§Æc biÖt ®èi víi ph¬ng tr×nh lîng gi¸c viÖc biÖn luËn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖp, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng ph¶i lóc nµo còng dÔ dµng.[r]
(1)A/ Đặt vấn đề.
Thực tế cho thấy gặp toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng trình biện luận Đặc biệt phơng trình lợng giác việc biện luận để phơng trình có nghiệp, biện luận số nghiệm phơng trình khơng phải lúc dễ dàng Có toán phải vận dụng phơng pháp đặc biệt mà việc nghĩ hay tìm thấy khó khăn
Trong năm học qua năm học 2004 - 2005 dạy ơn phơng trình lợng giác tổng kết đợc vài dạng phơng trình lợng giác có tham số với mong muốn giúp em học sinh có thêm vài phơng pháp giải dạng toán
Trớc hết để làm đợc yêu cầu học sinh phải thành thạo việc giải ph-ơng trình lợng giác khơng có tham số Nắm thật phép biến đổi phph-ơng trình đa dạng biết Ngồi học sinh cần nhớ nội dung hai định lý:
* Định lý: Nếu f(x) liên tục { a;b} cã maxf = M, f = m
Từ phơng trình f(x) = a có nghiệm
m a M f(b)− f(a)
b − a
3
4 Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục đoạn {a ; b}
cú o hàm khoảng (a ; b) tồn điểm c (a ; b) cho f’(c) =
B/ Nội dung:
Dạy phơng trình lợng gi¸c cã tham sè
I- Dạng 1: Biện luận để phơng trình có nghiệm
Bài tốn 1: Tìm điều kiện m để phơng trình sau có nghiệm Sin6x + cos6x = m
3
4 Ta cã Sin6x + cos6x = - sin22x = - ( - cos22x)
4
4 Ta cã: Sin6x + cos6x = - sin22x = - ( - cos22x )
4
4 Sin6x + cos6x + cos22x
4
4 Hãy đánh giá vế trái: ≤ cos22x ≤ ≤ sin6x + cosx ≤ 1
(2)1
4 f(x) liªn tơc nên phơng trình f(x) = m có nghiệm m ≤
Vậy với m Є { ; phơng trình f(x) = m có nghiệm Bài tốn 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
Cos2x + cosx = m <=> 2cos2x - + cosx = m
Đặt cosx = t, ®iỊu kiƯn | t | ≤
1
9
8 Xét hàm số f(x) = t2 + t - với 1≤ ≤ Toạ độ đỉnh ( - ; -
)
1
4 Bảng biến thiên
t - -1 - +
f(t) +
9
8
-1
4 Dựa vào bảng biến thiªn: max f(t) = t =
8 f(x) = - t =
9
8 Phơng trình có nghiệm - ≤ m ≤
Làm tơng tự: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: Sin2x + sinx cosx = m
2 sin2x + cosx - sinx = m
(3)* Tỉng qu¸t NÕu f(x) hàm liêu tục có max f = M, f = m phơng trình f(x)= a có nghiÖm m a M
1 cosx +
1
sinx=a Bài tốn 3: Cho phơng trình. Tìm a để phơng trình có nghiệm
Bµi lµm:
Ta khơng nên biến đổi trực tiếp phơng trình
1 cosx +
1 sinx (
− Π
2 ;0) H·y xÐt f(x) = víi x
Trong khoảng cosx > 0, sin x <
Vµ lim cosx = lim sinx =
x - x 0
-−Π +¿
2 ¿
−Π +¿
2 ¿
Lim cos x = + lim sin x = -1
x + x +
lim( cosx+
1
sinx )→− ∞ lim(
1 cosx+
1
sinx)→+∞
x →0− x → Π+¿ ¿ Do +
(− Π2 ;0) Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục limf(x)=−∞ ;limf(x)=+∞
x →0− −
Π+¿
2
x →¿
+
Với a phơng trình f(x) = a có nghiệm
Bài toán 4: Chứng minh a,b,c phơng trình.
a cos3x + b cos2x + sin x = lu«n cã nghiƯm ( 0; 2) a
3sin 3x+
b
2sin 2x+csinx −cosx XÐt f(x) =
f’(x) = acos3x + bcos x + cosx + sin x
f(x) liên tục có đạo hàm khoảng ( 0; 2)
f(2Π)=−cos2Π=−1 f(0) = - cos = -1
x0∈(0;2Π); f'(x0)
=f(2Π)− f(0)
2Π 0 Theo nh lý Lagrng
Phơng trình f’
(x) = cã nghiÖm ( 0; 2 )
(4)Bài tốn 5: Tìm a,b để PT: cos x + a cos 2x + b sin 2x = có nghiệm.
ë ta không trực tiếp xét phơng trình f(x)=sin 4x
4 +
a
2sin 2x −
b
2cos 2x XÐt f'(0)
=cos 4x+acos 2x+bsin 2x
f(0)=− b
2 ; f(Π)= −b
2
Vì f(x) hàm tuần hoàn với chu kú KÕt f(x) trªn ( 0; )
f(x) liên tục có đạo hàm khoảng ( 0; )
Theo định lý Lagrăng x0 ( 0; ) f’(x) = PT f’(x) = có nghiệm (0;
)
∀ Vậy với a,b phơng trình cho có nghiệm.I
cosx=acos3y
sinx0=asin3y0
¿
{
Bài tốn 6: Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm
¿
x=x0
y=y0
¿
{
¿
¿
cosx0=acos3y
sinx0=sin3y0
¿
{
Nếu nghiệm (I)
¿ ¿ ¿
¿
cos2x0=a2cos6y0
sin2x0=a2sin6y
¿
{
¿
a2cos6y0+a2sin6y0=1
ỳng
a2cos6y+a2sin6y=1
y=y0a2cos6y0+a2sin6y0=1 Phơng trình cã
nghiÖm (1)
Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm (acos3y0)2+(asin3y0)2=1 acos3y0, asin3y0
đờng tròn
¿
cosx0=acos3y0
sinx0=asin3y
¿
{
¿
Đơn vị x0 (x0, y0) nghiƯm cđa hƯ
VËy hƯ cã nghiƯm PT (1) cã nghiƯm
Đến tốn trở thành tìm a để phơng trình
a2cos6y0+a2sin6y0=1 cã nghiƯm
Nếu a = phơng trình có dạng =1, phơng trình vô nghiệm
cos6y0+a
sin6y0=
1
(5)(1−3
4sin
22y
)=1
a2
34sin22y=1−a12
0≤1− a2≤
3
4⇔1≤ a
2
≥4⇔1≤|a|≤2 1≤|a|≤2
(1) cã nghiÖm
Vậy hệ cho có nghiệm
Bµi tËp tù lun:
1 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm.a ,sin4x+(1−sin)4=m
b ,cos4x+(2−cos)4=m
c ,1+cos=1
2cos2x+
1
3cos3x=m
3
sin2x+3 tg
2x
+m(tgx+cotg)1=0 2 Cho phơng trình
Tỡm m để phơng trình có nghiệm
1 cos 3x−
1
sin 3x=a 3 Tìm a để phơng trình có nghiệm
B/ D¹ng BiƯn ln sè nghiƯm.
cos 3x cos 2x+mcosx 1=0 Bài toán 1: Cho phơng trình.
( 2 ;2) Tỡm m phng trình có bảy nghiệm khoảng
Có thể thấy việc tìm m để phơng trình có nghiệm (− Π2 ;2Π) khó khăn
Trớc hết đại số hố phơng trình cho Đặt t = cosx đk {t}
t=0(1)
¿
4t2−2t+m −3=0(2)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔4t3−3t −(2t2−1)+m t −1=0 ⇔4t3−2t2
+(m −3)t=0 ⇔t(4t2−2t+m−3)=0
⇔
¿
(− Π2 ;2) Ta xét số nghiệm x phơng tr×nh cos x = t
t − ∞ +∞ −1 0
(6)1n0 1n0 cos x = t
(− Π2 ;2Π) NhËn thÊy cos x = cã nghiÖm
(− Π2 ;2Π) (
− Π
2 ;2Π) Phơng trình có nghiệm (2)
cã nghiÖm
Tam thøc f(t) = t2 - 2t + m - cã hai nghiÖm t1, t2 cho -1 < t1 < t2 < ¿
f(0)<0 f(−1)>0
f(1)>0
¿{ {
¿
¿
m−3<0
m+3>0
m−1>0
¿{ {
¿
¿
m<3
m>−3
m>4
¿{ {
¿
1< m <3
(− Π2 ;2Π) Vậy với 1< m <3 phơng trình ó cho cú ỳng by nghim
Bài toán khai triĨn.
(− Π2 ;2Π) - Tìm m để phơng trình có nghiệm
Tam thøc f(t) = t2 - 2t + m - cã nghiÖm t1, t2 cho 0<t1<t2=1
¿
t1=−1;0<t2<1
¿ ¿ ¿ ¿
(− Π2 ;2Π)
- Tìm m để phơng trình có nghiệm
f(x) = t2 - 2t + m - cã n0 t = -1 hc t =
(− Π2 ;2Π) - Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
f(x) = 4t2 - 2t + m - vô nghiệm có nghiệm t =
t1 t2 < -1 hc < t1 t2 ; t1 < -1 < < t2
Bài toán 2: Cho phơng trình:
sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = (1)
Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm ( o; 3) (1) 3sinx - sin3x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m = 0
- 4sin3x + m sin2x + (2 - m) sinx = 0
-sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0 sinx=0
¿
4 sin2+2msinx+2− m=0(2)
¿ ¿ ¿ ¿
sinx = x = hc x = 2 (0; 3)
Do phơng trình có nghiệm (0; 3) (2) có nghiệm (0; 3) ; 2
(7)t − ∞ +∞ −1
1n0 2n0 2n0 4n0 2n0 0 Sè nghiÖm (0; 3)
sinx = t
Phơng trình có nghiệm (2) có nghiệm t1, t2 cho < t1 < = t2
hc - < t1 < < t2 <
* TH 1: < T1 < = t2 f(1) = m = ¿
m>−2
3
m<2
m<2
¿{ {
¿
t1 = (lo¹i)
* TH 2: -1 < t1 < < t2 <
¿ af(−1)>0
af(0)<0
af(1)>0
¿{ {
¿ ¿ 3m+2>0
m −2<0
2−m>0
¿{ {
¿
¿
m>−2
3
m<2
m<2
¿{ {
¿
−2
3 <m<2
−2
3 <m<2 Vậy để phơng trình có nghiệm (0; 3)
(0;5Π
2 ) * Làm tơng tự: Tìm m cho phơng trình sin 3x + sin 2x = m sin
x cã
đúng nghiệm
c) Dạng 3: Phơng trình tơng đơng.
Bài 1: Tìm a b để hai phơng trình sau tơng đơng.
2=¿2 cosx+a√2sinx
asin 2x+√¿ 1)
2 sin2+cos 2x+sin 2x+b=2bsinx+cosx+1 2)
Ta biết hai phơng trình tơng đơng chúng có tập nghiệm (có thể tập )
+ Nếu (1) vơ nghiệm tìm điều kiện để (2) vơ nghiệm
+ Nếu (1) có nghiệm tìm điều kiện để nghiệm (1) nghiệm (2) ngợc lại.asinx(2 cosx −√2)=2 cosx −√2
(2 cosx −√2)(asinx −1)=0
2 sin2x+1−2 sin2x+2 sin 2xcosx+b=2bsinx+cosx+1 (cosx −b)−(cosx − b)=0
(8)
Cần: Giả sử (1) (2) tơng đơng x=Π
4 x=
Π
4 Vì nghiệm (1)
nghiƯm cđa (2) (2 √2
2 −1)(√
2 −b)=0⇔b=√ 2
x=Π
6 x=
6 Vì nghiệm (2) cịng
lµ nghiƯm cđa (1)
(2 √3
2 −√2)(a sin
Π
6 −1)=0
a=2
√2
a = b = th×
(2 cosx −√2)(2 sinx −1)=0 (2sinx −1)(cosx −√2
2 )=0
(1)
Nhận thấy (1) (2) tơng đơng
√2
Π
2
Π
2
m=0
m=1
¿righ ¿ ¿[ ]
¿
(1)⇔(2) VËy với a = b = thì phơng
trình cho tơng đơng
Bài tốn 2: Tìm m để phơng trình sau tơng đơng.
sin x + m cosx = (1)
m sinx + cosx = m2 (2)
Bµi lµm
Cần: Giả sử (1) (2) tơng đơng Π
2 Ta thÊy x = lµ nghiƯm cđa (1)
(9)Π
2 sin + cos = m2 m = m2
m2 - m = 0
Víi m = (1) sin x =
(2) cos x = sin x =
Hai phơng trình khơng tơng đơng
Víi m = (1) sin x + cos x =
(2) sin x + cos x =
Vậy m = phơng trình cho tơng đơng
Bài tốn 3: Tìm a để phơng trình sau tơng đơng.
(1) cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x
(2) 4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x)
Bµi lµm
(1) cos 3x + cos x = + cos 2x + cos 3x
cosx=0
¿ cosx=1
2 ¿ ¿ ¿ ¿
2cos2x - cos x = 0 cosx=0
¿ cosx −1=0
¿ ¿ ¿ ¿
cosx=0
¿ cosx=1
2 ¿ cosx=a −3
2 ¿ ¿ ¿ ¿
a−3 =0
¿
a −3 <1
¿
a −3 >1
¿ ¿ ¿ ¿
cos x ( 2cos x - 1)
=
(2) cos2x - 4cos3 x + cos x = a cos x + (4 - a) (2cos2x - 1) cosx=0
¿ 2cosx −1=0
¿
2 cosx − a+3=0
¿ ¿ ¿ ¿
a>5 +a<1 +a=3
a=4
Hai phơng trình tơng đơng
(10)Tơng tự: Tìm a để phơng trình tơng đơng sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x
sin 3x + cos 2x = + sinx cos x
C/ kÕt luËn
Qua số năm giảng dạy phơng trình lợng giác giải cách phân dạng tơi thấy có kết nhât định Học sinh biết phân dạng tập sử dụng phơng pháp thích hợp cho tốn
Vì thời gian giảng dạy cịn ít, kinh nghiệm cha nhiều tơi mong đợc đóng góp giúp đỡ thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp v cỏc em hc sinh
Tôi xin chân thành cảm ơn !