Nhà trường tổ chức thành công hội nghị công chức, viên chức năm học : 2018-2019

Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.. Bước 2: Lũy thừa hai vế đ[r]

(1)

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI (Ban bản)

Vấn đề 1: Điều kiện phương trình f(x)=g(x) .

Điều kiện phương trình điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghĩa Chú ý: 1) Phương trình dạng: f

(x)=√g(x)

Đặt điều kiện: ¿ f(x)≠0

g(x)≥0 ¿{

¿

2) Phương trình dạng: f (x)=

1

√g(x) Đặt điều kiện:

¿ f (x)≠0 g(x)>0

¿{ ¿

Ví dụ 1:Tìm điều kiện phương trình sau 1) 2x

x2−4=√x −3 2)

x+4

√x −1=√2− x 3) √2x+1=

x 4) x √x −1=

2 √x+3 Giải:

1) Điều kiện:

¿ x2−4≠0

x −3≥0 ¿{

¿

⇔ x ≠2 x ≠ −2

x ≥3 ¿{ {

⇔x ≥3

¿ 2− x ≥0 x −1>0

¿{ ¿

⇔ x ≤2 x>1 ¿{

⇔1<x ≤2

¿ x ≠0 2x+1≥0

¿{ ¿

⇔ x ≠0 x ≥ −1

2 ¿{

¿ x −1>0 x+3>0

¿{ ¿

⇔ x>1 x>−3

¿{

⇔x>1

Bài tập tương tự: Tìm điều kiện phương trình sau 1) √3x −2=

2x+1 2) 3x 7 x 1 3) √2x+7=x −4

4) x −x+11=

√3− x 5) 1− x

= x

(2)

Cho hai phương trình f1(x)=g1(x) (1) f2(x)=g2(x) (2) Gọi S1 S2 tập nghiệm (1) (2)

* Để chứng minh hai phương trình (1) (2) tương đương với ta chứng minh S1 = S2 Khi

ta viết: (1)  (2)

* Để chứng minh phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) ta chứng minh S1  S2 Khi ta viết: (1)  (2)

Ví dụ 1:

Chứng minh hai phương trình sau tương đương: x4

+1=x2+1 (1) x(x −1)(x+1)=0 (2) Giải:

(1)  x2

(x2−1)=0

⇔ x=0

¿ x=1

¿ x=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là: S1={0;−1;1}

(2) ⇔ x=0

¿ x=1

¿ x=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={0;−1;1} Ta có: S1 = S2 Vậy: (1)  (2)

Ví dụ 2: Cho hai phương trình √2x2−1=x (1) 2x2−1

=x2 (2) Hãy chứng minh (2) hệ (1)

Giải:

(1)

¿ x ≥0 2x2−1=x2

¿{ ¿

⇔ x ≥0 x2=1

¿{

⇔ x ≥0 x=1(n)

¿ x=−1(l)

¿ ¿⇔x=1

¿ ¿ ¿ ¿

(3)

(2) x2

=1⇔ x=1

¿ x=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={−1;1} Ta có: S1  S2 Vậy: (1)  (2)

Bài tập tương tự:

1) Chứng minh hai phương trình sau tương đương: x2

+x=0 x+1¿

=0 x2

+¿ 2) Cho hai phương trình 2x2− x=0 (1) 4x2

=x (2) Hãy chứng minh (2) hệ (1)

Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn mẫu QP1(x) 1(x)

+P2(x) Q2(x)=0

Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để mẫu số khác

Bước 2: Quy đồng mẫu số, khử mẫu số đưa giải phương trình bậc bậc hai Bước 3: Kiểm tra điều kiện

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) x2(x −1)

x −1 =1 (1) 2)

x+3 x(x −1)+

3 x=

2− x x −1 (2) 3) 3x −x+24−

x+2=

x2−4+3 (3) 4) x+1+ x+3=

x+5 x+3 (4) Giải:

1) x2(x −1)

x −1 =1 (1)

Điều kiện: x ≠1

Với điều kiện trên, ta có: (1)

⇔x2=1⇔ x=1(l)ọ

¿ x=−1(n)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔x=−1

Vậy phương trình (1) có nghiệm x=−1 2) x(x −x+31

)+ x=

(4)

Điều kiện: ¿ x ≠0 x ≠1 ¿{

¿

⇔x+3+3(x −1)=(2− x)x⇔x(x+2)=0⇔ x=0(l)

¿ x=−2(n)

¿ ⇔x=−2

¿ ¿ ¿ Vậy phương trình (2) có nghiệm x=−2

3) 3x −x+24−x1+2=

x2−4+3 (3) Điều kiện:

¿ x ≠2 x ≠ −2

¿{ ¿

Với điều kiện trên, ta có:

(3) ⇔(3x+4)(x+2)−(x −2)=4+3(x2−4)⇔9x+18=0⇔x=−2 (loại vi phạm điều kiện) Vậy phương trình (3) vơ nghiệm

4) x+1+ x+3=

x+5 x+3 (4) Điều kiện: x ≠ −3

Với điều kiện trên, ta có:

(4)

⇔(x+1)(x+3)+2=x+5⇔x(x+3)=0⇔ x=0(n)

¿ x=−3(l)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔x=0

Vậy phương trình (4) có nghiệm x=0 Bài tập tương tự:

Giải phương trình sau: 1) x −42+x=3x −2

x −2 2)

x+1 2x −2+

3x

2x −3=4 3)

2x −5 x+1 =

3x −1 x −1 −1 4) 2xx++15−

2x

x −1−1=0 5)

1 1

  

   

x x x

x

6) 2x −x+11+ 3x+2

x =9 7) 2xx −4

+1 + x+3

2x −1=3 8) x+ x −1=

2x −1

x −1 9) x+

1 x −2=

2x −3 x −2 10) 2x+3+

x −1= x2+3

x −1 11) x −2

x+2− x=

2

x(x −2) 13) 1+ x −3=

(5)

Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn dấu căn.

Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức dấu bậc chẵn không âm

Bước 2: Lũy thừa hai vế để khử dấu Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm Bước 4: Kiểm tra điều kiện

Bước 5: Kết luận

Chú ý: 1) Tính chất bản:

√A=B⇔ B≥0 A=B2

¿{

2)

A.B=0⇔ A=0

¿ B=0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) √x −3=√9−2x (1)

Giải:

Điều kiện:

¿ x −3≥0 9−2x ≥0

¿{ ¿

⇔ x ≥3 x ≤9 ⇔3≤ x ≤9

2 ¿{

Với điều kiện trên, ta có: (1) ⇔x −3=9−2x⇔3x=12⇔x=4 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x=4

2) √x2

+2x −1=x −1 (2) Giải: Áp dụng tính chất bản

(2)

⇔ x −1≥0

x −1¿2 ¿ ⇔

¿ ¿x ≥1

¿

x2+2x −1=x2−2x+1 ¿

⇔ ¿ ¿ ¿x ≥1 x2+2x −1=¿

(6)

Giải: Áp dụng tính chất bản (3) ⇔ √x2−3x −1=2x −7

⇔ 2x −7≥0

2x −7¿2 ¿ ⇔

¿ ¿ ¿x ≥7

2 x2−3x −1

=¿ ⇔ x ≥7

2 3x2−25x+50=0

⇔ ¿x ≥7

2 x=5(n)

¿ ¿ x=10

3 (l) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (3) có nghiệm x=5

4) x

2√x −5=

√x −5 (4) Giải:Điều kiện: x>5

Với điều kiện trên, ta có: (4) ⇔x=6 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (4) có nghiệm x=6

5) (x2−3x

+2).√x −3=0 (5) Giải:Điều kiện: x ≥3

⇔ x2−3x+2=0

¿ x −3=0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

*

x2−3x

+2=0⇔ x=1(l)

¿ x=2(l)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

(7)

* x −3=0⇔x=3 (nhận thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (5) có nghiệm x=3

Bài tập tương tự:

Giải phương trình sau:

1) x −√2x+16=4 2) √2x2+5x+1=x+3 3) √x2−7x+4=x −2 4) √x2−4x+2

=√1− x 5) √2x2

+5x+11=x −2 6) √x+1=5− x 7) 9x+√3x −2=10 8) √3x2+x+5=2+x 9)

√x2−2x+4=√2− x

10) √2x2−4x −2=x −1 11) √3x2−9x+1=√x −2 12) x+√2x2−2x+3=3 13) √3x2−9x+1=x −2 14)

√6x2−12x+7

=1− x 15) √− x2+3x+2=3x −4 16) √− x2+x+4=x+1 17) √2x2+4x −1=x+1 18) (− x2+4x+5)√x −3=0 19) √2x2

+x+6=x+2 20) √4x+7=2x −3 21) √2x2+x+8=x+4 22) √− x2+2x+4=3x −4 23) √4x −7=2x −5 24) x

2

√x −1= √x −1 25) x

2

−4x −2

√x −2 =√x −2 26) √x 2−4

=x −1 27) √2x+1=3x −1 Vấn đề 5: Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối.

Một số dạng thường gặp:

1) Phương trình dạng: |A|=|B| (*)

Phương trình (*)

⇔A2=B2⇔ A=B

¿ A=− B

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

2) Phương trình dạng: |A|=B (**)

Phương trình (**) ⇔ B ≥0 A2

=B2 ¿{

⇔ B ≥0 A=B

¿ A=− B

(8)

Phương trình (**) ⇔ ¿A ≥0

A=B ¿ ¿ ¿ A<0

¿ ¿ A=− B

¿ ¿ ¿

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) |2x −1|=3x −4 (1)

Giải:

(1)

⇔ 3x −4≥0

3x −4¿2 ¿ ¿ 2x −1¿2=¿

¿

⇔ x ≥4

3 2x −1=3x −4

¿

2x −1=−3x+4 ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔ x ≥4

3 x=3(n)

¿ x=1(l)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔x=3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x=3 2) |x −2|=x2− x −6 (2)

Giải:

(2)

⇔ ¿x −2≥0 x −2=x2− x −6

¿ ¿ ¿ x −2<0

¿ ¿

x −2=− x2+x+6 ¿

¿ ¿

⇔ ¿x ≥2 x2−2x −4

=0 ¿ ¿ ¿ x<2

¿ ¿ x2=4

¿ ¿ ¿

⇔ ¿x ≥2 x=1−√5(l)

¿ x=1+√5(n)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x<2

¿ x=2(l)

¿ x=−2(n)

¿ ¿ ¿ ¿{

¿ ¿ ¿ ¿

⇔ x=1+√5

¿ x=−2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: x=1+√5 ; x=−2 3) |2x −1|=|3− x| (3)

(9)

(3)

⇔ 2x −1=3− x

¿ 2x −1=−3+x

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔ x=4

3 ¿ x=−2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm: x=4

3 ; x=−2 4) |− x2+4x+7|=|3x2+6x+1| (4)

Giải:

(4)

⇔

− x2+4x+7=3x2+6x+1 ¿

− x2

+4x+7=−3x2−6x −1 ¿

¿ ¿ ¿ ¿

⇔ 4x2+2x −6=0

¿ 2x2

+10x+8=0 ¿

¿ ¿ ¿ ¿

*

4x2+2x −6=0⇔ x=1

¿ x=−3

2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

*

2x2+10x+8=0⇔ x=−1

¿ x=−4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm: x=1 ; x=−3

2 ; x=−1 ; x=−4 5)

2 1

2 x

x x



 

(10)

⇔ ¿x −2>0 x2−1=x2−2x

¿ ¿ ¿ x −2<0

¿ ¿ x −2=− x2

+2x ¿

¿ ¿

⇔ ¿x>2

x=1 ¿ ¿ ¿ x<2

¿ ¿ x2− x −2

=0 ¿ ¿ ¿

⇔ ¿x>2 x=1

2(l) ¿ ¿ ¿ x<2

¿ x=−1(n)

¿ x=2(l)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿{

¿ ¿

⇔x=−1

6) 3x2

+5|x −3|+7=0 (6) Giải:

(6)

⇔ ¿x −3≥0 3x2+5(x −3)+7=0

¿ ¿ ¿ x −3<0

¿ ¿ 3x2−5(x −3

)+7=0 ¿

¿ ¿

⇔ ¿x ≥3 3x2

+5x −8=0 ¿ ¿ ¿ x<3

¿ ¿

3x2−5x+22=0(vn) ¿

¿ ¿

⇔ x ≥3 x=1(l)

¿ x=−8

5(l) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình (6) vơ nghiệm

Bài tập tương tự:Giải phương trình sau: 1) |x2−3x

+1|=x+1 2) |2x+3|−5=x 3)

|x2+2x+3|=7− x

4) |x2+4x+5|=3x+5 5) |2x+1|=|x −3| 6) |x2−5x+6|=2x −3

7) 2x2  5x5 x2 6x 8) |2x −1|=x+1 9) |x2+4x+3|=x2+3 10) |x2−4x+2|=x −2 11) |x2−1|+4x=1 12)

|2x2−5x+4|

=2x −1 13) |3x2− x+2|

=2x+8 14) |x2+1|=|x2+3x −2| 15) |− x2−4x+2|=3x+4

16) |− x2+4x −5|=8−2x 17) |2x2+3x+2|=4x+5 18) |x −3|=2x+1

19) |3x −2|=2x+3 20) 2|x −1|=x+2 21)

|x −2|=2x −1

22) |4x −9|=3−2x 23) |2x+1|=|3x+5| 24)