Cơ sở grõbner và định lý cơ sở hilbert

❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞ ❡ ❡ ❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— NGUYỄN KHÁNH LINH ă C S GROBNER V NH Lí C S HILBERT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ HÀ NỘI, 05/2019 ❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❞❞❞ ❡ ❡ ❡ ❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— NGUYỄN KHÁNH LINH ¨ CƠ SỞ GROBNER VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ HILBERT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 05/2019 Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ, bảo tận tình thầy giáo, em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy khoa tốn – người dạy dỗ chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn thầy giáo Ths Đỗ Văn Kiên người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình đóng góp nhiều ý kiến q báu thời gian thực khóa luận Với điều kiện hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo, ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Khánh Linh Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Đỗ Văn Kiên cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 07 tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Khánh Linh i Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Quan hệ thứ tự 1.2 Vành đa thức 1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.2 Bậc đa thức C s Gră obner Th t đơn thức k [x1 , x2 , , xn ] 10 2.1.1 Thứ tự đơn thức 10 2.1.2 Thứ tự từ điển 13 2.1.3 Thứ tự từ điển phân bậc 17 2.1.4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc 18 2.2 Phép chia đa thức k [x1 , x2 , , xn ] 22 2.3 Iđêan đơn thức Bổ đề Dickson 28 2.3.1 Iđêan đơn thức 28 C s Grăobner 31 2.1 2.4 10 Định lý sở Hilbert 37 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh 3.1 Vành Noether 37 3.2 Định lý sở Hilbert 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Lời mở đầu Ngày tư tưởng, phương pháp kết đại số thâm nhập vảo hầu hết lĩnh vực toỏn hc C s Grăobner l mt cụng c rt mạnh hữu hiệu Đại số máy tính, Hình học đại số Đại số giao hoán Định lý sở Hilbert có nhiều ứng dụng Đại số hin i Vic nghiờn cu ti C s Grăobner Định Lý sở Hilbert” giúp người học phát triển tư có tầm nhìn sâu rộng toán học Thấy tầm quan trọng đề tài với giúp đỡ tận tình thầy Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn thực khóa luận tt nghip vi ti C s Grăobner v nh lý sở Hilbert” Đề tài nghiên cứu th t trờn vnh n thc, c s Grăobner v vnh Noether S dng c s Grăobner chng minh định lý sở Hilbert số ứng dụng chúng Nội dung khóa luận gồm có ba chương sau: • Chương 1: Kiến thức sở ã Chng 2: C s Grăobner Khúa lun tt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh • Chương 3: Định lý sở Hilbert số ứng dụng Do khn khổ thời gian trình độ kiến thức thân cịn hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để đè tài hoàn thiện phát triển Chương Kiến thức sở Chương trình bày kiến thức sở quan hệ thứ tự vành đa thức nhiều ẩn để chuẩn bị cho chương 1.1 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 (Quan hệ hai ngôi) Giả sử X, Y tập hợp Một quan hệ hai từ Xđến Y tập R tích đề X × Y Ta nói, với hai phần tử x ∈ X y ∈ Y , x có quan hệ R với y (x, y) ∈ R Khi ta viết xRy Đặc biệt X = Y ta nói R quan hệ hai ngơi X Định nghĩa 1.1.2 (Quan hệ thứ tự) Giả sử X tập hợp, R quan hệ hai ngơi X Khi R gọi quan hệ thứ tự X thỏa mãn điều kiện sau: (i) Phản xạ: Với ∀x ∈ X xRx (ii) Phản đối xứng: Với ∀x, y ∈ X cho xRy yRx x = y (iii) Bắc cầu: Với xRy yRz xRz Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh thức xα thỏa mãn xα y m ∈ I với m ≥ Vì J iđêan đơn thức k [x1 , x2 , , xn−1 ] nên theo giả thuyết quy nạp có hữu phần tử xα sinh J, chẳng hạn J = xα(1) , , xα(s) Iđêan J xem phép chiếu I lên k [x1 , x2 , , xn−1 ] Đối với ≤ i ≤ s, theo định nghĩa J ta có xα(i) y mi ∈ I với mi ≥ Gọi m số lớn mi Khi đó, với k nằm m − 1, đặt Jk ⊆ k [x1 , x2 , , xn−1 , y] iđêan sinh xβ cho xβ y m ∈ I Theo giả thiết quy nạp Jk có tập sinh gồm hữu hạn iđêan đơn thức, chẳng hạn Jk = xαk (1) , , xαk (s) Chúng ta chứng minh I sinh đơn thức có dạng sau • Từ J : xα(1) y m , , xα(s) y m , • Từ J0 : xα(1) , , xα0 (s0 ) , • Từ J1 : xα1 (1) y, , xα1 (s1 ) y, • Từ Jm−1 : xαm−1 (1) y m−1 , , xαm−1 (sm−1 ) y m−1 Ta thấy đơn thức I chia hết cho đơn thức danh sách Thật vậy, gọi xα y p ∈ I đơn thức tùy ý I Nếu p ≥ m xα y p chia hết cho xα(i) y m đó, xây dựng J Mặt khác, p ≤ m − xα y p chia hết cho xαp (j) y p , xây dựng Jp Theo Bổ đề 2.3.3, đơn thức danh sách sinh iđêan có đơn thức I Từ theo Hệ 2.3.5, hai iđêan Để hoàn thành chứng minh Bổ đề, cần ln chọn tập sinh gồm hữu hạn iđêan đơn thức I từ tập 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh sinh cho trước Thật vậy, giả sử I = xα | α ∈ A ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] Theo lập luận phần trên, I = xβ(1) , , xβ(s) với đơn thức xβ(i) thuộc I Vì xβ ∈ xα |α ∈ A nên theo Bổ đề 2.3.3, xβ(i) chia hết cho xα(i) , α (i) ∈ A Từ dễ dàng thấy I = xα(1) , , xα(s) Hệ 2.3.8 Cho ≥ quan hệ Nn thỏa mãn: ≥ quan hệ thứ tự toàn phần Nn Nếu α ≥ β γ ∈ Nn α + γ ≥ β + γ Khi ≥ thứ tự tốt ∀α ≥ với α ∈ Nn 2.4 C s Gră obner nh ngha 2.4.1 Cho I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] iđêan khác Ta ký hiệu (i) LT (I) tập hạng tử cao I, tức LT (I) = cxα |∃f ∈ I với LT (f ) = cxα (ii) LT (I) iđêan sinh phần tử LT (I) gọi iđêan khởi đầu I, ký hiệu in(I) = LT (I) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh Chú ý I = f1 , f2 , , fs theo định nghĩa ta có bao hàm LT (f1 ), LT (f2 ), , LT (fs ) ⊆ LT (I) bao hàm ngược lại nói chung khơng xảy Xét ví dụ sau Ví dụ 2.4.2 Cho I = f1 , f2 với f1 = x3 −2xy, f2 = x2 y −2y +x vành k[x, y] với thứ tự từ điển phân bậc Ta có x2 = LT (x2 ) ∈ LT (I) Nhưng x2 không chia hết cho LT (f1 ) = x3 hay LT (f2 ) = x2 y Vì x2 ∈ / LT (f1 ), LT (f2 ) Nói cách khác, LT (f1 ), LT (f2 ) LT (I) Mệnh đề 2.4.3 Cho I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] iđêan Khi đó: (1) LT (I) iđêan đơn thức (2) Tồn g1 , , gt ∈ I cho LT (I) = LT (g1 ), , LT (gt ) Chứng minh (1) Các đơn thức cao LM (g) phần tử = g ∈ I sinh iđêan đơn thức LT (g)|0 = g ∈ I Vì LM (g) LT (g) sai khác số khác không nên LT (g)|0 = g ∈ I = LT (I) Vậy LT (I) iđêan đơn thức (2) Vì LT (I) sinh đơn thức LM (g) với = g ∈ I nên theo Bổ đề Dickson ta có LT (I) = LT (g1 ), , LT (gt ) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh Định nghĩa 2.4.4 (Cơ s Grăobner) C nh mt th t n thc Mt tập hữu hạn G = {g1 , , gt } iđêan I gọi sở Grăobner (hay c s tiờu chun) nu LT (g1 ) , , LT (gt ) = LT (I) Hệ 2.4.5 Cố định thứ tự đơn thức Khi iđêan I ⊆ k [x1 , x2 , , xn ] khác có sở Grăobner Hn na, mi c s Gră obner ca iờan I tập sinh I Như việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm mt c s Grăobner ca I vi mt th t Tuy nhiên khơng phải sở I u l c s Grăobner ca I Hn na, cở sở cho I c s Grăobner i vi th t ny nhng khụng l c s Grăobner vi th t khỏc Vớ d 2.4.6 Cho iđêan I = xy, y k[x, y] với f1 = xy, f2 = xy − y + Khi LT≤lex (f1 ) = LT≤lex (f2 ) = xy Ta có LT≤lex (I) = I nờn {f1 , f2 } khụng l c s Grăobner I với thứ tự từ điển + Ta lại có LT≤grlex (f1 ) = xy, LT≤grlex (f2 ) = y Ta có LT≤grlex (I) = I nên {f1 , f2 } l c s Grăobner ca I với thứ tự từ điển phân bậc + Cũng vy {f1 , f2 } l c s Grăobner ca I với thứ tự từ điển ngược Chú ý vi mi th t khỏc thỡ c s Grăobner khác 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh Ví dụ 2.4.7 Cho iđêan I = −x3 + y, x2 y − z k[x, y, z] Có thể sử dụng Macaulay2 ta thấy: + Với thứ tự từ điển phân bậc: Ta có G = {y − xz, x2 y − z, x3 y} l mt c s Grăobner ca I + Với thứ tự từ điển: Ta có G = {y −x3 , xz −y , xy −z , x2 y −z, x3 −y} c s Grăobner ca I nh ngha 2.4.8 C s Grăobner ti tiu ca I i vi mt th t n thc ó cho l mt c s Grăobner G ⊆ I thỏa mãn hai điều kiện: (1) LC(g) = với g ∈ G 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh (2) Với g ∈ G không tồn g ∈ G cho LT (g ) chia hết LT (g) Do iđêan đơn thức có tập sinh đơn thức tối tiểu nên ta nhận Hệ 2.4.9 Cố định thứ tự đơn thức Khi iờan u cú c s Gră obner ti tiu v mi c s Grăobner ti tiu ca cựng mt iờan có chung lực lượng chung hạng tử cao Mệnh đề 2.4.10 Giả sử F = {f1 , f2 , , fs } l mt c s Grăobner iđêan I ⊆ k[x1 , , xn ] với thứ tự đơn thức cho trước Cho f ∈ k[x1 , , xn ] Khi f ∈ I phần dư phép chia f cho hệ F Chứng minh Nếu đa thức dư phép chia f cho hệ F rõ ràng f ∈ I Ngược lại f ∈ I Khi tồn a1 , , as ∈ k[x1 , , xn ] 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh cho f = a1 f1 + · · · + as fs + Do tính phần dư (với thứ tự cho trước) nên phần dư phép chia f cho hệ F 36 Chương Định lý sở Hilbert Chương trình bày định lý sở Hilbert, định lý quan trọng Đại số Năm 1890 Hilbert chứng minh iđêan C[x1 , x2 , , xn ] hữu hạn sinh Kết sau mở rộng cho vành sở vành Noether gọi định lý sở Hilbert 3.1 Vành Noether Định nghĩa 3.1.1 Vành giao hốn có đơn vị R vành Noether iđêan hữu hạn sinh, hay R có tập sinh gồm hữu hạn phần tử Ví dụ 3.1.2 + Vì iđêan vành số nguyên Z có dạng nZ hữu hạn sinh nên vành Noether + Trường số Q, R, C vành Noether, trường có hai iđêan (0) (1) Định lý 3.1.3 Cho R vành giao hốn có đơn vị, khẳng định sau tương đương: 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh (i) R vành Noether (ii) Mỗi tập khác rỗng iđêan R tồn phần tử cực đại (iii) Mọi dãy I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Ik ⊆ Ik+1 tăng iđêan R dừng, tức tồn n để In = In+1 = Chứng minh (1) ⇒ (2): Gọi X tập khác rỗng iđêan R Giả sử A tập khác rỗng tùy ý X thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm ⊆ Khi rõ ràng tập I = ∪I∈A iđêan R chặn A Ta cần I ∈ X Thật R vành Noether nên iđêan I hữu hạn sinh, chẳng hạn I = a1 , a2 , , at Do tập A tập toàn phần theo quan hệ bao hàm nên phải tồn I ∈ A để a1 , a2 , , at ∈ I Khi rõ ràng I = I ∈ X Vậy A có chặn X I Theo bổ đề Zorn X có phần tử cực đại (2) ⇒ (3): Giả sử I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Ik ⊆ Ik+1 dãy tăng iđêan R Đặt tập X = {Ii }∞ i=1 Theo (2) X có phần tử cực đại, chẳng hạn In Từ In ⊆ In+1 ⊆ nên In = In+1 = · · · (3) ⇒ (1): Giả sử dãy tăng iđêan R dừng R khơng vành Noether Khi có iđêan I R không hữu hạn sinh Rõ ràng I = {0} nên có a1 ∈ I Rõ ràng I = Ra1 nên tồn a2 ∈ I \Ra1 Ta có Ra1 R(a1 , a2 ) Vì I khơng hữu hạn sinh nên ta lặp lại q trình vơ hạn 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh lần Khi ta nhận dãy vô hạn tăng thực Ra1 R(a1 , a2 ) R(a1 , a2 , a3 ) ··· Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy R không vành Noether 3.2 Định lý sở Hilbert Định lý 3.2.1 Nếu R vành Noether vành đa thức R[x] vành Noether Ở đưa hai cách chứng minh định lý Chứng minh thứ sử dụng kết nói chương Chứng minh thứ nhất: Nếu I = {0}, hiển nhiên I có tập sinh hữu hạn {0} Nếu I có đa thức khác 0, tập sinh g1 , , gt ∈ I I xây dựng sau Theo Mệnh đề 2.4.3 tồn g1 , , gt ∈ I cho LT (I) = LT (g1 ) , , LT (gt ) Ta I = g1 , gt Thật vậy, bao hàm g1 , gt ⊆ I hiển nhiên gi ∈ I với i Ngược lại, với f ∈ I đa thức Nếu thực thuật toán chia đa thức nói Định lý 2.2.1 để chia f cho {g1 , gt } ta biểu thức có dạng f = a1 g1 + + at gt + r, khơng có hạng tử r chia hết cho hạng tử 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh LT (g1 ) , , LT (gt ) Ta có r = f − a1 g1 − − at gt ∈ I Nếu r = 0, LT (r) ∈ LT (I) = LT (g1 ) , , LT (gt ) Theo Bổ đề 2.3.3 ta có LT (r) chia hết cho LT (gi ) Điều mâu thuẫn với tính chất phần dư r đa nói Do r phải Ta nhận f = a1 g1 + + at gt + ∈ g, , gt Điều cho thấy I ⊆ g1 , , gt Vậy I = g1 , , gt định lý chứng minh Chứng minh thứ hai: Giả sử ngược lại tồn iđêan I cho I không hữu hạn sinh Ta xây dựng qui nạp dãy đa thức f1 , f2 , I sau: • f1 := • Giả sử biết f1 , , fi−1 Ta có I \ f1 , , fi−1 = ∅ Do ta chọn fi ∈ I \ f1 , , fi−1 bậc nhỏ Đặt ni = deg fi với i Đặt ci := LC(fi ), ta có dãy tăng iđêan R c1 ⊆ c1 , c2 ⊆ · · · Do vành R Noether nên dãy phải dừng, tức tồn ci ∈ 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh c1 , , ci−1 Khi ta viết i−1 ui ci , ui ∈ R ci = j=1 Đặt g = fi − (u1 xni −n1 f1 + · · · + ui−1 xni −ni−1 fi−1 ) Suy deg g < deg fi Ta lại có g ∈ I fi ∈ / f1 , , fi−1 Do vậy, g ∈ / f1 , , fi−1 hay g ∈ I \ f1 , , fi−1 Điều mâu thuẫn Vậy iđêan R[x] hữa hạn sinh Theo Định lý 3.1.3, R[x] vành Noether Định lý sở Hilbert có số hệ thú vị sau Hệ 3.2.2 (1) Nếu R vành Noether vành đa thức n biến R[x1 , , xn ] vành Noether (2) Nếu k trường vành k[x1 , , xn ] vành Noether Chứng minh Sử dụng qui nạp theo số biến n dễ dàng nhận khẳng định Định nghĩa 3.2.3 Cho k trường f1 , f2 , , fs đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Đặt V (f1 , , fs ) := {(a1 , , an ) ∈ k n |fi (a1 , , an ) = 0, for all ≤ i ≤ s} Ta gọi V (f1 , , fs ) đa tạp affine định nghĩa f1 , , fs Định nghĩa 3.2.4 Cho I iđêan vành k[x1 , , xn ] Đặt V (I) := {(a1 , , an ) ∈ k n |f (a1 , , an ) = 0, for all f ∈ I} 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Khánh Linh Mệnh đề 3.2.5 Cho I iđêan vành k[x1 , , xn ] Khi V (I) đa tạp affine Đặc biệt I = f1 , , fs V (I) = V (f1 , , fs ) Chứng minh Theo Hệ 3.2.2 ta có iđêan I hữu hạn sinh Đặt I = f1 , , fs Ta V (I) = V (f1 , , fs ) Thật vậy, trước hết với (a1 , , an ) ∈ V (I) ta có fi (a1 , , an ) = với ≤ i ≤ s, fi ∈ I ≤ ∀i ≤ s Vậy (a1 , , an ) ∈ V (f1 , , fs ), hay V (I) ⊆ V (f1 , , fs ) Ngược lại, với (a1 , , an ) ∈ V (f1 , , fs ) với f ∈ I Do I = f1 , , fs nên f = s i=1 hi fi , với hi ∈ k[x1 , , xn ] Khi ta có s f (a1 , , an ) = hi (a1 , , an )fi (a1 , , an ) i=1 s = hi (a1 , , an ).0 = i=1 Vậy (a1 , , an ) ∈ V (I), hay V (f1 , , fs ) ⊆ V (I) Ta có điều cần chứng minh Như nhờ Định lý sở Hilbert đa tạp affine ln định nghĩa iđêan 42 Kết luận Khóa luận ny ó i tỡm hiu v C s Grăobner v Định lí sở Hilbert” ba chương Chương cung cấp lý thuyết sở quan hệ hai ngôi, quan hệ thứ tự vành đa thức làm tiền đề cho vấn đề chương sau Chương tìm hiểu thứ tự đơn thức; quan hệ thứ từ điển, từ điển ngược, từ điển phân bậc, từ điển ngược phân bậc; bước thực thuật toán chia; iđêan đơn thức bổ đề Dickson; đặc biệt khái niệm, hệ qu ca c s Grăobner Chng s dng khỏi nim c s Grăobner chng minh nh lớ c sở Hilbert hệ định lý Do thời gian kiến thức cịn hạn hẹp nên khóa luận em cịn nhiều thiếu sót mong thầy góp ý để em hồn thiện 43 Tài liệu tham khảo [1] David Cox, John Little (2006), Donal O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer [2] Lê Tuấn Hoa (2003), i s mỏy tớnh: C s Grăobner, (NXB i hc Quốc gia Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (2005), Giáo trình Đại số đại cương, NXB Giáo dục 44 ... Chương Định lý sở Hilbert Chương trình bày định lý sở Hilbert, định lý quan trọng Đại số Năm 1890 Hilbert chứng minh iđêan C[x1 , x2 , , xn ] hữu hạn sinh Kết sau mở rộng cho vành sở vành Noether... thuẫn với giả thiết Vậy R không vành Noether 3.2 Định lý sở Hilbert Định lý 3.2.1 Nếu R vành Noether vành đa thức R[x] vành Noether Ở đưa hai cách chứng minh định lý Chứng minh thứ sử dụng kết... Theo Định lý 3.1.3, R[x] vành Noether Định lý sở Hilbert có số hệ thú vị sau Hệ 3.2.2 (1) Nếu R vành Noether vành đa thức n biến R[x1 , , xn ] vành Noether (2) Nếu k trường vành k[x1 , , xn ] vành