Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề t[r]
(1)PHẦN MỞ ĐẦU
Bài tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi dạng tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia quốc tế Trong q trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi, tìm tịi đúc kết rút số kĩ thuật tìm giới hạn tốn dạng
Hiện nay, tài liệu chuyên sâu chuyên đề giới hạn dãy số hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi tốn u thích tốn có thêm tài liệu tham khảo giới hạn dãy số, kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, nghiên cứu viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi”
Xin chân thành cảm ơn!
Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 Người thực đề tài
(2)PHẦN NỘI DUNG
Trong sách giáo khoa ĐS GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 Đoàn Quỳnh chủ biên) trang 135, tập nguyên văn sau:
“Cho dãy số (un) xác định sau:
1
1
10
3,
5
n n
u
u u n
a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định
15
n n
v u
cấp số nhân
b) Tính limun”
Qua phân tích giải tốn trên, nhận thấy:
- Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu tìm limun tốn trở nên khó lạ học sinh Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi
- Việc đề yêu câu thêm câu a) để xác định cơng thức tổng qt (CTTQ) dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ cấp số nhân, từ áp dụng định lí giới hạn để tính limun
- Khai thác tốn trên, tơi xây dựng thành kĩ thuật để tính giới hạn dãy truy hồi là: “ Kĩ thuật tính giới hạn dãy truy hồi cách xác định CTTQ dãy”
Ngoài ra, q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đúc kết thành số kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, tơi trình kĩ thuật để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi sau đây:
(3)Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp
Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy
I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ dãy.
Phương pháp xác định CTTQ dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi viết tơi trình bày kĩ thuật tìm CTTQ dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy cho cấp số cộng(CSC) cấp số nhân(CSN) tổng hiệu cấp số cộng, cấp số nhân Quay lại tập trang 135 sách giáo khoa ĐS GT 11 NC
Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định sau:
1
1
10
3,
5
n n
u
u u n
a) CMR dãy số (vn) xác định
15
n n
v u
cấp số nhân b) Tính limun”
Giải:
a) Ta có (vn) CSN vn1 q v (n const q), 0, n Thật vậy, ta có
1
15 15 15
3 ( )
4 5 4
n n n n n
v u u v v
(4)công bội
q
v1 25
4
Do
1
1
25 1
4 5
n n
n n
v v q
b) Từ câu a) suy
3
15 1 15
4
n
n n
u v
Do
15 lim
4
n
u
Nhận xét:
1/ Vì lại nghĩ phép đổi biến
15
n n
v u
để dãy (vn) CSN?
Ta thấy 1
3
n n
u u
, ta cần tìm số b cho
1
( )
5
n n
u b u b
1
1 1 15
3
5 5
n n n
u b b u u b
Do vậy, đặt
15
n n
v u
1
,
5
n n
v v n
nên (vn) CSN 2/ Ngoài ra, đặt vn 5 ,nun n 1, khi ta có
1
1 3.5 ,
n
n n
v v n
Suy
3
15 15 35 1 15
(5 1) 35
4 5 5
n n
n n
n n n n n
v
v u
Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007)
Cho dãy số (un) xác định
1
3
2 n n 1,
u
u u n
Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n1.
a) CMR dãy số (vn) với = un – , n1 CSN lùi vô hạn
(5)a) Ta có 1
1 1
1 ( 1) ,
2 2
n n n n n
v u u u v n
Suy dãy số (vn) CSN lùi vô hạn với công bội q =
2 Nên
2 n n v
b) Từ câu a) suy
2
1
1 1,
2
n
n n
u v n
Suy 2 1 1
( )
2 n n n k n k k k
S u n n
Vậy n limS =lim
4+n-2 n
Nhận xét: Có thể tìm CTTQ dãy (un) phép đổi biếnvn 2 ,nun n
Ta có
1
1 1
1
2 ( ) , ,
2
n n n n
n n n n n n
v u u v n v v n
Do 1 2 1 2
n n
n n n n n
v v v v v v v v
Hay
2
1
2(2 1)
2 n n n n n v u
Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách tập ĐS GT 11NC, NXBGD 2007)
Cho dãy số (un) xác định
1 1 , n n n u u u n u
(6)b) CMR dãy (vn) với n n n u v u
CSN Tính limun
Giải:
a) Ta chứng minh quy nạp un 4, n
Khi n = ta có u1 1
Giả sử uk 4, k 1, ta chứng minh uk1 4 Thật vậy, giả sử ngược lại
1
k
u ,
4
4 4 24
6
k
k k k
k
u
u u u
u
, trái với giả
thiết quy nạp Vậy un 4, n
b) Từ câu a) suy xác định với n
Ta có
1
1
4 1
1 2( 1)
,
4 4 5( 4)
6
n
n n n
n n
n
n n
n
u
u u u
v v n
u u u u
Vậy (vn) CSN lùi
vô hạn với công bội q =
5 Suy
2
n n
v
Nên 5 n n n u
Do đó
2
4
5
lim lim
2 n n n u
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định
1 1 , ( 1) n n u
u u n
(7)Ta có 1 2 1
1 1
( 1)
n n n n n n n
u u u u u u u u u u
n n n n
1 1 1 1
1 1
n
u
n n n n n
Do limun = lim
1 (2 )
n
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định
1
1
1
1
,
2
n
n n
u
u u n
Tính limun
Giải: Ta có 1 2 1
1
n
n n n n n n n
u u u u u u u u u u
1 1 ( )1
1 1 2
1
2 2 1
2 n
n n n
n
u
Do limun = lim
1
1
2
2 n
Như vậy, xác định CTTQ dãy số tốn trở nên quen thuộc ta tính giới hạn dãy cách dễ dàng dựa vào định lí giới hạn học chương trình sách giáo khoa Sau số tập tương tự
* Bài tập tham khảo:
1/ Cho dãy số (un) xác định
1
1
5
6,
3
n n
u
u u n
.Tính limun
(8)2/ Cho dãy số (un) xác định
1
3
4 1,
n n
u
u u n
.Tính lim
2 n
n
u
ĐS: lim
2
2
n n
u
3/ Cho dãy số (un) xác định
2 2
n
n dau can
u
Tính lim
1
2 n n
u u u
(Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD: Tìm CTTQ dãy (un) un 2cos2n 1, n
lim
1 2
2 n n
u u u
4/ Cho dãy số (un) xác định
2 2n 2
n
n dau can
u
Tính limun
HD: Từ suy
1
1
2 cos sin
2
n n
n n n
u
(9)II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp
*Cơ sở lí thuyết:
Cho dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn điều kiện vn un w ,n n n
limv =lmwn a, limun = a (Nguyên lí kẹp)
Kết hợp với việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá sử dụng ngun lí kẹp, ta tính giới hạn số dãy số cho hệ thức truy hồi Sau số ví dụ
Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách tập ĐS GT11 NC, trang 133 NXBGD2007)
Cho dãy số (un) xác định
1
2
1
,
2
n
n n
u
u
u u n
a) CMR:
1
0 ,
4 un n
b) CMR:
1 3,
4
n
n
u
n
u Tính limun
Giải:
a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh 0un,n Ta CM
, n
u n
Với
n = u1 =
1
4 đúng Giả sử
,
4 k
u k
, ta chứng minh
1
k
u
Thật vậy,
ta có
2
1
4
k k k
u u u
3 3
4uk 4 16 Do
1 3
4 16
k k k k
u u u u
Vậy
1
0 ,
(10)b) Từ câu a) suy
1 1 3,
2 4
n
n n
u
u n
u
Do ta có
1
1
1
1
3 3
0 ,
4 4 4
n n n
n
n n
u u u
u u u n
u u u
Mà lim
1
1 4
n
=0, nên theo ngun lí kẹp limun =
Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ dãy (un) kĩ thuật trình bày gặp nhiều khó khăn, sử dụng bất đẳng thức để đánh giá nguyên lí kẹp tốn giải đơn giản
Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách tập ĐS GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)
Cho dãy số (un) xác định
1
1
1
,
1
n n
u
u
u n
n
a) CMR: un 0 và
1 1,
2
n n
u
n u
b) Tính limun Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ dãy (un) khó khăn, từ hệ thức
truy hồi ta thấy đánh giá tỉ số
1
n n
u
u dễ dàng.
a) Dễ dàng chứng minh quy nạp un 0,n
Từ hệ thức truy hồi ta có
1 1, 1
1
n
n
u
n
u n
b) Từ câu a) ta có
1
1
1
1 1 1
0 ,
2 2 2
n n n
n
n n
u u u
u u n
(11)Mà lim
1 n
= Nên theo ngun lí kẹp ta có limun =
Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách tập ĐS GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)
Cho dãy số (un) xác định
1
10
,
n n
u
u u n
Tính limun Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ dãy (un) thật không đơn giản, ta thấy un >1, với n (kiểm tra quy nạp) Hơn theo bất đẳng
thức Cosi, ta có
1
2
n
n n n
u
u u u
Dấu “=” không xảy un >1,n,
1 ,
n
n
u
u n
1
1 ,
2
un un n
(*) Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có
1
2 1
1 1
0 ,
2 2
un un un u n n n
,
Hay
9
1 ,
2
un n n
Mà lim(
2
n
(12)Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS GT 11 NC NXBGD 2007)
Cho dãy số (un) xác định
1
1 2
1
1,
1
n n
n
u a
u
u n
u
(với – < a < 0)
a) CMR
1
0 ( 1),
1
n n
u u n
a
b) Tính limun Giải:
Nhận xét – < un < 0, với n (kiểm tra chứng minh quy
nap) Từ suy < un + < un2 1> 1
Suy
1 2
1
1 ( 1) ,
1
n
n n n
n
u
u u u n
u , nên Dãy ( )un dãy giảm
Do 1 un un1 u1 a 0, n
2 2
2
1
1
1
n n
n
u a u a
u a
Nên
1 2 2
1
0 ( 1),
1
n
n n
n
u
u u n
u a
2
1
2
1
1
0 ( 1) ( 1)
1
1
( 1),
1
n n n
n
u u u
a a
u n
(13)Hay
1
1
1 ( 1) 1,
1
n n
u a n
a
Vì
1
2
1
0 lim ( 1) 1
1
n
a
a a
Do theo nguyên lí kẹp ta limun = -1
* Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định
1
1
1
1
,
2
n n n
u
u u n
a) CMR 1
1
,
2
n n n
u u n
b) Tính limun
(Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định
0
,
n
n n n
u
u u u n
a) CMR
1
,
n
u n
n
b) Tính limun
(14)Bài 3: Cho dãy số (un) xác định
0
2
1
1
, 0,
k k k
u
u u u k n
n
a) CMR
1 un 1
n
b) Tính limun
(15)III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn
* Cơ sở lí thuyết:
- Trong sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu định lí sau:
“ a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn”
- Nếu dãy số (un) thõa mãn điều kiện un M,n tồn giới hạn
limun limun M ; dãy số (un) thõa mãn điều kiện un m n, tồn
tại giới hạn limun limun m
- Giả sử dãy số (un) có giới hạn hữu hạn nlim un nlim un1
Áp dụng tính chất trên, ta tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Dạng tập phổ biến đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30/4, đề thi HSG cấp Quốc gia Quốc tế Phương pháp tỏ hiệu giải tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Sau ta xét số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định
1
2
2 ,
n n
u
u u n
Tính limun
Giải:
Trước hết ta chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn
Chứng minh dãy (un) tăng quy nạp, tức un1>un, n
(16)Giả sử uk1uk, uk2 2uk1 2uk uk1 Vậy un1>un, n
Nên (un) bị chặn Ta chứng minh dãy (un) bị chặn
bằng quy nạp, Khi n = ta có u1 2
Giả sử uk 2, k 1, uk1 2uk 2 2
Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, a 2.
Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có limun1 lim 2un
Hay
2
2
2
a
a a a a
a
Vì a 2 nên a = Vậy limun 2
Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm CTTQ dãy (un)
1
2cos ,
2
n n
u n
, nhiên việc xác định CTTQ (un) đơn giản nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn giải trên, tốn giải gọn nhẹ
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định
1
1
1
,
n n n
u u
u u u n Tính limun
Giải:
Nhận xét: Ta thấy u1u2 1, u3 1 u2; u4 u3 u2 1 u3
Dự đoán dãy số (un) dãy dương tăng
(17)Rõ ràng un 0, n Khi n = ta có u3 2 u2 1
Giả sử uk1uk, k Ta có uk2 uk1 uk uk uk1 uk1, k
Nên dãy (un) dãy số dương tăng un u1 1, n
Hơn nữa, ta thấy n 3,un un1 un2 un un 2 un
Hay un2 4un un 4(do un 0) Nên (un) bị chặn
Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, a1
Từ hệ thức truy hồi suy limun1 lim un lim un1
Hay a a a a2 4a Do a1> nên a = 4
Vậy limun 4
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định
2
1
2010
2 2011 ,
n n n
u
u u u n
Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn
(Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải:
Trước hết ta nhận xét un> 0, với n,
Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0 Giả sử uk 0, k 1, ta chứng minh uk1 0
Từ hệ thức truy hồi suy
2
1
2011
2 2011 0
2
k
k k k k
k
u
u u u u
u
Do ta có
2
2011 2011
( )
2
n
n n
n n
u
u u
(18)2
2011 2011
2011,
2
n
n n
n n
u
u u n
u u .
Mặt khác ta có
2
2
2011 2011 1
2 2 2
n n
n n n
u u
u u u
(vì
2011 2011
2011,
2 2.2011
n
n
u n
u )
Nên (un) dãy số giảm bị chặn 2011, dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, 0 a 2010
Và ta có
2 2
1
2011 2011 2011
lim lim
2 2
n n
n n
n n
u u a
u u a
u u a
2 2011 2011
a a Vậy limun 2011
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định
2
30
30 2011,
n n n
u
u u u n
Tính lim
1
n n
u u
( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải:
Nhận xét un 0,n ( kiểm tra chứng minh quy nạp)
Hơn nữa, ta có un1 30un2 3un 2011 30un2 un2 un, n
Nên dãy số (un) dãy tăng Giả sử dãy (un) bị chặn trên, (un) có giới
hạn hữu hạn ta đặt limun = a ( a > 0)
(19)2 30 3 2011 29 3 2011 0
a a a a a Phương trình vô
nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un) không bị chặn haylimun
Mặt khác
2
2
30 2011 2011
30
n n n
n n n n
u u u
u u u u
Do
1
2
3 2011
lim n 30 lim lim 30
n n n
u
u u u
Ví dụ 5:Cho dãy số (un) xác định
2
1
,
2010
n
n n
u
u
u u n
Tính lim
1
2
( )
n
n
u u u
u u u
( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải:
Từ hệ thức truy hồi ta có
2
1 0, 1(*) ,
2010
n
n n n n
u
u u n u u n
, dãy (un) dãy số tăng un u1 1 0, n
Từ (*) suy
2
1
2010
n n n
n n n n
u u u
u u u u hay 1 1
1
2010( )
n
n n n
u
u u u
1
2 1 1
1 1
2010( ) 2010(1 )
n
n n n
u u u
u u u u u u
Do lim
1
2 1
1
( ) lim 2010.(1 )
n
n n
u u u
u u u u
(20)(Vì un 1, n a1)
Từ hệ thức truy hồi suy
2
lim lim( )
2010
n
n n
u
u u
Hay
2
0 2010
a
a a a
(vô lý) Vậy (un) không bị chặn, tức limun
1
lim
un Vây lim
1
2
( ) 2010
n
n
u u u
u u u
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) thõa mãn
0
1
(1 ) ,
4
n
n n
u
u u n
a) CMR dãy (un) dãy số tăng b) Tính limun
Giải:
a) Nhận xét (un) dãy bị chặn
Hơn 0un 1 un 0 un10,n Theo bất đẳng thức Cosi, ta có
1 1
1
(1 ) .(1 ) 1, ,
4
n n n n n n
u u u u n u u n
Do (un) dãy số tăng
b) Từ câu a) nhận xét suy dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun a, a0 Do limun1(1 un) limun1.lim(1 un)a(1 a)
Mặt khác từ giả thiết suy ra,
lim (1 )
4
n n
u u (1 )
4
a a
2 0 ( 1)2 0
4 2
(21)Vậy limun =
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định
1
0
( ),
2
n n n
u
a
u u n
u (a > 0)
Tính limun Giải:
Nhận xét (un) bị chặn a
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có 1
1
( )
2
a
u u a
u
Giả sử uk a, k 2, ta chứng minh uk1 a
Theo bất đắng thức Cosi giả thiết quy nạp ta có
1
1
( )
2
k k k
k k
a a
u u u a
u u Do un a n, 2, nên (un) bị chặn a
Mặt khác, ta có
1
2
1 2
n
n n
u a
u u mà
1
,
2
n
n
u a n
u a
Do
1
1
1
1 ,
2 2
n
n n
n n
u a a
u u n
u u a nên (un) dãy giảm
Vậy dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun=, >
(22)1
1
lim lim ( ) ( )
2
n n
n
a a
u u a
u (Do > 0)
Vậy limun = a
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) xác định
1
0
,
1
n n
n
u
u
u n
u Tính limun
Giải:
Nhận xét un> với n Thật vậy, u0 > u1 =
2
0 1
u u
Giả sử
0,
1
k
k k
k
u
u k u
u Do
1
2
1
1,
n
n n
u
n
u u (vì 0
n
u )
1 , ( )
un un n un là dãy số giảm bị chặn nên (un) có giới
hạn hữu hạn Đặt limun= a, từ hệ thức truy hồi suy
3
1 2
lim lim
1
n n
n
u a
u a a a a a
u a Vậy limun 0
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định
1
1
1 ,
n n
u
u u u u n
Đặt
1
n n
k k
S
u Tính limSn
Giải:
Nhận xét: Dễ thấy un>1, n 1 u u1 .2 uk11
Ta có un1 un 1 u u1 .2 un un 1 un un 1 un1 un, n 1,
(23)hạn hữu hạn, ta đặt limun= a
Ta có alimun1 lim(1u u1 .2 u un1 ) lim( n u u1 un1).limun
Vì lim( u u1 un1) 1 a 1 1.a Điều vơ lí Vậy (un) không bị chặn
trên tức limun
Mặt khác ta có, uk1 1u u1 .2 uk u u uk( uk1 1 1)u uk( k 1)
1
1 1
,
1 ( 1)
k k k k k
k
u u u u u
1 2 1
1 1 1 1
2
1 1
n n
n
k k k k n n
S
u u u u u u u
Do limSn = lim
1
(2 )
1
n
u
* Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho dãy (un) thõa mãn điều kiện
1
1
(1 ) ,
2
n
n n
u
u u n
Tính limun (ĐS: lim
1
n
u
)
Bài 2: Cho dãy (un) xác định
1
0
(2 ),
3
n n n
u
a
u u n
u ( Với a > 0)
Tính limun (ĐS: lim n
(24)Bài 3: Cho dãy (un) xác định
2
3
2,
2
n n n
u
u u u n
Tính
1 lim
n n
k uk (ĐS: 1)
(Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)
Bài 4: Cho dãy (un) xác định
2
2
1,
n n n
u
u u u n
Tính
1 lim
n n
k uk (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2004 - 2005)
Bài 5: Cho dãy (un) xác định
2
1
4
,
2
n n n
n
u
u u u
u n
Chứng minh dãy
1 lim
n
n n
k k
y
u có giới hạn hữu hạn tính giới hạn đó
(VMO 2009) (ĐS:limyn= 6)
Bài 6: Cho dãy (un) xác định
2
1
,
n n
u a
u u n
Tính 1
lim
1
n k n
k k
u u
(Tạp chí THTT tháng 10/2010) ĐS:
(25)Bài 7: Cho dãy (un) xác định 1 , n n n n u a u u u n u
Tính
1 lim n n
k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)
Bài 8: Cho dãy (un) xác định
2
2009
( 1) ,
n n n
u
u u u n
Tính
1 lim n n
k uk
(Tạp chí THTT tháng 10/2010) (ĐS:
1 lim 2009 n n
k uk )
Bài 9: Cho dãy (un) xác định
2
2
( 1),
2
n n
u
u u n
Tính
1 lim n n
k uk (Tạp chí THTT tháng 10/2010)
Bài 10: Cho dãy (un) xác định
2
8
( 25),
3
n n n
u
u u u n
Tính
1 lim n n k k
(26)PHẦN KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm kết trình tự tìm tịi, nghiên cứu, đúc kết rút kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai khối 11 khối 12 năm học 2010 – 2011 Qua năm triển khai thực đề tài này, thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho năm Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết
Tôi mong hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cho năm Nhà trường đạt hiệu cao
Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn!
(27)Duyệt Hội đồng chuyên môn nhà trường:
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… …
Duyệt Hội đồng chuyên môn cấp trên: