Một số sai lầm khi giải toán tích phân

[r]

ph n I: m

ầ

ở đầ

u

I/đặ ấ đềt v n .

Trong đề thi t t nghi p THPT , ố ệ Đại h c , Cao ọ đẳng, THCN c a cácủ n m b i tốn tích phân h u nh không th thi u nh ng ă ầ ể ế đố ới v i h c sinhọ THPT b i tốn tích phân l m t nh ng b i tốn khó c n à ộ ữ ầ đến áp d ng linh ho t c a ụ ủ định ngh a, tính ch t , phĩ ấ ương pháp tính c aủ tích phân Trong th c t a s h c sinh tính tích phân m t cách h t s c máyự ế đ ố ọ ộ ế ứ móc ó l : tìm m t nguyên h m c a h m s c n tính tích phân r i dùngđ ộ ủ ố ầ nh ngh a c a tích phân ho c ph ng pháp i bi n s , ph ng pháp tính

đị ĩ ủ ặ ươ đổ ế ố ươ

tích phân t ng ph n m r t h c sinh ầ ấ ọ để ý đến nguyên h m c a h m sà ủ ố tìm có ph i l ngun h m c a h m s ó o n l y tích phân hayả à ủ ố đ đ ấ không? phép đặt bi n m i phế ương pháp đổi bi n s có ngh a không?ế ố ĩ Phép bi n ế đổ ài h m s có tố ương đương khơng? th q trình tínhế tích phân h c sinh thọ ường m c ph i nh ng sai l m d n ắ ả ữ ầ ẫ đế ờn l i gi i sai quaả th c t gi ng d y nhi u n m nh n th y r t rõ y u i m n y c a h c sinhự ế ả ề ă ậ ấ ấ ế đ ể ủ ọ v y tơi m nh d n ậ ạ đề xu t sáng ki n : “ M t s sai l m thấ ế ộ ố ầ ường g p c aặ ủ h c sinh tính tích phân”ọ

Nh m giúp h c sinh kh c ph c ằ ọ ắ ụ nh ng y u i m nêu t óữ ế đ ể đ t c k t qu cao gi i b i tốn tích phân nói riêng v t k t qu

đạ đượ ế ả ả à đạ ế ả

cao trình h c t p nói chung.ọ ậ II/Lí ch n ọ đề t i :

“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh tính tích phân”ặ ủ ọ

trong tốn Đạ ối S Gi i Tích 12 Nó cho phép ti p c n nhanh nh ngả ế ậ ữ b i tốn ph c t p, c th tính giá tr c a t ng d ng tích phân v có ứ ụ ể ị ủ ể nhìn th y nh ng sai l ch , m ta s d ng không úng phấ ữ ệ ụ đ ương pháp …vv Chính v y tơi ch n ậ ọ đề t i : “ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh khiặ ủ ọ tính tích phân”

Nguyên h m v tích phân v i phà ương pháp tương ng ã có t lâu ,ứ đ nh ng :

“ M t s sai l m thộ ố ầ ường g p c a h c sinh tính tích phân” h u nh ặ ủ ọ ầ để ý đến

V i quan sát nh v y , m nh d n ậ ạ đưa đề t i nh th n y kho ngư ế ả th i gian suy ngh t ĩ đến n m Tuy l m i , nh ng không ng ng thamă kh o ý ki n c a em v ả ế ủ đồng nghi p ệ để ho n ch nh ỉ

IV/gi i h n c a ủ đề t i :

V ki n th c : Nguyên h m v tích phân ch gi i h n m t ph n ki n th cề ế ứ à ỉ ộ ầ ế ứ h c k II c a sách ọ ỳ ủ đạ ố ải s gi i tích 12

V th i gian : không nhi u nghiên c u v nhìn nh n vi c d y , theo dõiề ề ứ ậ ệ vi c h c c a em Nh ng v i tinh th n giáo d c , nên m i khó kh n chúngệ ọ ủ ầ ụ ọ ă c ng ũ vược qua

V/ phương pháp :

+ L a ch n ví d b i t p c th phân tích t m nh ng sai l m c aự ọ ụ ậ ụ ể ỉ ỉ ữ ầ ủ h c sinh v n d ng ho t ọ ậ ụ động n ng l c t v k n ng v n d ng ki nă ự ỹ ă ậ ụ ế th c c a h c sinh ứ ủ ọ để đ đư t ó a l i gi i úng c a b i toán.ờ ả đ ủ

+Th c nghi m s ph m ự ệ

Ph n II: n i dung

ầ

ộ

I/ c s khoa h c :ơ ở ọ

D a nguyên t c trình nh n th c c a ngự ắ ậ ứ ủ ườ đ ừi i t : “ sai n g n úng r i m i n khái ni m úng”, nguyên t c d y h c v

đế ầ đ đế ệ đ ắ ọ

c i m trình nh n th c c a h c sinh

đặ đ ể ậ ứ ủ ọ

II/ n i dung c th ộ ụ ể

B i t p minh ho :à ậ ạ

B i 1à : Tính tích phân: I =

x+1¿2 ¿ ¿

dx

¿

∫

−2

¿

* Sai l m thầ ường g p: I = ặ

x+1¿2 ¿ ¿

dx

¿

∫

−2

¿

=

x+1¿2 ¿ ¿

d(x+1)

¿

∫

−2

¿

=-

x+1 ¿−22

=-1

3 =

-4

* Nguyên nhân sai l m :ầ H m s y = ố

x+1¿2 ¿

1

¿

không xác định t i x= -1ạ [−2;2] suy h m s khôngà ố liên t c ụ [−2;2] nên không s d ng ụ công th c Newt n – leibnitzứ nh cách gi i trên.ư ả

* L i gi i úngờ ả đ H m s y = ố

x+1¿2 ¿

1

¿

không xác định t i x= -1ạ [−2;2] suy h m s khôngà ố liên t c ụ [−2;2] ó tích phân không t n t i.đ

* Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi tính

∫

a b

❑f(x)dx c n ý xem h m s y=f(x) có liên t c ầ ố ụ [a ;b] không? n u có áp d ng phế ụ ương pháp ã h c đ ọ để tính tích phân ã cho cịnđ n u khơng k t lu n tích phân n y khơng t n t i.ế ế ậ

1/

x −4¿4 ¿ ¿ dx ¿

∫

¿ 2/ x2 ¿ x¿

∫

−2 ¿ 3/

∫

π cos4x dx

4/

∫

−1

− x3.ex+x2

x3 dx

B i 2à :Tính tích phân: I =

∫

0

π dx

1+sinx

* Sai l m thầ ường g p: ặ Đặt t = tg x

2 dx = 2dt 1+t2 ;

1 1+sinx =

1+t¿2 ¿

1+t2

¿

⇒

∫

dx

1+sinx =

1+t¿2 ¿ ¿ 2dt ¿

∫

¿ =

t+1¿−2

2¿

∫

¿

d(t+1) = ❑

❑

2

t+1 + c

⇒ I =

∫

0

π dx

1+sinx =

−2 tg x

2+1

¿0

π = −2 tgπ

2+1

- tg 0+1 tg π

2 khơng xác nh nên tích phân không t n t iđị *Nguyên nhân sai l m:ầ

t t = tg

Đặ x

2 x [0;π] t i x = π tg

x

I =

∫

0

π dx

1+sinx =

dx

1+cos

(

x −π

2

)

=¿

∫

0

π d

(

x 2−

π

4

)

cos2

(

x

2−

π

4

)

=tg

(

x 2−

π

4

)

¿0

π

∫

0

π

¿

= tg

π

4−tg

(

− π

4

)

=2

* Chú ý đố ọi v i h c sinh:

i v i ph ng pháp i bi n s t t = u(x) u(x) ph i l m t h m

Đố ươ đổ ế ố đặ ả ộ

s liên t c v có ố ụ đạo h m liên t c ụ [a ;b] *M t s b i t p tộ ố ậ ương t :ự

Tính tích phân sau: 1/

∫

0 π dx sinx 2/

∫

π dx

1+cosx

B i 3:à Tính I =

∫

0

√

x2−6x+9 dx * Sai l m thầ ường g p:ặ

I =

∫

0

√

x2−6x+9 dx =

∫

0

√

(x −3)2dx=

∫

0

(x −3)d(x −3)=(x −3)

2

2 ¿0

=1 2−

9 2=−4 * Nguyên nhân sai l m:ầ

Phép bi n ế đổi

√

(x −3)2

=x −3 v i x [0;4] l không tà ương đương * L i gi i úng:ờ ả đ

I =

∫

0

√

x2−6x+9 dx =

∫

0

√

(x −3)2dx=

∫

0

|x −3|d(x −3)=

∫

0

−(x −3)d(x −3)+

∫

3

(x −3)d(x −3) = - (x −3)

2

2 ¿0

+(x −3)

2

2 ¿3

=9 2+

1 2=5 * Chú ý đố ọi v i h c sinh:

2n

I =

∫

a b

2n

√

(f(x))2n=¿

∫

a b

|f(x)|dx ta ph i xét d u h m s f(x) trênả ấ ố [a ;b] r i dùngồ tính ch t tích phân tách I th nh t ng phân không ch a d u giá tr tấ ổ ứ ấ ị ệ

i

đố

M t s b i t p tộ ố ậ ương t : ự

1/ I =

∫

0

π

√1−sin 2x dx ; 2/ I =

∫

0

√

x3−2x2

+x dx

3/ I =

∫

1 2

√

(

x2+

x2−2

)

dx

4/ I =

∫

π

6

π

3

√

tg2x

+cotg2x −2 dx

B i 4:à Tính I =

∫

−1

dx

x2+2x+2 * Sai l m thầ ường g p:ặ I =

∫

−1

d(x+1)

(x+1)2+1=arctg(x+1)¿−1

0

=arctg 1−arctg 0=π * Nguyên nhân sai l m :ầ

H c sinh không h c khái ni m arctgx sách giáo khoa hi n th iọ ọ ệ ệ * L i gi i úng:ờ ả đ

t x+1 = tgt

Đặ ⇒dx=(1+tg2t)dt v i x=-1 t = 0ớ

v i x = t = π Khi ó I = đ

∫

0

π

4

(1+tg2t)dt

tgt+1 =

∫

0

π

4

dt=t¿0

π

4

=π

* Chú ý đố ọi v i h c sinh:

khoa nên h c sinh không ọ áp d ng phụ ương pháp n y n a Vì v y khià ữ ậ g p tích phân d ng ặ

∫

a b

1

1+x2dx ta dùng phương pháp đổi bi n s ế ố đặt t = tgx

ho c t = cotgx ;ặ

∫

a b

1

√

1− x2dx đặt x = sint ho c x = costặ

*M t s b i t p tộ ố ậ ương tự: 1/ I =

∫

4

√

x2−16 x dx

2/ I =

∫

0

2x3+2x+3

x2

+1 dx 3/ I =

∫

0

√3 x3dx

√

1− x8

B i 5:à

Tính :I =

∫

0

x3

√

1− x2dx

*Suy lu n sai l m: ậ ầ Đặt x= sint , dx = costdt

∫

x

3

√

1− x2dx=

∫

sin3t

|cost|dt

i c n: v i x = t =

Đổ ậ

v i x=

4 t = ? * Nguyên nhân sai l m:ầ

Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ ố ứ

√

1− x2 thường đặt x = sint

nh ng đố ới v i tích phân n y s g p khó kh n ẽ ặ ă đổ ậi c n c th v i x =ụ ể

4 không tìm xác t = ? * L i gi i úng:ờ ả đ

t t =

Đặ

√

1− x2 ⇒ dt = x

√

1− x2dx⇒tdt=xdx

i c n: v i x = t = 1; v i x =

Đổ ậ ớ

I =

∫

0

x3

√

1− x2dx

=

∫

1

√15

(1−t2)tdt t =

∫

1

√15

(1−t2)dt=

(

t −t3

3

)

¿1

√15

=

(

√15 −

15√15 192

)

−

2 3=

33√15 192 −

2

* Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ ố ứ

√

1− x2 thì

thường đặt x = sint ho c g p tích phân c a h m s có ch a 1+xặ ặ ủ ố ứ 2 đặt x =

tgt nh ng c n ý ầ đến c n c a tích phân ó n u c n l giá tr lậ ủ đ ế ậ ị ượng giác c a góc ủ đặc bi t m i l m ệ theo phương pháp n y cịn n u khơng thìà ế ph i ngh ả ĩ đếnphương pháp khác

*M t s b i t p tộ ố ậ ương t :ự

1/ tính I =

∫

0

√7 x3

√

1+x2dx

2/tính I =

∫

1

dx

x

√

x2+1

B i 6:à tính I =

∫

−1

x2−1

1+x4dx

* Sai l m thầ ường m c: I = ắ

∫

−1

1 1− x2

1

x2+x

=

∫

−1

1

(

1−

1

x2

)

(

x+1

x

)

−2 dx

t t = x+

Đặ

x⇒dt=

(

1−

1

x2

)

dx

i c n v i x = -1 t = -2 ; v i x=1 t=2;

Đổ ậ ớ

I =

∫

−2

dt

t2−2 =

1

t+√2 (¿−

t −√2)dt

∫

−2

¿

=(ln |t+√2| -ln |t −√2| ) ¿−22=ln

|

t+√2

t −√2

|

¿−2

= ln 2+√2 2−√2−ln

|

−2+√2

* Nguyên nhân sai l m: ầ x

2 −1 1+x4=

1− x2

1

x2+x

2 l sai [−1;1] ch a x = 0ứ

nên không th chia c t c m u cho x = ể ả ả ẫ * L i gi i úng: ả đ

xét h m s F(x) = ố 2√2ln

x2− x√2+1

x2+x√2+1

F’(x) =

ln x

2

− x√2+1

x2+x√2+1¿ '

=x

2 −1

x4+1

2√2¿ Do ó I = đ

∫

−1

x2−1

1+x4dx =

1 2√2ln

x2− x

√2+1

x2

+x√2+1 ¿−1

1

=

√2ln

2−√2 2+√2

*Chú ý đố ọi v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a h mầ ả ả ẫ ủ s cho x c n ố ầ để ý r ng o n l y tích phân ph i khơng ch a i m x =ằ đ ấ ả ứ đ ể

III/Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m:ệ ả ủ ế ệ 1/K t qu t th c ti n:ế ả ự ễ

phân để ự l a ch n phọ ương pháp phù h p c s giáo viên ợ đưa nh ng saiữ l m m h c sinh thầ ọ ường m c ph i trình suy lu n,trong bắ ả ậ ước tính tích phân n y r i t ó hà đ ướng em i đ đế ờn l i gi i úng.ả đ

Sau hướng d n h c sinh nh v yêu c u h c sinh gi i m t sẫ ọ ầ ọ ả ộ ố b i t p tích phân sách giáo khoa Gi i Tích L p 12 v m t s b i trongà ậ ả ộ ố đề thi n sinh v o ể đạ ọi h c,cao đẳng v trung h c chuyên nghi p c aà ọ ệ ủ n m tră ước em ã th n tr ng tìm v trình b y l i gi iđ ậ ọ à ả v ã gi i đ ả m t lộ ượng l n b i t p ó.ớ ậ đ

2/K t qu th c nghi m:ế ả ự ệ

Sáng ki n ế áp d ng n m h c 2007-2008 ụ ă ọ

B i ki m tra hai ể đố ượi t ng l p 12A1(28 h c sinh) không áp d ng sángớ ọ ụ ki n v 12C4(37 h c sinh) áp d ng sáng ki n nh sau:ế ọ ụ ế

x p lo iế i t ng

đố ượ

gi iỏ tb y uế

12C1 50% 40% 10% 0%

12C4 0% 0% 40% 60%

Sau th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thúự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự ứ c bi t l gi i b i tốn tích phân em tính tích phân r t th n tr ng

đặ ệ ả ấ ậ ọ

v hi u b n ch t c a v n ể ả ấ ủ ấ đề ch khơng tính r p khn m t cách máy mócứ ậ ộ nh trư ướ đ ệc, ó l vi c th hi n vi c phát huy tính tích c c, ch ể ệ ệ ự ủ động, sáng t o c a h c sinh.ạ ủ ọ

ph n III:k t lu n ki n ngh

ầ

ế

ậ – ế

ị

I/ k t lu n:ế ậ

Nghiên c u, phân tích m t s sai l m c a h c sinh tính tích phânứ ộ ố ầ ủ ọ có ý ngh a r t l n trình d y h c áp d ng sáng ki n n y sĩ ấ ọ ụ ế ẽ giúp h c sinh nhìn th y ọ ấ nh ng i m y u v nh ng hi u bi t ch a th tữ đ ể ế ữ ể ế ậ th u áo c a v v n ấ đ ủ ề ấ đề đ n y t ó phát huy h c sinh t ọ độ ậc l p, n ng l c suy ngh tích c c ch ă ự ĩ ự ủ động c ng c trau r i thêm ki n th c v tínhủ ố ế ứ ề tích phân t ó l m ch đ ủ ki n th c, ế ứ đạ đượt c k t qu cao quáế ả trình h c t p v k thi n sinh v o trọ ậ ỳ ể ường đạ ọi h c, cao đẳng , THCN

Hi n nh trệ ường ã có m t s sách tham kh o nhiên ch a cóđ ộ ố ả m t sách tham kh o n o vi t v sai l m c a h c sinh gi i toán Vì v yộ ả ế ề ầ ủ ọ ả ậ nh trà ường c n quan tâm h n n a v vi c trang b thêm sách tham kh o lo iầ ữ ề ệ ị ả n y để ọ h c sinh tìm tịi v nh ng sai l m thề ữ ầ ường m c gi i toánắ ả

em có th tránh c nh ng sai l m ó l m b i t p

để ể đượ ữ ầ đ à ậ

t i li u tham kh o

à ệ

ả

1 Ki n th c c b n gi i tích 12ế ứ ơ ả ả ( Phan V n ă Đức- Đỗ Quang Minh – Nguy n Thanh S n Lê V n Trễ ơ – ă ường NXB H Qu c gia th nh ph HCM -– Đ ố à ố 2002).

2 Phương pháp gi i tốn Tích phân v Gi i tích t h pả à ả ổ ợ ( Nguy n Cam ễ – NXB Tr ).ẻ

3 Phương pháp gi i tốn Tích phânả (Tr n ầ Đức Huyên Tr n Chí Trung – ầ – NXB Giáo D c).ụ

4 Sách giáo khoa Gi i tích 12ả (Ngô Thúc Lanh Ch biên NXB GD 2000)ủ – –

5 Phương pháp gi i tốn Tích phânả ( Lê H ng ồ Đứ –c Lê Bích Ng c NXBọ – H N i 2005).à ộ –

m c l c

ụ ụ

trang

ph n I : m ầ ở đầu

I Đặ ấ đềt v n

II.Lí ch n ọ đề t i

III.L ch s v n ị ấ đề :

IV.Gi i h n c a ủ đề t i :

V Phương pháp nghiên c uứ

ph n II : N i dungầ ộ

I C s khoa h ọ

II N i dung c thộ ụ ể

III Hi u qu c a sáng ki nệ ả ủ ế 10