néi dung s¸ng kiõn kinh nghiöm 2 néi dung bµi to¸n 1 týnh s ph©n tých t×m lêi gi¶i nõu ta quy ®ång mêu sè ®ó thùc hiön phðp týnh th× mêt nhiòu thêi gian ta nhën thêy c¸c méu sè cã týnh chêt ®æc biö

[r]

2-nội dung

*Bài Toán 1: Tính S =

1 1

1.2 2.3  7.8 8.9

- Ph©n tích tìm lời giải:

Nu ta quy ng mấu số để thực phép tính nhiều thời gian.Ta nhận thấy mẫu số có tính chất đặc biệt với tính chất ta phân tích phân số thành hiệu hai phân số đơn giản

1 1

( 1)

n n  n n

Khi phân số đối bị triệt tiêu lại S = -

1 9

*Lời giải: Từ cách phân tích ta có lời giải sau: Ta có:

1 1 1 1

1 ; ; ;

1.2 2.3 9

1 1 1 1 1

1.2 2.3 7.8 8.9 2 9

S

     



           

+ Khai thác toán:

1- Mở rộng tổng S tíi tỉng cã n sè h¹ng: Sn =

1 1

1.2 2.3 ( 1) 1

n

n n n n

     

   ( ) - Lêi gi¶i 1:

Sn=

1 1 1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 2 1

n

n n n n n n

            

 

- Lời giải 2: Giải phơng pháp quy nạp toán học: - Đẳng thức (1).Đúng với n = V× Sn =

1

- Giả sử đẳng thức (1) với n = k Tức là: Sk =

1 1

( )

1.2 2.3 ( 1)

k

k N

k k k

    

 

Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với n=k +1 tức : Sk+1 =

1

k k

  ThËt vËy: Sk+1= Sk +

2

1 1

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

k k k k

k k k k k k k k

  

   

        .

Vậy đẳng thức (1) với số tự nhiên n ≥ 2- Gii bi toỏn tng t

*Bài toán 1.1: Thực phép tính cách hợp lý

S =

1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12 2      

Giải: Từ lời giải to¸n (1) ta cã : S =

1 1 1 1 1

( )

=

1 1 1 1 1 1 79

( ) (1 )

90 9.8 8.7 7.6 6.5 5.4 4.3 3.2 2.1 90 90 90



             

VËy S =

79 90



*Bài toán 1.2: Tính tổng S =

1 1

1.3 3.5  15.17 17.19

Gi¶i: Ta cã: 2S =

2 2 1 1 1 18

1

1.3 3.5  15.17 17.19   3 5   17 19   19 19

2S =

18

19  S = 19.

*Bài toán mở rộng:

-Bi toỏn 1.3: Chng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên

1 1

( 1)

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n n n

    

  

Gi¶i:

NhËn xÐt:

1

2n1 2 n1 (2 n1)(2n1)

Đặt

1 1

1.3 3.5  (2n1)(2n1) s

Ta cã : 2S =

2 2 1 1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 3 (2 1) 2

n

n n n n n n

            

     

2S =

2

n

n = > S = 2

n n .

-Bài toán 1.4: Tính tổng hợp lý: S =

3 3

1.3 3.5  49.51.

Gi¶i: Ta cã : S =

1 1

3( )

1.3 3.5  49.51

3 1 1

(1 )

2 3 49 51

      

=

3 50 25

(1 )

2  51 2 51 17 .

VËy =

25 17.

-Bài toán 1.5: Tính nhanh S =

25 25 25

1.6 6.11  41.46.

Ta cã: S =

5 5

( )

1.6 6.11  41.46 =

1 1 1

5(1 )

6 11 41 46

      

=

1 45 225

5.(1 )

46 46 46

  

VËy S =

225 46

Từ ta đến toỏn sau:

* Bài toán 1.6: Tính tổng 100 số hạng dÃy sau:

1 1

; ; ; 66 176 336

Gi¶i:

Tríc hÕt ta viết hết mẫu 6; 66; 176; 336Dới dạng 1.6; 6.11; 11.16; 16.21… sè h¹ng thø n cđa d·y cã d¹ng ( 5n - ) ( 5n + ) cÇn tÝnh tỉng:

S =

1 1

1.6 6.11 11.16   496.501

NhËn xÐt:

1-1 1

;

6 1.6 11 6.11  

Tỉng qu¸t:

1

5n 5 n1 (5 n 4)(5n1)

Do đó: 5S = -

1 1 1 500

6 11   496 501   501 501

5S =

500 100

501 S 501

Từ tiếp tục đề xuất giải đợc tốn khác *Bài tốn 1.7: Tính tổng

S1 =

1 1

1.5 5.9  (4n 3)(4n1) ( n1)

S2 =

1 1

4.5 5.6  (n3)(n4) ( n1)

S3 =

7 7

1.8 8.15  (7n 6)(7n1) 7 n1 ( n1) Gi¶i:

Ta cã:

4S1 =

4 4

1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4

n

n n n n

     

   

4S1 =

1

4

4

n n

s

n   n

S2 =

1 1 1

4.5 5.6 ( 3)( 4) 4 4( 1)

n

n n n n

     

S3 =

7 7 1 1 1

1.8 8.15  (7n 6)(7n1) 7 n1  8 15   7n 7 n1 7 n1

3- Mở rộng toán:

P =   

1

( ) ( )( ) ( 1) ( )

a b b nb

a a b  a b a  b   a n b a nb  a a nb a a nb

4- Giải toán t ơng tự khác:

*Bi toán 1.8: Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên

1 1 ( 1)( 2)

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n n n n

 

   

   ( n2)

Ta cần phântích phân số vế trái thành hiệu phân số để làm xuất biểu thức số hạng đối hiệu phân số nào?Ta xét hiệu

1 1

;

1.2 1.3 2.3 3.4 

Tỉng qu¸t:

1

(n1)n n n ( 1)

Gọi vế trái đẳng thức phải chứng minh S Do:

1

(n1)n n n ( 1)(n1)(n1)n

Nªn

2

2 2 1 1 1 1

2

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1) 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 2)

2 ( 1) ( 1)

S

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n

            

    

   

 

 

2S =

( 1)( 2) ( 1)( 2)

( 1)2 ( 1)

n n n n

S

n n n n

   

 

 

Tiếp theo ta đến toán sau:

Bài toán 1.9: Chứng minh đẳng thức với n số tự nhiên. S =

1 1

( 2)

1.2.3.4 2.3.4.5  (n1) (n n1)(n2) n

Ta nhËn xÐt:

1

1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 

1

2.3.4 3.4.5 2.3.4.5

Tỉng qu¸t:

1

(n1) (n n1) n n( 1)(n2)(n1) (n n1)(n2)

3 3

3

1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1) ( 1)( 2)

1 1 1

1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1) (( 1) ( 1)( 2)

1 ( 1)( 2)

1.2.3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

S

n n n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

   

  

      

   

  

  

   

Ta cã:

( 1)( 2) ( 1)( 2)

3

6 ( 1)( 2) 18 ( 1)( 2)

n n n n n n

S S

n n n n n n

     

  

   

Bài toán 10: Chứng minh rằng. 2 2

1 1

( 2)

2

A n

n

     

C¸ch 1:

§Ĩ chøng minh A < ta xÐt mét biÓu thøc trung gian B cho: A < B < vµ biĨu thøc B cã thĨ rót gän dƠ dµng.Ta thÊy:

2

1 1 1

; ;

2 1.2 2.3   n (n1)n

Do đó:

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1

2 1.2 2.3 ( 1) 2

n A

n n n n n n n



                    

 

VËy: A <

C¸ch 2: Chän biĨu thøc trung gian. 2 2

1 1

2 1

B

n

    

    th× A < B

Cßn B

1 1 1 1 1 1

(1 )

1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1) 1

1 1 1

(1 )

2

1 1 1

(1 )

2 2

n n n n

n n

n n

            

   

       

 

     

 VËy:

3

A

Từ toán ta có toán sau

Chøng minh r»ng: 2 2

1 1 1

2 4 6  (2 ) 2n  n2

Giải: Nếu chọn biểu thức trung gian là:

1 1

1.2 3.4 (2 1)2

B

n n

   

 rót gän khã

Cách 1: Ta đặt 2 2

1 1

2 (2 )

A

n

    

Cho biÓu thøc trung gian

2 2

1 1

2 (2 )

B

n

    

Ta thÊy A < B cßn:

1 1

1.3 1.5 5.7 (2 1)(2 1)

1 1 1 1

(1 (1 )

2 3 2 2

B

n n

n B

n n n n

    

 

         

   

VËy:

1

2 2

n n

A

n n

  

 C¸ch 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

(1 )

2 2 2 2

A

n n n n n

           

Theo 1.10:Ta có,thì 2

1 1

2 3  n 

Do đó:

1

(1 1)

4

A

Có thể giải toán 1.9;Bài 1.10 phơng pháp quy nạp toán học Bài to¸n 1.11: Chøng minh r»ng.

1 1

2! 3! 4! 100!

A      

Ta cã:

1 1 1 1 1

; ;

2! 1.2 3! 2.3 4! 1.2.3.4 3.4 100! 1.2.3.100     99.100

VËy

1 1 1 1 1 1 1 1

2! 1! 4! 100! 1.2 2.3 99.100 2 3 4 99 100 99

1

100 100

                 

  

Bài toán mở rộng: Chứng minh rằng

1

1 1

2! 3! !

A

n

    

Ta cã:

1

1 1 1 1

1

2! 3! ! 1.2 2.3 ( 1) 1

n A

n n n n n

           

  

VËy: A <

Bài toán1.12: Chứng minh rằng

1 99

2! 3! 4!   100!

Ta cã:

1 99 100 1 1 1 1

2! 3! 4! 100! 2! 3! 100! 1! 2! 2! 3! 3! 99! 100!

1

100!

  

               

V©y:

1 99

2! 3! 4!   100!

Bµi to¸n1.13: Chøng minh r»ng

2 2 2 2

3 19

1 2 3  9 10 

Gi¶i: Ta cã:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 210

3 19 10

1

1 2 3 10 2 3 10 10

   

           

VËy: 2 2 2

3 19

1 2 3  9 10 

3- Bµi häc kinh nghiƯm 4- kÕt ln

Đổi phơng thức dạy học để không ngừng nâng cao hiệu suất lên lớp,phát lực trí tuệ học sinh việc làm có tính thờng xuyên.Đặc biệt năm học ngành giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào nhà trờng.Địi hỏi thầy giáo phải thành thạo cơng nghệ thông tin để giảng dạy cho em học sinh

Muốn nhà trờng cần phải có ngời nhạy bén,sáng tạo ln ln chủ động tìm mới.Đó đẹp,sức hấp dẫn toán học.Chỉ với toán chịu khó tìm tịi,suy nghĩ ta đề xuất đợc toán thú vị,thiết lập đợc mối liên hệ toán.Kết tất yếu q trình tìm tịi,suy nghĩ tốn làm tăng lực giải toán bạn chắn cịn nhiều thú vị xung quanh tốn1.Các bạn tiếp tục suy nghĩ

Mặc dù có nhiều cố gắng,giành nhiều thời gian nghiên cứu,tìm tòi,sáng tạo kiến thức ngời viết có hạn ,nội dung tập mênh mông.Chắc chắn cßn cã nhiỊu khiÕm khut

Trên số kinh nghiệm nhỏ công tác dạy học mơn Tốn.Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đọc xem xét góp ý bổ sung cho để kinh nghiệm nhỏ tơi đợc đầy đủ hồn chỉnh