Kỹ thuật dồn biến trong tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất ôn thi THPT Quốc gia

nhất trong chương trình Toán THPT, sự kết hợp giữa đạo hàm và các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.. và lớn nhất đã, đang và sẽ là xu hướng ra đề[r]

(1)

Từ trước đến nay, câu Bất đẳng thức, hay tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn ln

câu khó đề, dùng để phân loại học sinh giúp học sinh lấy điểm 9,10 kì thi

tuyển sinh vào Đại học, kì thi THPTQG Và đạo hàm cơng cụ quan trọng

nhất chương trình Tốn THPT, kết hợp đạo hàm tốn tìm giá trị nhỏ

và lớn đã, xu hướng đề Nhân tổng hợp số toán

mang dáng dấp thế, giúp bạn lớp 12 có thêm tài liệu nhỏ để ôn tập Điều đặc biệt

chính tốn lấy diendantoanhoc.net/forum, chủ yếu Box Toán Trung

học Phổ thông ôn thi Đại học – Bất đẳng thức cực trị ( khoảng 50 pages đầu ) Các

toán giải chi tiết hướng dẫn cách cụ thể Do trình độ cịn hạn hẹp

cũng thời gian khơng cho phép nên tài liệu cịn sơ sài, lời cảm ơn

dành cho diễn đàn giúp đỡ suốt thời gian qua

Khối A-2012: Cho x y z, , số thực thỏa mãn x yz0

Tìm giá trị nhỏ | | | | | | 2

3x y 3y z 3z x 6 P       x  y  z

Khối B-2012: Cho x y z, , số thực thỏa mãn 2

0,

x yz x  y z 

Tìm giá trị lớn 5

P x y z

Khối A-2013: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn (ac b)( c)4c

Tìm giá trị nhỏ

3 2

3

32 32

( ) (a )

a b a b

P

c

b c c



  

 

Khối B-2013: Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị lớn

2 2

4

( ) ( )( )

P

a b a c b c

a b c

 

  

Khối A-2014: Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn 2 2 x  y z 

Tìm giá trị lớn

2

1

x y z yz

P

x y z x yz x

 

  

  

Khối B-2014: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn (ab c) 0

2( )

a b c

P

b c a c a b

  

  

THPTQG -2015: Cho số thực a b c , , [1;3] a b c6

2 2 2 12 72

a b b c c a abc abc

P

ab bc ca

   

 

(2)

Bài 1: Cho a b c, , số thực thỏa mãn 2 2 2 a b c

a b c

   



  



( )

P abc

Bài 2: Cho a b c, , số thực khác thỏa mãn 2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c  a b  b c  ca

Tìm giá trị lớn nhỏ

2 2

3

( )

a b b c c a P

a b c

 



 

Bài 3: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a2b26c2 4 (c ab)

3 2

3

( ) ( )

a b a b

P

c

b a c a b c



  

 

Bài 4: Cho x y z, , số thực thỏa mãn

2

3 16

x xy y

y yz z

   



  

 Tìm giá trị lớn P xy yzzx

Bài 5: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y 1 z

3 3 14

( 1) ( 1)( 1)

x y z

P

x yz y xz z xy x y z

   

     

Bài 6: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab c abc

2

2 2 2

( )

( )( 1) ( 1) 1

c c ab c

P

a b c c c



 

   

Bài 7: Cho x y, số thực dương thỏa mãn 2

2(x y )

xy

  

Tìm giá trị nhỏ 2 2

1

P

xy

x y

  



 

Bài 8: Cho ab c

2

4 2

(3 ) 121

8

ab bc b

P

b a b c ac



 

  

Bài 9: Cho a b, số thực dương thỏa mãn

2 12

a  b

Tìm giá trị nhỏ 44 44 4

8( ) P

a b a b

  



Bài 10: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn

(a b c) 32abc

Tìm giá trị nhỏ lớn

4 4

4

( )

a b c

P

a b c

 



(3)

2 2 1

2

a b c ab bc ca

ab bc ca

    



 

2

a b b c c a

P a b c      

Bài 12: Cho 1a b c, , 4 vàa b 2c8

2

Pa b  c

Bài 13: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a2b2c2 3

2 2 2

16

1

ab bc ca

P

a b c

a b b c c a

  

 

 

  

Bài 14: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn 2

1

x y z 

Tìm giá trị lớn P6(y z x)27xyz

Bài 15: Cho x y z, , số không âm thỏa mãn x2 y2 2(x y) 1 z3

Px y z

Bài 16: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn ab3bc5ca3

( ) (b ) (c )

P

a b c a

  

  

Bài 17: Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn 2

1x  1y  2 z 5

2

P x y z

Bài 18: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 2

( )

a b c  b c

(1 )(1 )(1 )

( ) (b ) (c )

P

a b c

a b c a

   

  

3

x y z  xyz

Tìm giá trị nhỏ 3

P x  y z

Bài 20: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn 2

1

x y z 

3 3

2 3

( )

1 24

xy yz y x z

P

z x x y



  

 

5(x y z )6(xyyzzx)

Tìm giá trị nhỏ P (x y z)(1 1) x y z

    

Bài 22: Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2y2 z2 1

2

( )

P xy yz xz

x y z xy yz

   

(4)

Bài 23: Cho a b c, , số thực thỏa mãn 2

2( )

a b c  ab bc ca

Tìm giá trị lớn nhỏ

3 3

2 2

( )( )

a b c

P

a b c a b c

 



   

Bài 24: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn (a b c)(1 1) a b c

    

4 4

1 1

( )( )

P a b c

a b c

    

Bài 25: Cho x y, số thực thỏa mãn 2 2 2

(x  y 1) 3x y 4x 5y

2 2

2

1

x y x y

P

x y

 



 

Bài 26: Cho x y z, , số thực thỏa mãn 1x y z, , 2

2 2

4 4

x y y z z x P

x y z

 



 

5(x y z )9(xy 2 yzzx)

Tìm giá trị lớn 2 2 3

( )

x P

y z x y z

 

  

Bài 28: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãnabc1

| a b | | b | | c | P

c a ab bc ca

   

    

Bài 29: Cho a b c, , số thực khơng âm thỏa mãnabc1

( ) ( ) ( )

Pa b c b ca c a b

Bài 30: Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn xy2(xy z) 20

2

2 2

1

2 2

x y z

P

x y z

   

  

Bài 31: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn 2x4y7z2xyz

Tìm giá trị nhỏ P x yz

3

x y z  y

( 1) ( 2) ( 3)

P

x y z

  

  

Bài 33: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn a3b3 c c( 1)

2 2

2 (a b c)

a b c

P  

(5)

2 2 2

( )

a b b c c a

P

abc a b c

 



 

Bài 35: Cho a b c, , số thực khơng âm thỏa mãn a b c3

Tìm giá trị lớn 2 2 2

( )( )( )

P a ab b b bcc c caa

Bài 36: Cho , , [ ; 2]1 a b c 

Tìm giá trị nhỏ lớn P a b c

a b b c c a

  

  

1 1 10 a b c

a b c 

  

 

   



Pa b c

Bài 38: Cho x y, số thực dương

4 2

2

9

xy x x y

P

x y

 





Bài 39: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn 2

,

abc a b c 

Tìm giá trị nhỏ P (ab b)( c c)( a ab)( bcca)

Bài 40: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn abbcca1

Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 2 2 2 5( 1)( 1)( 1)

2

P a b c

a b b c c a

      

  

Bài 41: Cho a b , (0;1) thỏa mãn 2 2

1

a b a b b a

Tìm giá trị nhỏ 8(1 )

1

a b

P

a b

 

 

 

Bài 42: Cho x y z , , [1; 2]

2

2 2

4( )

4

1

z x y z

P

z xy

x y z xy



  



  

Bài 43: Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abcacb

2 2

2

1 1 ( 1) 1

c c

P

a b c c c

   

    

2

x  y z  x y Tìm giá trị nhỏ lớn P2(xz)y

Bài 45: Cho x y z, , [1; 4],x y x, z

2

x y z

P

x y y z x z

  

(6)

Bài 46: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2

5(a b c )6(abbcca)

2( ) ( )

P  a b c  a b

Bài 47: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2b2 c2ab2 (c ab)

2

2 2

( )

c c ab

P

a b

a b c a b

  



  

Bài 48: Cho a, b, c số thực dương

3

2

P

a ab abc a b c

 

   

Bài 49: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 12 2( 12 12) c  a b

2 2

a b c

P

b c c a a b c

  

   

Bài 50: Cho a, b số thực dương

2014 2006 a b

P

a b a b ab

 

 

  

Bài 51: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c1

2 2

2

1 2

a b c

P

b a a b

  

   

2 2

1

( 1)( 1)( 1)

2

P

a b c

a b c a

 

  

   

Bài 53: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn 2 x  y z 

3 3

2 1

( ) ( )

2

x y z

P x y z

xyz xy yz zx

 

    

 

Bài 54: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1

Tìm giá trị nhỏ ( )( )( ) 72

1 P a b b c c a

a b c

    

   Bài 55: Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2 y2z2 3 Tìm giá trị nhỏ lớn P(x2)(y2)(z2)

7(a b c )11(abbcca)

Tìm giá trị nhỏ P a b c

b c c a a b

  

  

2 3( )

(7)

Tìm giá trị nhỏ 2015 2015 6( )

2

P a b c

a c b

    

 

3

8 4( )

( )

a b ab bc abc

P

a b c

   



  

Bài 59: Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2 y2z2 1

Tìm giá trị nhỏ P  54x2 42(x yz)

Bài 60: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xy1;z1

3

1 3( 1)

x y z

P

y x xy

  

  

Bài 61: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 2 a b c 

2

2 2

( )

1 32( )

ab bc ab bc

P

c a abc



  

 

Bài 62: Cho a b c, , số thực không âm 2 a b 

2 2 3

1

2 ( ) (z 2) P

a b c c x y

 

     

Bài 63: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b c

2 2

16

a b c

P

a bc b ca c ab 

  

  

Bài 64: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2 2 (ab) 4a b  1 (2c 1)

3

16 16 3( 1)

( ) ( )

a b ab

P

b c c a c



  

  

Bài 65: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab1, (c a b c)3

Tìm giá trị nhỏ 2 ln( )

1

b c a c

P a b c

a b

 

    

 

2 ,

xz y x y z 

2 3

1

( )

1

xy yz

P y

z x x z

   

 

Bài 67: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2b2 3c2 4

2

3 (b c) (a c) (a c) (b c)

P c

a c b c

   

  

 

Bài 68: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c1

10( ) 9( )

(8)

3b c a 2(abc)

2

4

( ) ( )

a P

bc a b a c

  

 

Bài 70: Cho x y z , , [0;1] thỏa mãn 4x5 4y5 4z5  Tìm giá trị lớn Pxy z2

Bài 71: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2 2 a b c 

4 4

2 4

1

( ) ( )

2 2 64

ab bc a b b c

P

c a a c



  

 

Bài 72: Cho x y z, , số thực thỏa mãn 2

0,

xyz x y z  Tìm giá trị lớn P2(x yz)xyz

Bài 73: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 2 2 a  2 b  2 c 5

4

P a b c

Bài 74: Cho a, b, c số thực không âm cho c số nhỏ

Tìm giá trị nhỏ P 21 2 21 2 a b c

a c b c

    

 

Bài 75: Cho x y z, , số thực dương

3

3 2 8

( ) ( ) ( )

z x y x y

P

z

x y y z x z

  

   