Phương pháp tìm giới hạn dãy truy hồi

Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề t[r]

PHẦN MỞ ĐẦU

Bài tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi dạng tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia quốc tế Trong q trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi, tìm tịi đúc kết rút số kĩ thuật tìm giới hạn tốn dạng

Hiện nay, tài liệu chuyên sâu chuyên đề giới hạn dãy số hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi tốn u thích tốn có thêm tài liệu tham khảo giới hạn dãy số, kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, nghiên cứu viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi”

Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 Người thực đề tài

PHẦN NỘI DUNG

Trong sách giáo khoa ĐS GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 Đoàn Quỳnh chủ biên) trang 135, tập nguyên văn sau:

“Cho dãy số (un) xác định sau:

1

1

10

3,

5

n n

u

u  u n

   

   

 

a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định

15

n n

v u 

cấp số nhân

b) Tính limun”

Qua phân tích giải tốn trên, nhận thấy:

- Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu tìm limun tốn trở nên khó lạ học sinh Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi

- Việc đề yêu câu thêm câu a) để xác định cơng thức tổng qt (CTTQ) dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ cấp số nhân, từ áp dụng định lí giới hạn để tính limun

- Khai thác tốn trên, tơi xây dựng thành kĩ thuật để tính giới hạn dãy truy hồi là: “ Kĩ thuật tính giới hạn dãy truy hồi cách xác định CTTQ dãy”

Ngoài ra, q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đúc kết thành số kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, tơi trình kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi sau đây:

Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp

Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy

I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ dãy.

Phương pháp xác định CTTQ dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi viết tơi trình bày kĩ thuật tìm CTTQ dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy cho cấp số cộng(CSC) cấp số nhân(CSN) tổng hiệu cấp số cộng, cấp số nhân Quay lại tập trang 135 sách giáo khoa ĐS GT 11 NC

Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định sau:

1

1

10

3,

5

n n

u

u  u n

   

   

 

a) CMR dãy số (vn) xác định

15

n n

v u 

cấp số nhân b) Tính limun”

Giải:

a) Ta có (vn) CSN  vn1 q v (n const q),   0, n Thật vậy, ta có

1

15 15 15

3 ( )

4 5 4

n n n n n

v  u    u    v    v

công bội

q

v1 25

4



Do

1

1

25 1

4 5

n n

n n

v v q

 

    

      

   

b) Từ câu a) suy

3

15 1 15

4

n

n n

u v



 

     

  Do

15 lim

4

n

u 

Nhận xét:

1/ Vì lại nghĩ phép đổi biến

15

n n

v u 

để dãy (vn) CSN?

Ta thấy 1

3

n n

u   u 

, ta cần tìm số b cho

1

( )

5

n n

u   b u  b

1

1 1 15

3

5 5

n n n

u  b b u u b

       

Do vậy, đặt

15

n n

v u 

1

,

5

n n

v   v  n

nên (vn) CSN 2/ Ngoài ra, đặt vn 5 ,nun  n 1, khi ta có

1

1 3.5 ,

n

n n

v v  n

    

Suy

3

15 15 35 1 15

(5 1) 35

4 5 5

n n

n n

n n n n n

v

v u



  

          

 

Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định

1

3

2 n n 1,

u

u  u n

  

   



Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n1.

a) CMR dãy số (vn) với = un – , n1 CSN lùi vô hạn

a) Ta có 1

1 1

1 ( 1) ,

2 2

n n n n n

v  u    u    u   v  n

Suy dãy số (vn) CSN lùi vô hạn với công bội q =

2 Nên

2 n n v       

b) Từ câu a) suy

2

1

1 1,

2

n

n n

u v n

            Suy 2 1 1

( )

2 n n n k n k k k

S u n n

                  Vậy n limS =lim

4+n-2 n               

Nhận xét: Có thể tìm CTTQ dãy (un) phép đổi biếnvn 2 ,nun  n

Ta có

1

1 1

1

2 ( ) , ,

2

n n n n

n n n n n n

v  u  u v n v v n

              

Do 1 2 1 2

n n

n n n n n

v v v v v v v v  

  

            

Hay

2

1

2(2 1)

2 n n n n n v u                

Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách tập ĐS GT 11NC, NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định

1 1 , n n n u u u n u            

b) CMR dãy (vn) với n n n u v u  

 CSN Tính limun

Giải:

a) Ta chứng minh quy nạp un 4, n

Khi n = ta có u1  1

Giả sử uk 4, k 1, ta chứng minh uk1 4 Thật vậy, giả sử ngược lại

1

k

u   ,

4

4 4 24

6

k

k k k

k

u

u u u

u



      

 , trái với giả

thiết quy nạp Vậy un 4, n

b) Từ câu a) suy xác định với  n

Ta có

1

1

4 1

1 2( 1)

,

4 4 5( 4)

6

n

n n n

n n

n

n n

n

u

u u u

v v n

u u u u                 

 Vậy (vn) CSN lùi

vô hạn với công bội q =

5 Suy

2

n n

v   

  Nên 5 n n n u             

  Do đó

2

4

5

lim lim

2 n n n u                

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định

1 1 , ( 1) n n u

u u n

Ta có 1 2 1

1 1

( 1)

                

 

n n n n n n n

u u u u u u u u u u

n n n n

1 1 1 1

1 1

n

u

n n n n n

          

  

Do limun = lim

1 (2 )

n

 

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định

1

1

1

1

,

2

n

n n

u

u  u n

  

  

   

  

 

 Tính limun

Giải: Ta có 1 2 1

1

n

n n n n n n n

u  u u u u  u  u  u u u

 

             

1 1 ( )1

1 1 2

1

2 2 1

2 n

n n n

n

u

   

       

                      

Do limun = lim

1

1

2

2 n

   

 

     

 

 

Như vậy, xác định CTTQ dãy số tốn trở nên quen thuộc ta tính giới hạn dãy cách dễ dàng dựa vào định lí giới hạn học chương trình sách giáo khoa Sau số tập tương tự

* Bài tập tham khảo:

1/ Cho dãy số (un) xác định

1

1

5

6,

3

n n

u

u  u n

   

   



 .Tính limun

2/ Cho dãy số (un) xác định

1

3

4 1,

n n

u

u  u n

  

   

 .Tính lim

2 n

n

u

ĐS: lim

2

2

n n

u



3/ Cho dãy số (un) xác định

   

       2 2

n

n dau can

u

Tính lim

1

2 n n

u u u

(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

HD: Tìm CTTQ dãy (un) un 2cos2n 1, n 



 

lim

1 2

2 n n

u u u

 

4/ Cho dãy số (un) xác định

   

       

2 2n 2

n

n dau can

u

Tính limun

HD: Từ suy

1

1

2 cos sin

2

n n

n n n

u   



  

II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp

*Cơ sở lí thuyết:

Cho dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn điều kiện vn un w ,n n n

limv =lmwn a, limun = a (Nguyên lí kẹp)

Kết hợp với việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá sử dụng ngun lí kẹp, ta tính giới hạn số dãy số cho hệ thức truy hồi Sau số ví dụ

Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách tập ĐS GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định

1

2

1

,

2

n

n n

u

u

u  u n

    

    

 

a) CMR:

1

0 ,

4 un  n

b) CMR:

1 3,

4



  n

n

u

n

u Tính limun

Giải:

a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh 0un,n Ta CM

,   n

u n

Với

n = u1 =

1

4 đúng Giả sử

,

4    k

u k

, ta chứng minh

1

 

k

u

Thật vậy,

ta có

2

1

4

  

k k k

u u u

3 3

4uk 4 16 Do

1 3

4 16

     

k k k k

u u u u

Vậy

1

0 ,

b) Từ câu a) suy

1 1 3,

2 4



      n

n n

u

u n

u

Do ta có

1

1

1

1

3 3

0 ,

4 4 4

 

 

 

      

  n n n

n

n n

u u u

u u u n

u u u

Mà lim

1

1 4



      n

=0, nên theo ngun lí kẹp limun =

Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ dãy (un) kĩ thuật trình bày gặp nhiều khó khăn, sử dụng bất đẳng thức để đánh giá nguyên lí kẹp tốn giải đơn giản

Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách tập ĐS GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định

1

1

1

,

1 

    

   

 



n n

u

u

u n

n

a) CMR: un 0 và

1 1,

2

  

n n

u

n u

b) Tính limun Giải:

Nhận xét: Việc xác định CTTQ dãy (un) khó khăn, từ hệ thức

truy hồi ta thấy đánh giá tỉ số

1 

n n

u

u dễ dàng.

a) Dễ dàng chứng minh quy nạp un 0,n

Từ hệ thức truy hồi ta có

1 1, 1

1

    

 n

n

u

n

u n

b) Từ câu a) ta có

1

1

1

1 1 1

0 ,

2 2 2



 

 

      

  n n n

n

n n

u u u

u u n

Mà lim

1       n

= Nên theo ngun lí kẹp ta có limun =

Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách tập ĐS GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)

Cho dãy số (un) xác định

1

10

,



   

  



 n n

u

u u n

Tính limun Giải:

Nhận xét: Việc xác định CTTQ dãy (un) thật không đơn giản, ta thấy un >1, với n (kiểm tra quy nạp) Hơn theo bất đẳng

thức Cosi, ta có

1

2 



   n

n n n

u

u u u

Dấu “=” không xảy un >1,n,

1 , 



 n 

n

u

u n

1

1 ,

2 



 un  un n

(*) Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có

1

2 1

1 1

0 ,

2 2

 

 

  

un  un un   u n  n  n

,

Hay

9

1 ,

2 

un   n  n

Mà lim(

2 

 n

Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS GT 11 NC NXBGD 2007)

Cho dãy số (un) xác định

1

1 2

1

1,

1 

  



    

 



n n

n

u a

u

u n

u

(với – < a < 0)

a) CMR

1

0 ( 1),

1 

     



n n

u u n

a

b) Tính limun Giải:

Nhận xét – < un < 0, với n (kiểm tra chứng minh quy

nap) Từ suy < un + < un2 1> 1

Suy

1 2

1

1 ( 1) ,

1 



       

 n

n n n

n

u

u u u n

u , nên Dãy ( )un dãy giảm

Do  1 un un1  u1  a 0, n

2 2

2

1

1

1

       

 

n n

n

u a u a

u a

Nên

1 2 2

1

0 ( 1),

1





      

 

n

n n

n

u

u u n

u a

2

1

2

1

1

0 ( 1) ( 1)

1

1

( 1),

1

 



 

       

   

 

     



 

n n n

n

u u u

a a

u n

Hay

1

1

1 ( 1) 1,

1 

 

       



 

n n

u a n

a

Vì

1

2

1

0 lim ( 1) 1

1



   

 

       

 

     

n

a

a a

Do theo nguyên lí kẹp ta limun = -1

* Bài tập tham khảo

Bài 1: Cho dãy số (un) xác định

1

1

1

1

,

2 

   

   



 n n n

u

u u n

a) CMR 1

1

,

2

     

n n n

u u n

b) Tính limun

(Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)

Bài 2: Cho dãy số (un) xác định

0

,



  

   

 n

n n n

u

u u u n

a) CMR

1

,

  

n

u n

n

b) Tính limun

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định

0

2

1

1

, 0,



    

     



 k k k

u

u u u k n

n

a) CMR

1 un 1

n

b) Tính limun

III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn

* Cơ sở lí thuyết:

- Trong sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu định lí sau:

“ a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn”

- Nếu dãy số (un) thõa mãn điều kiện un M,n tồn giới hạn

limun limun M ; dãy số (un) thõa mãn điều kiện un m n, tồn

tại giới hạn limun limun m

- Giả sử dãy số (un) có giới hạn hữu hạn nlim un nlim un1

Áp dụng tính chất trên, ta tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Dạng tập phổ biến đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30/4, đề thi HSG cấp Quốc gia Quốc tế Phương pháp tỏ hiệu giải tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Sau ta xét số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định

1

2

2 ,



 

 

   



 n n

u

u u n

Tính limun

Giải:

Trước hết ta chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn

Chứng minh dãy (un) tăng quy nạp, tức un1>un, n

Giả sử uk1uk, uk2  2uk1  2uk uk1 Vậy un1>un, n

Nên (un) bị chặn Ta chứng minh dãy (un) bị chặn

bằng quy nạp, Khi n = ta có u1  2

Giả sử uk 2, k 1, uk1 2uk  2 2 

Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, a 2.

Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có limun1 lim 2un

Hay

2

2

2

 

      

 

a

a a a a

a

Vì a 2 nên a = Vậy limun 2

Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm CTTQ dãy (un)

1

2cos ,

2





  

n n

u n

, nhiên việc xác định CTTQ (un) đơn giản nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn giải trên, tốn giải gọn nhẹ

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định

1

1

1

,

 

 

  

   



 n n n

u u

u u u n Tính limun

Giải:

Nhận xét: Ta thấy u1u2 1, u3    1 u2; u4  u3  u2  1 u3

Dự đoán dãy số (un) dãy dương tăng

Rõ ràng un 0, n Khi n = ta có u3  2 u2 1

Giả sử uk1uk, k Ta có uk2  uk1  uk  uk  uk1 uk1, k

Nên dãy (un) dãy số dương tăng  un u1  1, n

Hơn nữa, ta thấy  n 3,un  un1  un2  un  un 2 un

Hay un2 4un un 4(do un 0) Nên (un) bị chặn

Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, a1

Từ hệ thức truy hồi suy limun1 lim un lim un1

Hay a a a  a2 4a Do a1> nên a = 4

Vậy limun 4

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định

2

1

2010

2  2011 ,

  

    

 n n n

u

u u u n

Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn

(Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải:

Trước hết ta nhận xét un> 0, với n,

Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0 Giả sử uk 0, k 1, ta chứng minh uk1 0

Từ hệ thức truy hồi suy

2

1

2011

2 2011 0

2

 



     k 

k k k k

k

u

u u u u

u

Do ta có

2

2011 2011

( )

2





 n  

n n

n n

u

u u

2

2011 2011

2011,

2 



 n    

n n

n n

u

u u n

u u .

Mặt khác ta có

2

2

2011 2011 1

2 2 2

       

n n

n n n

u u

u u u

(vì

2011 2011

2011,

2 2.2011

     

n

n

u n

u )

Nên (un) dãy số giảm bị chặn 2011, dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, 0 a 2010

Và ta có

2 2

1

2011 2011 2011

lim lim

2 2

 

  

 n   n  

n n

n n

u u a

u u a

u u a

2 2011 2011

 a   a Vậy limun  2011

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định

2

30

30 2011,



 

 

    



 n n n

u

u u u n

Tính lim

1



n n

u u

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải:

Nhận xét un 0,n ( kiểm tra chứng minh quy nạp)

Hơn nữa, ta có un1 30un2 3un 2011 30un2  un2 un, n

Nên dãy số (un) dãy tăng Giả sử dãy (un) bị chặn trên, (un) có giới

hạn hữu hạn ta đặt limun = a ( a > 0)

2 30 3 2011 29 3 2011 0

 a  a  a  a  a  Phương trình vô

nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un) không bị chặn haylimun 

Mặt khác

2

2

30 2011 2011

30

      

n n n

n n n n

u u u

u u u u

Do

1

2

3 2011

lim n  30 lim lim  30

n n n

u

u u u

Ví dụ 5:Cho dãy số (un) xác định

2

1

,

2010 

   

   

 

n

n n

u

u

u u n

Tính lim

1

2

( )



   n

n

u u u

u u u

( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải:

Từ hệ thức truy hồi ta có

2

1 0, 1(*) ,

2010

          

n

n n n n

u

u u n u u n

, dãy (un) dãy số tăng  un u1  1 0, n

Từ (*) suy

2

1

2010



 

 

n n n

n n n n

u u u

u u u u hay 1 1

1

2010( )

 

 

n

n n n

u

u u u

1

2 1 1

1 1

2010( ) 2010(1 )

  

    n    

n n n

u u u

u u u u u u

Do lim

1

2 1

1

( ) lim 2010.(1 )

 

   n  

n n

u u u

u u u u

(Vì un    1, n a1)

Từ hệ thức truy hồi suy

2

lim lim( )

2010

  

n

n n

u

u u

Hay

2

0 2010

 a   

a a a

(vô lý) Vậy (un) không bị chặn, tức limun 

1

lim 

 un  Vây lim

1

2

( ) 2010



   n 

n

u u u

u u u

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) thõa mãn

0

1

(1 ) ,

4 

 

  

   

 

n

n n

u

u u n

a) CMR dãy (un) dãy số tăng b) Tính limun

Giải:

a) Nhận xét (un) dãy bị chặn

Hơn 0un   1 un 0 un10,n Theo bất đẳng thức Cosi, ta có

1 1

1

(1 ) .(1 ) 1, ,

4

            

n n n n n n

u u u u n u u n

Do (un) dãy số tăng

b) Từ câu a) nhận xét suy dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun a, a0 Do limun1(1 un) limun1.lim(1 un)a(1 a)

Mặt khác từ giả thiết suy ra,  

lim (1 )

4

  

n n

u u (1 )

4

 a  a 

2 0 ( 1)2 0

4 2

Vậy limun =

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định

1

0

( ),

2 

   

   



 n n n

u

a

u u n

u (a > 0)

Tính limun Giải:

Nhận xét (un) bị chặn a

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có 1

1

( )

2

  a 

u u a

u

Giả sử uk  a, k 2, ta chứng minh uk1 a

Theo bất đắng thức Cosi giả thiết quy nạp ta có

1

1

( )

2

    

k k k

k k

a a

u u u a

u u Do un  a n, 2, nên (un) bị chặn a

Mặt khác, ta có

1

2

1 2   

n

n n

u a

u u mà

1

,

2

    

n

n

u a n

u a

Do

1

1

1

1 ,

2 2





        

n

n n

n n

u a a

u u n

u u a nên (un) dãy giảm

Vậy dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun=,  >

1

1

lim lim ( ) ( )

2    

       

n n

n

a a

u u a

u (Do  > 0)

Vậy limun = a

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) xác định

1

0

,

1 

   

  

 



n n

n

u

u

u n

u Tính limun

Giải:

Nhận xét un> với n Thật vậy, u0 > u1 =

2

0 1 

u u

Giả sử

0,

1 

    

 k

k k

k

u

u k u

u Do

1

2

1

1,

   

 n

n n

u

n

u u (vì 0

 n

u )

1 , ( )



 un un  n un là dãy số giảm bị chặn nên (un) có giới

hạn hữu hạn Đặt limun= a, từ hệ thức truy hồi suy

3

1 2

lim lim

1

        

 

n n

n

u a

u a a a a a

u a Vậy limun 0

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định

1

1

1 , 

  

   

 n n

u

u u u u n

Đặt

1 



n n

k k

S

u Tính limSn

Giải:

Nhận xét: Dễ thấy un>1,  n 1 u u1 .2 uk11

Ta có un1 un  1 u u1 .2 un  un  1 un  un   1 un1 un, n 1,

hạn hữu hạn, ta đặt limun= a

Ta có alimun1 lim(1u u1 .2 u un1 ) lim( n   u u1 un1).limun

Vì lim( u u1 un1) 1  a 1 1.a Điều vơ lí Vậy (un) không bị chặn

trên tức limun 

Mặt khác ta có, uk1 1u u1 .2 uk u u uk( uk1 1 1)u uk( k  1)

1

1 1

,

1 ( 1)



     

  

k k k k k

k

u u u u u

1 2 1

1 1 1 1

2

1 1

   

        

  

 

n n

n

k k k k n n

S

u u u u u u u

Do limSn = lim

1

(2 )

1 

 

 n

u

* Bài tập tham khảo

Bài 1: Cho dãy (un) thõa mãn điều kiện

1

1

(1 ) ,

2 

   

   

 

n

n n

u

u u n

Tính limun (ĐS: lim

1

 n

u

)

Bài 2: Cho dãy (un) xác định

1

0

(2 ),

3 

   

   



 n n n

u

a

u u n

u ( Với a > 0)

Tính limun (ĐS: lim  n

Bài 3: Cho dãy (un) xác định

2

3

2,

2 

   

    



 n n n

u

u u u n

Tính

1 lim

  



n n

k uk (ĐS: 1)

(Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)

Bài 4: Cho dãy (un) xác định

2

2

1,



  

    

 n n n

u

u u u n

Tính

1 lim

  



n n

k uk (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)

Bài 5: Cho dãy (un) xác định

2

1

4

,

2 

    

 

   

 

n n n

n

u

u u u

u n

Chứng minh dãy

1 lim

  

 

n

n n

k k

y

u có giới hạn hữu hạn tính giới hạn đó

(VMO 2009) (ĐS:limyn= 6)

Bài 6: Cho dãy (un) xác định

2

1

,



  



  

 n n

u a

u u n

Tính 1

lim

1  

  



n k n

k k

u u

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) ĐS:

Bài 7: Cho dãy (un) xác định 1 ,              n n n n u a u u u n u

Tính

1 lim      n n

k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Bài 8: Cho dãy (un) xác định

2

2009

( 1) ,

         

 n n n

u

u u u n

Tính

1 lim      n n

k uk

(Tạp chí THTT tháng 10/2010) (ĐS:

1 lim 2009       n n

k uk )

Bài 9: Cho dãy (un) xác định

2

2

( 1),

2          

 n n

u

u u n

Tính

1 lim      n n

k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)

Bài 10: Cho dãy (un) xác định

2

8

( 25),

3           

 n n n

u

u u u n

Tính

1 lim      n n k k

PHẦN KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm kết trình tự tìm tịi, nghiên cứu, đúc kết rút kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai khối 11 khối 12 năm học 2010 – 2011 Qua năm triển khai thực đề tài này, thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho năm Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết

Tôi mong hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cho năm Nhà trường đạt hiệu cao

Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn!

Duyệt Hội đồng chuyên môn nhà trường:

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… …

Duyệt Hội đồng chuyên môn cấp trên: