Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9
( Mời thầy cô xem cho ý kiến thời gian chuẩn bị cha đợc kỹ mong thầy cô bỏ qua, ngời viết Nguyễn Thanh Hùng ĐVCT Trờng THCS Tiên Nha –Lục Nam Bắc Giang ĐT
0986713720 độc giả đợc chỉnh sửa thoải mái) Bài tập Cho a + b + c = 0, a, b, c # Chứng minh đẳngthức: √
a2+
1
b2+
1
c2=|
1
a+
1
b+
1
c|
HD VT=
√a12+
b2+
c2=√
a2+
b2+
c2+2( ab+
1 bc+
1 ca)−2(
1 ab+
1 bc+
1 ca) ¿√(1
a+
1
b+
1
c)
2
−2( c abc+
a
abc+
b
bca)=√(
a+
1
b+
1
c)
2
−2(a+b+c abc )=√(
1
a+
1
b+
1
c)
2 =|1
a+
1
b+
1
c|=VP
Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng sè: 2+3+5 số vô tỉ
HD.Gi s: 2+3+5=a (a hữu tỉ ).Thế √2+√3=a −√5 Bình phơng hai vế ta đợc:
5+2√6=a2+5−2a√5⇒√6+a√5=a 2 ,
tiÕp tôc BPHV ta cã:
6+5a2+2a√30=a
4 ⇒√30=
a4
4 −6−5a
2a
(hiĨn nhiªn a # ),
30 số hữu tỉ,vô lí Vậy 2+3+5 số vô tỉ
Bài tËp 3: a)Rót gän biĨu thøc: A=√1+1
a2+
(a+1)2 víi a # 0;
b)TÝnh giá trị tổng: B=1+ 12+
1
22 + √1+ 22+
1
32 + √1+ 32+
1
42 +……+
√1+
992+ 1002
HD a)
a+1¿2 ¿
a+1¿2+a2 ¿
a+1¿2 ¿
a+1¿2+a2+2a+1+a2 ¿
a+1¿2 ¿
a2 ¿
a2¿
a2¿
a+1¿2+¿
a2¿ ¿
A2=1+1
a2+
(2)a+1¿2+2a2+2a+1 ¿
a+1¿2 ¿
a+1¿2+2a(a+1)+1 ¿
a+1¿2 ¿
a+1¿2+2a(a+1)+1 ¿
a+1¿2 ¿
a+1¿2
a2¿
a2 ¿
a2 ¿
a2 ¿
a2 ¿
a2¿
a2 ¿ ¿¿ ¿[a
2 +a+1
a(a+1)]
; Với a > nên A > A=a
+a+1
a(a+1)
b) Tõ c©u a suy ra: A=√1+
a2+
1 (a+1)2=
a2+a+1
a(a+1)=
a(a+1)+1
a(a+1) =1+
a(a+1)=1+
a−
1
a+1
Do đó: B=(1+1 1−
1 2)+(1+
1 2−
1 3)+(1+
1 3−
1
4)+ +(1+ 99 −
1 100)=¿ ¿99+(1
1− 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1 4+
1 99 −
1
100)=100−
100=99,99 Bµi tËp Rót gän biĨu thøc:
a) A =
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ .+
√n −1+√n b) B =
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
100√99+99√100
c) C =
1−√2−
√2−√3+
√3−√4− .+
√99−√100 HD.a) Ta hốn đổi vị trí hai số hạng mẫu trục thức:
1+√2=
√2+1=
√2−1 2−1 =
√2−1
1 làm tơng
t ta c: A=21 +√
3−√2 +√
4−√3
1 + +√
n −1−√n
1 =√2−1+√3−√2+√4−√3+ +√n −√n −1 ¿√2−1+√3−√2+√4−√3+ +√n −√n −1=√n −1
b) B= 2+√2+
1 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
100√99+99√100 =
√100√99(¿√100+√99)
√4√3(¿√4+√3)+ +1 ¿ ¿
√2(√2+1)+
1
(3)√100√99(¿√100+√99)
√4√3(¿√4+√3)+ +1 ¿ ¿
√2(√2+1)+
1
√3√2(√3+√2)+ ¿
√100√99(¿100−99)
√4√3(¿4−3)+ +(√100−√99) ¿ ¿ (√2−1)
√2√1(2−1)+
(√3−√2)
√3√2(3−2)+
(√4−√3) ¿ ¿(√2−1)
√2√1 +
(√3−√2)
√3√2 +
(√4−√3)
√4√3 + +
(√100−√99)
√100√99 1−
√2+
√2−
√3+
√3−
√4+ +
√99−
√100=1− 10=
9 10
c)Trục thức rút gọn
Bài tập Cho số dơng x, y, z thoả mÃn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị biÓu thøc:
A=x
√(1+y2) (1+z2)
1+x2 +¿ y√
(1+z2)(1+x2)
1+y2 +¿ z√
(1+x2) (1+y2) 1+z2
HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = vào + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: A=2 xy+2 yz+2 xz
Bµi tËp 6: Cho số dơng x, y, z thoả mÃn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị biÓu thøc:
B=
yz
3− x√(3+y
2) (3 +z2) 3+x2
+¿ zx
3− y√(3+z
2)(3 +x2) 3+y2
+¿ xy
3− z√(3+x
2) (3 +y2) 3+z2
HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = vào + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B =
Bµi tËp Cho ba sè thùc a, b, c # vµ √a+b=√a+c+√b+c Chøng minh r»ng: a+
1
b+
1
c=0
HD
√a+c+√b+c¿2⇔a+b=a+c+b+c+2√a+c.√b+c
√a+b¿2=¿
√a+b=√a+c+√b+c⇔¿
√a+c.√b+c¿2⇔c2=(a+c).(b+c)⇔ab+ac+bc+c2=c2
−c¿2=¿
−2c=2√a+c.√b+c⇔¿
ab+ac+bc+c2=c2⇔ab+ac+bc=0 , chia hai vế cho abc ta đợc: 1a+1b+1c=0
Bài tập Cho x+y+z=√xy+√yz+√xz x, y, z số dơng Chứng minh rằng: x=y=z
HD Nhân hai vế đẳng thức với ta đợc: x+y+z=√xy+√yz+√xz⇔2(x+y+z)=2(√xy+√yz+√xz)
√z −√x¿2=0⇔x=y=z
√y −√z¿2+¿
√x −√y¿2+¿
(4)Bµi tËp Chøng minh r»ng:
a)Nếu a > 1, với n N ta có: √na+ a
an−1=a
n
√ana−1 ;
b)NÕu a ≥0, b ≥0 th× √a+b=√a+√b⇔ab=0 ; c) √3a+b=√3a+√3b⇔ab(a+b)=0
HD.a) VT=n
√a+ a
an−1=
n
√a.an− a− a an−1 =
n
√ a.an
an−1=a
n
√ana−1 , víi a > 1, víi mäi n N
b)Với a ≥0, b ≥0 bình phơng hai vế ta đợc: a+b=a+b+2√ab⇔2√ab=0⇔ab=0 c) Lập phơng hai vế ta đợc: a+b=a+b+3√a2b+3√ab2⇔3√ab(√a+√b)=0⇔ab(a+b)=0 Bài tập 10: Chứng minh √3a+√3b+√3c=√3a+b+c
với n tự nhiên lẻ ta có: √na+√nb+√nc=√na+b+c
Bµi tËp 11.Cho x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by vµ x+y+z # Tính giá trị biểu thức: B=
1+a+
2 1+b+
2 1+c
HD Cộng vế với vế ta đợc: x+y+z=2(ax+by+cz) ,
thay thích hợp ta đợc: x+y+z=2(z+cz)=2z(1+c)⇒1+c=x+y+z 2z ; tơng tự ta có; 1+b=x+y+z
2y ‚1+a=
x+y+z
2x ; thay vào B ta đợc: B=
√ x+2y+z 2x
+
x+y+z 2y
+
x+y+z 2z
=√ 4x
x+y+z+ 4y x+y+z+
4z x+y+z=
4(x+y+z)
x+y+z =√4=2
Bµi tËp 12 Chøng minh r»ng nÕu √xy+1
√y =
√yt+1
√t =
√xt+1
√x th× x=y=t , x y t =
HD Ta cã: √xy+1
√y =
√yt+1
√t =
√xt+1
√x =√x+
1
√y=√y+
1
√t=√t+
1
√x Cộng trừ vế với vế ta đợc: √x −√y=
√t−
1
√y=
√y −√t
√y√t ; √y −√t=
√x−
1
√t=
√t −√x
√t√x ; √t −√x=
1
√y−
1
√x=
√x −√y
√x√y ; Nhân vế với vế ta đợc: (√x −√y)(√y −√t)(√t −√x)=√y −√t
√y√t
√t −√x
√t√x
√x −√y
√x√y ; ⇔(√x −√y)(√y −√t)(√t −√x)=(√y −√t)(√t −√x) (√x −√y)
xyt ⇔x.y.t=1
hc √x −√y=0;√y −√t=0;√t −√x=0⇔x=y=t
(5)Tính giá trị biểu thøc: P=√ a
a2+2 bc+
b2 b2+2 ac+
c2 c2+2ab
HD (a+b+c)2=a2+b2+c2⇔a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=a2+b2+c2⇔2 ab+2 bc+2 ca=0
⇔ab+bc+ca=0⇒ab=−bc−ca,bc=−ab−ca,ca=−ab−bc , thay vào P ta đợc: P=√ a
2
a2+2 bc+
b2 b2+2 ac+
c2 c2+2ab=√
a2
a2+bc−ab−ca+
b2
b2+ac−ab−bc+
c2 c2+ab−bc−ca ¿√ a
2
a(a − c)− b(a −c)+
b2
−b(a −b)+c(a −b)+
c2
− c(b −c)+a(b− c) ¿√ a
2
(a −c)(a − b)+
b2
(a − b)(c − b)+
c2
(b −c)(a − c)=√
a2
(a −c)(a − b)−
b2
(a− b)(b − c)+
c2 (b −c)(a − c) ¿√ a
2 (b −c)
(a −c)(a − b)(b −c)−
b2(a− c)
(a− b)(b − c)(a− c)+
c2(a −b) (b − c)(a− c)(a −b)
¿√a
2
(b −c)− b2(c −a)+c2(a− b)
(a −c)(a − b)(b −c) =√
a2(b −c)− b2a+b2c+c2a −c2b
(a − c)(a − b)(b −c) =¿
¿√a
(b − c)−b2a+c2a+b2c − c2b (a− c)(a −b)(b − c) =√
a2
(b − c)− a(b+c)(b − c)+bc(b −c) (a −c)(a −b)(b− c)
√(b −c)(a2−ab−ac+bc)
(a − c)(a − b)(b − c) =√
(b − c)[a(a− b)− c(b − c)] (a − c)(a − b)(b − c) =√
(b −c)(a − b)(a −c) (a − c)(a − b)(b −c)=1 Bµi tËp 14 Cho a+b+c=0 vµ a,b,c #
Chøng minh r»ng: A=√ 6a
a2−b2− c2+
6b2 b2− c2− a2+
6c2
c2a2b2 số nguyên
HD a+b+c=0a=(b+c)a2=[(b c)]2a2=b2+c2+2 bc⇔a2− b2−c2=2 bc,(∗) ; Biến đổi tơng tự ta có đợc: b2−c2−a2=2ca,(**), c2−a2− b2=2 ab,(***);
Thay (*),(**),(***) A ta đợc: A=
√6a2
2 bc+ 6b2
2 ca+ 6c2
2ab=√ 6a2
2 bc+ 6b2
2 ca+ 6c2
2ab=√
3(a3+b3+c3)
abc (****)
Ta l¹i cã: a+b+c=0⇔a=−(b+c)⇔a3
=[−(b −c)]3⇔a3=−(b3+c3+3b2c+3 bc2)
⇔a3+b3+c3=−(3b2c+3 bc2)⇔a3+b3+c3=−3 bc(b+c)⇔a3+b3+c3=−3 bc(−a)
⇔a3
+b3+c3=3 abc,(*****)
Thay (*****) vào (****) ta đợc: A=√3(a
3
+b3+c3)
abc =√
3 abc
abc =√9=3 Bµi tËp 15 Cho a, b, c vµ x, y, z khác khác thoả mÃn: a
x+ b y+
c
z=0 vµ x a+
y b+
z c=1 TÝnh M=√x
2
a2+
y2
b2+
z2
c2;(***) HD Ta cã x
a+ y b+
z
c=1⇒( x a+ y b+ z c)
=12⇒x
a2+ y2 b2+
z2 c2+2
xy ab +2
yz bc+2
zx ca =1
⇒ x2
a2+ y2
b2+ z2
c2+2(
xy ab +
yz bc+
zx
ca )=1⇒
x2
a2+ y2
b2+ z2
c2=1−2(
xy ab +
yz bc+
zx
ca )=1−2(
xyc+yza+zxb
abc )(∗) ;
Ta l¹i cã: a x+
b y+
c z=0⇒
ayz+bxz+cxy
xyz =0⇒ayz+bxz+cxy=0;(**) ;
Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: M=√x
a2+ y2 b2+
z2
c2=√1−2
(6)chøng minh r»ng nÕu: √a a'+√b b'+√c c'=√(a+b+c)(a'+b'+c') th× a a'=
b b'=
c c'
HD.Bình phơng hai vế ta đợc: a a'
+b b'+c c'+2√a a'√b b'+2√b b'√c c'+2√c c'√a a'=a a'+b b'+c c'+a b'+a c'+b a'+b c'+c a'+c b'
⇔2√a a'
√b b'
+2√b b'√c c'+2√c c'√a a'=a b'+a c'+b a'+b c'+c a'+c b'
⇔(a b'−2√a a'√b b'+b a')+(a c'−2√c c'√a a'+c a')+(b c'−2√b b'√c c'+c b')=0
√b c'−√c b'¿2=0
√a c'−√c a'¿2+¿
√a b'−√b a'¿2+¿
⇔¿
⇔(√a b'−√b a')=0,(√a c'−√c a')=0,(√b c'−√c b')=0⇔a b'=b a', a c'=c a', b c'=c b'
⇔ a
a'= b b';
a a'=
c c';
b b'=
c c'⇔
a a'=
b b'=
c c'
Bµi tËp 17:
a)Cho S=
√1 1998+
√2 1997+ +
1
√k(1998−k+1)+ +
1981 HÃy so sánh S 1998 1999
b)Cho A=
√1 1999+
√2 1998+
√3 1997+ .+
√199−1 H·y so s¸nh A > 1,999
HD áp dụng BĐT: a+b 2ab
ab
a+b Ta cã:
a) S ≥
1+1998+ 2+1997+
2
3+1996+ +
2
k+1998− k+1+ +
√198−1=¿ ¿21998
1999+ +
√198−1≥2 1998 1999
b) Tơng tự câu a
Bài tập 18.Tìm x, y cho √x+y − z=√x+√y −√z DDK: x , y ≥0, z ≥0, x+y − z ≥0
HD BPHV ta đợc: √x+√y¿
2⇔
x+y − z+z+2√x+y − z.√z=x+y+2√xy
√x+y − z+√z¿2=¿ ¿
2√x+y − z.√z=2√xy , BPHV ta đợc: (x+y − z).z=xy⇔xz+yz− z2−xy=0
⇔z(x − z)− y(x − z)=0⇔(x − z).(z − y)=0⇔x=z , z=y , x=y=z
Bµi tËp 19 Cho (a+√a2
+2006).(b+√b2+2006)=2006 , h·y tÝnh tæng a + b HD: (a+√a2
+2006).(b+√b2+2006)(a −√a2+2006)=2006(a −√a2+2006)
⇔.(b+√b2+2006)(a2− a2−2006
)=2006(a −√a2+2006)
⇔(b+√b2+2006)(−2006)=2006(a −√a2+2006)⇔(b+√b2+2006)=(√a2+2006− a)
⇔a+b=√a2+2006−√b2+2006,(∗)
Làm tơng tự ta đợc: a+b=√b2+2006−√a2+2006,(**)
Cộng vế với vế (*) (**) ta đợc: 2(a+b)=0 a+b=0
Bµi tËp 20 Chøng minh r»ng nÕu √x+√y −√z=0 th× y+z − x+
1
z+x − y+
x+y − z=0 HD √x+√y¿
2
=√z2⇔x+y+2√xy=z⇔x+y − z=−2√xy
√x+√y −√z=0⇔¿ ;
−√y¿2⇔x+z −2√xz=y⇔x+z − y=2√xz
√x −√z¿2=¿
√x+√y −√z=0⇔¿
(7)
−√x¿2⇔y+z −2√yz=x⇔y+z − x=2√yz
√y −√z¿2=¿
√x+√y −√z=0⇔¿
Thay kết ta đợc:
1
y+z − x+
z+x − y+
x+y − z= 2√yz+
1 2√zx−
1 2√xy=
√x
2√xyz+
√y
2√zxy−
√z
2√xyz=
√x+√y −√z 2√xyz =0
Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức M=x(4 y) (4− z)+√y(4− z) (4− x)+√z(4− x) (4− y)−√xyz víi x,y,z > tho¶ m·n x+y+z+√xyz=4
Bài tập 22 Cho số a, b, c khác đôi là: a+b c =
b+c
a = c+a
b Tính giá trị biểu thức M=(1+a
b).(1+ b c).(1+
c a)
HD a+b c =
b+c
a = c+a
b =
a+b+b+c+c+a
c+a+b =
2(a+b+c)
a+b+c =2⇒a+b=2c , b+c=2a , c+a=2b
⇒M=(1+a
b).(1+ b c).(1+
c a)=(
a+b
b )( b+c
c )( a+c
a )=
2c b
2a c
2b a =