dt v i x=-1 t = 0ớ
v i x = t = π Khi ó I = đ ∫
0
π
4
(1+tg2t)dt
tgt+1 =∫0
π
4
dt=t¿0
π
4
=π
* Chú ý đố ọi v i h c sinh:
(7)khoa nên h c sinh không ọ áp d ng phụ ương pháp n y n a Vì v y khià ữ ậ g p tích phân d ng ặ ∫
a b
1
1+x2dx ta dùng phương pháp đổi bi n s ế ố đặt t = tgx
ho c t = cotgx ;ặ
∫
a b
1
√1− x2dx đặt x = sint ho c x = costặ
*M t s b i t p tộ ố ậ ương tự: 1/ I = ∫
4
√x2−16 x dx
2/ I = ∫
0
2x3+2x+3
x2
+1 dx 3/ I = ∫
0
√3 x3dx √1− x8
B i 5:à
Tính :I = ∫
0
x3
√1− x2dx
*Suy lu n sai l m: ậ ầ Đặt x= sint , dx = costdt
∫ x
3
√1− x2dx=∫
sin3t
|cost|dt
i c n: v i x = t =
Đổ ậ
v i x=
4 t = ? * Nguyên nhân sai l m:ầ
Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ ố ứ √1− x2 thường đặt x = sint
nh ng đố ới v i tích phân n y s g p khó kh n ẽ ặ ă đổ ậi c n c th v i x =ụ ể
4 không tìm xác t = ? * L i gi i úng:ờ ả đ
t t =
Đặ √1− x2 ⇒ dt = x
√1− x2dx⇒tdt=xdx
i c n: v i x = t = 1; v i x =
Đổ ậ ớ
(8)I = ∫
0
x3
√1− x2dx
=
∫
1
√15
(1−t2)tdt t =∫1
√15
(1−t2)dt=
(t −t3
3)¿1
√15
=(√15 −
15√15 192 )−
2 3=
33√15 192 −
2
* Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ ố ứ √1− x2 thì
thường đặt x = sint ho c g p tích phân c a h m s có ch a 1+xặ ặ ủ ố ứ 2 đặt x =
tgt nh ng c n ý ầ đến c n c a tích phân ó n u c n l giá tr lậ ủ đ ế ậ ị ượng giác c a góc ủ đặc bi t m i l m ệ theo phương pháp n y cịn n u khơng thìà ế ph i ngh ả ĩ đếnphương pháp khác
*M t s b i t p tộ ố ậ ương t :ự
1/ tính I = ∫
0
√7 x3
√1+x2dx
2/tính I = ∫
1
dx
x√x2+1
B i 6:à tính I = ∫ −1
x2−1
1+x4dx
* Sai l m thầ ường m c: I = ắ ∫ −1
1 1− x2
1
x2+x
=∫ −1
1 (1−
1
x2)
(x+1
x)
−2 dx
t t = x+
Đặ
x⇒dt=(1−
1
x2)dx
i c n v i x = -1 t = -2 ; v i x=1 t=2;
Đổ ậ ớ
I = ∫ −2
dt
t2−2 =
1
t+√2 (¿−
t −√2)dt
∫
−2
¿
=(ln |t+√2| -ln |t −√2| ) ¿−22=ln|t+√2
t −√2|¿−2
= ln 2+√2 2−√2−ln|
−2+√2
(9)* Nguyên nhân sai l m: ầ x
2 −1 1+x4=
1− x2
1
x2+x
2 l sai [−1;1] ch a x = 0ứ
nên không th chia c t c m u cho x = ể ả ả ẫ * L i gi i úng: ả đ
xét h m s F(x) = ố 2√2ln
x2− x√2+1
x2+x√2+1
F’(x) =
ln x
2
− x√2+1
x2+x√2+1¿ '
=x
2 −1
x4+1
2√2¿ Do ó I = đ ∫
−1
x2−1
1+x4dx =
1 2√2ln
x2− x
√2+1
x2
+x√2+1 ¿−1
1
=
√2ln
2−√2 2+√2
*Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a h mầ ả ả ẫ ủ s cho x c n ố ầ để ý r ng o n l y tích phân ph i khơng ch a i m x =ằ đ ấ ả ứ đ ể
III/Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m:ệ ả ủ ế ệ 1/K t qu t th c ti n:ế ả ự ễ
(10)phân để ự l a ch n phọ ương pháp phù h p c s giáo viên ợ đưa nh ng saiữ l m m h c sinh thầ ọ ường m c ph i trình suy lu n,trong bắ ả ậ ước tính tích phân n y r i t ó hà đ ướng em i đ đế ờn l i gi i úng.ả đ
Sau hướng d n h c sinh nh v yêu c u h c sinh gi i m t sẫ ọ ầ ọ ả ộ ố b i t p tích phân sách giáo khoa Gi i Tích L p 12 v m t s b i trongà ậ ả ộ ố đề thi n sinh v o ể đạ ọi h c,cao đẳng v trung h c chuyên nghi p c aà ọ ệ ủ n m tră ước em ã th n tr ng tìm v trình b y l i gi iđ ậ ọ à ả v ã gi i đ ả m t lộ ượng l n b i t p ó.ớ ậ đ
2/K t qu th c nghi m:ế ả ự ệ
Sáng ki n ế áp d ng n m h c 2007-2008 ụ ă ọ
B i ki m tra hai ể đố ượi t ng l p 12A1(28 h c sinh) không áp d ng sángớ ọ ụ ki n v 12C4(37 h c sinh) áp d ng sáng ki n nh sau:ế ọ ụ ế
x p lo iế i t ng
đố ượ
gi iỏ tb y uế
12C1 50% 40% 10% 0%
12C4 0% 0% 40% 60%
Sau th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thúự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự ứ c bi t l gi i b i tốn tích phân em tính tích phân r t th n tr ng
đặ ệ ả ấ ậ ọ
v hi u b n ch t c a v n ể ả ấ ủ ấ đề ch khơng tính r p khn m t cách máy mócứ ậ ộ nh trư ướ đ ệc, ó l vi c th hi n vi c phát huy tính tích c c, ch ể ệ ệ ự ủ động, sáng t o c a h c sinh.ạ ủ ọ
ph n III:k t lu n ki n nghầ ế ậ – ế ị I/ k t lu n:ế ậ
Nghiên c u, phân tích m t s sai l m c a h c sinh tính tích phânứ ộ ố ầ ủ ọ có ý ngh a r t l n trình d y h c áp d ng sáng ki n n y sĩ ấ ọ ụ ế ẽ giúp h c sinh nhìn th y ọ ấ nh ng i m y u v nh ng hi u bi t ch a th tữ đ ể ế ữ ể ế ậ th u áo c a v v n ấ đ ủ ề ấ đề đ n y t ó phát huy h c sinh t ọ độ ậc l p, n ng l c suy ngh tích c c ch ă ự ĩ ự ủ động c ng c trau r i thêm ki n th c v tínhủ ố ế ứ ề tích phân t ó l m ch đ ủ ki n th c, ế ứ đạ đượt c k t qu cao quáế ả trình h c t p v k thi n sinh v o trọ ậ ỳ ể ường đạ ọi h c, cao đẳng , THCN
(11)Hi n nh trệ ường ã có m t s sách tham kh o nhiên ch a cóđ ộ ố ả m t sách tham kh o n o vi t v sai l m c a h c sinh gi i toán Vì v yộ ả ế ề ầ ủ ọ ả ậ nh trà ường c n quan tâm h n n a v vi c trang b thêm sách tham kh o lo iầ ữ ề ệ ị ả n y để ọ h c sinh tìm tịi v nh ng sai l m thề ữ ầ ường m c gi i toánắ ả
em có th tránh c nh ng sai l m ó l m b i t p
để ể đượ ữ ầ đ à ậ
t i li u tham kh oà ệ ả
1 Ki n th c c b n gi i tích 12ế ứ ơ ả ả ( Phan V n ă Đức- Đỗ Quang Minh – Nguy n Thanh S n Lê V n Trễ ơ – ă ường NXB H Qu c gia th nh ph HCM -– Đ ố à ố 2002).
2 Phương pháp gi i tốn Tích phân v Gi i tích t h pả à ả ổ ợ ( Nguy n Cam ễ – NXB Tr ).ẻ
3 Phương pháp gi i tốn Tích phânả (Tr n ầ Đức Huyên Tr n Chí Trung – ầ – NXB Giáo D c).ụ
4 Sách giáo khoa Gi i tích 12ả (Ngô Thúc Lanh Ch biên NXB GD 2000)ủ – –
5 Phương pháp gi i tốn Tích phânả ( Lê H ng ồ Đứ –c Lê Bích Ng c NXBọ – H N i 2005).à ộ –
(12)m c l cụ ụ trang
ph n I : m ầ ở đầu
I Đặ ấ đềt v n
II.Lí ch n ọ đề t i
III.L ch s v n ị ấ đề :
IV.Gi i h n c a ủ đề t i :
V Phương pháp nghiên c uứ
ph n II : N i dungầ ộ
I C s khoa h ọ
II N i dung c thộ ụ ể
III Hi u qu c a sáng ki nệ ả ủ ế 10