Dùng bªn ngoµi tam gi¸c nh÷ng h×nh vu«ng ABEF vµ ACGH.[r]
(1)Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy đa việc chứng minh ba điểm thẳng hàng ngợc lại.
Bµi tËp1:
Cho ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB, cho EF//BC MB = MC Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét:
AF BF =
AK KM ;
CE AE=
KM
AK ; vµ BM CM=1
Suy AF
BF BM CM
CE AE =
áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy
C¸ch 2: (chøng minh thẳng hàng)
T A k ng thng // BC cắt BE N, AM BE = I Ta có AF
BF = AN BC ;
BC
MC =2; MI AI =
BM AN
Suy AF
BF BC MC
MI AI =
AN BC
BM AN =1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABM F,I,C thẳng hàng Từ suy CF, BE , AM đồng quy
Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB lần lợt D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
AF BF
BD CD
CE AE =
AE BD
BD CE
CE AE =1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AD, BE, CF đồng quy
C¸ch 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF N AD CF = I Ta cã :
AE CE
CB DB
DI AI =
AF CD
CB BF
CD AN =
AF BF
CB AN =
AN CB
CB
AN =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ACD AD, BE, CF đồng quy
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy) Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD M N
Vì HA phân giác góc A, HA đờng cao nên AM = AN
A F
M
B C
K E
E A
F
M
B C
N
I
B C
F
A
E
D
B C
F
A
E
D I N
A
B C
D
M N
(2)Cã: AD
BD= MA BH ;
CE AE=
CH
AN
AD BD
BH CH
CE AE=
MA BH
BH CH
CH AN=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AH, BE, CD đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt M, N, K Gọi AH BE = I
Ta cã: AD
BD = MA BH =
AN BH vµ
HI AI=
BH AK
AD
BD
BH CH
HI AI =
AN BH
BC HC
BH AK =
AN HC
BC AK =
AE CE
CE AE =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ABH D,I,C thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy
Bài tập 4:Cho ABC vuông A, đờng cao AK Dựng bên ngồi tam giác hình vng ABEF ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi D = AB CE, I = AC BG Đặt AB = c, AC = b
Cã c2 = BK.BC; b2 = CK.BC BK CK =
c2 b2
vµ AD
BD =
b c ;
CI AI =
b
c (do AIB CIG)
AD
BD BK CK
CI AI =
b
c
c2 b2
b
c =1
áp dụng định lý Ceva cho ABC AK, BG, CE đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BG M AK BG O
Ta cã AD
BD =
b c ;
KO AO =
BK AM
suy AD
BD BC CK
KO AO =
b
c
BC CK
BK AM =
b
c
BC AM
BK CK =
b
c
CI AI
c2
b2 =
b
c
b c
c2
b2 =1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABK D, O, C thẳng hàng Vậy AK, BG, CE đồng quy
B H
A
B C
D
M N
H E
K
I
H
A
B
G
E
C K
D
I F
H
A
B
G
E
C K
D
I F