Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.. Bước 2: Lũy thừa hai vế đ[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI (Ban bản)
Vấn đề 1: Điều kiện phương trình f(x)=g(x) .
Điều kiện phương trình điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghĩa Chú ý: 1) Phương trình dạng: f
(x)=√g(x)
Đặt điều kiện: ¿ f(x)≠0
g(x)≥0 ¿{
¿
2) Phương trình dạng: f (x)=
1
√g(x) Đặt điều kiện:
¿ f (x)≠0 g(x)>0
¿{ ¿
Ví dụ 1:Tìm điều kiện phương trình sau 1) 2x
x2−4=√x −3 2)
x+4
√x −1=√2− x 3) √2x+1=
x 4) x √x −1=
2 √x+3 Giải:
1) Điều kiện:
¿ x2−4≠0
x −3≥0 ¿{
¿
⇔ x ≠2 x ≠ −2
x ≥3 ¿{ {
⇔x ≥3
2) Điều kiện:
¿ 2− x ≥0 x −1>0
¿{ ¿
⇔ x ≤2 x>1 ¿{
⇔1<x ≤2
3) Điều kiện:
¿ x ≠0 2x+1≥0
¿{ ¿
⇔ x ≠0 x ≥ −1
2 ¿{
4) Điều kiện:
¿ x −1>0 x+3>0
¿{ ¿
⇔ x>1 x>−3
¿{
⇔x>1
Bài tập tương tự: Tìm điều kiện phương trình sau 1) √3x −2=
2x+1 2) 3x 7 x 1 3) √2x+7=x −4
4) x −x+11=
√3− x 5) 1− x
= x
(2)Cho hai phương trình f1(x)=g1(x) (1) f2(x)=g2(x) (2) Gọi S1 S2 tập nghiệm (1) (2)
* Để chứng minh hai phương trình (1) (2) tương đương với ta chứng minh S1 = S2 Khi
ta viết: (1) (2)
* Để chứng minh phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) ta chứng minh S1 S2 Khi ta viết: (1) (2)
Ví dụ 1:
Chứng minh hai phương trình sau tương đương: x4
+1=x2+1 (1) x(x −1)(x+1)=0 (2) Giải:
(1) x2
(x2−1)=0
⇔ x=0
¿ x=1
¿ x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là: S1={0;−1;1}
(2) ⇔ x=0
¿ x=1
¿ x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={0;−1;1} Ta có: S1 = S2 Vậy: (1) (2)
Ví dụ 2: Cho hai phương trình √2x2−1=x (1) 2x2−1
=x2 (2) Hãy chứng minh (2) hệ (1)
Giải:
(1)
¿ x ≥0 2x2−1=x2
¿{ ¿
⇔ x ≥0 x2=1
¿{
⇔ x ≥0 x=1(n)
¿ x=−1(l)
¿ ¿⇔x=1
¿ ¿ ¿ ¿
(3)(2) x2
=1⇔ x=1
¿ x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={−1;1} Ta có: S1 S2 Vậy: (1) (2)
Bài tập tương tự:
1) Chứng minh hai phương trình sau tương đương: x2
+x=0 x+1¿
=0 x2
+¿ 2) Cho hai phương trình 2x2− x=0 (1) 4x2
=x (2) Hãy chứng minh (2) hệ (1)
Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn mẫu QP1(x) 1(x)
+P2(x) Q2(x)=0
Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để mẫu số khác
Bước 2: Quy đồng mẫu số, khử mẫu số đưa giải phương trình bậc bậc hai Bước 3: Kiểm tra điều kiện
Bước 4: Kết luận
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) x2(x −1)
x −1 =1 (1) 2)
x+3 x(x −1)+
3 x=
2− x x −1 (2) 3) 3x −x+24−
x+2=
x2−4+3 (3) 4) x+1+ x+3=
x+5 x+3 (4) Giải:
1) x2(x −1)
x −1 =1 (1)
Điều kiện: x ≠1
Với điều kiện trên, ta có: (1)
⇔x2=1⇔ x=1(l)ọ
¿ x=−1(n)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔x=−1
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=−1 2) x(x −x+31
)+ x=
(4)Điều kiện: ¿ x ≠0 x ≠1 ¿{
¿
Với điều kiện trên, ta có: (2)
⇔x+3+3(x −1)=(2− x)x⇔x(x+2)=0⇔ x=0(l)
¿ x=−2(n)
¿ ⇔x=−2
¿ ¿ ¿ Vậy phương trình (2) có nghiệm x=−2
3) 3x −x+24−x1+2=
x2−4+3 (3) Điều kiện:
¿ x ≠2 x ≠ −2
¿{ ¿
Với điều kiện trên, ta có:
(3) ⇔(3x+4)(x+2)−(x −2)=4+3(x2−4)⇔9x+18=0⇔x=−2 (loại vi phạm điều kiện) Vậy phương trình (3) vơ nghiệm
4) x+1+ x+3=
x+5 x+3 (4) Điều kiện: x ≠ −3
Với điều kiện trên, ta có:
(4)
⇔(x+1)(x+3)+2=x+5⇔x(x+3)=0⇔ x=0(n)
¿ x=−3(l)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔x=0
Vậy phương trình (4) có nghiệm x=0 Bài tập tương tự:
Giải phương trình sau: 1) x −42+x=3x −2
x −2 2)
x+1 2x −2+
3x
2x −3=4 3)
2x −5 x+1 =
3x −1 x −1 −1 4) 2xx++15−
2x
x −1−1=0 5)
1 1
x x x
x
6) 2x −x+11+ 3x+2
x =9 7) 2xx −4
+1 + x+3
2x −1=3 8) x+ x −1=
2x −1
x −1 9) x+
1 x −2=
2x −3 x −2 10) 2x+3+
x −1= x2+3
x −1 11) x −2
x+2− x=
2
x(x −2) 13) 1+ x −3=
(5)Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn dấu căn.
Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức dấu bậc chẵn không âm
Bước 2: Lũy thừa hai vế để khử dấu Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm Bước 4: Kiểm tra điều kiện
Bước 5: Kết luận
Chú ý: 1) Tính chất bản:
√A=B⇔ B≥0 A=B2
¿{
2)
A.B=0⇔ A=0
¿ B=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) √x −3=√9−2x (1)
Giải:
Điều kiện:
¿ x −3≥0 9−2x ≥0
¿{ ¿
⇔ x ≥3 x ≤9 ⇔3≤ x ≤9
2 ¿{
Với điều kiện trên, ta có: (1) ⇔x −3=9−2x⇔3x=12⇔x=4 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x=4
2) √x2
+2x −1=x −1 (2) Giải: Áp dụng tính chất bản
(2)
⇔ x −1≥0
x −1¿2 ¿ ⇔
¿ ¿x ≥1
¿
x2+2x −1=x2−2x+1 ¿
⇔ ¿ ¿ ¿x ≥1 x2+2x −1=¿
(6)Giải: Áp dụng tính chất bản (3) ⇔ √x2−3x −1=2x −7
⇔ 2x −7≥0
2x −7¿2 ¿ ⇔
¿ ¿ ¿x ≥7
2 x2−3x −1
=¿ ⇔ x ≥7
2 3x2−25x+50=0
⇔ ¿x ≥7
2 x=5(n)
¿ ¿ x=10
3 (l) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (3) có nghiệm x=5
4) x
2√x −5=
√x −5 (4) Giải:Điều kiện: x>5
Với điều kiện trên, ta có: (4) ⇔x=6 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (4) có nghiệm x=6
5) (x2−3x
+2).√x −3=0 (5) Giải:Điều kiện: x ≥3
Với điều kiện trên, ta có: (5)
⇔ x2−3x+2=0
¿ x −3=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
x2−3x
+2=0⇔ x=1(l)
¿ x=2(l)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(7)* x −3=0⇔x=3 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (5) có nghiệm x=3
Bài tập tương tự:
Giải phương trình sau:
1) x −√2x+16=4 2) √2x2+5x+1=x+3 3) √x2−7x+4=x −2 4) √x2−4x+2
=√1− x 5) √2x2
+5x+11=x −2 6) √x+1=5− x 7) 9x+√3x −2=10 8) √3x2+x+5=2+x 9)
√x2−2x+4=√2− x
10) √2x2−4x −2=x −1 11) √3x2−9x+1=√x −2 12) x+√2x2−2x+3=3 13) √3x2−9x+1=x −2 14)
√6x2−12x+7
=1− x 15) √− x2+3x+2=3x −4 16) √− x2+x+4=x+1 17) √2x2+4x −1=x+1 18) (− x2+4x+5)√x −3=0 19) √2x2
+x+6=x+2 20) √4x+7=2x −3 21) √2x2+x+8=x+4 22) √− x2+2x+4=3x −4 23) √4x −7=2x −5 24) x
2
√x −1= √x −1 25) x
2
−4x −2
√x −2 =√x −2 26) √x 2−4
=x −1 27) √2x+1=3x −1 Vấn đề 5: Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối.
Một số dạng thường gặp:
1) Phương trình dạng: |A|=|B| (*)
Phương trình (*)
⇔A2=B2⇔ A=B
¿ A=− B
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
2) Phương trình dạng: |A|=B (**)
Phương trình (**) ⇔ B ≥0 A2
=B2 ¿{
⇔ B ≥0 A=B
¿ A=− B
(8)Phương trình (**) ⇔ ¿A ≥0
A=B ¿ ¿ ¿ A<0
¿ ¿ A=− B
¿ ¿ ¿
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) |2x −1|=3x −4 (1)
Giải:
(1)
⇔ 3x −4≥0
3x −4¿2 ¿ ¿ 2x −1¿2=¿
¿
⇔ x ≥4
3 2x −1=3x −4
¿
2x −1=−3x+4 ¿
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔ x ≥4
3 x=3(n)
¿ x=1(l)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔x=3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=3 2) |x −2|=x2− x −6 (2)
Giải:
(2)
⇔ ¿x −2≥0 x −2=x2− x −6
¿ ¿ ¿ x −2<0
¿ ¿
x −2=− x2+x+6 ¿
¿ ¿
⇔ ¿x ≥2 x2−2x −4
=0 ¿ ¿ ¿ x<2
¿ ¿ x2=4
¿ ¿ ¿
⇔ ¿x ≥2 x=1−√5(l)
¿ x=1+√5(n)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x<2
¿ x=2(l)
¿ x=−2(n)
¿ ¿ ¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
⇔ x=1+√5
¿ x=−2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: x=1+√5 ; x=−2 3) |2x −1|=|3− x| (3)
(9)(3)
⇔ 2x −1=3− x
¿ 2x −1=−3+x
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔ x=4
3 ¿ x=−2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (3) có hai nghiệm: x=4
3 ; x=−2 4) |− x2+4x+7|=|3x2+6x+1| (4)
Giải:
(4)
⇔
− x2+4x+7=3x2+6x+1 ¿
− x2
+4x+7=−3x2−6x −1 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
⇔ 4x2+2x −6=0
¿ 2x2
+10x+8=0 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
*
4x2+2x −6=0⇔ x=1
¿ x=−3
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*
2x2+10x+8=0⇔ x=−1
¿ x=−4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm: x=1 ; x=−3
2 ; x=−1 ; x=−4 5)
2 1
2 x
x x
(10)Với điều kiện trên, ta có: (5)
⇔ ¿x −2>0 x2−1=x2−2x
¿ ¿ ¿ x −2<0
¿ ¿ x −2=− x2
+2x ¿
¿ ¿
⇔ ¿x>2
x=1 ¿ ¿ ¿ x<2
¿ ¿ x2− x −2
=0 ¿ ¿ ¿
⇔ ¿x>2 x=1
2(l) ¿ ¿ ¿ x<2
¿ x=−1(n)
¿ x=2(l)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿{
¿ ¿
⇔x=−1
6) 3x2
+5|x −3|+7=0 (6) Giải:
(6)
⇔ ¿x −3≥0 3x2+5(x −3)+7=0
¿ ¿ ¿ x −3<0
¿ ¿ 3x2−5(x −3
)+7=0 ¿
¿ ¿
⇔ ¿x ≥3 3x2
+5x −8=0 ¿ ¿ ¿ x<3
¿ ¿
3x2−5x+22=0(vn) ¿
¿ ¿
⇔ x ≥3 x=1(l)
¿ x=−8
5(l) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình (6) vơ nghiệm
Bài tập tương tự:Giải phương trình sau: 1) |x2−3x
+1|=x+1 2) |2x+3|−5=x 3)
|x2+2x+3|=7− x
4) |x2+4x+5|=3x+5 5) |2x+1|=|x −3| 6) |x2−5x+6|=2x −3
7) 2x2 5x5 x2 6x 8) |2x −1|=x+1 9) |x2+4x+3|=x2+3 10) |x2−4x+2|=x −2 11) |x2−1|+4x=1 12)
|2x2−5x+4|
=2x −1 13) |3x2− x+2|
=2x+8 14) |x2+1|=|x2+3x −2| 15) |− x2−4x+2|=3x+4
16) |− x2+4x −5|=8−2x 17) |2x2+3x+2|=4x+5 18) |x −3|=2x+1
19) |3x −2|=2x+3 20) 2|x −1|=x+2 21)
|x −2|=2x −1
22) |4x −9|=3−2x 23) |2x+1|=|3x+5| 24)