Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mn hệ thức tương ứng đã cho.. Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT1[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.Tính chất
* với a > 0, b > 0, ta có:
b a b
a b
a ab a
a a
a a a
a
a
; ; ( ) ; ( ) ;
a > : a a < a < :a a
0 1; ;
m n
n n m
n
a a a a
a
* Quy tắc tính:
m n m n
a a a
;
n
m mn
a a
;
n n
n
a a
b b
;
m
m n n
a a a
;
n n n
ab a b
* Quy tắc so sánh:
+ Với a > am an m n + Với < a < am an m n
2 Căn bậc n:
n a b n a bn
;
n n
n
a a
b b
p
n ap n a
m n a mna
Nếu
p p
n m n ap maq ; Nếu biết mnam n a
3 Lôgarit
logab a b
log
log 0; log 1; log b ; ab
a a a a a b a b
* Tính chất so sánh:
+ Với a > thì: logab logac b c
+ Với < a <1 thì: logab logac b c
(2)
loga b c logablogac loga loga loga b
b c
c
loga b loga b
1
loga b loga b
log n log
a b n ab
* Công thức đổi số:
log log
log a b
a c c
b
hay log logab b cloga c
log
log a
b b
a
hay log loga b b a 1; alogbc clogba
* Chú ý: Lơgarit thập phân (cơ số 10 kí hiệu là: logx lgx Lơgarit số e kí hiệu là: lnx
Ở phần xem đk có đủ để logarit có nghĩa
4 Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm hàm số sơ cấp thường gặp
Đạo hàm hàm số hợp u = u(x.
x ' .x
u ' .u1 'u
,
2
1
x x
'
1 u' u u
x ' 21 x
' '
2 u u
u
'
1
n
n n
x
n x
'
1
'
n
n n
u u
n u
sinx' cosx sinu' u'.cosu
cosx' sinx cosu' u'.sinu
'
1 tan
cos x
x
'
2
' tan
cos
u u
u
'
1 cot
sin x
x
cot ' 2'
sin u u
u
ex ' ex
eu ' u e'. u
ax ' ax.lna
au ' u a' .lnu a
ln x'
x
lnu' u'
u
log '
.ln
a x
x a
log ' '
.ln
a
u u
u a
(3)(ex)'=ex (ax)'=ax ln a (ln|x|)'=1
x (loga|x|)'=
axln a
(xα)'=α xα −1(α ≠ , x >0) (√n x)'=
n√n xn− 1
(eu)'=u' eu (au)'=u ' au ln a (ln|u|)'=u '
u (loga|u|)'= u'
u ln a (uα)'=α uα −1u ' (√nu)'= u '
n.√nun −1
Bài tập: LUỸ THỪA
Bài 1:Tính a
1
5
3 1
3
2 4
3 : : 16 : (5
A
b B=
1 3
(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
4
Bài 2: a Cho a = (2 3)1 b = (2 3)1 Tính A= (a +1.-1 + (b + 1.-1
b cho a = 4 10 5 b = 4 10 5 Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a A = 2 23 b B =
3 23
3 c C = 27 33
Bài Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ biểu thức sau :
a/ 2 23 b/
11
:
a a a a a ; a > c/ 4 x23 x
; (x > d/
5 a a3
b b ; (ab >
0
Bi Đơn giản biểu thức sau :
a/ (a 5)4 b/ 81a b4 ; (b 0) c/ x x8( 1) ; (4 x1)
d/
2
2
1 ( )
( )
a a b P
a b ab
e/
2
1
1 1
2 2
4 3
;( 0; 1; ) 2
a a a a
Q a a a
a a a a
Bài 6/ Tính giá trị biểu thức :
a/
2
3
3
2
2
2 3
:
( )
a b a a b
A
a a b b
a ab
; với
6 a
3 b
b/
3
3
2 3
2 ( ) (2 ) A a b ab a
; với
2 a
1
(4)Bài Rút gọn biểu thức:
a/
2.( )1
a a
b/ b 3:b( 1)
c/ x4 x x2: 4 d/ (a325)35 Bài So sánh
a/ 3600 400
5 b/ ( ) 14
2.2 c/ 33
và
Bài Đơn giản biểu thức sau
a A = (a 5)4 b B = 81a b4 vớib c C = (a325)35 (a >
d E =
2
1 1
2 2
1 1
2 2
( )
2 ( )
x y x y x y xy x y x y
với x > 0, y > 0
e F =
2 2 1 a x x x
với x =
1 a b b a
vaø a > , b >
f G =
a x a x a x a x
Với x = 2
1 ab
b vaø a > , b > 0
g J =
2
1
1 1
2 2
4
2
a a a a a a a a
với < a 1, 3/2
h 3 3
a b a b a b a b
i
1 4
1 a a a
a a a a j
4 2 4 2
3
a b a b
a a a
a ab
k
2 3 3 2 2 3 : x x y x y
x x y y x xy
Đơn giản biểu thức.
Bài 10 a
√√x6 y12−(5
√x y2)5 b a
3b+ab
4 3
√a+3
√b c
a− 1 a +a
.√a+
4
√a
√a+1 .a
1
+1
d (
m+√2− m2
+4 m3+2√2).(
m 2−
1
√2+ m)
Bài 11 Tính giá trị biểu thức.
a 81−0 , 75+( 125)
− 13
−( 32)
− 35
b
90
¿2
−2¿− 2 64
2
3−8− 1
1
+¿
0 ,001− 13−
¿
c 27
2
+( 16)
−0 , 75
−250,5 d
− 3¿−3
−0,5¿− 4−6250 ,25−(21
4)
−112
+19¿ ¿
Bài 12 Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
a 18√725 ax3 b
√a5.√4a c √8b3.√4b d 13√4 27 √3a
(5)a ((√3)√3)√3 b 41 −2√3 161+√3 c 27 √2
33√2 d (2
5
√8)√54
Bài 14 Đơn giản biểu thức.
a
a√2− b√3
¿2 ¿ ¿
a2√2−b2√3
¿
b (a2√3−1)(a2√3+a√3+a3√3)
a4√3− a√3 c
aπ
+bπ¿2−(4
1
π ab) π
¿
√¿
Bài tập: LOGARIT Bài 15: Tính
A = log24 B= log1/44 C =
5
1 log
25 D = log279
E = log4 48 F = 3
log
G =
3
1 5
2
4 log
2
H=
1 3
27
3 log
3
I = log (2 2)16 J=
0,5
log (4)
K = loga3a L =
5
2
1
log ( )
a
a a
Bàii 16: Tính
A = 4log 32 B = 27log 39
C = 9log 23
D =
3
2log
3
E =
1log 10
8 F = 21 log 70 G = 23 4log 3 H = 9log 3log 53
I = (2 )a log 1a
J = 27log 3log 53
Bài 17 Tính :
a/
3
2
4 16
log ( )
2 b/ 31 log 4 2log 32
c/
2
8
1
log 3log log 2
16 4
d/ Tính log 3249 theo a nếu log 14 a2
e/ Tính log 7224 theo a nếu log a6 f/ Tính log 65 theo a b nếu 100
log a và log1002 b
g*/ Chứng minh :
a a
ax
a
log log
log ( )
1 log
b x
bx
x
Bài 18: Tính :
a 3log35 b 3log94 c
3
2
1
log
d 5log5 53 e 34
3 log
f
3
2
1
log
(6)Bài tập:CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 19 :
a Tính log308 biết log303 a ; log305 b
b Tính log54168 biết log712 a , log1224 b
c Tính
3
27 25 log
biết log53 = a
d Tínhlog4914 biết log2898 = a
e Tính log21x biết log3x a , log7x b
Bài 20: Tính giá trị biểu thức.
1 log915 + log918 – log910 log1
6 −1 2log1
3
400+3 log1
3
√45
3 log362−
1 2log1
6
3 log1
(log34 log23)
5 (8114− 2log94
+25log1258) 49log72 161+ log45
+42
1
2log23+ log55
7 72(4912log79− log76
+5−log√54)
Bài 21 :Tìm x biết
log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63
log4x = 13log4216 − log410+4 log43
Rút gọn biểu thức
Bài 22: Rút gọn biểu thức
A = log 8log 813 B =
1
3
log 25log
C =
3
2 25
1
log log
D = log 6log 9log 23 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 F =
log 30 log 30
G =
5 625
log
log H =
2
96 12
log 24 log 192 log log
Bài 23 : Biểu diễn log308 qua log305 v log303
Bài tập: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số
Bài 24: Tìm tập xác định hàm số sau
a y =
3 log
10 x b y = log3(2 – x.2 c y =
1 log
1 x x
d y = log3|x – 2| e.y =
2 log ( 2)
x x
f y =
2
log
1 x x
g y =
2
2
log x 4x
h y =
1
(7)Vấn đề 2: Tìm đạo hàm hàm số
Bài 25: Tính đạo hàm hàm số mũ
a y = x.ex b y = x7.ex c y = (x – 3.ex d y = ex.sin3x
e y = (2x2 -3x – 4.ex f y = sin(ex. g y = cos( ex22 1x
h y = 44x –
i y = 32x + 5 e-x +
1 3x
j y= 2xex -1 + 5x.sin2x k y =
2
1 4x
x
Bài 26 Tìm đạo hàm hàm số
a y = x.lnx b y = x2lnx -
2
2 x
c ln( x 1x2 . d y = log3(x2- 1.
e y = ln2(2x – f y = x.sinx.lnx g y = lnx.lgx – lna.log
a(x2 + 2x +
Bi 27 Chứng minh hàm số sau thỏa mn hệ thức tương ứng cho.
1 y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2 y = ln(cosx ; y’tanx – y’’ – =
3 y = ln(sinx ; y’ + y’’sinx + tan2 x
= y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5 y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2
@ Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
a Dạng bản:0a 1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) log ( 0)
f x g x
f x b
a
a a f x g x
a b f x b
b Các phương pháp giải Dạng Đưa số Bài : Giải phương trình sau
1 2x4 3 2
2 6
2
2x x 16 32x3 9x23x5
4 2x2 x 41 3 x 52x + 1 – 52x -1 = 110
5 17
7
32 128
4
x x
x x
7 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 (1,25.1 – x = (0,64)2(1 x)
9 3x+1+ 3x+2+3x+3 = 9.5x+ 5x+1+5x+2
10 2x2 x 41 3x 11.
2
x 6x
2
2 16 2
(8)Dạng đặt ẩn phụ ( Cần nắm vững.
Bài : Giải phương trình
1 22x + 5 + 22x + 3 = 12 2 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
3 52x + 4 – 110.5x + – 75 = 4
1
5
2
2 5
x x
5 x 53 x 20 4 15 4 15
x x
7 6 6 10
x x
8)32x1 9.3x 6 0 (TN – 2008 7x 2.71x
(TN – 2007 10 22x2 9.2x 2 0 (TN –2006.
11 4x+1-6.2x+1+8=0 12.5 24 5 24 10
x x
;
13
3
3 x 16 x 2x
14 3.25x + 2.49x =5.35x
15 31+x+31-x =10 16.34x+8-4.32x+5+27=0
17 4x+1-6.2x+1+8=0 18.64x -8x-56=0 19 3.4x-2.6x=9x
Dạng Logarit hóạ
Bài Giải phương trình
a 2x - = 3 b 3x + 1 = 5x – c 3x – 3 = 5x27x12
d 2x2 5x25x6 e
1
5 500
x x x
f 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Dạng sử dụng tính đơn điệu (nâng cao.
Bài 4: giải phương trình
a 3x + 4 x = 5x b 3x – 12x = 4x c + 3x/2 = 2x
Bi tập lm thm
1 4x 2.2x1 4 0 9 1 3
x x
2 1
2
x x
4
1 22
x x
22x 22x 15
2 2
1
x x
7 9
2
) ( log
x
x
x 2 16 2
5
2
x x
7
1
2
2 . 25 . 0
16
x
x x
x
10 52 x=625 11 16− x=82(1− x) 12 2log8(x
−6 x+9 )=32 logx√x −1
13 101+ x2−101− x2=99 14 (0,2.x-1 = 15 (13)
3 x −1
=3
16 4x2−3 x+2=16 17 (12)
x2
−2
=24 −3 x 17 (3 −2√2)2 x=(3+2√2)
18 (√5+2)x− 1
=(√5− 2)
x −1
x+ 1 19 3|x2−5|=9x+1 20 5x−❑√x2+4=25 21 3x.2x+1 = 72 22
(12)
x +7
.(1 2)
1 −2 x
=2 23 4x +1 3x −3 5x+ 1=20√60 27
(9)26 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
Giải các phương trình.
1 4x + 2x+1 – = 0 2 4x+1 – 2x+1 + = 0
3 34x+8 – 32x+5 + 27 4 31+x + 31-x = 10
5 5x-1 + 53 – x = 26 6 9x + 6x = 4x
7 4x – 52x = 10x 8 27x + 12x = 8x
9 (2+√3)x+(2 −√3)x=2 10 (√7 −√48)x+(√7+√48)x=14
11 (√6+√35)x+(√6 −√35)x=12 12 (7+3√5)x+(7 − 3√5)x=14 2x
13 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 14 8x+1 + 8.(0,5.3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5.x
Vấn đề 2: Phương trình logarit Dạng Đưa số
Bài 1: giải phương trình
a log4(x + – log4(x -2 = log46 b lg(x + – lg( – x = lg(2x +
c log4x + log2x + 2log16x = d log4(x +3 – log4(x2 – =
e log3x = log9(4x + + ½ f log4x.log3x = log2x + log3x –
g log2(9x – 2+7 – = log2( 3x – + h log3x2log3x 2 log 53 (TN L2
2008
Dạng đặt ẩn phu ( Cần nắm vững
Bài 2: giải phương trình
a
1
1
4 ln x2 ln x b logx2 + log2x = 5/2
c logx + 17 + log9x7 = d log2x + 10log2x 6
e log1/3x + 5/2 = logx3 f 3logx16 – log16x = 2log2x
g
2
2
2 2
log x3log xlog x2
h lg 16 l g 64 3x2 o 2x
Dạng mũ hóa
Bài 3: giải phương trình
a – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x b log3(3x – = – x
Bài tập làm thêm
1 log2x(x + = log2x + log2(x + = log(x2 – 6x + = log(x –
3
4 log2(3 – x + log2(1 – x = log4(x + – log2(2x – + =
6 log√5x log25x
log5x =log1252 x 7logx + xlog7 = 98 log2(2x+1 – = x
9 101+ x2
−101− x2
=99 10 x
1
lg x=10x4 11
xlog2x+4=32
12 log2x log22 x=log24 x 13 lg2
x −3 lg x=lg x2−4 14 log2
2x
+
(10)15 log2x+log2(x −1)=1 16 log2x+log4x+log8x=
33
17 log2(9 −
x
)=3 − x 18 log3x − log9x=5
19 log3x+log93 x +log27x=5
3 20 log2x+log4x=log12
√3
21 logx2 − log4x +7 6=0
Giải các phương trình.
1 log22(x - 1.2 + log2(x – 1.3 = log4x8 – log2x2 + log9243 =
3 3√log3x −log33 x=3 4log9x + logx3 =
5 logx2 – log4x + 76=0
1+log3x 1+log9x
=1+log27x 1+log81x
7 log9(log3x + log3(log9x = + log34 log2x.log4x.log8x.log16x = 32
9 log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x
Bài tập: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ(0a1)
* Chú ý: -Hàm số y=ax đồng biến a>1 nghịch biến 0<a<1
- Cách giải phương trình mũ cồn đúng cho việc giải bpt mũ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x f x g x neu a
a a
f x g x neu a
( ) ( ) log 1
.
( ) log 1
b a f x
b a
f x neu a
a b
f x neu a
Bài 1: Giải bất phương trình ( Cùng số.
a 16x – 4 ≥ 8 b
2
9
x
c
6
9x 3x
d 4x2 x
e
2
4 15
3
1
2
2
x x
x
f 52x + > 5x
Bài 2: Giải bất phương trình ( Đặt ẩn phụ.
a 22x + + 2x + 7 > 17 b 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c
1 1 2
4x 2x 3
d 5.4x+2.25x 7.10≤ x e 16x – 24x – 42x – 15 ≤ f 4x +1 -16x 2log≥ 48
g 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 3: Giải bất phương trình
a 3x +1 > 5 b (1/2 2x - 3≤ c 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2.
Giải các bất phương trình sau.
1 125
2
X X
(11)3
1 27 x
4
4 2
1
x x
5 ( 3)2 9x2
x
6
3 7
3
3 7
3
x x
7
2
2
7
3
x x
8 25 4.5 5 0
x
x
9
3
1
2
2 2
x x x
x
10 4x 2x 2 0 11 3.4x 2.6x 9x
12 2x2 2x3 2x4 5x1 5x2 13 62x3 2x7.33x1
14 3x 9.3x 100
15
6
3
9x x
Giải bất phương trình
1 32x5 1 27x < 3
1
1
x x
4 62x3 2x7.33x1 9x 3x1 4 3x – 3-x+2 + > 0
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
* Chú ý: -Hàm số logarit đồng biến a>1 nghịch biến 0<a<1
(12)( ) ( ) ( ) ( )
.log log
0 ( ) ( )
f x g x
a a
f x g x a
f x g x a
neáu neáu
( ) ( )
.log
0 ( )
b f x
a b
f x a a
b
f x a a
neáu neáu
Bài 1: Giải bất phương trình ( Cùng số.
a log4(x + > log4(1 – x b log2( x + ≤ log2(3 – 2x –
c log2( x2 – 4x – < d log1/2(log3x ≥
e 2log8( x- – log8( x- > 2/3 f log2x(x2 -5x + <
g 13
3
log
2
x x
Bài 2: Giải bất phương trình ( Đặt ẩn phụ.
a log2
2 + log2x ≤ b log1/3x > logx3 – 5/2
c log2 x + log2x ≤ d
1
1 log xlogx
e
16
2
1
log 2.log
log
x x
x
f
4
3 log (3 1).log ( )
16
x
x
Bài Giải bất phương trình
a log3(x + ≥ – x b log5(2x + < – 2x
c log2( – x > x + d log2(2x + + log3(4x + ≤
Giải các bất phương trình sau:
1 log2 x 5
2
) ( log ) (
log 2
2
1 x x
3
1 log
) (
log0.25 0.25 x x
4
6 log
log log
3
3 x x x
5
0 log
log
2
2
1 x x
6 ln(5x10) ln(x2 6x8)
7
4 ) (
log
2
1 x x
8 log2(x2 1)3
9 log3(x 3)log3(x 5)1
(13)11
5 ) ( log
2
1 x
12
3 log4
x
x
13 log0,8(x2 + x + < log0,8(2x +
14
0 )
2 (log
log 2
3
1
x x
15 log22x + log24x – > 16
0 log log
3
x
x
17 log2(x + 4.(x + −6 18 logx
3 x −1
x2+1 >0 19 |log4x −3|<1
20 log2x + log3x < + log2x.log3x 21 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4
22 log1
3[(
1 2)
x
− 1]<log1
2[(
1 4)
x
− 3] 23 log4log3
x −1 x +1<log1
4
log1
x +1 x −1
Bài tập: TỔNG HỢP MŨ VÀ LOGARIT
1
1
(9 7) (3 1)
2
log x log x 2
2
1
(4 2) (2 1)
2
2
log x log x 0