Ta quy öôùc soá ño cung löôïng giaùc laø soá ño goùc löôïng giaùc töông öùng Chuù yù : Vôùi 2 ñieåm A, B treân ñöôøng troøn ñònh höôùng thì coù voâ soá cung.. löôïng giaùc nhaän A la[r]
(1)Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁCChương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Chương I : HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC
• Bài : Góc cung lượng giác • Bài : Các hàm số lượng giác
• Bài : Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác • Bài : Công thức lượng giác
Kiến thức
• Đơn vị đo góc Radian , độ dài cung trịn • Mở rộng khái niệm góc , Góc cung lượng giác
• Định nghĩa hàm số lượng giác , trục Sin , Cosin , Tang , Cotang • Các hệ thức lượng giác , cung liên kết
• Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác • Các cơng thức lượng giác : cộng , nhân , biến đổi
Kỹ
• Biểu diễn điểm cuối cung lượng giác đường trịn lượng giác • Giá trị hàm số lượng giác goc đặc biệt
• Xác định dấu hàm số lượng giác , biết điểm cuối cung lượng
giác
• Vận dụng hệ thức , cung liên kết tốn có liên
quan
• Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số lượng giác
• Vận dụng cơng thức lương giác toán : Chứng minh
(2)Bài : GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Mục đích u cầu
• Đơn vị đo góc Radian _ Độ dài cung trịn
• Mở rộng khái niệm góc _ Góc , cung lượng giác
• Biểu diễn điểm cuối cung lượng giác • Đổi đơn vị đo góc
Giáo viên hướng dẫn : - Nhắc lại đơn vị phút , giây - độ = 60/ (phút ) ; phút = 60// - Số đo cung trịn ?
- Tìm cơng thức đổi đơn vị độ sang đơn vị radian ?
- Đổi số góc đặc biệt : 0o ; 30o ; 45o ; 60o sang đơn vị radian
- Tìm cơng thức tính độ dài cung trịn ( Cho ví dụ tính , ý đơn vị góc)
- Một điểm M vành bánh xe , bánh xe quay vòng , 4/3 vòng điểm M vị trí , có không ? Sự cần thiết phải định hướng quay ?
O R A M l=Rα
O x
(3)I Đơn vị đo góc cung : 1.Độ :
Nhắc lại đơn vị độ , đơn vị nhỏ : phút , giây
Số đo cung tròn số đo góc tâm chắn cung trịn Như : Cung phần tư
đường trịn có số đo 90o , cung nửa đường trịn có số đo 180o Radian :
Ta định nghóa đơn vị Radian sau :
Góc bẹt ( 180o ) có số đo
làπRadian Ta viết : 180o = π(rad)
Như : Nếu góc (cung) có số đo độ a , số đo radian α ta có :
α π
0 a =
0 180
Quy ước : Khi viết số đo góc (hay) cung theo đơn vị Radian ta không cần viết đơn vị
Bảng tương ứng số đo độ số đo radian Độ dài cung tròn :
Định lý : Trên đường trịn bán kính R , cung có số đo αradian có độ dài : l = Rα
Hệ :
1/ Nếu α= (rad) l = R Như : Cung có số đo radian cung có độ dài bán kính đường trịn mang cung 2/ Nếu R = l =α Như : Trên đường trịn có bán kính R = 1, độ dài cung trịn số đo radian biểu thị số thực
II Góc lượng giác :
Mở rộng khái niệm góc : Ở lớp , ta xét góc
và miền góc có số đo ao từ 0o đến 360o Tuy nhiên, thực tế cịn có góc lớn
hơn 360o Chẳng hạn : bán kính OM của bánh xe quay 4/3 vịng (ta nói quay 360o.4/3 = 480o ), vịng (ta nói quay 720o ) Mặt khác bán kính OM quay theo hai chiều khác
Ta quy ước : Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều quay ngược lại chiều âm
(4)- Oz quay từ Ox đến Oy theo chiều quay ? Quay tiếp không ?
- Có góc lượng giác nhân Ox tia đầu Oy tia cuối ?
- Mối quan hệ góc nhận Ox tia đầu Oy tia cuối ? - Công thức tổng qt góc
lượng giác ? Tính theo đơn vị ? Tính theo đơn vị radian ?
- Định hướng đường tròn , quy ước hướng dương
- Số đo cung lượng giác ?
- Cách biểu diễn điểm cuối cung lượng giác đường tròn lượng giác Quy tắc ?
- Cho công thức, xác định điểm cuối
- Cho điểm cuối, xác định công thức ?
Cho hai tia Ox , Oy mặt phẳng Xét tia Oz củng nằm mặt phẳng Nếu tia Oz quay quanh điểm O theo chiều định từ Ox đến Oy , ta nói quét góc lượng giác , ký hiệu (Ox,Oy) Ox tia ngọn, Oy tia gốc
Tia Oz quay từ Ox, đến Oy theo chiều dương chiều âm Ngồi Oz quay đến Oy lần thứ dừng lại hay quay tiếp vòng, hai vòng
Như : Với tia Ox, Oy cho trước, ta có vơ số góc lượng giác (Ox,Oy)
3 Số đo góc lượng giác :
Số đo góc lượng giác (Ox,Oy) ký hiệu sđ(Ox,Oy)
Gọi ao số đo góc quét Oz quay từ Ox đến Oy lần thứ (theo chiều dương) Thế 0o ≤ao <360o Nếu Oz tiếp tục quay (theo chiều dương hay âm) số đo góc (Ox,Oy) có dạng : ao + k.360o với k số ngun
Tóm lại : sđ(Ox,Oy) = ao + k.360o , k số nguyên
Nếu dùng đơn vị radian ta có : sđ(Ox, Oy)= α +k2π, k số nguyên III.Cung lượng giác :
1 Đường tròn định hướng : Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều di động chiều dương , chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều dương Trên đường tròn định hướng ta thường chọn điểm làm điểm gốc
Cung lương giác :
Cho góc lượng giác (Ox,Oy) đường trịn định hướng tâm O cắt Ox A Oy B Xét tia Oz cắt đường tròn M Khi quay Oz từ Ox đến Oy tạo thành góc lượng giác (Ox,Oy) điểm M di động từ A đến B tạo thành cung gọi cung lượng giác Ký hiệu AB A gọi điểm ngọn, B gọi điểm gốc
Góc lượng giác (Ox,Oy) cịn viết (OA,OB), gọi góc tương ứng với cung AB hay chắn cung AB
3 Số đo cung lượng giác :
Ta quy ước số đo cung lượng giác số đo góc lượng giác tương ứng Chú ý : Với điểm A, B đường trịn định hướng có vơ số cung
lượng giác nhận A điểm gốc, B điểm Nếu đường tròn định hướng có điểm A, , C ta có hệ thức Salơ :
IV Đường tròn lượng giác :
1 Định nghĩa : Đường tròn lượng giác đường trịn định hướng có bán kính đơn vị
Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác :
Trong mp(Oxy) đường tròn lượng giác tâm O cắt Ox A(1,0) Để biểu diễn cung lượng giác, Ta quy ước chọn điểm A làm gốc cho cung Cung lượng giác có số đo αđược xác định hệ thức sđ AM = x Như : muốn biểu diễn cung α đường tròn lượng giác, ta
(5)Phần bổ sung giáo viên
(6)Bài tập (Tiết – Tuần ; Tiết – Tuần 2)
(7)(8)Bài : CÁC HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục đích u cầu
• Các giá trị lượng giác cung , hệ
• Các hàm số lượng giác biến số thực , trục sin, cosin, tang, cotang • Các đẳng thức lượng giác
• Dấu giá trị lượng giác • Cung liên kết
Giáo viên hướng dẫn
_ Cosx = điểm cuối cung x điểm ?
_ Sinx = điểm cuối cung x điểm ?
_ Điều kiện xác định tgx ; cotgx
_ Các tính chất cosx, sinx , tgx , cotgx
I Các giá trị lượng giác cung x : Định nghĩa :
Xét đường tròn lượng giác tâm O hệ trục Oxy với điểm A(1,0) ; A/(-1,0) ; B(0,1) ; B/(0,-1)
Với số thực α, cung lượng giác có số đo α biểu diễn điểm M cho sđ AM = α
• Tung độ y điểm M gọi sin αvà ký hiệu sinα • Hồnh độ x điểm M gọi cosin αvà ký hiệu cosα
• Nếu cosx khác tỷ số sinx/cosx gọi tang củaαvà ký hiệu tgα
• Nếu sinx khác tỷ số cosx/sinx gọi cotang củaα ký hiệu cotgα
• Vậy : sin = y ; cos = x ; tg =α α α sinx ; cotg =α cosx
cosx sinx
• Các giá trị : sinα cosα, tgα, cotgαđược gọi giá trị lượng giác cung α
• Trục tung cịn gọi trục sin trục hồnh cịn gọi trục cosin Chú ý : Các giá trị lượng giác định nghĩa cho góc lượng
giác Khi x từ 0o đến 180o giá trị lượng giác x tỷ số lượng giác góc x lớp 10
2 Các hệ định nghóa :
1/ Với αthuộc R , sinα cosα xác định Ta cịn có :
α
α α
α α
sin( + k2 ) = sin ; cos( + k2 ) = cos ∀∀∀∀
ππππ
∈ ∈ ∈ ∈
ππππ R
2/ Vì -1≤OK nên ta có - 1≤ ≤sinα ≤1 Tương tự : -1≤cosα ≤1
3/ Tgα xaùc ñònh :α ≠ π+ πk ; k∈Z
4/ Cotgα xác định : α ≠ πk ; k∈Z
(9)
_ Miền xác định hàm số sinx, cosx, tgx, cotgx
_ Chứng minh giá trị tgx, tính tương tự cho cotgx
_ Nhận xét giá trị tang cung có điểm cuối đối xứng qua O Tương tự cho cotang Nhận xét ?
_ Nhắc lại hệ thức lớp 10 ?
_ Các điều kiện công thức ?
_ Ví dụ : Cho sin x = 3/5 x góc tù Tính cosx, tgx, cotgx _ Cho góc x khác
_ Cho điểm cuối cung x đường tròn lượng giác, xét dấu hàm số lượng giác
II Các hàm số lượng giác biến số thực :
Các định nghĩa giá trị lượng giác xác định hàm số lượng giác sau :
•Hàm số sin : Sin : R R x y = sinx
•Hàm số cosin : Cos : R R
x y = cosx
•Hàm số tang: tg : D1 R = ∈ ≠ π+ π ∈
1
D x R / x k , k Z
2
x y = tgx
•Hàm số cotang : cotg : D2 R D2 ={x∈R / x≠ πk , k∈Z}
x y = cotgx
III.Ý nghóa hình học tgx cotgx : 1/ Ý nghóa hình học cuûa tgx :
Từ A vẽ tiếp tuyến t/At với đường tròn lượng giác Ta xác định tiếp tuyến trục cách chọn gốc A véc tơ đơn vị OBuuur Cho cung lượng giác OM Gọi T giao điểm OM với trục t/At Ta có :
tgx= AT
Vậy : tgx biểu diễn độ dài đại số ATuuur trục t/At Trục gọi trục tang
2/ Ý nghóa hình học cotgx :
Vẽ tiếp tuyến s/Bs với đường tròn lượng giác 3/ Ghi : Từ ý nghĩa hình học tgx cotgx Ta có :
∀ ∈
tg(x + k ) = tgx
; k Z cotg(x + k ) = cotgx
ππππ ππππ
IV Các đẳng thức lượng giác :
Giữa giá trị lượng giác , ta có hệ thức sau : 1/ sin2x + cos2 x = 2/ tgx = sinx
cosx 3/ cotgx = cosx
sinx 4/ tgx.cotgx = 5/ + tg2x =
2
1
cos x 6/ 1+cotg 2x =
2
1 sin x V Dấu hàm số lượng giác :
Bảng tóm tắt dấu điểm cung x thuộc góc phần tư tương ứng
Góc phần tư
Hàm số lượng giác I II III IV
Cosx + - - +
Sinx + + - -
Tgx + - + -
(10)_ Định nghĩa cung liên kết _ Dùng đường tròn lượng giác
cho biệt mối liên quan hàm số lượng giác
_ Cho ví dụ
VI Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt : 1/ Cung đối :
2/ Cung buø : 3/ Cung phuï : 4/ Cung :
Phần bổ sung giáo viên
(11)(12)(13)
Bài : SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục đích yêu cầu
• Tính tuần hoàn chu kỳ hàm số lượng giác • Khảo sát hàm số lượng giác
Giáo viên hướng dẫn
_ Tính tuần hồn hàm số sinx _ Chứng minh chu kỳ hàm số sinx
_ Nếu có số T cho sin(x + T ) = sinx với số thực x , với x =90o Ta có sin( 90o+T) = sin90o =
Vaäy : 90o + T = 90o + k360o
_ Chứng minh tương tự cho hàm số lượng giác khác
_ M1(x1, f(x1)) thuộc (C1) , chứng minh M2(x2, f(x2)) thuộc (C2) với x2 = x1 + T f(x2) = f(x1) Suy cách tịnh tiến đồ thị
I Tính tuần hoàn hàm số lượng giác : 1/ Định nghĩa :
_ Một hàm số f(x) xác định tập D gọi tuần hoàn tồn số dương T cho với x thuộc D ta có :
x – T , x + T thuộc D f(x + T) = f(x)
_ Số nhỏ (nếu có) số T có tính chất gọi chu kỳ hàm số tuần hồn f(x)
2/ Tính tuần hoàn chu kỳ hàm số sinx cosx :
_ Xét hàm số y = sinx có tập xác định R với x thuộc R Ta có : x - 2π ∈R x + 2π ∈R (1)
sin(x+2π) = sinx (2)
Vậy hàm số sinx hàm số tuần hồn có chu kỳ T = 2π
_ Tương tự ta chứng minh hàm số y = cosx hàm số tuần hồn có chu kỳ T = 2π
3/ Tính tuần hồn hàm số tgx cotgx :
_ Xét hàm số y = tgx có miền xác định D = x R / x k , k Z
π
∈ ≠ + π ∈
Với x thuộc D , ta có x -π ∈R x + π ∈R tg(x+π) = tgx Vậy hàm số tgx hàm số tuần hồn có chu kỳ T = π
_ Tương tự ta chứng minh hàm số y = cotgx hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = π
4/ Đồ thị hàm số tuần hoàn :
_ Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định D hàm số tuần hồn có chu kỳ T
Xét đoạn X1 = [a, a+T] X2 = [a+T, a+2T] với a thuộc D Gọi (C1) (C2) phần đồ thị hàm số ứng với x
thuộc X1 x thuộc X2 ta có (C2) ảnh (C1) qua phép tịnh tiến theo véc tơ→v= (T, 0)
_ Vậy muốn vẽ đồ thị hàm số tuần hồn có chu kỳ T, ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn [a, a+T] thực phép tịnh tiến theo véc tơ →v , 2→v, , -→v, - 2→v, ta tồn đồ thị hàm số f(x)
II.Hàm số y = sinx : 1/ Tập xác định : D = R Tiết _ Tuần
(14)_ Miền xác định hàm số sinx
_ Tính tuần hồn , chu kỳ ? _ Nhắc lại hàm số lẻ ? Tính chất
đồ thị hàm số lẻ ?
_ Tính đơn điệu hàm số sinx ? Chứng minh dựa vào định nghĩa hàm sin ( đường tròn lượng giác)
_ Bảng giá trị hàm số ? _ Vẽ đồ thị hàm số
_ Tương tự cho hàm số lượng giác khác
2/ Tính đơn điệu : Vì hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π hàm số y = sin x hàm số lẻ nên ta cần Khảo sát hàm số đoạn [0,π]
Hàm số đồng biến khoảng (0, π/2) nghịch biến (π/2, π) 3/ Bảng biến thiên
4/ Đồ thị :
III.Hàm số y = cosx : 1/ Tập xác định : D = R
2/ Tính đơn điệu : Vì hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π hàm số y = cosx hàm số chẵn nên ta cần Khảo sát hàm số đoạn [0,π]
Hàm số nghịch biến khoảng (0, π) 3/ Bảng biến thiên
4/ Đồ thị :
III Hàm số y = tgx vaø y = cotgx :
_ Xét tương tự
Phần bổ sung giao viên
O
2
π
-2
π π
π -π
O
2
π
-2
π
π
-π x
(15)(16)(17)(18)
Bài : CÔNG THỨC LƯỢNG GÍAC Mục đích u cầu
• Cơng thức cộng _ Cơng thức nhân đơi
• Các cơng thức hạ bậc _ Cơng thức tính : sinx, cosx, tgx theo t = tg(x/2) • Cơng thức biến đổi : tổng thành tích tích thành tổng
• Các dạng tập : Chứng minh đẳng thức , Rút gọn
Giáo viên hướng dẫn
Chứng minh :Ta chứng minh (1) Gọi M , N điểm cuối cung a b đường trịn lượng giác
Ta có : OM (cos a, sin a) ON (cos b, sin b)
→ → = = vaø
OM ON→ → =OM.ON cos x=cos x với x số đo rad cung hình học MN
Theo cơng thức tích vơ hướng , ta có :
OM ON→ → = cosa.cosb + sina.sinb Ta chứng minh : cosx = cos(a-b) Theo hệ thức Salơ , ta có : sđ MN = sđ AN – sđ AN
+m2 ; mπ ∈Z= a – b +m2 ; mπ ∈Z
Từ suy đpcm
I Công thức cộng :
Với số thực a b , ta có cộng thức sau gọi cơng thức cộng :
• cos( a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb (1)
• cos( a + b ) = cosa.cosb – sina.sinb (2)
• sin( a + b ) = sina.cosb + sinb.cosa (3)
• sin( a – b ) = sina.cosb – sinb.cosa (4)
• tg( a – b ) = − − ≠ π+ π ∈
+ tga tgb
; với : a, b, a b k ; k Z
1 tga.tgb (5)
• tg( a + b ) = + + ≠π+ π ∈
− tga tgb
; với : a, b, a b k ; k Z
1 tga.tgb (6)
II > Công thức nhân đơi :
1 Ta có cơng thức sau gọi cơng thức nhân đơi
• Sin2a = 2sina.cosa (7)
• Cos2a = cos2a – sin2a (8)
• Cos2a = 2cos2a – = – 2sin2a (8a)
• tg2a = ≠ π+ π ≠ π+ π ∈
−
2tga
; a k vaø a k ; k Z
2
1 tg a (9)
2 Công thức hạ bậc :
Từ cơng thức (8, 8a) ta có cơng thức hạ bậc sau :
+ − = = − π = ≠ + π + 2
1 cos 2a cos 2a
cos a ; sin a ;
2
1 cos 2a
tg a ; (a k )
1 cos 2a
3 Cơng thức tính Sina , Cosa , tga theo t = tg(a/2) : Cho a ≠ π +k2 ; kπ ∈Z Đặt t = tga
2, ta có cơng thức sau :
• Sina = +
2t
1 t ; cosa =
− π
= ≠ + π
+ −
2
2
1 t 2t
; tga ; (a k )
2
1 t t
Chứng minh : Cos
O A
Sin M N B A/ B/
(19)_ Chứng minh từ công thức cộng suy công thức biến đổi tích thành tổng
_ Từ cơng thức suy cơng thức biến đổi tổng thành tích tích thành tổng
_ Các ví dụ :
a.Chứng minh đẳng thức :
4
1 / sin a cos a sin 2a
cos2a cos a sin a /
1 sin 2a cos a sin a
+ = −
− =
+ +
b Tính sin ; cos ; tg
8 8
π π π
c Chotga 2; Tính2 cos a sin a
+ = −
−
III Công thức biến đổi tích thành tổng :
Từ cơng thức cộng, ta có cơng thức sau gọi cơng thức biến đổi tích thành tổng :
• Cosa.cosb =
2[cos(a – b) + cos(a + b)] (13)
• Sina.sinb =
2 [cos(a – b) – cos(a + b)] (14)
• Sina.cosb =
2 [sin(a – b) + sin(a + b)] (15) Chứng minh :
IV Công thức biến đổi tổng thành tích :
Từ cơng thức biến đổi tích thành tổng , ta có công thức sau gọi công thức biến đổi tổng thành tích
• Cosx + Cosy = 2Cosx+y Cos
−
x y
2 (16)
• Cosx – Cosy = - 2Sinx+y Sin
−
x y
2 (17)
• Sinx + Siny = 2Sinx+y Cos
−
x y
2 (18)
• Sinx – Siny = 2Cosx+y Sin
−
x y
2 (19)
_ Mặt khác vớix , y≠ π+ πk ; k∈Z
2 , ta coù :
• tgx + tgy = sin(x+y)
cos x cos y (20)
• tgx – tgy = sin(x−y)
(20)_ Các ví dụ :
a Tính biểu thức sau :
5
A cos sin 12 12
B sin sin 24 24
π π =
π π =
b Biến đổi thành tổng biểu thức sau : C = cos5x.sin3x
D = 4sinx.sin2x.sin3x
c Biến đổi biểu thức sau thành tích : Cosa + sina Cosa – sina
d Biến đổi biểu thức sau thành tích E = sinx + sin2x + sin3x
e Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức :
Sin2A + sin2B +sin2C=4sinA.sinB.sinC
tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
Phần bổ sung giáo viên
(21)Bài tập ( Tiết 16 , 17 , 18 – Tuần 6)
( Tiết 19 , 20 , 21 – Tuần : Bài tập ôn chương I ) ( Tiết 22 _ Tuần : Kiểm tra chương I )
(22)(23)(24)(25)Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG Chương II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Bài : Phương trình lượng giác
• Bài : Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài : Những phương trình lượng giác khác
• Bài : Sơ lược hệ phương trình lượng giác Kiến thức
• Phương trình lượng giác
• Các dạng phương trình lượng giác
• Một số dạng phương trình lượng giác khác
• Hệ phương trình lượng giác Kỹ
• Giải phương trình lượng giác
• Các phương trình lượng giác : bậc _ bậc hai hàm số lượng giác _ Phương trình bậc theo sin cosin _ Phương trình bậc hai _ Phương trình đối xứng sin cos
• Các phương trình đưa dạng tích
(26)Bài : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục đích u cầu
• Giải phương trình lượng giác • Điều kiện sinx cosx
• Điều kiện phương trình có tgx cotgx Giáo viên hướng dẫn
_ Học sinh cho ví dụ 2sin3x – = tgx + 3sin2x + =
_ Xét trường hợp riêng : sinx = ; sinx = -1 ; sinx = ? _Tương tự trường hợp riêng
với cosx, tgx, cotgx
Ví dụ : Giải phương trình :
o o
2 / sin x sin ; / sin x
6
2
3 / sin(x 2) ; / sin(x 20 ) sin 60 π = = − − = + = o / cos x cos ; / cos 2x
4
2
7 / sin(2x 15 ) ; / cos(x 1) m
π
= = −
+ = − + =
I Định nghóa :
_ Phương trình lượng giác phương trình chứa hay nhiều hàm số lượng giác ẩn
_ Trong phương trình lượng giác, trước hết ta ý đến phương trình lượng giác phương trình có dạng sinx = a ; cosx = a ; tgx = a ; cotgx = a a số thực cho Việc giải phương trình lượng giác đưa việc giải phương trình lượng giác
II Phương trình sinx = a :
_ Xét phương trình sinx = a (1) xác định với x thuộc R a Nếu a > phương trình (1) vơ nghiệm
b Nếu a ≤1, ta lấy điểm I trục sin cho OI=a Từ I kẻ đường vng góc với trục sin , cắt đường tròn lượng giác M M/
Ta nghiệm phương trình sinx = a
= α + π = π − α + π ∈
x k2 vaø x k2 ; k Z
_ Lưu ý : Nếu phương trình có dạng sin x=sinα ta họ nghiệm
II Phương trình cosx = a :
_ Làm tương tự
_ Ta nghiệm phương trình cosx = a : = α + π = − α + π ∈ x k2 x k2 ; k Z III Phương trình tgx = a :
_ Phương trình tgx = a xác định với x k ; k Z
π
≠ + π ∈ _ Làm tương tự ta nghiệm phương trình tgx = a :
= α + π ∈ x k ; k Z IV Phương trình cotgx = a :
_ Phương trình cotgx = a xác định với x≠ πk ; k∈Z _ Làm tương tự ta nghiệm phương trình cotgx = a :
= α + π ∈ x k ; k Z
O A
Sin M N B A/ B/ Cos
O A tang M B A/ B/ Cotang
(27)Phần bổ sung giáo viên
(28)Bài tập ( Tiết 25 , 26 – Tuaàn )
(29)(30)Bài : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Mục đích yêu cầu
• Các phương trình bậc _ bậc hai hàm số lượng giác • Phương trình bậc theo sin cos
• Phương trình bậc hai sin cos • Phương trình đối xứng sin cos
Hướng dẫn giáo viên
_ Cách giải ?
_ Điều kiện sinx cosx _ Ví dụ : Giải phương trình 1/ 3tgx + 3=
2/ 2cos2x + 2cosx – =
_ Cách rút gọn vế trái
_ Đặt cos sin (có thể đặt ngược lại khơng )
_ Điều kiện có nghiệm phương trình
_ Ví dụ : Giải phương trình 1> 3cosx + sinx =
2>sin( π
+2x) + 3sin(π-2x) = _ Định m để phương trình sau có
nghiệm :
(2m – 1).cosx + m.sinx = 3m –
_ Dùng công thức hạ bậc , dạng phương trình ?
_ Cơ sở để chia trường hợp ( xem cosx = có nghiệm khơng ?)
I.Phương trình bậc phương trình bậc hai hàm số lượng giác :
_ Đây phương trình bậc hay bậc hai hàm số lượng giác sinx hay cosx hay tgx hay cotgx
_ Cách giải đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ ( có ) , giải phương trình theo ẩn phụ Từ tìm x
_ Lưu ý : Nếu đặt t = sinx ( hay cosx ) ta phải có đk : -1≤t≤1 II Phương trình bậc sinx cosx :
_ Phương trình bậc sinx cosx phương trình có dạng : a.sinx + b.cosx = c (với a,b,c≠0)
_ Cách giải :
_ Chia vế phương trình cho : a2+b2 , ta phương trình :
a b c
sin x cos x
2 2 2
a b a b a b
+ =
+ + +
_ Ñaët cos a ; sin b
2 2
a b a b
α = α =
+ +
_Ta đưa phương trình dạng : + α = +
c
sin(x )
2
a b
_ Lưu ý : Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2
≥c2
III Phương trình bậc hai sinx cosx : _ Là phương trình dạng : a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d
Caùch giải :
_ Dùng cơng thức hạ bậc ,biến đổi phương trình dạng : cos2x sin 2x cos2x
a b c d
2 2
− + + + =
_ Phương trình đưa dạng Cách giải 2:
_ Biến đổi phương trình dạng :
a.sin2u+b.sinu.cosu+c.cos2u = d(sin2u+cos2u) hay : (a-d).sin2u+b.sinu.cosu+(c-d).cos2u =