CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Tô Thị Kiều Oanh CÁC DẠNG BÀI NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề 1: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Dùng định nghĩa nguyên hàm I  x n   nx n1 14  u n   nu n1.u  x   x 15  u   2uu       x x u   16     u u  sin x   cos x 17  sin u   u cos u  cos x    sin x 18  cos u   u sin u  tan x   19  tan u      e   e   22  e   e u u cos u u 20  cot u    sin u 21 a u   a u ln a.u cos x  cot x    sin x a x   a x ln a x x u u 23  log a u   ln a.u u 24  log u   ln10.u u 25  ln u   u u  26 n u  n n u n1 10  log a x   ln a.x 11  log x   ln10.x 12  ln x   x  13 n x  n n x n1   II u   Tìm nguyên hàm dựa vào bảng công thức Sử dụng bảng công thức nguyên hàm : Tô Thị Kiều Oanh 1. kdx  kx  C 2. x n1 3. x dx  C n 1 x  n1 5. n dx   x  n dx  C x n  1  a.x  b  4.  a.x  b  dx  C a n 1 1 (a.x  b)  n1 6. dx  C n a n   a.x  b  n 1 n 7. xdx   x dx   n x C  x x C 3 2 8. a.x  bdx   a.x  b  a.x  b  C a 1 10. dx  a.x  b  C a a.x  b 1 12. dx   C a a.x  b  a.x  b  x dx   x dx  C  x C x x 1 1 11. dx   x 2 dx  C  C x 1 x 13. dx  ln x  C x 9. 1 dx  ln a.x  b  C a.x  b a cos(a.x  b) 16. sin  a.x  b  dx   C a sin( a.x  b) 18. cos( a.x  b)dx  C a 20. tan  a.x  b  dx   cos  a.x  b   C a 22. cot  a.x  b  dx  tan  a.x  b   C a 1 24. dx  tan  a.x  b   C cos (a.x  b) a a x b 26. 1  tan    dx  tan  a.x  b   C a 1 28. dx   cot  a.x  b   C sin ( a.x  b) a 30. 1  cot  a.x  b   dx   cot  a.x  b   C a mx  n 1a 32. a mxn dx  C m ln a e mxn 34. e mxn dx  C m 1 xa 36. dx  ln C ( x  a )( x  b) ba xb 14. 15. sin xdx   cos x  C 17. cos xdx  sin x  C 19. tan xdx   ln cos x  C 21. cot xdx  ln sin x  C 23. dx  tan x  C cos x 25. 1  tan x  dx  tan x  C 27. dx   cot x  C sin x 29. 1  cot x  dx   cot x  C 31. a x dx  ax C ln a 33. e x dx  e x  C 35. III u' dx  ln u  C u 1 xa dx  ln C x a 2a x  a Tìm ngun hàm phương pháp phân tích Tô Thị Kiều Oanh Hàm hữu tỉ I     P( x) dx với P( x), Q( x) đa thức không chứa Q( x) Nếu bậc P( x)  bậc Q( x) Chia đa thức Nếu bậc P( x)  bậc Q( x) xem xét mẫu số : o Nếu mẫu số phân tích thành tích số , ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp : 1  a b       (a.x  m)(b.x  n) an  bm  a.x  m b.x  n   A  B  m m.x  n A B    ( x  a)( x  b) x  a x  b  Ab  Ba  n  A Bx  C   2 ( x  m)(a.x  b.x  c) x  m a.x  b.x  c A B C D     2 ( x  a) ( x  b) x  a ( x  a ) x  b ( x  b) o Nếu mẫu số không phân tích thành tích số ( biến đổi đưa dạng lượng giác ) IV.Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số phương pháp sử dụng gián tiếp bảng nguyên hàm Một số dạng đổi biến loại 1, đặt t  u( x)   pp I   f (a.x  b)n dx  t  a.x  b  dt  adx    xn pp n1 n I    n1  dx  t  xa  b  dt  a.(n  1) x  a.x  b   pp I   f  a.x  b  dx   t  a.x  b  dt  2axdx  pp I   n f ( x) f '( x)dx   t  n f ( x)  dt   1 pp I   f (ln x) dx   t  ln x  dt  dx x x  pp I   f (e x )e x dx   t  e x  dt  e xdx  pp I   f (cos x)sin xdx   t  cos x  dt   sin xdx  pp I   f (sin x)cos xdx   t  sin x  dt  cos xdx  I   f (tan x) m  n 1 f ( x) n f '( x)dx n 1 pp dx   t  tan x  dt  dx cos x cos x 1 pp I   f (cot x) dx   t  cot x  dt   dx sin x sin x Tô Thị Kiều Oanh   t  sin x  dt  sin xdx pp I   f (sin x;cos x)sin xdx   t  cos x  dt   sin xdx  Một số dạng đổi biến loại 2, đặt x   (t ) pp I   f ( a  x ) x 2n dx   x  a.sin t  dx  a cos tdt   I  f   I  I  f  x  a  x a dt cos t a a sin t pp 2n dx  x   dx  dt cos t cos t dx dt pp   x  a   dx   t t a.x  b.x  c pp x  a x n dx   x  a tan t  dx  ( x  a) n V.Tìm nguyên hàm phương pháp tíc phân phần Nội dung phương pháp  udv  u.v   vdu Một số nguyên hàm thường gặp  sin x    Dạng 1: I   cos x  P( x)dx e x ; a x  u  P( x)  sin x   Đặt  với P( x) đa thức   dv  cos x  dx  e x ; a x    ln x  Dạng 2: I     P( x)dx log x   lnx  u    Đặt  log x  với P( x) đa thức dv  P( x)dx   sin x  x Dạng 3: I     e dx cos x  u  e x  Đặt  sin x  dv  cos x  dx    Tô Thị Kiều Oanh Vấn đề 2: TÍCH PHÂN b Cơng thức đổi biến số  f u ( x).u '( x)dx  a u (b )  f (u )du u (a) b b   Cơng thức tích phân phần u ( x).v '( x)dx  u ( x).v( x) |  u '( x).v( x)dx b a a a Vấn đề 3: ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I Diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b , trục hoành hai đường thẳng x  a; x  b  y  f ( x) y  b  (H ) :   S   f ( x) dx a x  a  x  b Diện tích hình phẳng giới hạn đò thị hàm số (C1 ) : y  f ( x);(C2 ) : y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng x  a; x  b  y  f ( x)  y  g ( x) b  (H ) :   S   f ( x)  g ( x) dx a x  a  x  b Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C1 ) : y  f ( x);(C2 ) : y  g ( x) liên tục đoạn  a; b đường thẳng  x  a Giải phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ) Phương trình cho ta nghiệm x  b (Giả sử b  a)   y  f ( x)  y  g ( x) b   S   f ( x)  g ( x) dx Diện tích hình phẳng cần tính là: ( H ) :  a x  a  x  b Tô Thị Kiều Oanh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C1 ) : y  f ( x);(C2 ) : y  g ( x) liên tục đoạn  a; b  Giải phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ) Phương trình cho ta nghiệm x  a; x  b  y  f ( x)  y  g ( x) b   Diện tích hình phẳng cần tính là: ( H ) :   S   f ( x)  g ( x) dx a x  a  x  b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (C1 ) : x  f ( y);(C2 ) : x  g ( y) đường thẳng y  a  Giải phương trình tung độ giao điểm (C1 ) (C2 ) Phương trình cho ta nghiệm y  b  x  f ( y)  x  g ( y) b   Diện tích hình phẳng cần tính là: ( H ) :   S   f ( y )  g ( y ) dy a y  a  y  b Diện tích hình phẳng giới hạn đường (C1 ) : y  f ( x);(C2 ) : y  g ( x);(C3 ) : y  h( x)  Lần lượt vẽ tìm giao điểm (C1 );(C2 );(C3 )  Phân chia hình ban đầu thành hình nhỏ S  S1  S2  b  c f ( x)  g ( x) dx   g ( x)  h( x) dx a b II Thể tích khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x); y  0; x  a; x  b quanh trục Ox  y  f ( x) y  b   V    f ( x)dx  a x  a  x  b Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường x  f ( y); x  0; y  a; y  b quanh trục Oy  x  f ( y) x  b   V   f ( y )dy   a y  a  y  b Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x); y  g ( x); x  a; x  b Tô Thị Kiều Oanh  y  f ( x)  y  g ( x) b   V   f ( x)  g ( x) dx   a x  a  x  b III Sử dụng tích phân chứng minh đẳng thức Cnk Công thức khai triển nhị thức Newton n  a  b    Cnk a nk bk  Cn0a n  Cn1a n1b   Cnn1abn1  Cnnbn n k 0  a  b n n  (1)n  Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b   (1)n1Cnn1ab n1  (1)n Cnnb n k 0 Phương pháp  Viết khai triển Newton (a.x  b)n   Lấy nguyên hàm tích phân hai vế theo cận thích hợp Chọn giá trị x cho thay vào ta đẳng thức cần chứng minh Sử dụng tích phân toán chuyển động IV Cho chất điểm chuyển động với quãng dường hàm số theo biến số thời gian t s(t ) Khi :   Vận tốc chất điểm : v(t )  s(t )  s(t )  v(t )dt  Gia tốc chất điểm : a(t )  v(t )  s(t )  v(t )  a(t )dt  Sử dụng tích phân toán tăng trưởng phát triển Cho hàm số f ( x) biểu diễn cho tăng ( giảm ) số lượng đối tượng (số người, vi khuẩn,  vi trùng…) Giá trị f ( x) số lượng đối tượng thời điểm x  Đạo hàm f ( x) tốc độ tăng hay giảm đối tượng thời điểm x V   Số lượng tăng thêm ( hay giảm ) đối tượng khoảng x   a; b b  f ( x)dx a ... o Nếu mẫu số khơng phân tích thành tích số ( biến đổi đưa dạng lượng giác ) IV.Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số phương pháp sử dụng gián tiếp bảng nguyên hàm Một số dạng đổi biến loại... đa thức Nếu bậc P( x)  bậc Q( x) xem xét mẫu số : o Nếu mẫu số phân tích thành tích số , ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp : 1  a b   ... khai triển Newton (a.x  b)n   Lấy nguyên hàm tích phân hai vế theo cận thích hợp Chọn giá trị x cho thay vào ta đẳng thức cần chứng minh Sử dụng tích phân tốn chuyển động IV Cho chất điểm