Bài giảng giải tích

BỘ MƠN TỐN HỌC CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Tốn I – II, dành cho khối ngành kinh tế) MƠN HỌC: TỐN I - II (Giải tích) - Số tín : (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết - Chương trình đào tạo ngành: Dành cho ngành kinh tế - Đánh giá: Điểm trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút) - Tài liệu thức: + James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University + Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập + Tốn cao cấp phần giải tích dành cho nhóm ngành kinh tế trường kinh tế LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus) Buổi Nội dung lý thuyết (2 tiết / buổi) + Phổ biến đề cương thông báo quy định Bộ môn môn học + Hàm số: hàm cách thiết lập hàm từ hàm biết + Một số hàm kinh tế + Giới hạn dãy số + Giới hạn hàm số + Các dạng vô định + Vô bé- Vô lớn + Khử dạng vơ định VCL – VCB + Tính liên tục hàm số + Đạo hàm ý nghĩa kinh tế + Các quy tắc tính đạo hàm bảng đạo hàm hàm sơ cấp + Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định + Vi phân hàm số ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân + Đạo hàm cấp cao vi phân cấp cao + Một số định lý hàm khả vi + Khai triên Taylor ứng dụng + Ứng dụng đạo hàm việc khảo sát hàm số + Ứng dụng kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, định tối ưu + Hàm hai biến ví dụ + Giới hạn hàm hai biến + Tính liên tục + Đạo hàm riêng + Vi phân toàn phần + Đạo hàm riêng hàm hợp + Hàm ẩn hai biến đạo hàm riêng hàm ẩn + Vi phân toàn phần cấp cao + Ứng dụng đạo hàm riêng kinh tế 10 + Cực trị tự ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng kinh tế 11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc + Cực trị miền đóng bị chặn + Một số ví dụ kinh tế 12 + Hàm cầu Marshall hàm cầu Hick + Kiểm tra kỳ lớp lý thuyết 13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định) + Các định lý + Cách tìm nguyên hàm số lớp hàm 14 + Khái niệm tích phân xác định + Một số định lý tích phân xác định + Cách tính 15 + Tích phân suy rộng với cận vơ hạn + Tích phân suy rộng với cận hữu hạn + Một số ví dụ ứng dụng tích phân kinh tế 16 Tích phân hai lớp: + Khái niệm + Tính chất + Các cách tính 17 + Các khái niệm mở đầu phương trình vi phân + Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; nhất; tuyến tính; Bernoulli 18 + Phương trình vi phân cấp hạ cấp + Phương trình vi phân cấp hệ số 19 Chuỗi số: + Định nghĩa số tính chất + Một số chuỗi thường gặp + Một số tiêu chuẩn dấu hiệu hội tụ chuỗi dương 20 + Chuỗi đan dấu + Chuỗi có số hạng với dấu 21 + Chuỗi lũy thừa + Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa + Chuỗi taylor Maclaurin 22 Ôn tập giải đáp thắc mắc LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus) Buổi Nội dung tập (2 tiết / buổi) Hàm số, giới hạn liên tục hàm số Đạo hàm, vi phân hàm biến ứng dụng Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhỏ ứng dụng Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng Tích phân hai lớp phương trình vi phân Chuỗi số, chuỗi hàm CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MƠN HỌC Mơn học: TỐN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế) Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút) Câu (2 điểm) Giới hạn, hàm số đạo hàm + Tính giới hạn + Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược + Ứng dụng đạo hàm kinh tế Câu (2 điểm) Hàm nhiều biến + Tính đạo hàm riêng hàm biến + Cực trị hàm biến ứng dụng kinh tế Câu (2 điểm) Tính tích phân + Tích phân lớp + Tích phân lớp Câu (2 điểm) Phương trình vi phân + Giải phương trình vi phân cấp + Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số số với vế phải đặc biệt Câu (2 điểm) Chuỗi + Tìm tổng chuỗi; khảo sát hội tụ chuỗi số + Tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa + Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa $1 HÀM MỘT BIẾN Đối tượng giải tích tốn học hàm số Chương đề cập đến khái niệm hàm số biến, cần nhấn mạnh có bốn cách biểu thị hàm số: Bằng phương trình, bảng, đồ thị lời Ngồi ra, có nhắc lại số hàm học chương trình phổ thơng cách xây dựng hàm từ hàm cho, đặc biệt lưu ý hàm ngược Cuối khái niệm mơ hình tốn số mối quan hệ hàm phân tích kinh tế Các mục chính: 1.1 Các khái niệm hàm số biến 1.2 Lập hàm số từ hàm số biết 1.3 Mơ hình tốn học 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN Định nghĩa hàm biến Khái niệm hàm số xuất có đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Ta xét tình sau đây: A Diện tích S đường trịn phụ thuộc vào bán kính r nó, quy tắc kết nối r với S cho phương trình ܵ ൌ ߨ‫ ݎ‬ଶ Mỗi số dương r ấn định với giá trị S, ta nói S hàm r B Dân số giới P phụ thuộc vào thời gian t Bảng sau ghi lại giá trị gần dân số giới P(t) thời điểm t Chẳng hạn ܲሺ1980ሻ ൎ 450 000 000 Nhưng chắn với t cho trước có giá trị P(t) tương ứng Ta nói P hàm t C Chi phí vận chuyển bưu phẩm C phụ thuộc vào cân nặng w bưu phẩm Mặc dù khơng có cơng thức đơn giản xác lập mối quan hệ C theo w bưu điện có quy tắc để xác định giá trị C biết w Như thế, C hàm w D Gia tốc chuyển động thẳng đứng a bề mặt trái đất đo máy ghi địa chấn trận động đất hàm thời gian t Hình đồ thị tạo máy đo địa chấn suốt trận động đất Los Angeles vào năm 1994 Hình Với giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm giá trị a tương ứng Mỗi ví dụ mơ tả quy tắc, mà theo giá trị cho trước (r, t, w t) ta xác định số tương ứng (S, P, C a) Trong trường hợp ta nói số sau hàm số trước Tổng quát ta có định nghĩa Định nghĩa hàm biến số Cho D tập khác ‫ ׎‬của tập số thực Թ Một hàm f quy tắc ấn định số cho trước thuộc tập D với số, ký hiệu f(x), tập E D gọi tập xác định f Số f(x) gọi giá trị f x, đọc “ f x ” Tập gồm giá trị f x,với x chạy khắp tập xác định, gọi tập giá trị f Ký hiệu dùng để biểu thị cho số tập xác định f gọi biến độc lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số tập giá trị f gọi biến phụ thuộc Trong Ví dụ A, r biến độc lập S biến phụ thuộc Việc hình dung hàm máy việc có ích xem Hình • • • • Hình Mơ hình máy cho hàm số Nếu x nằm tập xác định hàm f , biến đầu vào x đưa vào máy chấp nhận máy tạo ra, theo quy tắc f, “sản phẩm” biến đầu f(x) Như thế, ta hình dung tập xác định tập biến đầu vào tập giá trị tập gồm biến đầu Một cách khác để hình dung hàm số dùng biểu đồ mũi tên Hình Hình Biểu đồ mũi tên cho hàm f Mỗi mũi tên kết nối số thuộc tập xác định với giá trị ấn định cho theo quy tắc f Như thế, f(x) số ấn định cho x, f(a) ấn định cho a, Phương pháp phổ biến để hình dung hàm số xét đồ thị Nếu f hàm số với tập xác định D, đồ thị tập gồm cặp số có thứ tự ൛൫‫ݔ‬, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ห‫ܦ א ݔ‬ሽ (Lưu ý, cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị f tập gồm điểm (x, y) mặt phẳng tọa độ với y = f(x) x thuộc tập xác định f Đồ thị hàm f cho ta tranh tổng thể đặc điểm hàm số Bởi tung độ y điểm (x,y) đồ thị số cho y = f(x) nên ta thấy giá trị hàm số khoảng cách đại số từ điểm đến trục hồnh (xem Hình 4) Hình chiếu đồ thị trục hồnh tập xác định hình chiếu trục tung tập giá trị (xem Hình 5) Hình Hình VÍ DỤ Đồ thị hàm f cho Hình Hình (a) Tìm giá trị f(1) f(5) (b) Tìm tập xác định tập giá trị hàm f Giải (a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm đồ thị hàm số, nên giá trị hàm f(1) = Khi x = 5, điểm nằm đồ thị tương ứng nằm phía trục hồnh cách trục hồnh khoảng 0,7 đơn vị thế, ta ước đốn giá trị ݂ሺ5ሻ ൎ 0,7 (b) Hình chiếu đồ thị hàm số trục hoành [0, 7] trục tung [-2; 4] nên ta có Tập xác định [0, 7] tập giá trị ሼ‫ | ݕ‬െ ൑ ‫ ݕ‬൑ 4ሽ ൌ ሾെ2; 4ሿ VÍ DỤ Cho hàm số ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ 2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬൅ ݄ ് 0, tính ௙ሺ௔ା௛ሻି௙ሺ௔ሻ ௛ theo a h Giải Trước tiên tính ݂ሺܽ ൅ ݄ሻ cách thay x công thức f(x) a + h : ݂ ሺܽ ൅ ݄ሻ ൌ 2ܽଶ ൅ 4݄ܽ ൅ 2݄ଶ െ 5ܽ െ 5݄ ൅ Thay vào biểu thức cho đơn giản hóa, ta ݂ሺܽ ൅ ݄ሻ െ ݂ሺܽሻ ሺ2ܽଶ ൅ 4݄ܽ ൅ 2݄ଶ െ 5ܽ െ 5݄ ൅ 1ሻ െ ሺ2ܽଶ െ 5ܽ ൅ 1ሻ ൌ ݄ ݄ ൌ 4ܽ ൅ 2݄ െ Biểu thức ௙ሺ௔ା௛ሻି௙ሺ௔ሻ ௛ Ví dụ 2, chẳng hạn ta xét 2, biểu thị tỷ lệ thay đổi trung bình hàm f hai giá trị x = a x = a + h Đồ thị hàm số đường mặt phẳng tọa độ Vấn đề đặt đường có đặc điểm đồ thị hàm số Để trả lời câu hỏi này, ta dùng tiêu chuẩn sau TIÊU CHUẨN CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG Một đường mặt phẳng xy đồ thị hàm khơng có đường thẳng đứng cắt đường hai điểm phân biệt Quan sát Hình sau Đồ thị hàm số Không đồ thị hàm số Nếu đường thẳng đứng x = a cắt đường cho điểm (a; b) (Hình bến trái), xác định hàm f theo quy tắc f(a) = b Nhưng tồn đường x = a cắt đồ thị hai điểm phân biệt(Hình bên phải), chẳng hạn (a, b) (a, c), đường khơng đồ thị hàm số hàm số khơng thể ấn định hai giá trị khác cho cung số a Biểu thị hàm số Có bốn cách biểu thị: • Bằng lời (dùng ngơn ngữ để mơ tả) • Bằng số(dùng bảng giá trị) • Bằng đồ thị • Bằng đại số(biểu thị công thức hiện) Nếu hàm biểu thị nhiều cách ta dễ dàng hiểu biết cách sâu sắc, chẳng hạn hàm số phổ thông ta hàm cho công thức sau xác định đồ thị Tuy nhiên, có hàm số biểu thị cách tiện sử dụng so với cách khác khó mà biểu thị cách khác, chẳng hạn diện tích S = ߨ‫ ݎ‬ଶ biểu thị đồ thị (một nửa parabol) dạng đồ thị khơng tiện dùng Trong gia tốc chuyển động theo phương thẳng đứng vỏ trái đất trận động đất Hình 1, khó biểu thị đại số Trong ví dụ đây, ta cho hàm cách dùng ngôn ngữ mô tả yêu cầu biểu thị hàm đại số VÍ DỤ Một container hình hộp chữ nhật khơng có nắp phía với thể tích 10m3 Chiều dài đáy hai lần chiều rộng Nguyên liệu để làm đáy 10$ m2; nguyên liệu làm mặt bên 6$ m2 Giá nguyên liệu để làm container hàm chiều rộng mặt đáy, biểu thị hàm công thức Giải Đặt w chiều rộng mặt đáy, chiều dài mặt đáy 2w; đặt h chiều cao container Diện tích mặt đáy 2‫ݓ‬ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ 2‫ ݓ‬ଶ nên giá nguyên liệu để làm mặt đáy 10ሺ2‫ ݓ‬ଶ ሻ $ Hai mặt bên có diện tích 2‫ ݄ݓ‬và hai mặt bên cịn lại có diện tích ‫ ݄ݓ‬nên giá ngun liệu để làm mặt bên 6ሾ2ሺ‫݄ݓ‬ሻ ൅ 2ሺ2‫݄ݓ‬ሻሿ$ Như vậy, giá nguyên liệu tổng cộng ‫ ܥ‬ൌ 10ሺ2‫ ݓ‬ଶ ሻ ൅ 6ሾ2ሺ‫݄ݓ‬ሻ ൅ 2ሺ2‫݄ݓ‬ሻሿ ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ 36‫݄ݓ‬ Mặt khác, thể tích 10m3 nên ta có ‫ݓ‬ሺ2‫ݓ‬ሻ݄ ൌ 10, tức ݄ ൌ ௪ మ ହ Thay vào cơng thức tính C, ta ‫ ܥ‬ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ 36‫ ݓ‬ቀ మ ቁ ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ ହ ௪ ଵ଼଴ ௪ Vậy, giá nguyên liệu biểu thị theo chiều dài cạnh đáy công thức sau 180 ‫ ܥ‬ൌ 20‫ ݓ‬ଶ ൅ , ‫ ݓ‬൐ ‫ݓ‬ Một hàm số cho công thức, khơng nói thêm quy ước tập xác định hàm số tập giá trị biến độc lập làm cho cơng thức có nghĩa Tuy గ గ nhiên: y = sinx với െ ൑ ‫ ݔ‬൑ , phải hiểu tập xác định [ െ ଶ ; ଶ ] గ గ ଶ ଶ VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số sau (a) ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ (b) ݃ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ௫ మ ି௫ ଵ Giải (a) √‫ ݔ‬൅ có nghĩa ‫ ݔ‬൅ ൒ 0, nên tập xác định [2; +∞) (b) ௫ మି௫ có nghĩa ‫ ് ݔ‬0 ‫ ് ݔ‬2, nên tập xác định ଵ ሺെ∞; 0ሻ ‫ ׫‬ሺ0; 1ሻ ‫ ׫‬ሺ1; ൅∞ሻ Hàm xác định khoảng Xét hàm cho lời: C(w) chi phí vận chuyển bưu phẩm có cân nặng w Ngành bưu điện đưa quy tắc tính sau: 39 cents cân nặng không 1ounce, ounce có chi phí vận chuyển 24 cents bưu phẩm có cân nặng tối đa 13 ounce Hàm trình bày dạng bảng sử dụng thuận tiện hơn, bảng giá trị bên lề Từ bảng giá trị, dạng cơng thức hàm sau: Đồ thị hình đây: 0,39 ൏ ‫ ݓ‬൑ ‫ۓ‬ ۖ 0,63 ൏ ‫ ݓ‬൑ ۖ 0,87 ൏ ‫ ݓ‬൑ ‫ܥ‬ሺ‫ݓ‬ሻ ൌ 1,11 ൏ ‫ ݓ‬൑ ‫۔‬ ۖ 1,35 ൏ ‫ ݓ‬൑ ۖ ‫ڭ‬ ‫ە‬3,27 ݊ế‫ ݑ‬12 ൏ ‫ ݓ‬൑ 13 Đồ thị hình bậc thang ta thấy tập xác định hàm số (0; 13] khoảng xác định quy tắc tính giá trị hàm số lại khác Một hàm gọi hàm xác định khoảng Một cách tổng quát, hàm số gọi xác định khoảng quy tắc xác định hàm số khoảng xác định khác Chẳng hạn hàm sau hàm xác định khoảng ‫ ݔ‬൒ ; ‫ ݕ‬ൌ ൜‫ݔ‬ െ‫ ݔ‬nếu ‫ ݔ‬൏ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൜1 ଶെ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ ݔ‬൑ ; ‫ ݔ‬൐ ‫ݔ‬ ൑ ‫ ݔ‬൑ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ቐ െ ‫ ݔ‬nếu ൏ ‫ ݔ‬൑ ‫ ݔ‬൐ 2 Hàm số chẵn – Hàm số lẻ • Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = f(x) với x thuộc tập xác định f gọi hàm số chẵn Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, cần vẽ đồ thị ứng với phần ‫ ݔ‬൒ sau lấy thêm hình đối xứng qua trục tung ta tồn đồ thị • Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = - f(x) với x thuộc tập xác định f gọi hàm số lẻ Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, cần vẽ đồ thị ứng với phần ‫ ݔ‬൒ sau lấy thêm hình thu cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ Hàm chẵn Hàm lẻ Dáng điệu hàm số Đồ thị hàm f hình lên từ A đến B, xuống từ B đến C, lại lên từ C đến D Ta nói hàm f đồng biến khoảng [a; b] nghịch biến khoảng [b; c] lại đồng biến khoảng [c; d] Lưu ý với hai số ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ nằm hai số a b với ‫ݔ‬ଵ , ൏ ‫ݔ‬ଶ , ݂ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ Ta sử dụng điều để định nghĩa hàm số đồng biến Một hàm số f gọi đồng biến khoảng I (ở hiểu dạng: [a; b] (a; b) [a; b) (a; b]) khi: ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ với ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ I Một hàm số f gọi nghịch biến khoảng I khi: ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൐ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ với ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ I Lưu ý bất đẳng thức ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൏ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ phải xảy với cặp số ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ I với ‫ݔ‬ଵ ൏ ‫ݔ‬ଶ Một vài hàm số học i) Hàm tuyến tính hàm có dạng y = mx + b m b số cho; m hệ số góc b tung độ gốc Hàm có nét đặc biệt là: Nếu m = giá trị khơng thay đổi x thay đổi gọi hàm Nếu ݉ ് giá trị thay đổi mức cố định x thay đổi mức cố định, chẳng hạn hàm ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ ݔ‬െ có hệ số góc nên x tăng 0,1 đơn vị giá trị hàm tăng 0,3 đơn vị Dưới đồ thị hàm số bảng giá trị hàm số vài điểm ii) Hàm đa thức Hàm P gọi đa thức cho cơng thức có dạng ܲሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽ௡ ‫ ݔ‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ ‫ ݔ‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଶ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܽଵ ‫ ݔ‬൅ ܽ଴ n số nguyên dương ܽ଴ , ܽଵ , … , ܽ௡ số ta gọi hệ số đa thức Tập xác định đa thức Թ ൌ ሺെ∞; ൅∞ሻ Nếu ܽ௡ ് ta nói P đa thức bậc n Chẳng hạn, ta học đa thức bậc 1: ܲሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ݉‫ ݔ‬൅ ܾ hàm tuyến tính; đa thức bậc hai: ܲሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ܽ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܾ‫ ݔ‬൅ ܿ tam thức bậc hai; đa thức bậc ba; đa thức bậc bốn trùng phương Đa thức ‫ ݕ‬ൌ െ2‫ ଺ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ đa thức bậc sáu Nói chung đa thức sử dụng nhiều ứng dụng tốn học, đặc biệt việc tính gần lập mơ hình tốn iii) Hàm lũy thừa hàm cho có dạng ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬௔ a số Hàm trình bày chương trình phổ thơng trung học Trường hợp đặc biệt a số nguyên dương ta hàm đa thức 10 C BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH lim x +1 −1 x →0 x + − + 2x − lim x −2 x →8 xm −1 11 lim x →1 x n − x −1 x →1 x − lim  m n   (m,n∈N*) − 12 lim  m x →1 − x 1− xn  14 lim  x + x + − x − x +   x → ±∞ (m, n∈N*) + x2 − + x2 x −1 x →1 − cosα x x x→0 sin(mx) 17 lim (m, n∈Z*) x →π sin(nx ) 15 lim arcsin ( x − 2) x − 8x + π − arccos x 21 lim x → −1 x +1 − cos x cos(2 x) cos(3x) 23 lim − cos x x →0 cos x 25 lim π (1 − sin x ) x→ x→2 16 lim − tan x − + tan x sin(2 x) x →0 29 lim − cos x cos(2 x) x2 x→0 π   31 lim  x tan x −  π cos x  x→  xα − 2α x →2 x β 18 lim − 2β sin(πxα ) (αβ ≠ 0) ) tan(πx) 20 lim x → −2 x + x→1 sin(πx β x − arcsin x x → x + arcsin x 22 lim − cos(5 x) x → − cos(3 x ) 24 lim + x sin x − x sin x 26 lim x →0 27 lim x2 − a2 x →a 13 lim 19 lim x − a + x−a lim 28 lim cos x − cos x sin x    30 lim  x 1 − cos  x  x → ±∞   ln(1 + 3x sin x) 32 lim x→0 tan x x→0 33 lim ln(1 + x − x ) ( x → ln + x − x ) ln( x − x + 1) 34 lim ( x → +∞ ln x10 sin(e x −1 − 1) ln x x →1 35 lim 36 lim 8x − x x →0 x − 5x x x −1 x →1 x ln x 37 lim ) + x5 +  + tan x  sin x 38 lim   x → 0 + sin x  x 1  39 lim  sin + cos  x x x → +∞ 1  40 lim  cos  x x → ±∞ n na +nb   41 lim   n → +∞  174 x2 D BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho hàm số   x sin x ≠ f(x) =  x k x = Cần sửa lại để f liên tục x = Xác định f(0) để hàm số f(x) = Giải thích hàm số f(x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) x x + x cos x + sin x liên tục x = liên tục R sin x + − sin x x ≤ −π /  Cho hàm số y =  A sin x + B − π / < x < π / cos x x ≥ π /  Tìm giá trị A, B để hàm số liên tục R Chứng minh hàm số ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ arctan ௫ିଷ gián đoạn x = ଵ Giả sử hàm số f liên tục a, chứng minh |f(x)| liên tục a $2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN A BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM xf (a) − af ( x) = f(a) – af ’(a) x−a x→a Chứng minh f có đạo hàm x = a lim f ( x0 + h) − f ( x0 − h ) =f ’(x0) 2h h→0 Giả sử f có đạo hàm x0, chứng minh lim  x ≠  x arctan Xét x = tính liên tục tính khả vi hàm số f(x) =  x 0 x = Hàm cầu sản phẩm ܲ ൌ 10 െ ܳ ଶ; P giá bán đơn vị sản phẩm, Q sản lượng Tìm giá bán cận biên Q = cho biết ý nghĩa kinh tế Cho hàm tổng chi phí sản suất ܶ‫ ܥ‬ሺܳ ሻ ൌ 0,0001ܳଷ െ 0,02ܳ ଶ ൅ 5ܳ ൅ 100 Tìm hàm MC (chi phí cận biên, tiếng Anh:Marginal Cost); Q = 50 MC bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa kinh tế Một sản phẩm thị trường có hàm cầu ܳ ൌ 1000 െ 14ܲ Xác định hàm doanh thu Tìm doanh thu cận biên P = 40 Dùng bảng đạo hàm định lý, tìm đạo hàm cấp hàm sau: െ sin ‫ݔ‬ ሺ1 ൅ ‫ ݔ‬ଶ ሻ arctan ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ െ √‫ݔ‬ ሺܾሻ ‫ݕ‬ ൌ ln ൬ ൰ ሺܿሻ ‫ݕ‬ ൌ ሺܽሻ ‫ ݕ‬ൌ ൅ cos ‫ݔ‬ ൅ √‫ݔ‬ ଶ మ ሺ݁ሻ ‫ ݕ‬ൌ arccosሺcos ‫ݔ‬ሻ ሺ݂ሻ ‫ ݕ‬ൌ ඥ2݁ ௫ െ 2௫ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ lnହ ‫ݔ‬ ሺ݀ሻ ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬௫ ሺ‫ ݔ‬൐ 0ሻ ሺ݇ሻ ‫ ݕ‬ൌ ሺarcsin ‫ݔ‬ሻ௫ Ứng dụng Quy tắc L’Hospital để tìm giới hạn sau (a) lim x → +∞ π − arctan x  1 ln1 +  x  (b) lim (π − x )cos x x→ π− (c) lim ( tan x ) x→ 175 π− 2cos x (d) lim [(π − arctan x ) ln x ] ௘ ೌೣ ି௘ షೌೣ ୪୬ሺଵା௫ሻ (f) lim (h) lim (ln x ln( x − 1) ) e x − e− x x →0 sin x cos x (b) lim (j) lim௫՜଴ ln sin x x →0 ln sin x   x (e) lim  −  x →1 x − ln x  x → +∞ n   m (i) lim  −  (m, m x →1 − x − xn  n∈N*) x →1+ ሺܽ ‫ כ܀ א‬ሻ (k) lim௫՜଴శ ୪୬ሺୱ୧୬ ௫ሻ ୪୬ ௫ (l) (n) lim௫՜ା∞ሺగ arctan ‫ݔ‬ሻ௫ ଶ (m) lim௫՜଴ ሺ݁ ௫ ൅ ‫ݔ‬ሻೣ భ భ ୱ୧୬ ௫ మ lim௫՜଴ ቀ ௫ ቁೣ (Dùng quy tắc L’Hospital để tìm giới hạn tập buổi trước, có thể) Giải thích tính giới hạn sau khơng dùng quy tắc L’Hospital tìm chúng cách khác x − sin x x →+∞ x + sin x (b) lim x + sin x x →0 cot x (e) lim x + cos x x x →+∞ x sin(1 / x ) sin x x→0 (a) lim (c) lim + x2 x x → +∞ (d) lim B BÀI TẬP VỀ VI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI Tìm biểu thức vi phân hàm số: ‫ ݕ‬ൌ ln Tìm vi phân hàm số ‫ ݕ‬ൌ ଶ √௫ ଵି௫ ଵା௫ ; ‫ ݕ‬ൌ arcsin điểm x = ∆‫ ݔ‬ൌ െ0,01 ௫ ଶ 3 Tính ∆y dy hàm số y = 2x + 5x2 điểm x Với x ∆y ∼ dy (a) Dùng vi phân tính gần giá trị (i) arcsin0,51 (ii) tan460 (b) Dùng vi phân tính gần nghiệm phương trình 13sinx –15cosx = Dùng quy nạp, chứng minh: (a) f(x) = ax có f(n)(x) = ax(lna)n (b) f(x) = ln|x| có f (n)(x) = (–1)n(n – 1)!x-n (d) f(x) = cosx có f(n)(x) =cos ቀ‫ ݔ‬൅ ݊ ଶ ቁ గ (c) f(x) = sinx có f(n)(x) =sin ቀ‫ ݔ‬൅ ݊ ଶ ቁ గ (e) f(x) = xα (α∈R) có f (n)(x) = α(α–1)(α–2)⋅⋅⋅(α–n+1)xα-n Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + ⋅⋅⋅ + a1x + a0 Chứng minh a k = f (k ) (0) k! Áp dụng: Tính hệ số x2 khai triển (x2 – x + 1)2008 Tính đạo hàm vi phân cấp n Hàm số f(x) = 1− với Định lý Rolle? x (a) y = 5x − (b) y = – 3cos2x x − 3x + x = ±1, f ’(x) ≠ với x ∈[−1; 1] Điều có mâu thuẫn Chứng minh bất đẳng thức: (a) Nếu < b < a : a −b a a−b < ln < a b b (b) Nếu x, y hai số thực bất kỳ, |arctanx – arctany| ≤ |x – y| 10 Cho Pn(x) đa thức bậc n Chứng minh khoảng hai nghiệm đa thức có nghiệm P’n(x) 176 $3 HÀM HAI BIẾN SỐ A BÀI TẬP VỀ HÀM HAI BIẾN, GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC Chứng minh rằng, với hàm sản xuất Cobb-Douglas ܳ ൌ ܾ‫ܮ‬ఈ ‫ ܭ‬ଵିఈ , lượng lao động vốn tăng lên lần kéo theo sản lượng tăng lên lần Cho hàm số ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ lnሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ 1ሻ (a) Tính ݂ ሺ1,1ሻ; ݂ሺ݁, 1ሻ (b) Tìm tập xác định hàm số vẽ tập xác định mặt phẳng tọa độ (c) Tìm tập giá trị f Tìm tập xác định vẽ miền xác định mặt phẳng tọa độ hàmsau: (a) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ (b) ݃ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ lnሺ9 െ ‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݕ‬ଶ ሻ (c) ݄ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ arcsinሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ െ 2ሻ Vẽ đồ thị hàm số sau: 2 ݊ế‫ ് ݔ ݑ‬0 ‫ ് ݕ‬0  ( x + y ), ( x, y ) ∈ (0;1) × (1; 2) (a) f ( x, y ) =  (b) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ቊ ݊ế‫ ݔ ݑ‬ൌ ‫ ݕ‬ൌ 0, ( x, y ) ∉ (0;1) × (1; 2) Cho hàm số bảng 0,10 0,15 0,20 0,30 0,10 0,15 f(x, y) y x: Hãy tìm: Tập xác định, tập giá trị vẽ đồ thị Vẽ số đường mức hàm ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ mô tả đồ thị hàm số Công ty nhôm Văn Hải cho biết: Hiện nay, công ty thuê đơn vị vốn với giá 10 (đơn vị tiền tệ) đơn vị lao động với giá 20 (đơn vị tiền tệ) Chi phí cố định 150 (đơn vị tiền tệ) Hãy lập hàm tổng chi phí theo K L Tìm giới hạn sau: (b) limሺ௫,௬ሻ՜ሺଵ,ିଵሻ eି௫୷ cosሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ (a) limሺ୶,୷ሻ՜ሺଵ,ଶሻ ሺ5‫ ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ (c) limሺ௫,௬ሻ՜ሺ଴, ௫௬ ଴ሻ ඥ௫ మ (d) ା௬ మ lim ௫ ర ି௬ ర ሺ௫,௬ሻ՜ሺ଴, ଴ሻ ௫ మ ା௬ మ Cho hàm ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ௫ା௬ Tìm giới hạn lặp lim௫՜଴ lim௬՜଴ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, lim௬՜଴ lim௫՜଴ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ Chứng minh Nếu ta có lim ௫ି௬ lim ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ khơng tồn ሺ௫,௬ሻ՜ሺ଴,଴ሻ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ Có thể nói giá trị f (3,1) hay không? Nếu biết thêm f ሺ௫,௬ሻ՜ሺଷ,ଵሻ hàm liên tục sao? 10 Chứng minh hàm ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ൝ ௫௬ ඥ௫ మ ା௬ మ ݊ế‫ ݔ ݑ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ് 0 ݊ế‫ ݔ ݑ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ଶ ଶ liên tục R2 ݊ế‫ ݔ ݑ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ് 11 Chứng minh hàm ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ൝ ௫ ర ା௬ర gián đoạn (0,0) ݊ế‫ ݔ ݑ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ௫ య௬ 177 B BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀ ĐẠO HÀM HÀM HỢP Cho hàm ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ4 െ ‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݕ‬ଶ Tìm ݂௫ ሺ1,0ሻ ݂௬ ሺ1,0ሻ Nêu ý nghĩa hình học số vừa tìm Cho ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ lnሺ‫ ݔ‬൅ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ Tìm ݂௫ ሺ3,4ሻ ௬ Cho ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ arctan Tìm ݂௫ ሺ2,3ሻ ௫ Tìm đạo hàm riêng hàm sau: (a) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕ‬ହ െ 3‫ݕݔ‬ (d) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ସ ‫ ݕ‬ଷ ൅ 8‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ (e) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬௬ (d) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݐ‬ሻ ൌ √‫ ݔ‬ln ‫ݐ‬ (c) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௧ cos ߨ‫ݔ‬ Hàm lợi ích u phụ thuộc vào lượng hàng x, y hai mặt hàng quan tâm cho công thức ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ሺ2‫ ݕ‬൅ 3ሻ Hãy tìm giá trị lợi ích biên theo loại hàng య Cho hàm sản xuất doanh nghiệp sau ܳሺ‫ܮ‬, ‫ ܭ‬ሻ ൌ 80√‫ܮ√ ܭ‬ (a) Nếu giữ nguyên mức vốn K = 25 tăng lượng lao động từ 64 lên 65 đơn vị, sản lượng thay đổi (b) Nếu giữ nguyên lượng lao động L = 64 tăng mức vốn từ 25 lên 26 đơn vị, sản lượng thay đổi Giả sử ‫ ݖ‬ൌ ‫ݕݔ‬ Tính gần số gia tồn phần hàm z (độ thay đổi tuyệt đối) x tăng từ lên 2,01 đồng thời y tăng từ đến 3,01 Tìm vi phân tồn phần cấp hàm số: (a) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ݁ ௫ି௬ ൅ 2‫ ݔ‬െ 5‫ ݕ‬൅ ଶ௫ି௬ (b) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ௫ మା௬మ ൅ lnሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݕ‬ሻ Dùng vi phân tồn phần để tính gần (a) lnሺ య√1,03 ൅ ర√0,98 െ 1ሻ 10 Tìm đạo hàm hàm hợp ௗ௙ (a) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬với ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ‬ଶ െ 3‫ ݐ‬൅ 1, ‫ ݕ‬ൌ sin ‫ݐ‬ Tính ௗ௧ (b) ݃ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ1 ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ , (c) ݄ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ tan ିଵ ௬ ௫ , ‫ ݔ‬ൌ ln ‫ ݐ‬, ‫ ݕ‬ൌ cos ‫ݐ‬ Tính ‫ ݔ‬ൌ ݁ ௧ , ‫ ݕ‬ൌ െ ݁ ି௧ Tính డ௙ డ௙ 11 Tìm đạo hàm riêng hàm hợp డ௫ , డ௬ ௗ௛ ௗ௧ ௗ௚ ௗ௧ (a) ݂ ሺ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬ሻ ൌ arcsinሺ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ሻ , ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ , ‫ ݒ‬ൌ െ 2‫ݕݔ‬ (b) ݂ሺ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬ሻ ൌ sin ‫ ݑ‬sin ‫ ݒ‬, ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݕݔ‬ଶ , ‫ ݒ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ ௫ ௬ (c) ݂ ሺ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬ሻ ൌ ݁ ௨ାଶ௩ , ‫ ݑ‬ൌ ௬ , ‫ ݒ‬ൌ ௫ 178 (b) ሺ0,99ሻଶ,଴ଵ $4 CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN A BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM HÀM ẨN, ĐẠO HÀM CẤP VÀ HỆ SỐ CO GIÃN ௗ௬ Sử dụng cơng thức tìm đạo hàm hàm ẩn biến, tìm trường hợp sau: ௗ௫ (a) (b) ‫ ݕ‬ହ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ ൌ ൅ ‫ ݁ݕ‬௫ (c) cosሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݁ݔ‬௬ ඥ‫ ݕݔ‬ൌ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ Cho y hàm ẩn xác định ‫ ݕݔ‬െ ݁ ௫ sin ‫ ݕ‬ൌ ߨ Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm y(x) điểm ሺ1, ߨሻ డ௭ డ௭ Sử dụng cơng thức tìm đạo hàm hàm ẩn hai biến để tìm డ௫ ; డ௬ trường hợp sau: మ (a) ‫ ݖݕݔ‬ൌ cosሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሻ (b) ‫ ݖݕ‬ൌ lnሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻ (c) ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬ൌ arctanሺ‫ݖݕ‬ሻ Chứng tỏ phương trình ‫ ݖݔ‬ସ ൅ ‫ ݖݕ‬ଷ ൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ xác định hàm hai biến z với hai biến độc lập x, y từ lân cận điểm (1, 1) vào lân cận Tìm đạo hàm riêng z (1, 1) Tìm đạo hàm riêng cấp 2, vi phân toàn phần cấp hàm sau (a) ‫ ݖ‬ൌ sinଶ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ (b) ‫ ݖ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ ݁ ି௫ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ ൅ (c) ‫ ݖ‬ൌ lnሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ሻ (d) ‫ ݒ‬ൌ ݁ ௫௘ (e) ‫ ݖ‬ൌ arctan ଵି௫௬ ௫ା௬ ೤ Chứng minh hàm số ‫ ݖ‬ൌ lnሺ݁ ௫ ൅ ݁ ௬ ሻ thỏa mãn phương trình sau đây: డ௭ డ௭ ଶ (a) డ௫ ൅ డ௬ ൌ డమ ௭ డమ ௭ డమ ௭ െቀ ቁ ൌ0 (b) మ మ డ௫ డ௬ డ௫డ௬ Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai loại hàng hóa có dạng ܳሺܲଵ , ܲଶ ሻ ൌ 6300 െ 2ܲଵଶ െ ܲଶଶ Tìm hệ số co giãn hàm cầu theo P1 (20; 30) Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng ܳ ൌ 120‫ ܭ‬య ‫ܮ‬య Tìm hệ số co giãn hàm sản xuất theo K, L భ మ B BÀI TẬP VỀ: CỰC TRỊ TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG Giả sử (0, 2) điểm tới hạn hàm hai biến f với đạo hàm cấp hai liên tục Trong trường hợp, bạn nói hàm f (a) ݂௫௫ ሺ0,2ሻ ൌ െ1; ݂௫௬ ሺ0,2ሻ ൌ 6; ݂௬௬ ሺ0,2ሻ ൌ (b) ݂௫௫ ሺ0,2ሻ ൌ െ1; ݂௫௬ ሺ0,2ሻ ൌ 2; ݂௬௬ ሺ0,2ሻ ൌ െ8 (c) ݂௫௫ ሺ0,2ሻ ൌ 4; ݂௫௬ ሺ0,2ሻ ൌ 6; ݂௬௬ ሺ0,2ሻ ൌ Tìm cực trị hàm sau: (a) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ െ 2‫ ݔ‬൅ 4‫ ݕ‬െ ‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݕ‬ଶ (b) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଷ ൅ 3‫ ݕݔ‬ଶ െ 15‫ ݔ‬െ 12‫ݕ‬ (c) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ସ ൅ ‫ ݕ‬ସ െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ 4‫ ݕݔ‬െ 2‫ ݕ‬ଶ ൅ (e) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ݁ ି௫ మ ି௬ మ ሺ2‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ (d) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕݔ‬൅ ௫ ൅ ௬ ଵ (f) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ඥ‫ ݔ‬ସ ൅ ‫ ݕ‬ସ െ Một hộp dạng hình hộp chữ nhật khơng có nắp làm từ kim loại với diện tích 12 m2 Tìm thể tích lớn hộp (Xem hình bên) Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm sau: ߨሺܳଵ , ܳଶ ሻ ൌ 160ܳଵ െ 3ܳଵଶ െ 2ܳଵ ܳଶ െ 2ܳଶଶ ൅ 120ܳଶ െ 18 Tìm ܳଵ , ܳଶ để lợi nhuận đạt tối đa ଵ 179 Hàm lợi nhuận doanh nghiệp cho ߨሺ‫ܮ‬, ‫ܭ‬ሻ ൌ 100‫ ܭ‬଴,଺ ‫ܮ‬଴,ଶ െ 20‫ ܭ‬െ 10‫ܮ‬ Xác định K, L để lợi nhuận đạt tối đa Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm ܳଵ ൌ 25 െ 0,5ܲଵ ; ܳଶ ൌ 30 െ ܲଶ sau: Hàm tổng chi phí ‫ܥ‬ሺܳଵ , ܳଶ ሻ ൌ ܳଵଶ ൅ 2ܳଵ ܳଶ ൅ ܳଶଶ ൅ 20 Hãy tìm mức sản lượng loại giá bán ấn định cho loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa C BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC, CỰC TRỊ TRÊN MIỀN ĐĨNG BỊ CHẶN VÀ ỨNG DỤNG Tìm cực trị với điều kiện ràng buộc: (a) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕݔ‬với ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ (b) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬với ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ (d) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ݁ ௫௬ với ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݕ‬ଷ ൌ 16 (c) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ cosଶ ‫ ݔ‬൅ cosଶ ‫ ݕ‬với ‫ ݕ‬െ ‫ ݔ‬ൌ ସ గ Tìm cực trị miền D đóng bị chặn: (a) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ൅ ‫ ݕݔ‬െ ‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ‬với miền D tam giác có đỉnh (1; 0) (5; 0) (1; 4) (b) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬൅ với ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ||‫ |ݔ‬൑ 1, |‫ |ݕ‬൑ ሽ (c) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ 4‫ ݔ‬൅ 6‫ ݕ‬െ ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ với ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ|0 ൑ ‫ ݔ‬൑ 4; ൑ ‫ ݕ‬൑ ሽ (d) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕݔ‬ଶ với ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ|‫ ݔ‬൒ 0, ‫ ݕ‬൒ 0, ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൑ ሽ (e) ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ 2‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݕ‬ସ với ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ|‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൑ ሽ Giải chi tiết ví dụ 16 17 giảng Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm từ hai loại nguyên liệu Mức sản lượng Q phụ thuộc vào lượng nguyên liệu x, y hai loại cho theo công thức sau ܳ ൌ 4‫ ݔ‬଴,଻ହ ‫ ݕ‬଴,ଶହ Giá bán đơn vị nguyên liệu loại hai tương ứng đơn vị tiền Nếu doanh nghiệp giao sản xuất 100 sản phẩm, phải mua nguyên liệu loại để tổng chi phí cho nguyên liệu nhỏ Cho biết hàm lợi ích ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ lượng cầu hai loại mặt hàng với giá bán $2 $5 Biết lượng thu nhập dành cho tiêu dùng $51 Hãy tìm lượng cầu loại hàng hóa cho lợi ích đạt cực đại Một doanh nghiệp có hàm sản xuất ܳሺ‫ܮ‬, ‫ ܭ‬ሻ ൌ ‫ܮ‬଴,ଷ ‫ ܭ‬଴,଼ Giả sử giá thuê đơn vị lao động $2, giá thuê đơn vị tư 6$ Doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $384 Hãy cho biết đơn vị sử dụng đơn vị lao động đơn vị tư sản lượng đạt tối đa Một doanh nghiệp sản xuất hai mặt hàng thay điều kiện độc quyền Nhu cầu thị trường hai loại mặt hàng ܳ஽భ , ܳ஽మ phụ thuộc vào P1 P2 theo hàm ܳ஽భ ൌ 1000 െ 2ܲଵ ൅ ܲଶ ; ܳ஽మ ൌ 4000 ൅ ܲଵ െ 2ܲଶ Chi phí để sản xuất sản phẩm thứ nhất, thứ hai đơn vị tiền Do hạn chế vốn nên doanh nghiệp ấn định mức chi phí sản xuất 2425 đơn vị tiền Vậy doanh nghiệp sản xuất sản phẩm loại để đạt lợi nhuận tối đa, lúc giá loại sản phẩm bao nhiêu? 180 $5 HÀM CẦU MARSHALL, HÀM CẦU HICK NGUYÊM HÀM, TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH, TÍCH PHÂN SUY RỘNG A BÀI TẬP VỀ LẬP HÀM CẦU MARSHALL VÀ HÀM CẦU HICK BIẾT HÀM LỢI ÍCH ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕݔ‬൅ 5‫ݔ‬ ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ 4‫ ݔ‬଴,଻ହ ‫ ݕ‬଴,ଶହ ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬଴,଺ ‫ ݕ‬଴,ଶହ ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ ݕݔ‬൅ 5‫ݕ‬ B BÀI TẬP VỀ NGUYÊN HÀM Dùng bảng nguyên hàm tính chất nguyên hàm để tìm nguyên hàm sau ‫ݔ‬െ1 2௫ െ 3௫ ሺܾሻ නሺ2௫ ൅ 5௫ ሻଶ ݀‫ݔ‬ ሺܽሻ න ݀‫ݔ‬ ሺܿሻ න ݀‫ݔ‬ 5௫ √‫ݔ‬ cos 2‫ݔ‬ ‫ ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬ ‫ݔ‬ଶ െ ሺ݁ሻ න ଶ ݀‫ݔ‬ න ሺ݂ሻ ሺ݀ሻ න ଶ ݀‫ݔ‬ sin ‫ ݔ‬cos ଶ ‫ݔ‬ ‫ ݔ‬൅7 √1 െ ‫ ݔ‬ଶ ଶ ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݊ሻ නሺඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ െ ඥ‫ ݔ‬ଶ െ 1ሻ݀‫ݔ‬ ሺ݉ሻ න ଶ √‫ ݔ‬൅ Dùng phép đổi biến tìm nguyên hàm sau య ݁ ଶ௫ ൅ ሺܽሻ න √1 െ 3‫ݔ݀ ݔ‬ ሺܿሻ න ݀‫ݔ‬ ሺܾሻ න ௫ ݀‫ݔ‬ ଶ cos ‫√ ݔ‬1 ൅ tan ‫ݔ‬ ݁ ൅1 ೣ ‫ ݔ‬ହ ݀‫ݔ‬ ሺ݀ሻ න ݀‫ ݔ‬ሺ݁ሻ න ݁ ௫ା௘ ݀‫ݔ‬ න ሺ݂ሻ ሺarcsin ‫ݔ‬ሻଷ √1 െ ‫ ݔ‬ଶ √1 െ ‫ ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬ ሺ݉ሻ න √݁ ௫ െ 1݀‫ݔ‬ ሺ݊ሻ න ൅ √‫ݔ‬ Sử dụng cơng thức tích phân phần, tìm nguyên hàm sau ሺܽሻ න ‫ݔ‬sin 2‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݀ሻ න ݁ ଶ௫ cos 3‫ݔ݀ ݔ‬ arcsin ‫ݔ‬ ሺܾሻ න ‫ି ݁ݔ‬ଶ௫ ݀‫ݔ‬ ሺ݁ሻ න ‫ݔ‬arctan‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݊ሻ න ‫ݔ‬log ଶ ‫ݔ݀ݔ‬ ݀‫ݔ‬ √‫ ݔ‬൅ Tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ sau 2‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ሺܽሻ න ݀‫ݔ‬ ሺܾሻ න ଶ ݀‫ݔ‬ 2‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬െ 2‫ ݔ‬൅ ‫ݔ‬ 3‫ ݔ‬ଶ ൅ 2‫ ݔ‬൅ ሺ݀ሻ න ݀‫ݔ‬ න ሺ݁ሻ ݀‫ݔ‬ ሺ‫ ݔ‬െ 1ሻଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ 2‫ ݔ‬൅ 2ሻ ‫ݔ‬ଷ െ ሺ‫ ݔ‬ସ ൅ 1ሻ݀‫ݔ‬ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ න ሺ݊ሻ ሺ݉ሻ න ସ ݀‫ݔ‬ ‫ ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ 1ሻଶ ‫ ݔ‬൅ 5‫ ݔ‬ଶ ൅ Tìm nguyên hàm hàm lượng giác ሺܾሻ න sinଷ ‫ݔ‬cosସ ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺܽሻ න ݀‫ݔ‬ ൅ sin ‫ ݔ‬൅ cos ‫ݔ‬ ሺ݉ሻ න ሺ݀ሻ න tanଶ ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݁ሻ න sin 3‫ ݔ‬cos ‫ݔ݀ ݔ‬ cos ‫ݔ‬ sin ‫ ݔ‬൅ sinଷ ‫ݔ‬ ሺ݊ሻ න ଶ ݀‫ݔ‬ ሺ݉ሻ න ݀‫ݔ‬ sin ‫ ݔ‬൅ sin ‫ݔ‬ cos 2‫ݔ‬ Nguyên hàm số dạng hàm có chứa 1 ሺܽሻ න ݀‫ݔ‬ ሺܾሻ න య ݀‫ݔ‬ య ర √‫ ݔ‬െ √‫ݔ‬ √‫ ݔ‬൅ √‫ݔ‬ 1െ‫ݔ‬ ሺ݀ሻ න ݀‫ݔ‬ ሺ݁ሻ න ඨ ݀‫ݔ‬ ሺ1 ൅ √‫ݔ‬ሻଷ ‫ݔ‬ 181 ሺܿሻ න lnଶ ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݂ሻ න arccos ‫ݔ݀ ݔ‬ ݀‫ݔ‬ ሺ‫ ݔ‬൅ 1ሻሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ‫ ݔ‬ଷ ݀‫ݔ‬ ሺ݂ሻ න ଷ ‫ ݔ‬െ‫ݔ‬ ሺܿሻ න ሺܿሻ න cos଺ ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺ݂ሻ න ሺܿሻ න ݀‫ݔ‬ sinସ ‫ ݔ‬cosଶ ‫ݔ‬ √‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ య √‫ ݔ‬൅ √‫ݔ‬ ሺ݂ሻ න ඨ ‫ݔ‬െ1 ‫ݔ‬ √‫ ݔ‬ଶ െ ݀‫ݔ‬ √2 െ ‫ݔ‬ଷ C BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ሺ݉ሻ න π/4 ∫ (a) 3‫ ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬ ሺ݊ሻ න π/2 cos 2xdx ∫ (b) 13 ∫ 1+ 2x +1 (g) a ∫ (e) ∫ (h) dx π ∫x (l) e (f) dx cos x + (i) ∫ (o) 1/ e ln x ∫ cos xdx (m) ∫ e (p) x arctan xdx ex −1 e dx ex + x3dx a +x ∫ ( x ln x) | ln x | dx x ∫ + x dx a ∫ (n) e x − 1dx π/2 a − x dx ∫ (k) (c) ln ∫ x x + 9dx (d) sin x cos3 xdx (a > 0) dx xe x ∫ ( x + 1)2 dx 0 D BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tại tích phân sau tích phân suy rộng ା∞ ଶ ሺܽሻ න cos ‫ݔ݀ ݔ‬ ሺܾሻ න ‫ ݔ‬ସ ݁ ି௫ ݀‫ݔ‬ ଴ ି∞ Tính tích phân sau +∞ (a) (e) ∫ cos xdx +∞ x ∫ e x 14 (k) ∫ −2 ∫ −∞ +∞ (f) dx (b) x+2 ∫ e x(ln x) dx (i) ∫ ( x − 6) ା∞ ‫ି׬‬ஶ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬ Tìm số k, biết ି௫ ሺܽሻ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ቄ݇݁ với ‫ ݔ‬൒ 0 với ‫ ݔ‬൏ ݇‫ ݔ‬với ൏ ‫ ݔ‬൏ ሺܾሻ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ൝ െ ‫ ݔ‬với ൑ ‫ ݔ‬൑ với ‫ ݔ‬൏ ‫ ݔ‬൐ Xét tính hội tụ tích phân sau ାஶ ‫ݔ‬ ሺܽሻ න ଷ ݀‫ݔ‬ ‫ ݔ‬൅1 ଴ ାஶ ሺ݁ሻ න ଴ arctan ‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ ൅ ݁௫ ାஶ sin ‫ݔ‬ ሺܾሻ න ݀‫ݔ‬ ‫ݔ‬ଶ ଴ ଵ ሺ݂ሻ න ଴ ∫ x2 − 5x + dx (d) (c) (g) ∫ arctan x + x2 (j) dx 2− x ∫ −∞ +∞ dx dx x −1 dx 2x − (c) −2 x ൌ1 ሺܿሻ ାஶ గ ∫ 2 −∞ ( x + 1)( x + 4) (h) x2 ∫ −∞ + x (m) ∫ 1− x sinଶ ‫ݔ‬ ାஶ ሺ݀ሻ න ଵ ଵ ሺ݊ሻ න dx ଴ ‫ݔ‬൅1 √‫ ݔ‬ସ െ ‫ݔ‬ arccot ‫ݔ‬ √‫ݔ‬ మబభబ dx dx ߨ ݇sin3‫ ݔ‬với ‫ א ݔ‬ሺ0; ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൞ ߨ với ‫ ב ݔ‬ሺ0; ሻ ݀‫ݔ‬ ݀‫ ݔ‬, ሺߙ ‫܀ א‬ሻ ሺ݉ሻ න ‫ݔ‬ఈ √‫ݔ‬ ଴ +∞ (d) dx ൅ ݁ ି௫ ሺܿሻ න ݀‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ଴ +∞ dx ∫ dx x−2 ∫ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ Một số tập ứng dụng tích phân kinh tế (a) Cho ‫ܴܯ‬ሺܳሻ ൌ 84 െ 4ܳ െ ܳ ଶ Tìm hàm doanh thu ܴ ሺܳ ሻ hàm cầu ଵ (b) Cho ‫ ܥܯ‬ሺܳ ሻ ൌ ଶ ܳ ൅ Tìm ‫ܥ‬ሺܳሻ biết chi phí cố định 100 (c) Cho ‫ߨܯ‬ሺܳ ሻ ൌ 3ܳ ൅ 700 Tìm ߨሺܳ ሻ biết bán 60 đơn vị sản phẩm lỗ 7500 đơn vị tiền 182 $6 TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP Dùng tích phân hai lớp để tìm diện tích miền mặt phẳng tọa độ giới hạn đường sau (a) Đường Parabol ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ đường thẳng ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬െ (b) Trục Ox; ‫ ݕ‬ൌ ݁ ି௫ ; ‫ ݔ‬ൌ 0; ‫ ݔ‬ൌ (c) ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ ; ‫ ݕ‬ൌ 2‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଶ (d) ‫ ݕݔ‬ൌ 4; ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ (e) ‫ ݕݔ‬ൌ 4; ‫ ݕݔ‬ൌ 8; ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݕ ;ݔ‬ൌ 2‫ݔ‬ Tính tích phân sau (a) ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ | െ ൑ ‫ ݕ‬൑ 1, െ‫ ݕ‬െ ൑ ‫ ݔ‬൑ ‫ݕ‬ሽ ‫׭‬஽ ‫ ݕ‬ଶ ݀‫; ݕ݀ݔ‬ (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) ‫׭‬஽ ௬ ௫ ఱ ାଵ ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ |0 ൑ ‫ ݔ‬൑ 1, ൑ ‫ ݕ‬൑ ‫ ݔ‬ଶ ሽ ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫׭‬஽ ‫; ݕ݀ݔ݀ݔ‬ ‫׭‬஽ ‫ ݔ‬ଷ ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫׭‬஽ ‫ݔ‬ඥ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫׭‬஽ ‫; ݕ݀ݔ݀ ݕ‬ ଶ ‫׭‬஽ ‫; ݕ݀ݔ݀ ݕ‬ ଷ ‫׭‬஽ ‫ ݕݔ‬ଶ ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ |1 ൑ ‫ ݔ‬൑ ݁, ൑ ‫ ݕ‬൑ ln ‫ݔ‬ሽ ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ | ൑ ‫ ݕ‬൑ 1, ൑ ‫ ݔ‬൑ ‫ݕ‬ሽ ‫ ܦ‬là hình phẳng xuất (5 tích phân) ‫ ܦ‬là tam giác có đỉnh (0; 2) (1; 1) (3; 2) ‫ ܦ‬là hình phẳng giới hạn ‫ ݔ‬ൌ 0; ‫ ݔ‬ൌ ඥ1 െ ‫ ݕ‬ଶ ‫׭‬஽ ሺ2‫ ݔ‬െ 3‫ݕ‬ሻ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫׭‬஽ 2‫; ݕ݀ݔ݀ݕݔ‬ ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ | ൑ ‫ ݔ‬൑ ߨ, ൑ ‫ ݕ‬൑ sin ‫ݔ‬ሽ ‫ ܦ‬là hình phẳng giới hạn đường trịn đơn vị ‫ ܦ‬là tam giác với đỉnh (0; 0) (1; 2) (0; 3) ‫׭‬஽ ሺ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ݕݔ‬ሻ݀‫; ݕ݀ݔ‬ ‫ ܦ‬là miền giới hạn ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ ; ‫ ݕ‬ൌ √‫ ݔ‬ Tìm số k, biết ‫׭‬஽ ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ݀‫ ݕ݀ݔ‬ൌ ݇ ሺ‫ ݔ‬൅ 2‫ݕ‬ሻ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ‫ א‬ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ1; 2ሿ (a) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ቊ ‫ ܦ‬ൌ ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ1; 2ሿ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ‫ ב‬ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ1; 2ሿ ݇‫ ݔ‬nếu ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ‫ א‬ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ0; ‫ݔ‬ሿ (b) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ቊ ‫ ܦ‬ൌ ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ0; ‫ݔ‬ሿ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ‫ ב‬ሾ0; 1ሿ ൈ ሾ0; ‫ݔ‬ሿ ௞ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ thỏa mãn ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൑ (c) ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ൌ ൝ଶగ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ thỏa mãn ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൐ ‫ ܦ‬là hình trịn ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൑ 4 Dùng tích phân hai lớp để tính thể tích khối (a) Nằm mặt phẳng ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ phía miền giới hạn ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݕ ;ݔ‬ൌ ‫ ݔ‬ସ mặt Oxy (b) Nằm mặt có phương trình ‫ ݖ‬ൌ 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ଶ phía miền giới hạn ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ ; ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬ଷ mặt Oxy Nằm mặt có phương trình ‫ ݖ‬ൌ ‫ ݕݔ‬và phía miền tam giác có ba đỉnh (1, 1) (4, 1) (1, 2) mặt Oxy B BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I Kiểm tra xem hàm số có nghiệm phương trình vi phân cho hay khơng (b) y ''+ y '+ y = 0; y1 = e −2 x , y2 = xe −2 x (a) y '+ xy = 0; y = 1+ x (c) y ''− y '+ y = 0; y1 = e x cos x, y2 = e x sin x Hãy tìm hàm y = f(x) thoả mãn phương trình vi phân cho điều kiện ban đầu kèm theo: dy dy (a) = x + 1; y(0) = (b) ; y(2) = −1 = dx dx x+2 183 (c) dy 10 ; = dx x + Phương trình phân li biến số dy (a) + xy = dx (c) (e) (g) (d) (f) (l) dy = ( x + y + 3) dx Phương trình (a) 2xyy' = x2 + 2y2 (h) x2y' = xy + y2 (e) xy' = y + (g) y′ = x2 + y2 x + y −1 2x − y +1 Phương trình vi phân tuyến tính (a) y(0)=0 y '+ y = 2, (c) y '−2 xy = e x (e) y ' = (1 − y ) cos x, ( x + 4) y '+3 xy = x, y(0)=1 (i) ( x + ye y ) dy = dx x (i) x − 16 ‫ ݕ‬′ ൌ ሺ8‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 1ሻଶ (b) (d) x2y' = xy + x2ey/x xyy' = x2 + 3y2 (f) ‫ݕ‬′ ൌ (h) y′ = ଵିଷ௫ିଷ௬ ௫ା௬ାଵ − 3x − y x + y +1 (b) y '−2 y = 3e x , (d) xy '+5 y = x , y(2) = (f) y( π )=2 (g) y '+ y cot x = cos x dy = y (HD: Coi x hàm y) dx (h) (1 − xy ) (b) (d) (f) y2y' + 2xy3 = 6x x2y' + 2xy = 5y4 2xy' + y3e-2x = 2xy dy = (HD: Coi x hàm y) dx Phương trình Bernoulli (a) x2y' + 2xy = 5y3 (c) (e) xdy = 1− y2 dx y’ = + x + y + xy (HD: VP thành tích) ‫ݔ‬ሺ‫ ݕ‬െ 3ሻ݀‫ ݕ‬െ 4‫ ݔ݀ݕ‬ൌ (b) (x2 + 1)(tany)y’ = x x2y’ = – x2 + y2 – x2 y dy π x = cos y, y (4) = dx (c) dy = ; y(0) = dx 1− x2 (d) y(0) = y' = y + y3 xy' + 6y = 3xy4/3 C BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II Phương trình cấp hai giảm cấp (a) xy'' = y' (b) yy'' + (y')2 = (c) y'' + 4y = (d) xy'' + y' = 4x (e) y'' = (y')2 (f) x2y'' + 3xy' = (g) yy'' + (y')2 = yy' (h) y'' = (x + y')2 (i) (k) y3y'' = (l) y'' = 2yy' (m) yy'' = 3(y')2 y'' = 2y(y')3 Phương trình tuyến tính cấp với hệ số (a) y "− y '+ y = (b) y "+ y '− 15 y = (d) y "+ y ' = (e) y "− y '− y = 184 (c) y "+ y ' = (f) y "+ y '+ y = (g) y "+ y '+ y = (h) y "− 12 y '+ y = (i) y "− y '+ 13 y = (k) y "+ y '+ 25 y = (l) y "− y '+ 25 y = 0; y (0) = 3, y '(0) = Phương trình cấp hệ số với vế phải đặc biệt (a) ‫ ݕ‬ᇱᇱ െ 2‫ ݕ‬ᇱ െ 3‫ ݕ‬ൌ 6; (b) y′′ + 16 y = e3 x ‫ݕ‬ሺ0ሻ ൌ 3, ‫ ݕ‬ᇱ ሺ0ሻ ൌ 11 (c) y ′′ − y ′ − y = x + (e) y′′ + y′ + y = 3xe x (d) y ′′ − y ′ − y = 2sin x (g) y′′ + y′ + y = x (f) y′′ + y′ + y = sin x (i) y′′ + y = cos x + 3sin x y′′ + y′ + y = e x ; y ( ) = 0, y′ ( ) = (h) y′′ + y′ − y = + xe x (m) y′′ + y = sin x; y ( ) = 0, y′ ( ) = (k) y ′′ + y = sin x + x cos x (l) Sử dụng phương pháp biến thiên số x (a) y′′ + y′ + y = 4e −2 x (b) y′′ − y′ − y = 3e 2x (c) y′′ − y′ + y = 2e (d) y ′′ + y = cos x (e) y ′′ + y = sin x (f) y′′ + y = sin x x (g) y′′ − y = xe $7 CHUỖI SỐ, CHUỖI HÀM CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI (1) Nếu chuỗi có dạng ∑ 1/݊௣ , p – chuỗi, p > hội tụ cịn p ≤ phân kỳ (2) Nếu chuỗi có dạng ∑ ܽ‫ ݎ‬௡ ∑ ܽ‫ ݎ‬௡ିଵ , chuỗi hình học, | r | < hội tụ , ngược lại phân kỳ Đôi ta phải biến đổi để đưa hai dạng (3) Nếu chuỗi có dạng tương tự hai dạng trên, dùng dấu hiệu so sánh ାஶ (4) Nếu ܽ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ, với ‫׬‬௔ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬hội tụ, dùng dấu hiệu tích phân Nếu thấy lim௡՜ାஶ ܽ௡ ് 0, chuỗi phân kỳ (5) A BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ DƯƠNG Nói ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ ൌ 5, có nghĩa gì? ௡ିଵ ஶ (a) Biết tổng riêng thứ n chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ ‫ݏ‬௡ ൌ ௡ାଵ Hãy tìm ܽ௡ tìm ∑௡ୀଵ ܽ௡ ஶ ି௡ (b) Biết tổng riêng thứ n chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ ‫ݏ‬௡ ൌ െ ݊2 Hãy tìm ܽ௡ tìm ∑௡ୀଵ ܽ௡ Dùng định nghĩa để xét tính hội tụ phân kỳ chuỗi sau ஶ ஶ ஶ 1 ሺܿሻ ෍ ଶ௡ ሺܽሻ ෍ ሺܾሻ ෍ ଶ ݁ ݊ሺ݊ ൅ 2ሻ 4݊ െ ሺ݀ሻ ௡ୀଵ ஶ ෍ ௡ୀଵ ݊ଶ ൅ 3݊ ൅ ሺ݊ଶ ൅ ݊ሻଶ ௡ୀଵ ௡ୀଵ 185 Tính tổng chuỗi sau 27 ሺܽሻ െ ൅ െ ൅‫ڮ‬ ஶ ሺ݀ ሻ ෍ ௡ୀଵ ൅2 6௡ ௡ ௡ ஶ ሺെ3ሻ௡ିଵ ෍ 4௡ ሺܾሻ ሺܿሻ ௡ୀଵ ஶ ሺ݁ሻ ஶ ෍ሾ2ሺ0,1ሻ௡ ൅ ሺ0,2ሻ௡ ሿ ෍൬ ௡ୀଵ 2௡ିଵ ൅ 3௡ିଵ ൰ ௡ୀଵ Hãy xác định xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ, hội tụ tính tổng ஶ 16 32 ሺܽሻ ൅ ൅ ൅ ൅‫ڮ‬ ሺܾሻ ෍ 3ି௡ 8௡ାଵ 25 125 ሺܿሻ ஶ ෍ ௡ୀ଴ ஶ ሺ݂ ሻ ෍ ௡ୀଵ 5௡ ௡ାଵ ሺ݀ሻ ൅ 2ି௡ ஶ ෍ ௡ୀଵ ஶ ݊ 3ሺ݊ ൅ 1ሻሺ݊ ൅ 2ሻ ଶ ሺ݃ሻ ෍ arctan ݊ ሺ݁ሻ ௡ୀଵ ஶ ෍ ௡ୀଵ ݊ √݊ଶ ൅ ௡ୀଵ ത ൌ 0,5555 … ሺܾሻ 0, 15 തതതത ൌ 0,151515 … Hãy biểu diễn số sau dạng phân số ሺܽሻ 0, Hãy tìm x cho chuỗi sau hội tụ Hãy tìm tổng với x tìm ஶ ஶ ஶ ௡ ௡ ௡ ሺܿሻ ෍ ௡ ሺܽሻ ෍ ሺ‫ ݔ‬െ 3ሻ ሺܾሻ ෍ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ௡ୀ଴ ௡ୀ଴ Dùng dấu hiệu tích phân để xét hội tụ chuỗi sau: ஶ ஶ ሺܽሻ ෍ ൬ ൅ ଷ൰ ݊ √݊ ݊ ௡ୀଵ ஶ ሺ݀ ሻ ෍ ݊݁ ି௡ ௡ୀଵ ሺܾሻ ෍ ଶ ݊ ൅1 ௡ୀଵ ஶ ሺ݁ሻ ෍ మ sinሺ݊ሻ ሺ݃ሻ ෍ ݊ଶ ௡ୀଵ ஶ ஶ ௡ୀଵ ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ ∑ஶ ௡ୀଵ ܾ௡ ሺ݇ ሻ ෍ ௡ୀଵ ln ݊ ݊ଶ arctan ݊ ൅ ݊ଶ ௡ୀ଴ ஶ ሺܿሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ሺ݂ ሻ ෍ ݊ଶ ௡ୀଵ ݊ ൅1 ݊ ln ݊ Giả sử chuỗi với số hạng dương ta biết chuỗi ஶ ∑௡ୀଵ ܾ௡ hội tụ (a) Nếu ܽ௡ ൐ ܾ௡ với n, ta kết luận chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ hay không? Tại sao? (b) Nếu ܽ௡ ൏ ܾ௡ với n, ta kết luận chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ hay không? Tại sao? ஶ ஶ 10 Giả sử ∑௡ୀଵ ܽ௡ ∑௡ୀଵ ܾ௡ chuỗi với số hạng dương ta biết chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܾ௡ phân kỳ (a) Nếu ܽ௡ ൐ ܾ௡ với n, ta kết luận chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ hay không? Tại sao? (b) Nếu ܽ௡ ൏ ܾ௡ với n, ta kết luận chuỗi ∑ஶ ௡ୀଵ ܽ௡ hay khơng? Tại sao? ஶ ஶ ௕ ௡ 11 Cho hai chuỗi ∑௡ୀଵ ݊ ∑௡ୀଵ ܾ Tên gọi chuỗi thứ gì? Tên gọi cho chuỗi thứ hai gì? Với giá trị b chuỗi thứ hội tụ? Với giá trị b chuỗi thứ hai hội tụ? 12 Xét tính hội tụ chuỗi sau: ஶ ሺܽሻ ෍ ௡ୀଶ ஶ ሺ݀ ሻ ෍ ௡ୀଵ √݊ െ 1൅5 4௡ ௡ ሺܾሻ ஶ ෍ ଷ ݊ ൅ ݊ଶ ௡ୀଵ ஶ ሺ݁ሻ ෍ ௡ୀଵ ‫݊ ݊݅ݏ‬ ଶ ݊ √݊ 186 ஶ ሺܿሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ሺ݂ሻ ෍ ௡ୀଵ 4௡ ൅5 ݊ሺ݊ ൅ 3ሻ ஶ ஶ 2௡ ൅ ሺ݃ሻ ෍ ௡ ൅1 ሺ݇ሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ൅ √݊ ௡ୀଵ ஶ ሺ݊ሻ ෍ sin ൬ ൰ ݊ ஶ ݊ െ 3݊ ሺ݈ሻ ෍ య √݊ଵ଴ െ 4݊ଶ ௡ୀଵ ௡ୀଵ ଶ ݊ଶ െ ሺ݉ሻ ෍ ௡ୀଷ CÁC LƯU Ý KHI KIỂM TRA TÍNH HỘI TỤ CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU (1) (2) (3) (4) Nếu chuỗi có dạng ∑ሺെ1ሻ௡ ܽ௡ ∑ሺെ1ሻ௡ିଵ ܽ௡ , dùng dấu hiệu chuỗi đan dấu Chuỗi mà số hạng với dấu khơng có quy luật, dùng tính hội tụ tuyệt đối Chuỗi mà số hạng tổng qt có liên quan đến tỷ lệ tích, thường sử dụng dấu hiệu thương Chuỗi có số hạng tổng quát có dạng ሺܽ௡ ሻ௡ , thường dùng dấu hiệu thức B BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ ĐAN DẤU Với giá trị p chuỗi sau hội tụ ஶ ෍ ௡ୀଵ ሺെ1ሻ௡ିଵ ݊௣ Bạn kết luận tính hội tụ chuỗi ∑ஶ ୬ୀଵ ܽ୬ trường hợp sau đây? ܽ௡ାଵ ܽ௡ାଵ ሺܾሻ lim ฬ lim ฬ ฬൌ8 ฬ ൌ 0,8 ௡՜ஶ ܽ௡ ௡՜ஶ ܽ௡ Kiểm tra xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ 3 3 ሺܽሻ െ ൅ െ ൅ െ‫ڮ‬ ሺaሻ ሺܾሻ 1 1 െ ൅ െ ൅ െ‫ڮ‬ ln ln ln ln ln ஶ ሺ݁ሻ ෍ሺെ1ሻ௡ ௡ୀଵ ݊ ଶ ݊ ൅1 ሺ݂ሻ ஶ ෍ሺെ1ሻ௡ିଵ ௡ୀଵ Chuỗi sau có hội tụ tuyệt đối hay khơng? ஶ ஶ ሺെ3ሻ௡ ሺെ3ሻ௡ ሺ ሻ ሺܽሻ ෍ ܾ ෍ ݊ଷ ݊! ௡ୀଵ ஶ ሺ݀ሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ሺ݃ሻ ෍ ሺെ1ሻ௡ିଵ ௡ୀଵ √݊ ݊൅1 ሺ݊ ൅ 2ሻሺ5ሻ௡ ݊3ଶ௡ ௡ୀଵ ஶ sin 2݊ ሺ݁ሻ ෍ ݊ଶ ௡ୀଵ ݊ߨ ஶ cos ቀ ቁ ሺ݄ሻ ෍ ݊√݊ ௡ୀଵ Xét tính hội tụ chuỗi sau ஶ ሺെ10ሻ௡ ሺܽሻ ෍ ሺܾሻ ݊! ௡ୀ଴ ஶ ݊൅1 ሺ݀ሻ ෍ ൬ ଶ ൰ 2݊ ൅ ௡ୀଵ ௡ ln ݊ ݊ ሺ݁ሻ ஶ ሺെ1ሻ௡ିଵ 2௡ ෍ ݊ସ ௡ୀଶ ஶ ݊ ෍ ሺln ݊ሻ௡ ௡ୀଶ 187 lim ฬ ሺܿሻ ሺܿሻ ሺ݀ሻ ሺ݃ሻ ௡՜ஶ ஶ ܽ௡ାଵ ฬൌ1 ܽ௡ ෍ሺെ1ሻ௡ାଵ ௡ୀଵ ஶ ෍ ሺെ1ሻ௡ ௡ୀଵ ஶ ݊ 5݊ ൅ ݊ଶ ݊ଶ ൅ cos ݊ߨ ෍ ଷ ݊ସ ௡ୀଶ ஶ ሺെ1ሻ௡ାଵ 2݊ ൅ ሺܿሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ሺെ1ሻ௡ାଵ 5௡ିଵ ሺ݂ሻ ෍ ሺ݊ ൅ 1ሻଶ 4௡ାଶ ௡ୀଵ ஶ ሺ݅ ሻ ෍ ௡ୀଵ ሺܿሻ ሺ݂ሻ ஶ ෍ ሺ݊ ൅ 2ሻ! 10௡ ݊! ௡ୀଵ ஶ ሺെ1ሻ௡ାଵ ݊ଶ 2௡ ݊! ሺെ2ሻ௡ ෍ ݊௡ ௡ୀଵ C BÀI TẬP VỀ CHUỖI LŨY THỪA (a) Thế bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm nó? (b) Thế khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa? Hãy nêu cách tìm? ௡ Nếu ∑ஶ ௡ୀ଴ ܿ௡ chuỗi hội tụ, chuỗi sau có hội tụ không? ஶ ሺܽሻ ෍ ܿ௡ ሺെ2ሻ ௡ୀ଴ ஶ ሺܾሻ ௡ ෍ ܿ௡ ሺെ4ሻ௡ ௡ୀ଴ ௡ Giả sử chuỗi ∑ஶ ௡ୀ଴ ܿ௡ ‫ ݔ‬hội tụ x = -4 phân kỳ x = Ta nói hội tụ chuỗi sau đây? ஶ ஶ ሺܽሻ ෍ ܿ௡ ஶ ሺܾሻ ෍ ܿ௡ ௡ୀ଴ ሺܿሻ ෍ ܿ௡ ሺെ3 ௡ ௡ୀ଴ ሻ௡ ௡ୀ଴ Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi sau ஶ ஶ ‫ݔ‬௡ ܽሻ ෍ ݊൅2 ௡ୀ଴ ஶ ݁ሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ݅ሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ܾሻ ෍ ሺെ1ሻ௡ ௡ 22௡ ‫ݔ‬ ሺെ1ሻ ሺ‫ ݔ‬െ 1ሻ ௡ √݊ ௡ ݉ሻ ෍ ݊! ሺ2‫ ݔ‬െ 1ሻ௡ ௡ୀଵ ݂ሻ ௡ୀଵ ஶ √݊ ௡ୀ଴ ஶ ௡ୀଵ ஶ ݊ ‫ݔ‬ 10௡ ሺ‫ ݔ‬െ ݊5௡ ݊ሻ ෍ ௡ୀଵ ௡ୀ଴ ஶ ଶ ௡ ݃ሻ ෍ ݊ ሺ2‫ ݔ‬െ 1ሻ௡ 4௡ ௡ୀ଴ ஶ ௡ ሻ௡ ݇ሻ ෍ ௡ୀ଴ ݊‫ݔ‬ · · · ‫ ڮ‬ሺ2݊ െ 1ሻ ௡ ሺ݀ሻ ෍ ሺെ1ሻ௡ ܿ௡ 9௡ ௡ୀ଴ ஶ ‫ݔ‬௡ ܿሻ ෍ ݊! య ෍ ݆ሻ ෍ ஶ ሺെ1ሻ௡ ‫ ݔ‬௡ ஶ ሻ௡ ሺ‫ ݔ‬െ ݊൅3 ݀ሻ ෍ ‫ݔ‬௡ ݊ଶ ௡ୀଵ ஶ ݄ሻ ෍ ௡ୀଵ ஶ ݈ሻ ෍ ௡ୀଵ ሺെ1ሻ௡ ‫ ݔ‬ଶ௡ିଵ ሺ2݊ െ 1ሻ! ሺ‫ ݔ‬൅ 1ሻ௡ ݊ሺ݊ ൅ 1ሻ Hãy biểu diễn hàm sau thành chuỗi lũy thừa tìm khoảng hội tụ ‫ݔ‬ 1 ܾሻ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ܽሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݀ሻ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ସ ଶ െ ‫ݔ‬ 1൅‫ݔ‬ ൅ 4‫ݔ‬ ‫ ݔ‬൅ 16 Hãy biểu diễn hàm sau thành chuỗi lũy thừa tìm bán kính hội tụ 1 ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܽሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿሻ ݂ ଶ ܾሻ ݂ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ ln ‫ݔ‬ ሺ1 ൅ ‫ ݔ‬ሻ ሺ1 ൅ ‫ ݔ‬ሻଷ Tính tích phân khơng xác định sau theo chuỗi lũy thừa ‫ݔ‬ arctan ‫ݔ‬ න ܾሻ න ݀‫ݔ‬ ܿሻ ݀‫ݔ‬ ݀ሻ න tanିଵ ሺ‫ ݔ‬ଶ ሻ݀‫ݔ‬ ܽሻ න ݀‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ହ ‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ସ sin ‫ݔ‬ య ݃ሻ න ඥ‫ ݔ‬ଷ ൅ 1݀‫ݔ‬ ݄ሻ න ݁ ௫ ݀‫ݔ‬ ݂ሻ න ݀‫ݔ‬ ݁ሻ න sinሺ‫ ݔ‬ଶ ሻ ݀‫ݔ‬ ‫ݔ‬ Sử dụng chuỗi lũy thừa để xấp xỉ tích phân xác định, lấy số hạng đầu khai triển ሺܽሻ න ଴,ଶ ଴ ݀‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ସ ሺܾሻ න ଵ/ଶ ଴ tanିଵ ሺ‫ ݔ‬ଶ ሻ݀‫ ݔ‬ሺܿሻ න ଵ/ଷ ଴ ‫ ݔ‬ଶ tanିଵ ሺ‫ ݔ‬ସ ሻ݀‫ݔ‬ ሺ݀ሻ න ଵ/ଶ ଴ ݀‫ݔ‬ ൅ ‫଺ݔ‬ Sử dụng chuỗi Maclaurin nhận mục để tìm chuỗi Maclaurin biểu diễn cho hàm cho ሺܾሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ sin 2‫ݔ‬ ሺܽሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ ଷ௫ ሺܿሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ cos ‫ ݔ‬ሺ݀ሻ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ cosሺ‫ ݔ‬ଷ ሻ 10 Sử dụng chuỗi để tính giới hạn ሺܽሻ ‫ ݔ‬െ tanିଵ ‫ݔ‬ ௫՜଴ ‫ݔ‬ଷ lim ሺܾሻ െ cos ‫ݔ‬ ௫՜଴ ൅ ‫ ݔ‬െ ݁ ௫ lim tan ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬ sin ‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬ଷ ሺ݀ሻ lim ௫՜଴ ‫ݔ‬ଷ ሺܿሻ lim ௫՜଴ ‫ݔ‬ହ 188 ... (Tích phân bất định) + Các định lý + Cách tìm nguyên hàm số lớp hàm 14 + Khái niệm tích phân xác định + Một số định lý tích phân xác định + Cách tính 15 + Tích phân suy rộng với cận vơ hạn + Tích. .. Hick Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng Tích phân hai lớp phương trình vi phân Chuỗi số, chuỗi hàm CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MƠN HỌC Mơn học: TỐN I - II (Giải tích, dành cho kinh... biến ứng dụng kinh tế Câu (2 điểm) Tính tích phân + Tích phân lớp + Tích phân lớp Câu (2 điểm) Phương trình vi phân + Giải phương trình vi phân cấp + Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp