Dung BDT tim cuc tri

[r]

I - Phép biến đổi tơng đơng 1) Phơng pháp chung

- Từ BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng BĐT ( ngợc lại)

- Mét sè vÝ dô;

VD1; Cho a;b; c > CMR ; a3 + b3 + abc  ab (a + b + c)

Lêi gi¶i:

Ta cã a3 + b3 + abc  ab (a + b + c)

 a3 + b3 + abc  a2b + ab2 + abc

 (a+b)(a2_ab+b2)  ab (a+b)

 (a+b) (a-b)2  0

Ta cã: a; b; >  a + b > (a - b)2   a, b

 (a + b).(a - b)2  (Luôn đúng)  a, b > 0

 a3 + b3 + abc  ab (a+b+c) (§pCM) VD2: Cho a, b, c > CM:

ab bc ca

a b c c  a  b    Lêi gi¶i:

Ta cã

ab bc ca

a b c c  a  b   

 a2b2 + b2c2 + c2a2  abc (a + b + c)

 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)  abc(a + b + c)

 (a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2)  0

 b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2  ( Luôn a ; b ; c > )

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

VD3: Cho a , b , c độ dài cạnh  Cm:

a b c a c b

1 b  c a  c  b  a  Bµi lµm

Đặt M =

a b c a c b

cã M =

a b b c c a

b  a  c  b  a  c 2 2 2

a b b c c a

M

ab bc ac

  

   

2 2 2

1

M ca cb ab ac bc ba

abc

      

(V× a; b; c > 0)

   

1

M a c b2 ac ab bc abc

     

     

M a c c b b a abc

    

cã c a b

a  b c

b  c a

a b b c c a a.b.c

    

     

1

a b b c c a abc

abc abc

M

     

 

VËy

a b c c b

1 b  c a  a  a  VD4 :Cho ab  CM:

1

(1) a2 1  b2 1 ab 1

Bài giải Ta có (1)

2

2 2

a b 2

ab a b a b

 

 



  

     

2 2 2

a b ab a b a b

       

(V× ab 1)

3 2 2

a b ab 2a b a b 2ab

      

   

2 2

ab a 2ab b a 2ab b

   

ab a b

   

( Luôn  an 1)

1

b2 ab

a

  

 



DÊu “=” x¶y

a b ab

 

  



VD5:Cho a 1 ; b1 ; c1 CM: 3

1 1

1 abc a 1b 1c

Bài làm

áp dụng kết qu¶ ë vÝ dơ ta cã:

 

3 3 3

3

1 1

1 a b 1 a b

1 a

  

  



T¬ng tù:

3 4

1

1 abc

c 1   abc 1

3 3 3 3 4

1 1 1

1 abc

1 a b c 1 a b abc 1

 

       

 



      

mµ :

 2  2

3 4 4

3

4 4

1 1

2

1 a b abc 1 a b 1 abc

2

2

1 abc

1 a b c

 

 

 

    

 

 

   

     

 

 

 

3 3

1 1

1 abc abc

1 a b c

    

 

  

3 3

1 1

1 abc

1 a b c

   



  

A

C

B

a b c

a b c b a c

b c a a c b

h h h h h h

h  h  h  h  h  h

(ha ; hb ; hc lần lợt đờng cao hạ từ A; B; C xuống cạnh ) Bài làm:

Gäi S lµ diƯn tÝch  ABC

a a

1 2S

S a.h h

2 a

   

t¬ng tù: b c

2S 2S

h ; h

b c

 

(1)

2S 2S 2S 2S 2S 2S

a b c b a c

2S 2S 2S 2S 2S

a b

S

b a c b

     

2 2 2

2

b c a a c b

a b c b a c

b c c a a b a c c b b a

c(b a)(a b) c (b a) ab(b a)

(b a)(ac bc c ab)

(b a)(c b)(a c)

     

     

       

     

    

L¹i cã A  B  C  a  b  c (Quan hƯ c¹nh – gãc )      

b a

a c b a c b a c

c b

 

 

        

  

  §pcm

DÊu”=” x¶y (=)

a c

a b

c a

 

 



 



VD7 : CM: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

Từ chứng minh:

8 8 3

a b c 1

a b c a b c

 

  

a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (*)

 2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca)  0

(=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  ( ln )

DÊu “=” x¶y (=) a = b = c Ta cã : a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

a4 + b4 + c4  a2b2 + b2c2 + c2a2

a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c4 + c4a4

¸p dơng (*)  a8 + b8 + c8  a4b4 + b4c4 + c4a4  a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2

8 8 3 1

a b c a b c

a b c

 

       

 

8 8 3

a b c 1

a b c

a b c

 

  



Dấu đẳng thức xảy (=) a = b = c VD 8: Cho a ; b ; c độ dài cạnh  ; p nửa chu vi

Cm:

1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

      

    

Bµi gi¶i

Từ bất đẳng thức

1 1

x y  xy (x ; y không âm ; xy  ) (Dễ dàng CM đợc BĐT Cơsi) Ta có:

1 4

p a p b  2p a b c

1

p b p c a

1

p c p a b

 

 

 

 

Cộng vế BĐT ta đợc:

1 1 1

2

p a p b p c a b c

   

    

   

    

 

1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

       

*Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta đợc C/m BĐT cách biến đổi tơng đ-ơng thực

VD 9: Cho a> b > ; m > n nN ; m  N

m m n n

m m n n

a b a b

CM :

a b a b

 



  (*)

Bµi lµm:

       

 

 

m m n n n n m m

m n m n m n m n n m n m n m m n m n n m

n n m n m n

(*) a b a b a b a b

a a a b b a b b a a a b b a b b a b a b

2.a b a  b  (1)

     

       

  

  

Cã a > b

m n m a  b 

 

 (1) đúng  (*) đúng  Đpcm

*Một số tập áp dụng:

1) Cho z  y  x  C/m:

   

1 1 1

y x z x z (*)

x z y x z

   

     

   

   

2) Cho a , b , c số thực dơng thoả mÃn abc = 1 CMR:

     

2 2

1 1

2 a bc  b ca  c ab 

( Chú ý BĐT Nesôlsit )

x y z

yz  xz  xy  3) Nếu a, b, c độ dài cạnh 

4) CM:

 2  2 2 2

a b  c d  ac  bd 5) CM:

a b d  c a c b  d a d b  c ab bc cd da ac bd

           

 

(a, b, c, d  0) 6) CM:

2 2

a b c a b c

3

     

 

 

7) CM:

a)

a b c

1 (a, b, c 0) ab  bc  ac   b)

2 2 2

x x z y z

(0 x y z)

z x y z x

 

    

 

8) Cho a, b, c  CMR:

     

2 2

a b c a b c a b c a  b c 3abc II - áp dụng BĐT để tìm cực trị

- Một số BĐT thờng gặp để tìm cực trị

* BĐT Côsi: Cho n số không âm: a1, a2, an ta cã:

(a1+ a2+ + an )

n

1 n

n a a a

* BĐT Bunhiacôpxki: Cho số (a1, a2, an) vµ (b1, b2,, bn)

Ta cã:

 2  2 2  2

1 2 n n n n

a b a b  a b  a a  a b  b DÊu “ = ” x¶y

1 n

1 n

a a a

b b b

   

* BĐT trị tuyệt đối

* BĐT tam giác

Ta phi ỏp dng linh hoạt bất đẳng thức để tìm đợc cực trị Khi tìm cực trị biểu thức ta nên xem xét biểu thức phụ nh -A;

1 A; A2 để toán thờm ngn gn

* Sau ta xét vài ví dụ VD1: Tìm max có biÓu thøc:

A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm x+y+z=1 + Có bạn giải nh sau:

áp dụng BĐT:  

a b 4ab

Ta cã:    

4 xy z x y z 1

   2

4 xy x xyz 1

   2

4 xy y xyz 1

      64xyz x y y z z x

1 max A

64

    

 

*Chó ý: Lêi gi¶i hoàn toàn sai lầm cha tìm dấu áp dụng BĐT

+ Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau:

áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có:

x y z

xyz (1)

3 27

 

 

  

 

       

3

2 x y z

x y y z z x (2)

3 27

   

     

 

Nhân vế (1) (2) ta đợc

      82 xy x y y z z x

729 27

     

DÊu “=” x¶y  x = y = z = ** T¬ng tự ta dễ mắc phải sai lầm ví dụ sau

- T×m cđa A = 2x +3y biÕt 2x2 + 3y2  5

XÐt A + B =

 

2

2 5

2 x y (1)

2 4

 

      

 

Mµ B    B   Céng tõng vÕ cña (1); (2)

25 A

4

 

*Chó ý : Sai lầm ở chỗ ta cha xét dấu hai BĐT

* Một số tập áp dụng BĐT Côsi:

1) T×m cđa  

x2 4x

A x

x

 

 

 

 

3 x

B x

x

1

C x

1 x x



 

   



L êi gi¶i:

2

x 4x 4

) A x 4 x

x x x

A A x

 

      

     

T¬ng tự giải B,C

+)

3

3

2 2

x 1 x x x.x

B x

2

x x x 2.2x



       

3

3

B B x

4

   

   

5 x x

1 x x

) C 5 2

1 x x x x x x

5

C 5 x

 

         

  



   

2) T×m max cđa

 

3

2 x B

x

x C

x

  



Bài giải

2

2

A 2x 5x 3x 5x

5

2 1

5x 5x

5 4 40

1 11

A max A x

40 20

 

       

 

 

        

 

   

Tơng tự dễ dàng giả đợc phần B; C 3) Cho a, b, c > Tìm của

2 2

4a 5b 3c

A

a b c

  

  

XÐt:

   

2

4a 4a 4

4 a

a a a

4

4 a

a

 

   

  

   

áp dụng BĐT Côsi cho số không ©m (a -1);

a 1 ta cã:

2 4a

2 16 16 a 1   

T¬ng tù víi

2

5b 3c

;

b 1 c 1 ta tìm đợc A = 48

4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c =

Tìm A = a2 2ab  b2 2c2  c2 2a2 Dễ dàng CM đợc

2 2 x y z

x y z

3

 

 

   

áp dụng BĐT ta cã:

 

2 2 2

2

a b b

a 2b a b b

3

a 2b a 2b

3

 

 

      

 

   

T¬ng tù:

 

 

 

2

2

2 2 2

1

b 2c b 2c

3

c 2a 2a c

3

1

a 2b b 2c c 2a a b c

3 A

  

  

        

 

DÊu “=” x¶y (=)

1 a b c

3

  

*

p dụng BĐT Bunhiacopxkiá

1) Tìm min; max của

 

 

2

A x x x

B 3x x x

     

     

Bµi lµm

A 3 x 1 4 x

áp dụng BĐT Bunhia copxti có bé sè (3; 4) vµ  x ;  5 xta cã Cã:

 2    

2 2

A x x x x 100

A 10

         

 

   

 

 

2

2

2

x4 x 61

A max 10 x tm

3 25

A x x x x

9 x x

5 x x 36 A A x



   

       

   

    

  

Tơng tự giải cho B

* Chú ý thêm BĐT suy từ BĐT Côsi

1

(2) x  y xy

Dựa vào BĐT ta giải tập sau: Cho x; y > TM:

1 1 x y   T×m max; CM:

1 1

A

2x y z x 2y z x y 2z

   

     

Theo B§T ta cã

   

1 1 1 1 1

2x y z x y x z x y x z 16 x y x z

1 1 1 1 1

2x y z x y x z 16 x y x z

   

          

          

   

          

       

DÊu =xảy x = y = z Tơng tự:

1 1 1

x 2y z 16 x y y z

1 1 1

x y 2z 16 x z y z

 

     

   

 

     

 

Cộng vế BĐT

1 1

1 2x y z x 2y z x y 2z

   

     

DÊu “=” x¶y (=) x= y = z =

VÝdơ : Cho sè d¬ng a, b, c ; a +b +c = m lµ h»ng sè

T×m cđa A

2 2

a b c

bc  ac ab

Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho sè d¬ng ta cã:

       

     

 

3

3

2 a b c a b b c a c

1 1

3

a b b c a c a b b c c a

1 1

2 a b c

a b b c c a

      

   

     

 

       

  

 

a b c a b c a b c

a b b c a c

c a b

a b b c a c

     

   

  

   

  

   

2 2

c a b

a b c a b c

a b b c a c

a b c a b c m

b c c a a b 2

min

 

         

  

 

 

    

  



Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có:

2

a b c a b c

2 a

b c b c

 

   

 

T¬ng tù:

2

b c a

b

c a

c a b

c

a b



 





 



Céng tõng vÕ

m A

2

 

 

2 2

2

a b c

b c c a b b c c a a b

a b c

b c c a a b

b c c a a b

 

      

 

  

 

 

      

 

Cách 4: Giả sö

2 2

a  b c suy a b c

1 1

bc ca ab

¸p dơng BĐT Trêbsép cho số

2 2 2

1 1 a b

a b c

3 b c c a a b b c a c a b

 

 

         

     

   

 

   

2 2

2

1

a b c 1 1

a b c

b c a c a b b c c a a b

1 m

a b c Theo C

18

 

         

       

   

* Một số toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm ; max của

Ax  x  x  x

H

íng dÉn : §æi:

   

A x x x x

x x x x

x x x x 4

       

       

   

*áp dụng BĐT điểm

* Một số tập

Bài 1: Tìm của

B x   x   x 

Bài 2: Tìm min; max p = x2+y2 với x, y số thoả mÃn x2+ xy + y2 = 1

a) A = 4x3 - x4

b) B = x y

y x víi x, y  1 ; 2

c) C xy 2xy  x 4yz víi x  0 ; 2 vµ

1 y ;

2

 

  

 

Bài 4: Tìm max a.a

x y z p

y x x

  

víi x, y, z 1 ; 2 Bài 5: Tìm của

a)

4 4

Ax y z víi x, y, z TM: xy + yz + zx = 1

b) B x  y 1  z 1 víi x, y, z TM: x  y  z 5 Bµi 6: Cho a, b >0 ; a + b =1

T×m Max

a b

Q

1 2a 2b

 

 

Bµi 7: Cho a, b, c, d >0

T×m cđa

a c b d c a d b a b b c c d d a

   

  

    (§S = 4)

Bµi 8: Cho x, y, z, t > TM x + y + z + t =

T×m Min cđa

1 1

x  y z  t (ĐS = 16)

Bài 9: Cho a, b, c cạnh tam giác có a + b + c = m số Tìm Max cña a2 b2  b2 c2  c2 a2

Bµi 10: Cho x, y, z TM 2xyz + xy + yz + zx 1

T×m Min cđa xyz §S =

1

x y z

8

 

  

 

 

Bµi11: Cho sè d¬ng x, y, z > TM

 3 2

xyz x y z 429xyz

Bµi12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c =

T×m Max cđa ab  bc  ca §S:

1

6 a b c

3

   

b) Cho a, b, c cạnh tam giác T×m Max cđa biĨu thøc

b c a c a b

A

a b c

  

     

        