Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9 ( Mời các thầy cô xem và cho ý kiến do thời gian chuẩn bị cha đợc kỹ mong thầy cô bỏ qua, ngời viết Nguyễn Thanh Hùng ĐVCT Trờng THCS Tiên Nha Lục Nam Bắc Giang ĐT 0986713720 độc giả đợc chỉnh sửa thoải mái) Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức: cbacba 111111 222 ++=++ HD. ++ +++++=++= cabcabcabcab cbacba VT 111 2 111 2 111111 222222 VP cbacbaabc cba cbabca b abc a abc c cba =++= ++= ++ ++= ++ ++= 111111 2 111 2 111 222 Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 532 ++ là số vô tỉ. HD.Giả sử: a =++ 532 (a hữu tỉ ).Thế thì 532 =+ a .Bình phơng hai vế ta đợc: 2 56525625 2 2 a aaa =++=+ , tiếp tục BPHV ta có: a a a a aa 2 56 4 30 4 30256 2 4 4 2 ==++ (hiển nhiên a # 0 ), 30 là số hữu tỉ,vô lí . Vậy 532 ++ là số vô tỉ. Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức: ( ) 2 2 1 11 1 + ++= a a A với a # 0; b)Tính giá trị tổng: 22 2 1 1 1 1 ++= B + 22 3 1 2 1 1 ++ + 22 4 1 3 1 1 ++ ++ 22 100 1 99 1 1 ++ . HD. a). = + +++++ = + ++++ = + ++= 22 2222 22 2222 22 2 )1( 12)1( )1( )1()1( )1( 11 1 aa aaaaa aa aaaa aa A [ ] 22 2 22 22 22 22 22 222 )1( 1)1( )1( 1)1(2)1( )1( 1)1(2)1( )1( 122)1( + ++ = + ++++ = + ++++ = + ++++ = aa aa aa aaaa aa aaaa aa aaaa 2 2 )1( 1 + ++ = aa aa ; Với a > 0 nên A > 0 và )1( 1 2 + ++ = aa aa A . b) Từ câu a suy ra: ( ) 1 11 1 )1( 1 1 )1( 1)1( )1( 1 1 11 1 2 22 + += + += + ++ = + ++ = + ++= aaaaaa aa aa aa a a A . Do đó: = +++ ++ ++ += 100 1 99 1 1 . 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B .99,99 100 1 100 100 1 99 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 99 == ++++= Bài tập 4. Rút gọn biểu thức: a) A = nn + ++ + + + + + 1 1 . 43 1 32 1 21 1 b) B = 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 1 c) C = 10099 1 . 43 1 32 1 21 1 + + HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức: 1 12 12 12 12 1 21 1 = = + = + làm tơng tự ta đợc: 1 .342312 1 1 . 1 34 1 23 1 12 ++++= ++ + + = nn nn A 11 .342312 =++++= nnn . b) 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + = B = )99100(99100 1 . )34(34 1 )23(23 1 )12(2 1 + ++ + + + + + = )99100(99100 1 . )34(34 1 )23(23 1 )12(2 1 + ++ + + + + + = )99100(99100 )99100( . )34(34 )34( )23(23 )23( )12(12 )12( ++ + + = 99100 )99100( . 34 )34( 23 )23( 12 )12( ++ + + = 10 9 10 1 1 100 1 99 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ==++++ . c)Trục căn thức rồi rút gọn. Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 1 11 x zy xA ( )( ) + + ++ 2 22 1 11 y xz y ( )( ) 2 22 1 11 z yx z + ++ . HD. Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y 2 ta đợc: xy + yz + zx + y 2 = ( xy + y 2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x 2 ta đợc xy + yz + zx + x 2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = 1 vào 1 + z 2 ta đợc xy + yz + zx + z 2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: xzyzxyA 222 ++= Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) + + ++ = 2 22 3 33 3 x zy x yz B ( )( ) + + ++ 2 22 3 33 3 y xz y zx ( )( ) 2 22 3 33 3 z yx z xy + ++ . HD. Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y 2 ta đợc: xy + yz + zx + y 2 = ( xy + y 2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x 2 ta đợc xy + yz + zx + x 2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = 3 vào 3 + z 2 ta đợc xy + yz + zx + z 2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3. Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và cbcaba +++=+ . Chứng minh rằng: 0 111 =++ cba . HD. cbcacbcabacbcabacbcaba ++++++=++++=++++=+ .2)()( 22 22222 )).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac =+++++=++=++= 0 22 =++=+++ bcacabccbcacab , chia hai vế cho abc ta đợc: 0 111 =++ cba . Bài tập 8. Cho xzyzxyzyx ++=++ trong đó x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng: zyx == . HD. Nhân hai vế đẳngthức với 2 ta đợc: )(2)(2 xzyzxyzyxxzyzxyzyx ++=++++=++ Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 2 zyxxzzyyx ===++ 0)()()( 222 Bài tập 9. Chứng minh rằng: a)Nếu a > 1, với mọi n N ta đều có: n n n n a a a a a a 11 = + ; b)Nếu 0,0 ba thì 0 =+=+ abbaba ; c) ( ) 0 333 =++=+ baabbaba HD.a) n n n n n n n n n n a a a a aa a aaaa a a aVT 11 . 1 . 1 = = = += , với a > 1, với mọi n N . b)Với 0,0 ba bình phơng hai vế ta đợc: 0022 ==++=+ abababbaba . c) Lập phơng hai vế ta đợc: ( ) 00)(333 22 =+=++++=+ baabbaababbababa Bài tập 10: Chứng minh nếu 3333 cbacba ++=++ thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có: nnnn cbacba ++=++ . Bài tập 11.Cho byaxzczaxyczbyx +=+=+= ,, và zyx ++ # 0. Tính giá trị của biểu thức: cba B + + + + + = 1 2 1 2 1 2 . HD. Cộng vế với vế ta đợc: )(2 czbyaxzyx ++=++ , thay thích hợp ta đợc: z zyx cczczzzyx 2 1)1(2)(2 ++ =++=+=++ ; tơng tự ta có; x zyx a y zyx b 2 1 2 1 ++ =+ ++ =+ ; thay vào B ta đợc: 24 )(4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 == ++ ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ = zyx zyx zyx z zyx y zyx x z zyx y zyx x zyx B Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu x xt t yt y xy 1 11 + = + = + thì tyx == , x. y. t = 1. HD. Ta có: x t t y y x x xt t yt y xy 1111 11 +=+=+= + = + = + Cộng trừ vế với vế ta đợc: ty ty yt yx == 11 ; xt xt tx ty == 11 ; yx yx xy xt == 11 ; Nhân vế với vế ta đợc: yx yx xt xt ty ty xttyyx = .))()(( ; Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 3 ( )( ) 1 )( ))()(( = = tyx xyt yxxtty xttyyx hoặc tyxxttyyx ===== 0;0;0 Bài tập 13. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn ( ) 222 2 cbacba ++=++ . Tính giá trị biểu thức: abc c acb b bca a P 222 2 2 2 2 2 2 + + + + + = . HD. ( ) 0222222 222222222 2 =++++=+++++++=++ cabcabcbacabcabcbacbacba bcabcacaabbccabcabcabcab ====++ ,,0 , thay vào P ta đợc: cabcabc c bcabacb b caabbca a abc c acb b bca a P + + + + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 )()()()()()( 222 cbacbc c bacbab b cabcaa a + + + + = ))(())(())(())(())(())(( 222222 cacb c cbba b baca a cacb c bcba b baca a + = + + = ))()(( )( ))()(( )( ))()(( )( 222 bacacb bac cacbba cab cbbaca cba + = = ++ = + = ))()(( )( ))()(( )()()( 22222222 cbbaca bcaccbabcba cbbaca bacacbcba [ ] 1 ))()(( ))()(( ))()(( )()()( ))()(( ))(( ))()(( )())(()( ))()(( )( 2 222222 = = = + = ++ = ++ = cbbaca cabacb cbbaca cbcbaacb cbbaca bcacabacb cbbaca cbbccbcbacba cbbaca bccbacabcba Bài tập 14. Cho 0 =++ cba và a,b,c # 0. Chứng minh rằng: 222 2 222 2 222 2 666 bac c acb b cba a A + + = là số nguyên. HD. ( ) [ ] (*),22)(0 222222 2 2 bccbabccbacbacbacba =++==+==++ ; Biến đổi tơng tự ta có đợc: *);*(*,2(**),,2 222222 abbaccaacb == Thay (*),(**),(***) và A ta đợc: **)*(* )(3 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 333 222222 abc cba ab c ca b bc a ab c ca b bc a A ++ =++=++= Ta lại có: ( ) [ ] )33()(0 22333 3 3 bccbcbacbacbacba +++==+==++ )(3)(3)33( 33333322333 abccbacbbccbabccbcba =+++=+++=++ *)***(*,3 333 abccba =++ Thay (*****) vào (****) ta đợc: 39 3.3)(3 333 === ++ = abc abc abc cba A Bài tập 15. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: 0 =++ z c y b x a và 1 =++ c z b y a x . Tính *)*(*; 2 2 2 2 2 2 c z b y a x M ++= . HD. Ta có 122211 2 2 2 2 2 2 2 2 =+++++= ++=++ ca zx bc yz ab xy c z b y a x c z b y a x c z b y a x Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 4 (*)212112 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ = ++=++= +++++ abc zxbyzaxyc ca zx bc yz ab xy c z b y a x ca zx bc yz ab xy c z b y a x ; Ta lại có: (**);000 =++= ++ =++ cxybxzayz xyz cxybxzayz z c y b x a ; Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: 1 0 21 2 2 2 2 2 2 ==++= abc c z b y a x M Bài tập 16. Cho các số dơng a, b, c và cba ,, chứng minh rằng nếu: ( )( ) cbacbaccbbaa + + ++= + + thì c c b b a a = = . HD.Bình phơng hai vế ta đợc: bcaccbabcabaccbbaaaaccccbbbbaaccbbaa + + + + + + + + = + + + + + 222 bcaccbabcabaaaccccbbbbaa + + + + + = + + 222 0)2()2()2( = + + + + + bcccbbcbacaacccaabbbaaba 0)()()( 222 = + + bccbaccaabba bccbaccaabbabccbaccaabba = = = = = = ,,0)(,0)(,0)( c c b b a a c c b b c c a a b b a a = = = = = ;; . Bài tập 17: a)Cho ( ) 1198 1 . 11998 1 1997.2 1 1998.1 1 ++ + +++= kk S . Hãy so sánh S và 1999 1998 2 . b)Cho 1199 1 . 1997.3 1 1998.2 1 1999.1 1 ++++= A . Hãy so sánh A > 1,999. HD. áp dụng BĐT: ba ab abba + + 21 2 . Ta có: a) = ++ ++ ++ + + + + + 1198 1 11998 2 19963 2 19972 2 19981 2 kk S 1999 1998 2 1198 1 1999 1998 2 ++= b) Tơng tự câu a. Bài tập 18.Tìm x, y sao cho zyxzyx +=+ .DDK: x 0 0,0,0, + zyxzy HD. BPHV ta đợc: xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()( 22 ++=+++++=++ xyzzyx 2.2 =+ , BPHV ta đợc: 0).( 2 =+=+ xyzyzxzxyzzyx zyxyzzxyzzxzxyzxz ====== ,,0)).((0)()( . Bài tập 19. Cho ( ) ( ) 20062006.2006 22 =++++ bbaa , hãy tính tổng a + b. HD : ( ) ( ) ( ) ( ) 2006200620062006.2006 2222 +=+++++ aaaabbaa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*),20062006 200620062006200620062006 2006200620062006. 22 2222 2222 ++=+ +=+++=++ +=++ baba aabbaabb aaaabb Làm tơng tự ta đợc: (**),20062006 22 ++=+ abba Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc: ( ) 02 =+ ba vậy 0 =+ ba . Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu 0 =+ zyx thì 0 111 = + + + + + zyxyxzxzy . Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 5 HD. xyzyxzxyyxzyxzyx 22)(0 2 2 =+=++=+=+ ; xzyzxyxzzxyzxzyx 22)()(0 22 =+=+==+ ; yzxzyxyzzyxzyzyx 22)()(0 22 =+=+==+ Thay các kết quả ta đợc: 0 22222 1 2 1 2 1111 = + =+=+= + + + + + xyz zyx xyz z zxy y xyz x xyzxyz zyxyxzxzy Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( ) xyzyxzxzyzyxM ++= 444444 với x,y,z > 0 thoả mãn 4 =+++ xyzzyx . Bài tập 22. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là: b ac a cb c ba + = + = + . Tính giá trị biểu thức + + += a c c b b a M 1.1.1 . HD. bacacbcba cba cba bac accbba b ac a cb c ba 2,2,22 )(2 =+=+=+= ++ ++ = ++ +++++ = + = + = + 8 82 . 2 . 2 1.1.1 === + + + = + + += cba cba a b c a b c a ca c cb b ba a c c b b a M Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 6